數(shù)學(xué)物理方程-課件

1、數(shù)學(xué)物理方法理學(xué)院 馮國峰第2章 分離變量法 分離變量法的基本思想：把數(shù)學(xué)物理方程定解問題中未知的多元函數(shù)分解成若干個(gè)一元函數(shù)的乘積，從而把求解偏微分方程的定解問題轉(zhuǎn)化為求解若干個(gè)常微分方程定解問題。 第2章 分離變量法第1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)第2節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)問題第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題第4節(jié) 非齊次方程的求解問題第5節(jié) 非齊次邊界條件的處理第6節(jié) 固有值與固有函數(shù)第2章 分離變量法 例求解下列問題第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng) 問題：研究一根長為l，兩端（ ）固定的弦作微小振動(dòng)的現(xiàn)象。給定初始位移和初始速度后，在無外力作用的情況下，求弦上任意一點(diǎn)處的位移，即求解下列定解問題

2、式中， 均為已知函數(shù)。第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng) 這個(gè)定解問題的特點(diǎn)是：泛定方程是線性齊次的，邊界條件也是齊次的。求解這樣的問題，可以運(yùn)用疊加原理。如果能夠找到泛定方程足夠個(gè)數(shù)的特解，則可以利用它們的線性組合去求定解問題的解。第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng) 從物理學(xué)可知，樂器發(fā)出的聲音可以分解成各種不同頻率的單音，每個(gè)單音在振動(dòng)時(shí)形成的波形是正弦曲線，其振幅依賴于時(shí)間t，也就是說每個(gè)單音總可以表示成 的形式，這種形式的特點(diǎn)是：二元函數(shù) 是只含變量x的一元函數(shù)與只含變量t的一元函數(shù)的乘積，即它具有變量分離的形式。弦的振動(dòng)也是波，它也應(yīng)該具有上述的特點(diǎn)。 第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)第2-1節(jié) 有

3、界弦的自由振動(dòng)第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng) 若對于的某些 值，常微分方程定解問題的非平凡解存在，則稱這種 的取值為該問題的固有值（或特征值）；同時(shí)稱相應(yīng)的非平凡解為該問題的固有函數(shù)（或特征函數(shù)）。這樣的問題通常叫做施圖姆-劉維爾（Sturm-Liouville）問題（或固有值問題）。第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)（1）當(dāng) 時(shí)，方程沒有非平凡解。（2）當(dāng) 時(shí)，方程也沒有非平凡解。（3）當(dāng) 時(shí)，方程有如下形式的通解：第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng) 稱為固有值問題的一系列固有值，相應(yīng)的非零解為對應(yīng)的固有函數(shù)。第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)將固有值 代入方程中，有可得其通解為第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)這樣

4、，就得到泛定方程的滿足齊次邊界條件的下列變量分離的特解式中， 是任意常數(shù)。第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng) 由于初始條件式中的 與 是任意給定的，一般情況下，任何一個(gè)特解都不會滿足初始條件式。但由于泛定方程是線性齊次的，根據(jù)疊加原理，級數(shù)仍是泛定方程的解，并且同時(shí)滿足邊界條件。 第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng) 為了選取 ，使得上式也滿足初始條件，在上式及其關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)式中，令，由初始條件得第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)傅里葉級數(shù)（補(bǔ)充）：（1）設(shè) 是周期為 的周期函數(shù)，則其中第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)傅里葉級數(shù)（補(bǔ)充）：（2）設(shè) 是周期為 的周期函數(shù)，則其中第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)（3）當(dāng) 為奇

5、函數(shù)時(shí)， 為奇函數(shù)， 為偶函數(shù)。正弦級數(shù)為第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)（4）當(dāng) 為偶函數(shù)時(shí)， 為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)。余弦級數(shù)為第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng) 和 分別是函數(shù) 、 在區(qū)間 上的傅里葉正弦級數(shù)展開式的系數(shù)，即 第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng)取級數(shù)的一般項(xiàng)，并作如下變形：式中， 最大振幅 相位 頻率第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng) 表示這樣一個(gè)振動(dòng)波，在所考察的弦上各點(diǎn)以同樣的頻率作簡諧振動(dòng)，各點(diǎn)的初相相同，其振幅與點(diǎn)的位置有關(guān)，此振動(dòng)波在任一時(shí)刻的波形都是一條正弦曲線。（初相與最大振幅由初始條件確定，頻率與初值無關(guān)）。第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng) 這種振動(dòng)波還有一個(gè)特點(diǎn)，即在 范圍內(nèi)有 個(gè)

