《常微分復(fù)習(xí)資料》word版

1、第二章 復(fù)習(xí)參考題求下列方程的通解1. 2. 3. 4. 5. 解答:1. 解： 得到 即 另外也是方程的解。2. 解：令,則即, 得到 故, 即 另外也是方程的解。3. 解：原方程可改寫為: 令 ,則 即故方程的解為 4. 解： 令，則 ，那么即兩邊積分得即為方程的解。5. 解 令，則由方程得 。 兩邊對求導(dǎo)得 即 。 解得 這里 是任意常數(shù)。 因此，方程的通解表成參數(shù)形式：第二章 復(fù)習(xí)思考題及答案求解齊次方程 解: 令 ，得變量分離方程 ，通解為 ，；還有特解 , 它不包括在通解內(nèi)，而是對應(yīng)于 的解順帶指出，由于積分曲線 上每一點都與通解中的一條積分曲線相切，我們可以將所得的解連續(xù)可微地“

2、拼接”成定義域在 上另兩類解族：(1) ，當(dāng) 時；，當(dāng) 時(2) ，當(dāng) 時；，當(dāng) 時類似地可以連續(xù)可微地“拼接”成定義域在 上的兩類解族（留作練習(xí)）由此可見，在特解 的積分曲線上每一點有方程的不止一條積分曲線與之相切具有這種性質(zhì)的特解稱為奇解 (singular solution)2試用極坐標(biāo)變換 ，求解線性分式方程：（寫成定積分形式的解即可）答案：，其中3試導(dǎo)出伯努利方程的通解公式答案： .4. 試討論用取 求解全微分方程的方法. 并用 方程加以驗證. 解答：設(shè) ，其中 為一個待定的 x 的可微函數(shù)(它也可認(rèn)為是對等式 的兩邊, 把 x 看成參數(shù), 對 y 進行積分而得). 為求 , 對上式

3、關(guān)于 x 求導(dǎo)，并利用 得,從而.上式右端實際上與 y 無關(guān), 將其關(guān)于 x 積分一次即得 .對方程.設(shè)通解為，, 取 , 得, 從而得方程的積分: .5求線性方程和伯努利方程的積分因子.解答：將線性方程寫成,則有僅與 t 有關(guān)的積分因子 將伯努利方程寫成,則有積分因子6為什么可以說積分因子法是變量分離法的推廣？解答：因為將變量分離方程 寫成 , 它有積分因子 .7積分因子是否唯一？解答：不是。例如，考慮方程，顯然它不是全微分方程。但是，因為 所以，都是此方程的積分因子。一般地，設(shè)是方程的一個積分因子，于是存在二元函數(shù)，有?，F(xiàn)對于的任一連續(xù)函數(shù)，由于其中是的一個原函數(shù)，可見也是方程的積分因子，

4、因而方程有無窮多個積分因子。例1 求解方程 。 解 這里方程不是恰當(dāng)方程。 將方程改寫為 ，則左端有積分因子或 ，但考慮到右端只與 有關(guān)，故取為方程的積分因子，由此得到 ,因此,通解為即 這里是任意常數(shù)。 此外， 易見也是原方程的解。 2. 若方程能就（或）解出或，則令后，把問題化為求解關(guān)于與（或）之間的一階方程： (.3)或 (.10) 若按2.12.3介紹的方法求得方程(.3)或(2.4.1.10)的通解為 或 則它與 或 一起構(gòu)成原方程的通解的參數(shù)形式為 或 。 例2 求方程的解。 解 令，則 (.4) 解出 得兩端對求導(dǎo)數(shù)并以 代替 ，得到 即或。由 解得 這里是任意常數(shù)。因此，原方程

5、的通解為 這里為任意常數(shù)。 由 直接推得 也是方程的解。 3. 若方程不能就 ， 或解出，對于形如 或的方程，可按介紹介紹的方法處理：引入?yún)?shù),將方程表示為參數(shù)形式，再注意到關(guān)系式，就將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于（或）與的一階方程，且其導(dǎo)數(shù)（或）已表示為的已知函數(shù)，最后的工作就是求積分問題。 例3 求解方程（這里）。 解 令，則由方程得 。于是 , 積分之，得到這里 是任意常數(shù)。 因此，方程的通解表成參數(shù)形式： 。 例4 求解方程（這里） 。 解 令，則由方程得 。 兩邊對求導(dǎo)得 即 。 解得 這里 是任意常數(shù)。 因此，方程的通解表成參數(shù)形式： 。 所有上列情形都?xì)w結(jié)到形如 或 的方程的求解問題。在2

