近世代數(shù)課后習(xí)題詳細(xì)答案(張禾瑞)5

1、 / 7近世代數(shù)課后習(xí)題參考答案第五章擴(kuò)域1擴(kuò)域、素域1.證明：F(S)的一切添加S的有限子集于F所得的子域的并集是一個(gè)域.證一切添加S的有限子集于F所得的子域的并集為 Z1)若 a,b-Z則一定有 aw Fl%,也，o(n)bw F(Pi,P2,Pm)易 知 abw F3i,”%，冏且,，Pm但Fa,%,看下1朋,，Bm)u從而baZ2)若 a,bw ,且 b=0則 bw F(P1,P2,，Pm)從而有 abd - F(：-i,： 2； ： n, -1, -2, , -m)、2單擴(kuò)域.令E是域F的一個(gè)擴(kuò)域，而 awF證明a是F上的一個(gè)代數(shù)元，并且F(a) =F證 因aa=0故a是F上的代數(shù)元

2、.其次，因aw F ,故F (a) u F 易見 F (a) n F ,從而 F (a) = F. 一2i . 1 , .令F是有理數(shù)域.復(fù)數(shù)i和2一1在F上的極小多項(xiàng)式各是什么?2i 1i -F(i)與F()是否同構(gòu)？i -1證易知復(fù)數(shù)i在F上的極小多項(xiàng)式為1,在F上的極小多項(xiàng)式為 x2 - x + 5巾2i 1、 一、. 2 ,因F(i) =F() 故這兩個(gè)域是同構(gòu)的.i -12i 1i -1.詳細(xì)證明，定理3中 a在域F上的極小多項(xiàng)式是 p(x)證 令熊是F(x)中的所有適合條件 f (a) =0的多項(xiàng)式作成f(x)的集 合.1)四是F(x)的一個(gè)理想(i )若 f(x),g(x)w爪則

3、 f(a)=0,g(a)=0因而 f (a) g(a) =0 故 f(x) g(x)三方ii)若f(x)E叫h(x)是F(x)的任一元那么 h(a)f(a) = 0 則 h(x)f (x) W 熊2)是一個(gè)主理想設(shè) R (x)是求中a !的極小多項(xiàng)式那么，對(duì)方中任一 f (x)有f (x)= Pi(x)q(x) r(x)這里r(x) =0或r(x)的次數(shù)但 f(a) = pi(a)q(a) R(x)因 f (a) =0, pi(a) =0 所以 r(a)=0若 r(x) #0 則與p1x是a的極小多項(xiàng)式矛盾.故有 f(x) = p1(x)q(x)因而由=(p1(x)(3 )因 p(a)=0 故

4、 p(x) w 次P(x)| p(x)因二者均不可約，所以有 p(x) = ap(x)又p(x), pi(x)的最高系數(shù)皆為1那么a =1這樣就是p(x) = P (x).證明：定理3中的 F(a) = K證 設(shè)f w K,則在定理3的證明中， K =K之下有. nn -1fan x - anx +a但 aT x, aai 故必 f = an5 + an4+ a。 這就是說k a F (a) 因而F (a) = K3代數(shù)擴(kuò)域1 .令E是域F的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域，而 a是E上的一個(gè)代數(shù)元，證明a是E上的一個(gè)代數(shù)元證因?yàn)閍是F上的代數(shù)元所以 e0 , e 一en：-n又因?yàn)镋是f的代數(shù)擴(kuò)域，從而F(e0

5、,； en)是F的代數(shù)擴(kuò)域，再有a是F(e0，e，4)上的代數(shù)元，故F(e0,en)(a)F(q,e,，en )的有限擴(kuò)域，由本節(jié)定理1 ,知F(e0,e, ,：)是F的有限擴(kuò)域，因而是F的代數(shù)擴(kuò)域，從而a是F上的一個(gè)代數(shù)元.令F ,E和L是三個(gè)域，并且 F u lu E ,假定(I : F ) = m而E的元口在F上的次數(shù)是n,并且(m,n)=1證明a在I上的次數(shù)也是1證設(shè)(I (a): I =r因?yàn)?I (二.)_： I _： F由本節(jié)定理1(I(a)： F)=rm另一方面，因?yàn)?FQ) :F)(I (口)：F仍由本節(jié)定理！ ！即有nrm但由題設(shè)知(m,n)=1 故nr又ot在I上的次數(shù)是

