2.2 有理數(shù)和無(wú)理數(shù)1

1、有理數(shù)和無(wú)理數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)一.、教學(xué)內(nèi)容解析 本節(jié)課是蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)（上）第二章有理數(shù)第二節(jié)“有理數(shù)和無(wú)理數(shù)”的內(nèi)容。新修訂的蘇科版教材把無(wú)理數(shù)的概念放到前面有理數(shù)部分，主要的目的是使有關(guān)數(shù)的知識(shí)比較完整地呈現(xiàn)為后續(xù)教學(xué)提供了方便。本節(jié)課先讓學(xué)生感受無(wú)理數(shù)產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)背景和引入的必要性，然后讓學(xué)生經(jīng)歷無(wú)理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，感知生活中確實(shí)存在不同于有理數(shù)的數(shù)，從而激發(fā)了探求的欲望，最后歸納得到有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義，并能清晰地判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1通過(guò)拼圖活動(dòng)，讓學(xué)生知道認(rèn)識(shí)到無(wú)理數(shù)的客觀存在性，感受無(wú)理數(shù)產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)背景和引入的必要性。2理解有理數(shù)的意義，了解無(wú)理

2、數(shù)的概念，會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)。3在探索中感受數(shù)學(xué)的逼近思想，體會(huì)“數(shù)”的奧妙無(wú)窮，發(fā)展“數(shù)”感。（二）能力訓(xùn)練要求1讓學(xué)生親自動(dòng)手做拼圖活動(dòng)，感受無(wú)理數(shù)存在的現(xiàn)實(shí)性和合理性，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和合作精神。2通過(guò)回顧有理數(shù)的有關(guān)知識(shí)，能正確地進(jìn)行推理和判斷，識(shí)別給定的數(shù)是否為有理數(shù)，訓(xùn)練他們的思維判斷能力。3感受逼近思想，估算無(wú)理數(shù)的大小，從而培養(yǎng)邏輯思維和探究能力，充分感知無(wú)理數(shù)的“無(wú)限”性。（三）情感與價(jià)值觀要求1激勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。2引導(dǎo)學(xué)生充分進(jìn)行交流，討論與探索等教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)他們的合作與鉆研精神。3經(jīng)歷無(wú)理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)

3、他們樂(lè)于求知的意識(shí)和敢于思維的勇氣，提高表達(dá)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力。3學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生在小學(xué)階段對(duì)“數(shù)”有了初步的認(rèn)識(shí)，主要是自然數(shù)、分?jǐn)?shù)或小數(shù)等。進(jìn)入初中，接觸到了負(fù)數(shù)，學(xué)生所認(rèn)識(shí)的“數(shù)”有了進(jìn)一步的擴(kuò)充，同時(shí)也知道了整數(shù)和分?jǐn)?shù)的分類。但學(xué)生在學(xué)習(xí)“無(wú)理數(shù)”概念時(shí)可能會(huì)存在困難或疑惑，為此，教學(xué)中設(shè)計(jì)了操作活動(dòng)把兩個(gè)面積為1的正方形剪拼成面積為2的大正方形，再提出“這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)是什么數(shù)”的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生探索，這樣既能使學(xué)生確認(rèn)這個(gè)（無(wú)理）數(shù)的存在，又能順理成章地導(dǎo)出無(wú)理數(shù)的概念。4教學(xué)策略分析教學(xué)方法：主要采用教師引導(dǎo)，學(xué)生思考、探究、交流的教學(xué)方式，注重學(xué)生主動(dòng)參與獲取知識(shí)的過(guò)程，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)