6、點(diǎn)在整個(gè)過程中始終保持不動(dòng)，即在 的那些點(diǎn)，這樣的點(diǎn)在物理上稱為 的節(jié)點(diǎn)。這說明 的振動(dòng)是在 上的分段振動(dòng)，人們把這種包含節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)波稱為駐波。另外，駐波還在另外的一些點(diǎn) 處振幅達(dá)到最大值，這樣的點(diǎn)叫做腹點(diǎn)。 第2-1節(jié) 有界弦的自由振動(dòng) 是一系列駐波，它們的頻率、相位和振幅都隨n而異。因此，可以說原定解問題的級數(shù)解是由一系列頻率不同（成倍增加）、相位不同、振幅不同的駐波疊加而成的，每一個(gè)駐波的波形由固有函數(shù)和初值確定，頻率則由固有值確定，與初值無關(guān)。因此，分離變量法也稱為駐波法。第2-2節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)問題問題設(shè)有一均勻細(xì)桿，長為l，兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為 和 ，端點(diǎn)處的溫度保持為零度，已知

7、桿上初始溫度分布為 ，求桿上的溫度變化規(guī)律，即求解下列問題。第2-2節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)問題使用分離變量法求解：第2-2節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)問題該邊值問題的固有值為：固有函數(shù)為：第2-2節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)問題則定解問題的解為由初始條件得 第2-2節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)問題 當(dāng)邊界條件的類型發(fā)生改變后，一個(gè)或兩個(gè)為第二類齊次的或第三類齊次的，這種定解問題的求解方法不變，可是求出的固有值與固有函數(shù)會發(fā)生改變。 第2-2節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)問題問題下面考慮桿的兩端 處絕熱，初始溫度分布為 ，并且無熱源的有限長桿的熱傳導(dǎo)問題，它歸結(jié)為求解式中 為給定的已知函數(shù)。第2-2節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)

8、問題使用分離變量法求解：第2-2節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)問題（1）當(dāng) 時(shí)，方程沒有非平凡解。（2）當(dāng) 時(shí)，方程有解 （常數(shù)）。 （3）當(dāng) 時(shí)，方程有如下形式的通解：第2-2節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)問題該邊值問題的固有值為：固有函數(shù)為：第2-2節(jié) 有限長桿上的熱傳導(dǎo)問題則定解問題的解為由初始條件得 第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 （一）矩形區(qū)域上的拉普拉斯邊值問題一個(gè)長為a，寬為b的矩形薄板，上下兩面絕熱，四周邊界溫度已知，具體為：板的兩邊（ ）始終保持零度，另外兩邊（ ）的溫度分別為 和 ，求薄板內(nèi)穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布規(guī)律。第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 矩形區(qū)域上的拉普拉斯方程邊值問題：

9、第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 設(shè) 第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 固有值為固有函數(shù)為 第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 原定解問題的解：由邊界條件得： 第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 應(yīng)用傅里葉系數(shù)公式得：第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 當(dāng)矩形區(qū)域的兩組對邊的邊界條件都是齊次時(shí)，方程只有零解，這從物理模型上分析也是顯然的。若兩組邊界條件都是非齊次的，則無法直接應(yīng)用分離變量法。此時(shí)，可以根據(jù)疊加原理，將其分解為兩個(gè)各含有一組對邊是齊次邊界條件的邊值問題，再利用分離變量的方法分別求解。第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 問題一個(gè)半徑為 的薄圓盤，上下兩面絕熱，圓周邊界上的溫度已

10、知，求達(dá)到穩(wěn)恒狀態(tài)時(shí)圓盤的溫度分布規(guī)律。 由于穩(wěn)恒狀態(tài)下溫度滿足拉普拉斯方程，并且區(qū)域是圓形的，為了應(yīng)用分離變量法，拉普拉斯方程采用極坐標(biāo)形式將是方便的，用 來表示圓板內(nèi)點(diǎn) 的溫度，則區(qū)域的邊界是圓周 ，所以邊界條件可以表示為式中 為圓周邊界上的已知溫度，且 。第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 令 ，則第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 這樣所述問題可以表示為下列定解問題：周期性邊界條件：有界性條件：第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 設(shè)泛定方程的解為 第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 （1）當(dāng) 時(shí)，方程的通解為式中A與B是任意常數(shù)。這樣的函數(shù)不滿足周期

11、性條件。（2）當(dāng) 時(shí)，的解為原定解問題的解為 第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 （3）當(dāng) 時(shí)，方程的通解為固有值為相應(yīng)的固有函數(shù)為 和 ，在這里，一個(gè)固有值對應(yīng)多個(gè)線性無關(guān)的固有函數(shù)。歐拉（Euler）方程 它的通解為第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 補(bǔ)充：歐拉方程的解法： 令 ，有 ，則代入歐拉方程中，得到有通解第3節(jié) 二維拉普拉斯方程的邊值問題 原定解問題的一些列特解式中第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題 （一）有界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)問題 齊次邊界條件與零初始條件的強(qiáng)迫振動(dòng)問題，即一根弦在兩端固定、初始無變化的情況下，受外力作用所產(chǎn)生的振動(dòng)現(xiàn)象。定解問題歸納為：第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題