6、r,因而其在I上的極小多項(xiàng)式的次數(shù)是1a在I上的次數(shù)是n ,因而其在F上的極小多項(xiàng)式的次數(shù)是 n由于a在上的極小多項(xiàng)式能整除 口在F上的極小多項(xiàng)式所以r n因而r = n.令域！的特征不是2 ,E是F的擴(kuò)域，并且(E： F) =4證明存在一個(gè)?t足條件F u I u E的E的二次擴(kuò)域 F的充分與必要條是：(E:F)=4,而a在F上的極小多項(xiàng)式是x4 + ax2 + b證充分性：由于在F上的極小多項(xiàng)式為 x4 +ax2 +b故a2 正 F 及a F232)因而(F(a2)：F)#1由本節(jié)定理1知：所以(F(a2)：F)=2這就是說，F(xiàn)(a)是一個(gè)滿足條件的的二次擴(kuò)域必要性：由于存在I滿足條件F

7、u I u E且為F的二次擴(kuò)域即(1: F) =2因此可得(E :1) =2我們?nèi)菀鬃C明，當(dāng) F的特征不是2時(shí)，且則而！在！上的極小多項(xiàng)式是！同樣 E = I (a)而B在x2 - f上的極小多項(xiàng)式是這樣 =f , f F , 2 二i,i I那么 i2 = f12 2f f22 -所以二4 =i2二 f12 2f1f2f”= 2 f12 2 f 心 f222令 a = 一2 f1 b = f12 一 f22 f同時(shí)可知a, b均屬于F二口 4 + act2 + b = 0由此容易得到E=F(a04.令E是域F的一個(gè)有限擴(kuò)域，那么總存在E的有限個(gè)元 四產(chǎn)2,使E =F3i02，證 因?yàn)镋是F的

8、一個(gè)有限擴(kuò)域，那么把E看成F上是向量空間時(shí)，則有一個(gè)基 %,0(2，0fn顯然這時(shí)E = F(：2；1 m)5.令F是有理數(shù)秒、看添加復(fù)數(shù)于F所得域”Ei =F(23,2i)E2 = F(23,23wi)證明(F(23) =2,(Ei： F) =6證 易知！在！上的極小多項(xiàng)式是！ 2即(F(23) :F -3 122同樣23上呼極小多項(xiàng)式是 x4 -23x2 +2 *2即(E2；F(23) =4由此可得(Ei :F) =6,舊：F) =124多項(xiàng)式的分裂域F(a) TOC o 1-5 h z .證明：有理數(shù)域 F上多項(xiàng)式x4 +1的分裂域是一個(gè)單擴(kuò)域 其中a是x4 +1的一個(gè)根 、一4證 x

9、+1的4個(gè)根為2 i 22 i、22 i、2a0 二, a1 二 一 ,a2 二一22222222又 a1 = a；a2 = -a4,a3 = -a所以 F(a,a1,a2,a3) = F(a).令F是有理數(shù)域，x3 - a是F上一個(gè)不可約多項(xiàng)式，而 a是x3 - a的一個(gè)根，證明 F(a)不是x3-a在F上的分裂域.證 由于a是x3 - a的一個(gè)根，則另外兩個(gè)根是a巴a82,這里z , 1是x2 + x +1的根若F (a)是x3 a的在H上的分裂域那么 aaa w F(a)這樣，就是 F u F(8)u F(a)由3。3定理！有但 (F(；):F)|(F(a)F)此為不可能.令pi(x),

10、 P2 (x)，pm(x)是域F上m個(gè)最高系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式， 證明存在F的一個(gè)有限擴(kuò)域F(a,a2，am),其中a在F上的極小多 項(xiàng)式是pi (x)證 令f (x)= r (x), P2 (x)，Pm(x)由本節(jié)定理2 f (a)在F上的分 裂域E存在，根據(jù)4.3定理3 ,知E是F上的有限擴(kuò)域，取pi(x)的根ai則有F F, a?, am) E因 E 是F的有限擴(kuò)域，故F(a,a2,am也是F的有限擴(kuò)域，顯然 Pi(x) !是ai在F上的極小多項(xiàng)式.令p是一個(gè)特征為素?cái)?shù) p的域，F(xiàn) = p(a)是P的一個(gè)單擴(kuò)域，而a是px的多項(xiàng)式xpa的一個(gè)根，p(a)是不是xpa在F上的分裂域？證因

