走進數(shù)學思維（定稿）

1、走進數(shù)學思維鄭毓信2008，4簡介南京大學哲學系教授、博士生導師；西南（師范）大學兼職教授、兼職博士生導師。1992年起享受政府特殊津貼。主要研究領域：數(shù)學哲學；科學哲學；數(shù)學教育與科學教育。已出版著作23部，發(fā)表論文260多篇。引入:如何從事數(shù)學教學研究?一篇好文章：“關于數(shù)學教育若干重要問題的探討”（王凌、余慧娟，人民教育，2008第七期），第39-45頁）主要內容：對于若干“語錄”的解讀?！斑@些筆記的確很精辟，但是我覺得您的解讀更精彩，從某種角度講，能用恰到好處的實例來解讀理論的人，比只會給出抽象理論的人更偉大，因為這不但表明消化理論的能力，也代表了思考的透徹與思想的成熟。您使我們看到了

2、濃縮的理論后面豐富的實踐風景，同時也引發(fā)了新的思維風暴?！睌?shù)學思維：一個持續(xù)的熱點現(xiàn)實中的思想障礙與問題：第一，由于小學數(shù)學的內容較為簡單，因此就不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學思維；第二，在現(xiàn)實中我們并可經(jīng)常看到“簡單組合”、“隨意拔高”等作法。當務之急如何針對小學數(shù)學的實際情況、包括具體的教學內容與學生的認知水平更為深入去開展工作，特別是，第一，清楚的界定； 第二，很好處理具體數(shù)學知識內容（包括知識與技能）的教學與數(shù)學思維的教學之間的關系。 一、從數(shù)學抽象談起父：“如果你有一個橘子，我再給你兩個，你數(shù)數(shù)看一共有幾個橘子？”子：“不知道！在學校里，我們都是用蘋果數(shù)數(shù)的，從而不用橘子。（譯林文摘版） 數(shù)學

3、最基本的特性：抽象性 “甚至對數(shù)學只有膚淺的知識就能容易地察覺到數(shù)學的這些特征：第一是它的抽象性，。抽象性在簡單的計算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來。我們運用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對象聯(lián)系起來。我們在學校中學的是抽象的乘法表總是數(shù)字的乘法表，而不是男孩的數(shù)目乘上蘋果的數(shù)目，或是蘋果的數(shù)目乘上蘋果的價錢等等。”（亞歷山大洛夫） 數(shù)學與現(xiàn)實第一，數(shù)學抽象源于現(xiàn)實生活，包括具體的事物與現(xiàn)象，以及人們的運作；第二，數(shù)學抽象又高于現(xiàn)實，并是一種建構的活動，即是包含了與現(xiàn)實世界在一定程度上的分離。分析與思考“數(shù)學，對學生來說，就是利用自己的生活經(jīng)驗對數(shù)學現(xiàn)象的一種解讀?！保ㄞD引自衡鋒，“錯題演繹的精

4、彩”，小學數(shù)學教學，2007年第十期）對照：學習主要是一個“順應”的過程，即是如何對主體已有的認知框架作出必要的調整或重建。例一 這個學生缺的究竟是什么？（樓文勝，“問題到底出在哪兒？”） 任課教師要求學生求解這樣一個問題：“52型拖拉機，一天耕地150畝，問12天耕地多少畝？”一位學生是這樣解題的：5215012=接下來的對話“告訴我，你為什么這么列式？”“老師，我錯了?！薄昂玫模嬖V我，你認為正確的該怎么列式？”“除。”“怎么除？”“大的除以小的?！薄盀槭裁词浅兀俊薄袄蠋?，我又錯了?！薄澳阏f，對的該是怎樣呢？”“應該把它們加起來。”啟而不發(fā)？“我們換一個題目，比如你每天吃兩個大餅，5天吃

5、幾個大餅？”“老師，我早上不吃大餅的?！薄澳悄愠允裁?？”“我經(jīng)常吃粽子?！薄昂茫悄忝刻斐詢蓚€粽子，5天吃幾個粽子？”“老師，我一天根本吃不了兩個粽子。”“那你能吃幾個粽子？”“吃半個就可以了?！薄昂?，那你每天吃半個（小數(shù)乘法沒學）粽子，5天吃幾個粽子？”“兩個半?！薄霸趺此愠鰜淼?？”“兩天一個，5天兩個半?！苯Y論之一學會數(shù)學思維的首要涵義：學會數(shù)學抽象（模式化）。 數(shù)學：模式的科學。這就是指，數(shù)學所反映的不只是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同性質。 例二 這能否算一堂真正的數(shù)學課？這是關于“問題解決”的一個教學實例，教師要求一群三年級的學生求解以下的問題： “