6、.12.3里，我們主要介紹了五種類型的方程（變量分離方程，齊次方程，線性方程，伯努利方程及恰當(dāng)方程）的初等解法。實際上作為基礎(chǔ)的不外是變量分離方程和恰當(dāng)方程，其他類型的方程均可借助變量變換或積分因子化為這兩種類型的方程，這可簡略地表示如下圖。 判斷題型的順序為了熟練掌握初等積分法，不僅要掌握每種可積類型方程的解法，而且還要正確而又敏捷地判斷一個給定方程屬于何種可積類型。在判斷題型時，經(jīng)驗告訴我們，可以按如下順序判斷，即： 階顯次 即 線性方程 伯努利方程 顯式方程 齊次方程 一階方程 非線性方程 變量可分離方程 階 隱式方程 全微分方程 高階方程 （積分因子） 判斷順序，由左向右，通常積分因子

7、在最后加以考慮。熟悉各種類型方程的解法，正確而又敏捷地判斷一個給定的方程屬于何種類型，從而按照所介紹的方法進行求解，這自然是最基本的要求，但僅僅能做到這一點還不夠，因為我們所遇到的方程未必都恰好是所介紹的那幾種方程類型，因此還要求注意學(xué)習(xí)解題的技巧，從中總結(jié)經(jīng)驗，培養(yǎng)自己的機智和靈活性；還有一點也很重要，就是要善于根據(jù)方程的特點，引進適宜的變換,將方程化為能求解的新類型，從而求解。 例5 求方程的解。 解 方程可變?yōu)?。這是一個線性方程。所以 這里 是任意常數(shù)。 例6 求方程的解。 解 這是 的伯努利方程。故可令 則 代入原方程得 這是一個線性方程。解得 從而 這里 是任意常數(shù)。 此外，易見也

8、是原方程的解。 最后，我們要強調(diào)指出：能有初等解法的微分方程是很有限的，例如形式很簡單的黎卡提（Riccati）方程： 一般就沒有初等解法（當(dāng)然，若我們有辦法找到方程的一個特解，則經(jīng)變換后，方程就變?yōu)椴匠?，因而可解）。這一事實為法國數(shù)學(xué)家劉維爾（Liouvile）在1841年所證明，這就迫使人們放棄將主要注意力放在尋求各種微分方程的通解的原有想法，微分方程研究的主要目標(biāo)和主要方法從此逐漸開始轉(zhuǎn)移。 一、填空題1方程的所有常數(shù)解是（ ）.2若y=y1(x)，y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個不同解，則用這兩個解可把其通解表示為（ ）.3.若方程M(x, y)dx + N(x, y)d

9、y= 0是全微分方程，同它的通積分是（ ）.4.設(shè)M(x0, y0)是可微曲線y= y(x)上的任意一點，過該點的切線在x軸和y軸上的截距分別是（ ）.5. 當(dāng)（ ）時，方程稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程，其原函數(shù)為（ ）.二、單選題1方程是（ ）.(A)可分離變量方程 （B）線性方程(C)全微分方程 （D）貝努利方程2方程，過點（0，0）有（ ）.(A) 一個解 （B）兩個解 (C) 無數(shù)個解 （D）三個解3方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常數(shù)解是（ ）.(A)y=1, x=1, (B) y=1(C) x=1 (D) y=1, x=14若函數(shù)y(x)滿足方程，且在x=1時，y=

10、1, 則在x = e時y=( ).(A) (B) (C)2 (D) e參考答案 一、填空題 1 23 45. , , 或； 二、單選題 1B 2C 3A 4B 第三章第三章選做作業(yè)一、填空題若在(-，+)上連續(xù)，則方程的任一非零解( )與x軸相交.方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是（ ）連續(xù)是保證方程初值解唯一的( )條件.方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是 5.方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是 6.方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是 7.李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的 條件8.方程的奇解是 二、單選題1.方程過點(0，0)的解為，此解的存在區(qū)間是( ).（A