12、 根據(jù)物理規(guī)律，外力只影響振動(dòng)的振幅，而不改變振動(dòng)的頻率，因此我們可以采用類似于線性非齊次常微分方程所用的“參數(shù)變易法”的形式，通過齊次方程的解來構(gòu)造非齊次方程的解。并保持如下的設(shè)想：這個(gè)定解問題的解可分解為無窮多個(gè)駐波的疊加，而每個(gè)駐波的波形仍然是由該振動(dòng)體的相應(yīng)的齊次方程的固有函數(shù)所決定。 第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題 與泛定方程相應(yīng)的齊次方程的固有函數(shù)系為假設(shè)本問題的解具有如下形式：式中， 是t的待定函數(shù)。 第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題 將方程中的自由項(xiàng)也按上述固有函數(shù)系展開成傅里葉級數(shù)，式中第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題 由初始條件可得：于是得常微分方程的初值問題：由對應(yīng)齊次

13、方程的基礎(chǔ)解系為 和 ，所以應(yīng)用常數(shù)變易法得到：第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題 第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題 第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題 原定解問題的解為這種方法實(shí)質(zhì)上是將方程的自由項(xiàng)及解都按照相應(yīng)的齊次方程固有函數(shù)系展開，因此這種方法也稱為固有函數(shù)法。需要注意的是，隨著邊界的變化，固有函數(shù)也會變化。第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題 帶有初始形變的強(qiáng)迫振動(dòng)問題：此時(shí)弦的振動(dòng)是由兩部分干擾引起的，其一是外部的強(qiáng)迫力，其二是弦的初始形變所產(chǎn)生的回復(fù)力。由物理規(guī)律可知，這種情形的振動(dòng)可以看作是僅由強(qiáng)迫力引起的振動(dòng)和僅由初始狀態(tài)引起的振動(dòng)的合成。 第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題 設(shè)本問題

14、的解為式中 表示僅由強(qiáng)迫力引起的弦的振動(dòng)的位移，它滿足： 第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題 而 則表示僅由初始狀態(tài)引起的弦振動(dòng)的位移，它滿足：而這兩個(gè)問題在上述討論中已經(jīng)圓滿解決。 第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題 （二）有限長桿的熱傳導(dǎo)問題（有熱源）首先考慮齊次的邊界條件和零初始條件的情況，以兩端溫度保持零為例。定解問題歸結(jié)為第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題 將定解問題的解 關(guān)于x按固有函數(shù)系 展開為傅里葉級數(shù)。式中第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題 將上面兩個(gè)級數(shù)代入得到（補(bǔ)充）一階線性方程的參數(shù)變易法： 滿足初值條件 的解存在且唯一，第2-4節(jié) 非齊次方程的求解問題 原定解問題的解： 第2

15、-5節(jié) 非齊次邊界條件的處理 當(dāng)邊界條件是非齊次的時(shí)候，我們就無法分離出常微分方程的邊值問題，無法求出問題的固有函數(shù)。處理這類問題的基本原則是：不論方程是齊次的還是非齊次的，選取一個(gè)輔助函數(shù) ，通過函數(shù)之間的代換 ，使得對于新的未知函數(shù) 而言，邊界條件是齊次的。 第2-5節(jié) 非齊次邊界條件的處理考察如下形式的定解問題：令 第2-5節(jié) 非齊次邊界條件的處理求得 第2-5節(jié) 非齊次邊界條件的處理若邊界條件不是第一類的，要把邊界條件化成為齊次的，可以采用類似的方法。就下列幾種非齊次邊界條件的情況，分別給出相應(yīng)的 的一種表達(dá)式。（1）（2）（3）2-6 固有值與固有函數(shù)對一維波動(dòng)方程和一維熱傳導(dǎo)方程的定解問題而言：當(dāng)泛定方程與邊界條件均為齊次時(shí)，不管初始條件如何，可直接應(yīng)用分離變量法求解；當(dāng)邊界條件為齊次，泛定方程與初始條件為非齊次時(shí)，原定解問題可以分解成兩個(gè)：其一是泛定方程為齊次的并具有原定解條件的定解問題，這個(gè)問題可以用分離變量法求解；其二是方程為非齊次的并具有齊次定解條件的定解問題，該問題用固有函數(shù)法求解；當(dāng)邊界條件為非齊次時(shí)，則必須引進(jìn)輔助函數(shù)把邊界條件化為齊次的，然后再應(yīng)用上述方法求解。2-6 固有值與固有函數(shù)對于二維的拉普拉斯方程的邊值問題而言，應(yīng)根據(jù)求解區(qū)域的形狀