6、某女士外出旅行時帶了兩件不同顏色的上衣和三條不同顏色的裙子，問共有多少種不同的搭配方法？”教師鼓勵學生們用“實驗”的方法去解決問題：學生拿出了筆和紙，開始在紙上實際地畫出各種可能的搭配結果表明，在大多數(shù)情況下學生都可憑借自身的努力（單獨地或合作地）得出正確的解答。 事后的思考學生通過這一教學活動究竟學到了什么，特別是，這些學生能否被認為已經(jīng)掌握了相應的數(shù)學知識？更多的問題某人有兩套不同的西裝和三條不同顏色的領帶，問共有多少種不同的搭配方法？有兩個軍官和三個士兵，現(xiàn)由一個軍官和一個士兵組成巡邏隊，問共有多少種不同的組成方式？某女士外出旅行時帶了三件不同顏色的上衣和四條不同顏色的裙子，問共有多少種

7、不同的搭配方法？有三個軍官和四個士兵，現(xiàn)由一個軍官和一個士兵組成巡邏隊，問共有多少種不同的組成方式？結論之二幫助學生學會數(shù)學抽象的關鍵：應超越問題的現(xiàn)實情境過渡到抽象的數(shù)學模式。（ “去情境化”）相關的論述：數(shù)學教學必定包括“去情景化、去個人化和去時間化”。例三 “找規(guī)律” （黃愛華、胡愛民）“師：在中國少年先鋒隊鼓號隊的鼓號曲里，我們把第一個音唱做咚，第二個音唱做噠，第三個音唱做啦，所以這個樂句就變成咚 噠啦咚 噠啦咚 噠啦“請想一想：第16個音符是什么？為了能讓別人看得一清二白，請你在草稿本上用一種合適的方式表示出來，可以寫一寫、畫一畫、算一算?！狈椒ㄒ唬河靡魳泛喿V符號表示 X X X ，

8、X X X，X X X，X X X，X X X，1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 131415 X。16方法二：用圖形表示 方法三：用數(shù)字表示 1 2 31 2 31 2 31 2 31 2 31結論之三模式化的一個重要手段：引入適當?shù)膱D形或符號，從而實現(xiàn)與具體情境在一定程度上的分離。 理論指導下的自覺實踐：變式理論關鍵：對照與變化（1）“標準變式”與“非標準變式” ：變化中的不變因素。特別是，我們在教學中不應唯一地局限于平時所經(jīng)常用到的一些實例（“標準變式”），也應有意識地引入一些“非標準變式”，從而就可幫助學生切實地掌握相關概念的本質屬性。（2）“概念變式”與 “非概念變式

9、”就概念的理解而言，“非概念變式”事實上起到了“反例”的作用，這樣，通過與“正例”（ “概念變式”）的對照，也就可以幫助學生更好地去掌握概念的本質。二、數(shù)學中的分類課改以來的一個共識：數(shù)學課應當很好體現(xiàn)數(shù)學課所應當具有的“數(shù)學味”。相應的思考：究竟什么是所說的“數(shù)學味”？ 例四 幾何模塊的分類 常見的組織方式。問題：我們是否應當同樣地去肯定學生所提出的各種分類方法，包括按形狀、顏色和材料等進行分類？什么是數(shù)學中的分類？分析與思考有益的對照：自然數(shù)的認識。 進一步的思考：數(shù)學中又為什么要進行分類？例四 “100以內加減法練習”“師：剛才全體小朋友認認真真地做好了六道100以內的加減計算題，并且做

10、得很對。現(xiàn)在我們再來仔細觀察這六道題，如果我們把它們分成兩類，你有什么好辦法？為什么可以這樣分？34+42 =76，37+17 =54，69 -15 =54，59 +17=76， 91 -15 =76，83 - 29=54。方法一：按照得數(shù)相同來分；方法二：按加法和減法來分；方法三：按不進位加法和不退位減法、以及進位加法和退位減法來分；方法四：把 37+17、59 +17分成一組，把34+42、69-15、91-15 、83-29分成一組。方法五：把34 + 42 = 76分成一組，剩下的為一組。 教師的總結“教學中教師有意識地引導學生從不同的角度來分析問題進行合理的分類，讓學生通過相互的交流

11、，從中感受到分類結果在不同標準下的多樣性，感受到不同標準的分類有著不同的意義和作用，就能使學生的思維得到發(fā)散，使學生的不同思想方法得到充分有效的交流?！钡?，我們究竟為什么要進行分類？結論之四分類應當具有明確的目的性。第一，歸類：數(shù)學抽象的直接基礎；第二，不同類別的區(qū)分：由簡到繁、由特殊到一般地去開展研究。分類問題也需要優(yōu)化。（用數(shù)學家的眼光去看待世界、分析問題、解決問題。） 例五 “三角形的分類”究竟什么應是這一堂課的教學重點：是角的度量？還是分類的必要性與合理性？一個相關的研究：數(shù)學家與初學者（學生）的比較問題的不同分類：按問題的“表層結構”（事實性內容與表述方式）與“深層結構”（內在的數(shù)