11、）（，） （B）（C）（，0） （D）0，2.方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是( ).(A)全平面； (B)y0的上半平面；(C)y0的下半平面； (D)除去x軸的全平面.3.方程是否存在奇解( ).(A)無奇解； (B)有奇解；(C)不一定； (D)可能有奇解.4.函數(shù)對是否滿足李普希茲條件( ).(A)不滿足； (B)滿足.(C)可能滿足； (D)可能不滿足5.如果，都在平面上連續(xù)，那么方程的任一解的存在區(qū)間（ ） （A）將因解而定 （B）必為 （C）必為 （D）必為參考答案： 一、填空題 1.不能 2.滿足的平面區(qū)域3.充分 4.，（或不含x 軸的上半平面）5.平面 6.平面 7.

12、 充分 8. 二、單選題 1B 2D 3A 4B 5A填空題第7小題解答我們可舉反例,如:方程 (1) 的右端在包含的任何區(qū)域不滿足利普希茨條件，當(dāng)然在也不存在微商，但是(1)有通解(2) 及特解（對應(yīng)于）。 對于的任何有限值，曲線(2)都不與相遇。因此，對軸上的點，仍只有唯一的積分線經(jīng)過此點。由此可見，利普希茨條件并非唯一性的必要條件。第三章 典型例題分析例1 判斷下列方程在什么樣的區(qū)域上保證初值解存在且唯一？（1） （2）（3） （4）解:（1） 方程在平面上初值解存在且唯一（2） 方程在平面上初值解存在且唯一（3） 方程在的平面上初值解存在且唯一（4）， 方程在的平面上初值解存在且唯一例

13、2(P83,12-15行結(jié)論證明) 設(shè)在整個平面上連續(xù)有界，對y有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明：方程的任一解在區(qū)間上有定義.(記)證明:任取平面上一點，記過該點的解為，它滿足下面的積分方程下面用反證法證右行解存在區(qū)間為.假如該解的存在區(qū)間不是，那么存在，使得只能在上存在，于是有即在上有界，從而，又由已知條件在全平面上連續(xù)，可知任一解都可延拓到平面的無窮遠(yuǎn),因此假設(shè)不成立.故解的存在區(qū)間是.同理可證左行解存在區(qū)間為，這樣就證明了該方程任一解的存在區(qū)間是（-，）.例3 假設(shè)方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理條件，且，是定義在區(qū)間I上的兩個解求證：若，則在區(qū)間I上必有 （=不可能出現(xiàn)，否則與解惟一矛盾）令=

14、-，那么 =- 0 由連續(xù)函數(shù)介值定理，存在，使得 =-= 0 即 =例4這與解惟一矛盾故若，則在區(qū)間I上必有 成立例5 第四章 選做作業(yè)一.填空題1若和是二階線性齊方程的基本解組，則它們( )有共同零點.2二階線性齊微分方程的兩個解,成為其基本解組的充要條件是( ).3在方程y+ p(x)y+q(x)y = 0中，p(x), q(x)在(-,+)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy平面上( )與x軸橫截相交.4n階線性齊微分方程的所有解構(gòu)成一個( )維線性空間.5線性齊次方程 ,xI的n個解x1(t),x2(t),.xn(t)是基本解組的充要條件為（ ）。二、單選題1在方程y+p(x)y+q(x

15、)y=0中，若p(x),q(x)在(-,+)上連續(xù)，則它的非零解在xOy平面上( )與x軸相切.(A)可以； (B)不可以；(C)也許可以； (D)也許不可以. 2函數(shù),在區(qū)間a,b上的伏朗斯基行列式恒為零，是它們在a, b上線性相關(guān)的( ).(A)充分條件； (B)必要條件；(C)充分必要條件； (D)充分非必要條件. 3n階線性非齊微分方程的所有解是否構(gòu)成一個線性空間?( )(A)是； (B)不是；(C)也許是； (D)也許不是. 4方程y+xy+ x2ysinx的所有解的最大存在區(qū)間一定是( ).（A）(-,+); （B）(-,0);（C）(0,+); （D）參考答案 一.填空題1. 不