4、生學(xué)習(xí)的積極性，實(shí)踐“在做中學(xué)”的數(shù)學(xué)教學(xué)理念。 學(xué)法指導(dǎo)：創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，通過(guò)分析、類比、歸納、討論、交流等形式解決問(wèn)題，自然生成概念，形成認(rèn)知。5教學(xué)過(guò)程.你能把下面的分?jǐn)?shù)化成小數(shù)嗎？ =0.8、=0.6666 （）我們看到分?jǐn)?shù)可以化成小數(shù)（可能是有限小數(shù)，也可能是無(wú)限循環(huán)小數(shù)）；反過(guò)來(lái)，有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，都可以化成分?jǐn)?shù).創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課：師隨著年齡的增長(zhǎng)、學(xué)習(xí)的深入，我們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)也在不斷地更新，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，到目前為止，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了哪些數(shù)？同時(shí)舉一些例子說(shuō)明生學(xué)生可能說(shuō)出的數(shù)：自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)、小數(shù)、有

5、限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)、無(wú)限不循環(huán)小數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))、合數(shù)、正數(shù)(2,、是不是正數(shù)？)負(fù)數(shù)（大膽地讓學(xué)生說(shuō)，一個(gè)學(xué)生講完，其他學(xué)生補(bǔ)充，教師在黑板上記錄）師我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了這么多數(shù)，那么這些數(shù)與數(shù)之間有什么關(guān)系，讓我們來(lái)整理一下？比如：整數(shù)（板書），你能把屬于整數(shù)的都找出來(lái)嗎？生正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、0、自然數(shù)、素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）、合數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)（在開始記錄的數(shù)的上方編號(hào)）師同樣，分?jǐn)?shù)（板書），你能把屬于分?jǐn)?shù)的都找出來(lái)嗎？生正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)、有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)（在開始記錄的數(shù)的上方編號(hào)）師剩下還有一些數(shù)，它們是整數(shù)嗎？是分?jǐn)?shù)嗎？ 如果說(shuō)到“正數(shù)、負(fù)數(shù)”：那么它們與整數(shù)是什么關(guān)系？正數(shù)中

6、有一部分?jǐn)?shù)是整數(shù)，就是正整數(shù)，負(fù)數(shù)中有一部分?jǐn)?shù)是整數(shù)，就是負(fù)整數(shù)，還有什么整數(shù)？0同樣解釋正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)如果學(xué)生說(shuō)到“小數(shù)”：首先小數(shù)有哪些小數(shù)？有限小數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)；無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)（用開始的例子）還有沒(méi)有其它的小數(shù)呢？（學(xué)生舉例：或0.3142537）它是整數(shù)嗎？是分?jǐn)?shù)嗎？誰(shuí)知道是多少？3.1415926（追問(wèn)：后面呢？接著講）課件展示，借助電腦計(jì)算得到這樣一個(gè)結(jié)果，但是還沒(méi)有寫完，其實(shí)也寫不完，所以最后用了省略號(hào)。請(qǐng)同學(xué)們觀察，它是怎樣的一個(gè)小數(shù)？無(wú)限（說(shuō)不出，提示省略號(hào)是什么含義）是一個(gè)循環(huán)小數(shù)嗎？不循環(huán)事實(shí)上是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)這樣的數(shù)生活中還有嗎？（停頓）同學(xué)們想知道嗎？我

7、們來(lái)玩一個(gè)拼圖游戲.講授新課活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形和剪刀，將小正方形沿著圖中對(duì)角線剪開，設(shè)法重新拼成一個(gè)大正方形，大家動(dòng)手試一試師經(jīng)過(guò)同學(xué)們的努力，基本都完成任務(wù)了，請(qǐng)兩位學(xué)生把自己拼的圖在黑板上展示師你們知道這個(gè)大正方形的面積是多少嗎? 為什么?生它的面積為2，因?yàn)樗怯蓛蓚€(gè)面積為1的小正方形拼成的師知道了這個(gè)圖形的面積是2，那么你還想知道什么信息呢?生邊長(zhǎng)師你能不能求出邊長(zhǎng)? 為了便于探究這個(gè)問(wèn)題，我們假設(shè)拼成的大正方形的邊長(zhǎng)為x，可以得到怎樣的關(guān)系式？.探究（1）： x是整數(shù)嗎?生因?yàn)?21，224 ， x是1和2之間的數(shù)，1x2，所以x不可能是整數(shù)？（2）x是