11、值是xpa的根故 apa=0 即 a=ap由于P的特征為素?cái)?shù)！所以 xp -a =xp因此p(豆)是xpa在P上的分裂域5有限域.令F是一個(gè)含pn個(gè)元的有限域，證明，對(duì)于 n是每一個(gè) 因數(shù)m：0 ,存在并且只存在 F的一個(gè)有pm個(gè)元的子域L證 因?yàn)閙是n的因數(shù)，所以(pn 1) = (pm 1)mn那么xp -1是xp x的因式，mm但xp -x在F中完全分裂，所以xp -x在F中也完全分裂，那么F m中含有xp -x的pm個(gè)根，由這pm個(gè)根作成F 一個(gè)子域L .m又因?yàn)閤p -x在F中的分裂域只有一個(gè)，所以 F中有pm個(gè)元的子L 只有一個(gè). 一個(gè)有限域一定有比它大的代數(shù)擴(kuò)域.證設(shè)F是有q個(gè)元

12、的有限域.看 F 上白f f (x) =xq - x +1因?yàn)閷?duì)F的任一元a, f (a) =1因此，f(x)在F上沒有一次因式.這樣，f(x)在F上有一個(gè)一次數(shù)：1的不可約因式p(x).作p(x)分裂域E則EnF 而E#F且E是F的代數(shù)擴(kuò)域.令F是一個(gè)有限域，是它所含素域，且 a是否必須F是的非零元所作成的乘群的一個(gè)生成元？證我們的回答是未必.令是3元素域 f(x)=x9-x在上的分裂域?yàn)镕,若令f(x)的因 式！的根為i ,則 F 由 0,1,1,i,1 +i,1 +i,1 i,所組成，i4 =1 !故i不是F非零元所作成的乘群的生成元.但 F =A(x)。.令是特征為2的素域.A(x)!

13、找出的一切三次不可約多項(xiàng)式.證容易證明32.3 一4 一.x +x +1及x + x+1是&(x)的一切三次不可約多項(xiàng)式.6可離擴(kuò)域.令域F的特征是p, f(x)是F上一個(gè)不可約多項(xiàng)式，并且 f (x)可以寫 ee 11成Fxp，但不能寫成xp的多項(xiàng)式(e之1),證明，f(x)的每一個(gè)根的重復(fù) 度都是pee 1證 由于f(x)可以寫成F上xp的多項(xiàng)式，而不是xp的多項(xiàng)式， e我們以f(x) = g(xp ) =g(y)表示因?yàn)?f(x)在F上不可約，所以g(y)也不可約. TOC o 1-5 h z 假定g(y)的次數(shù)是m ,首系數(shù)是1,在它的分裂域中，分裂為 1次因 -m-式y(tǒng) - R 的乘

14、積，即g(y)=n(y - B) m ei 1因此 f(x) -Ji.I (xp - -) i 1 ee若是xp -p的根，則 ap =Peepe那么 xp=xp -二：=(x-)p所以f (x)有m個(gè)互異個(gè)根 石,c(m,并且它們都是 pe重根.設(shè)域F沒有不可離擴(kuò)域，證明 F的任一代數(shù)擴(kuò)域 都沒有不可離擴(kuò)域.證 設(shè)E是F的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域， 口是E的一個(gè)不可離元， 那么口便是E上一個(gè)有重根是不可約多項(xiàng)式 p(x)的根.根據(jù)題設(shè)s是F上是可離元，令p1(x)是起極小多項(xiàng)式，則Pi(x)無重根.那么 p(x)d(x),因pi(x)無重根，故p(x)亦無重根， 這與口是E的不可離元的假設(shè)矛盾.令域F的特征是p而E = F(ct,P),這里a是 F上次可離元而P 是F上P次非可離元，(E : F) =?證 由本節(jié)引理4 , P是F上的非可離元，否則可以推出 P是F上的可離元，這與 P是F上非可離元矛盾，由于P是F上P次非可離元，由本節(jié)引理1 ,!在p在F上的極小多項(xiàng)式是f (x) = xp -a我們易知p是使P p在F上為可離元的最小正整數(shù)，那么P !在F(a)上也-一定是 p次非可離元.這樣 f (x) =xp -aF(- , -)：F(a) 故有(F(