16、能 2. 線性無關(guān) 3. 可以 4. n5有t0I使w(t0)0 二、單選題 1B 2B 3B 4A一、（3）解答：在方程中，已知，在上連續(xù)求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切證明:由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理條件，且任一解的存在區(qū)間都是 顯然，該方程有零解 假設(shè)該方程的任一非零解在x軸上某點處與x軸相切，即有= 0，那么由解的惟一性及該方程有零解可知，這是因為零解也滿足初值條件= 0，于是由解的惟一性，有 這與是非零解矛盾習(xí)題選講1.設(shè)是n階齊線性微分方程的任意個解,它們所構(gòu)成的伏朗斯基行列式記為.試證明滿足一階線性方程,因而有 證明:因為 將此行列式的第一

17、行到第n-1行分別乘以加到第n行，并由是n階齊線性微分方程的任意個解,即有：。解此方程有： （過程略） 單項選擇題微分方程的階數(shù)是 ( ）A 3 B 4 C 5 D 2的通解是 ( )A B C D 方程的通解為 ( )A B C D 方程的通解是 ( )A B C D用待定系數(shù)法求的特解時，應(yīng)設(shè)特解具有形式 ( )A B C D 答案1.D 2.C 3.C 4.C 5.B二、典型例題分析例1 填空題（1）階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個數(shù)最多為 個 答案：n（2）方程的基本解組是 答案：，（3）方程的基本解組是 答案：（4）方程的基本解組是 答案：（5）若是二階線性齊次微分方程的基本解組，則

18、它們 共同零點答案：沒有（6）階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個 維線性空間答案：n（7）函數(shù)組在區(qū)間I上線性無關(guān)的 條件是它們的朗斯基行列式在區(qū)間I上不恒等于零答案：充分 （8）若函數(shù)組在區(qū)間上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間上 答案：恒等于零（9）函數(shù)組的朗斯基行列式是 答案：（10）在方程中，如果，在上連續(xù)，那么它的任一非零解在平面上 與軸相切答案：不能例2 單項選擇題（1）若是二階線性齊次微分方程的兩個線性無關(guān)解，則在其定義的區(qū)間上，它們（ ）（A）可以有共同零點 （B）可在處有共同零點 （C）沒有共同零點 （D）可在處有共同零點 正確答案：C（2）方程的任一非零解在平面上（ ）與

19、軸橫截相交 （A）可以 （B）不可以 （C）只能在處可以 （D）只能在處可以 正確答案：A（3）階線性齊次微分方程基本解組中解的個數(shù)恰好是（ ）個 （A）-1 （B） （C）+1 （D）+2 正確答案：B（4）階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個（ ）維線性空間（A） （B） （C） （D） 正確答案：C（5）若，是一階線性非齊次微分方程的兩個不同特解，則該方程的通解可用這兩個解表示為（ ） （A） （B） （C） （D） 正確答案：D（6）方程的任一非零解在空間中（ ） （A）不能與t軸相交 （B）可以與t軸相交 （C）可以與t軸橫解相交 （D）可以與t軸相切 正確答案：A例3 求下列方程的通解：

20、 （1） （2） （3） （4） （5） 解 （1）對應(yīng)齊次方程的的通解為 令非齊次方程的特解為 滿足 解得 積分，得 ，原方程通解為 （2）對應(yīng)的齊次方程的特征方程為： 特征根為： 故齊次方程的通解為： 因為是單特征根所以，設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，有 ， 可解出 故原方程的通解為 （3） 對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ， 故齊次方程的通解為 因為不是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，得 即 ， 故原方程的通解為 （4） 對應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為， 齊次方程的通解為 因為是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，比較系數(shù)確定出， 原方程的通解