8、分?jǐn)?shù)嗎?通過(guò)EXCEL，讓學(xué)生尋找是否有這樣的一個(gè)分?jǐn)?shù)，它的平方正好是2？換個(gè)角度：剛才是分?jǐn)?shù)，我們換成小數(shù)，哪個(gè)小數(shù)的平方是2呢？（3）x是怎樣的數(shù)？1.51.52.25 1.411.411.98811.41.41.96 1.421.422.01641.4x1.5 1.41x1.42 1.414x1.415 探索中，運(yùn)用逼近的方法，得到1.4a1.5，1.41a1.42，1.414a1.415，由此可以看到：a是一個(gè)無(wú)限小數(shù)，它總介于兩個(gè)有限小數(shù)值之間，但永遠(yuǎn)找不到這樣的一個(gè)有限小數(shù)等于a；同時(shí)，這些小數(shù)都不是循環(huán)小數(shù)按照這種方法探索下去，x的值是1.41421356237309504880

9、16887242096980785696718753769480731766797379907324784621師你們發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)和有什么共同點(diǎn)嗎？生無(wú)限、不循環(huán)3引出有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的定義我們把這一類新的數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，叫做無(wú)理數(shù)而前面我們認(rèn)識(shí)的整數(shù)和分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)如果把整數(shù)看成是分母為1的分?jǐn)?shù)，那么有理數(shù)可以這樣來(lái)描述：形如的數(shù)（m、n是整數(shù)，n0）所以分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)，有理數(shù)一定可以用分?jǐn)?shù)表示，隨著今后學(xué)習(xí)的不斷深入，我們會(huì)知道無(wú)理數(shù)是不可以用分?jǐn)?shù)表示，以后可以證明4學(xué)習(xí)了有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩個(gè)概念后，下面我寫幾個(gè)數(shù)，你們來(lái)判斷一下，它是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)?3、0.1010010001、0.10

10、10010001你能不能再寫一個(gè)無(wú)理數(shù)嗎？.關(guān)于無(wú)理數(shù)的歷史背景第一個(gè)發(fā)現(xiàn)這樣的數(shù)的人卻被拋進(jìn)大海，你想知道這其中的故事嗎？小故事：2500年前，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為“宇宙中存在的數(shù)都是有理數(shù)”， 擁護(hù)他的人認(rèn)為畢達(dá)哥拉斯是至高無(wú)尚的，他所說(shuō)的一切都是真理但后來(lái)有一位年輕學(xué)者希伯索斯發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)不能用有理數(shù)來(lái)表示，這個(gè)發(fā)現(xiàn)動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，為此希伯索斯被投入大海。他為真理而獻(xiàn)出了寶貴的生命，但真理是不可戰(zhàn)勝的，后來(lái)人們正視了希伯索斯的發(fā)現(xiàn)，也就是我們前面談到的中的x不是有理數(shù) 我們現(xiàn)在所學(xué)的知識(shí)都是前人給我們總結(jié)出來(lái)的，一方面我們應(yīng)該珍惜這些寶貴的知識(shí)，另一方面我們也要學(xué)會(huì)大膽質(zhì)疑，要向希伯索斯學(xué)習(xí).隨堂練習(xí)例題：把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)0.5， 6，2.5，0，3， 0.333 ，1.41421356，2005，3.141，85%，0.3030030003，有理數(shù)集合：0.5， 6，2.5，0，3， 0.333 ，2005，3.141，85%， 無(wú)理數(shù)集合： 1.41421356，0.3030030003， 討論：對(duì)于“分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)”，有同學(xué)提出了疑問(wèn)： 1甲同學(xué)認(rèn)為不一定，如計(jì)算器計(jì)算顯示的結(jié)果是3.142857143，好像是無(wú)限不循環(huán)