21、為 （5） 對應(yīng)齊次方程的特征方程是 特征根為，齊次方程的通解為 因為是一重特征根故非齊次方程有形如 的特解，代入原方程，得 ， 故原方程的通解為 例4 設(shè)，是方程的解，且滿足=0，這里在上連續(xù)，試證明：存在常數(shù)C使得=C證明 設(shè)，是方程的兩個解，則它們在上有定義，其朗斯基行列式為 由已知條件，得 故這兩個解是線性相關(guān)的 由線性相關(guān)定義，存在不全為零的常數(shù)，使得， 由于，可知否則，若，則有，而，則，這與，線性相關(guān)矛盾故 例5 在方程中，已知，在上連續(xù)求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切證明 由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理條件，且任一解的存在區(qū)間都是 顯然，該方程

22、有零解 假設(shè)該方程的任一非零解在x軸上某點處與x軸相切，即有= 0，那么由解的惟一性及該方程有零解可知，這是因為零解也滿足初值條件= 0，于是由解的惟一性，有 這與是非零解矛盾 例6 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，且證明：方程 的任一解均滿足證明 先求齊次方程通解為 令非齊次方程特解為 滿足解出 ， ， 原方程的通解為 + 若 ，則由洛比達法則，有 +- = 0 若 ，則顯然有 例1 求方程 的解。 解 令，代入方程，則得到特征方程 。它有兩個不同的特征根。因此，我們得到原方程的通解為 其中為任意常數(shù)。 例2 求解 。 解 令，代入方程，則得到特征方程 。它有兩個不同的特征根。因此，我們得到兩個復(fù)值解 ，

23、再利用疊加原理求得兩個實值解和，從而得到原方程的通解為 其中為任意常數(shù)。 例3 求方程的通解。 解 先求對應(yīng)的齊線性方程的通解。這里特征方程有兩個根。因此通解為，其中為任意常數(shù)。再求原方程的一個特解。這里，因為剛好是特征方程的單根，故有特解形如，將它代入原方程得到，從而，于是，所以原方程的通解為 + 其中為任意常數(shù)。 例4 求方程的通解。 解 特征方程有兩個根。，因此對應(yīng)的齊線性方程的通解為，其中為任意常數(shù)?，F(xiàn)求非齊線性方程的一個特解。因為不是特征根，我們求形如的特解，將它代入原方程并化簡得到，比較同類項系數(shù)得，從而，因此原方程的通解為 ，其中為任意常數(shù)。 例5求方程的滿足初始條件及的解。 解

24、 設(shè)級數(shù) (.1)為方程的解。首先，利用初始條件，可以得到， 因而 將的表達式代入原方程，合并的各同次冪的項，并令各項系數(shù)等于零，得到： 即 ， 因而 ， 也即 ， 對一切正整數(shù)成立。將的值代回(.1)就得到 這就是方程的滿足所給初始條件的解。 綜合練習(xí)試解下列各方程：參考答案 其中為任意常數(shù)。 其中為任意常數(shù)。 其中為任意常數(shù)。 其中為任意常數(shù)。 其中為任意常數(shù)。 其中為任意常數(shù)。第五章 選做作業(yè)一、填空題1. 若A(x)在(-,+)上連續(xù)，那么線性齊次方程組，的任一非零解在空間( )與x軸相交.2. 方程組的任何一個解的圖象是( )維空間中的一條積分曲線.3. 向量函數(shù)組Y1(x), Y2

25、(x),Yn(x)線性相關(guān)的( )條件是它們的朗斯期行列式W(x)=0.4. 若矩陣具有個線性無關(guān)的特征向量，它們對應(yīng)的特征值分別為，那么矩陣= 線性方程組的一個基解矩陣.二、單選題1.線性非齊次方程組的所有解( ). (A)構(gòu)成一個n維線性空間(B)構(gòu)成一個n +1維線性空間(C)不是線性空間(D)構(gòu)成一個無窮維線性空間2.若A(x), F(x)0在(-,+)上連續(xù)，那么線性非齊次方程組的任一非零解是否可以與x軸相交?( ).(A)可以與x軸相交 (B)不可以與x軸相交(C)也許可以 (D)也許不可以3.兩個不同的線性齊次微分方程組是否可以有相同的基本解組?( )(A)不可以 (B)可以(C)也許不可以 (D)也許可以4.若是線性齊次方程組的一個基解矩陣，T為非奇異nn常數(shù)矩陣，那么T是否還是此方程的基解矩陣.( )(A