12、學結構、解題方法）。學會數(shù)學地思維的又一重要內涵：由“表層結構”逐步深入到“深層結構”。例六 水池問題（祝中錄）“學生在解決水池問題時，往往會認為水池一邊開進水管，一邊開出水管，不論經(jīng)過多長時間都不會注滿水池。在教學時教師可以不急于講解，而是引導學生尋找生活中類似的實例。（1）追及問題?？蛙嚸啃r行40千米，小汽車每小時行50千米?，F(xiàn)在客車在小汽車前25千米的地方，同時沿筆直的公路行駛，多長時間小汽車能追上客車？（2）儲蓄問題。爸爸每月工資420元，媽媽每月工資300元，每月平均支出450元，余下的錢存在銀行，幾個月后能買一臺價格1350元的電視機？通過這些實例學生就容易弄明白只要進水量大于出

13、水量，經(jīng)過一段時間水池就一定能注滿水?！苯Y論之五學會數(shù)學思維的又一重要內涵：思維的必要優(yōu)化。三、數(shù)學中的類比什么是類比（聯(lián)想）？什么又是類比聯(lián)想在數(shù)學中的主要作用？例七 數(shù)學中的類比由一元二次方程必有2個實根或復根（重根計算在內），容易聯(lián)想到：一元三次方程很可能具有3個實根或復根。由（正）棱錐的體積等于同底等高的（正）棱柱的體積的三分之一，我們也可聯(lián)想到：圓錐的體積很可能等于同底等高的圓柱的體積的三分之一。結論之六類比在數(shù)學中一個重要作用，就是通過兩個對象的比較由已獲得的知識去引出新的猜測。什么是類比聯(lián)想的關鍵？一個常見的“定義”：“我們觀察到兩個或兩類事物在許多屬性上都相等，便推出它們在其它

14、屬性上也相同。這就是類比法?！睌?shù)學中類比聯(lián)想的關鍵：求同存異！ 為了應用類比，我們并不需要相關的對象在所有各個方面都完全一樣，而只要求在這兩者在某一方面或在某一抽象層次上是相似的，這就是所謂“求同”，也即如何能在抽象分析的基礎上找出兩個對象的“類似之處”。所謂的“存異”則是指新的猜測的產生并不是簡單的重復、模仿，而是一種創(chuàng)造性的工作，特別是，在由已知事實去引出新的猜測時，我們必須注意分析兩者之間所存在的差異，也即必須依據(jù)對象的具體情況作出適當?shù)摹罢{正”。結論之七相對于歸類與分類而言，類比聯(lián)想是一種更為高級的思維形式。教學中的關鍵：如何能夠針對學生的認知發(fā)展水平去有針對性地去進行教學？四、數(shù)學中

15、的特殊化與一般化什么是數(shù)學中的“特殊化”？“是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合的一個較小子集，或僅僅一個對象。”（波利亞）什么是數(shù)學中的“一般化”？ “是從考慮一個對象過渡到包含該對象的一個集合，或者從考慮一個該小的集合過渡到包含該較小集合的更大集合。”（波利亞）小學數(shù)學中的特殊化與一般化問題：小學數(shù)學中是否也有特殊化與一般化？例八 “小數(shù)乘整數(shù)”與找規(guī)律（張勇成） “師：有些小數(shù)和整數(shù)相乘很簡單，同學們口算就可以解決了，請看 0.14=0.4； （師：“這樣的8份呢？”）0.014=0.04；（師：“這樣的23份呢？”）0.0019=0.009。（“師：這樣的129個呢？）“師：剛才

16、口算的這些乘法，都是哪些小數(shù)與整數(shù)相乘？ “生：都是0.1，0.01，0.001與整數(shù)相乘。 “師：當0.1，0.01，0.001與一個整數(shù)相乘時，你們?yōu)槭裁催@么快就得出了結果？有什么規(guī)律嗎？“生1：乘得的結果越來越小?！吧?：都和幾個零點幾有關系。 “生3：乘得的結果都是小數(shù)。 “師：同學們觀察得很仔細，當0.1，0.01，0.001乘一個整數(shù)時，它們的計算結果是幾位小數(shù)和誰有關系呢？ “師：也就是說，因數(shù)中有幾位小數(shù)，積“生：就有幾位小數(shù)?！?然后，教師又將學生他們的注意力引向了“更為一般的小數(shù)與整數(shù)相乘”的情況?！皫煟赫l知道0.83的積是多少？ “生：0.83=2.4。 “師：你是怎么想

17、的？ “生：我先不看小數(shù)點前面的0，用8乘3等于24，再等于2.4。 “師：先不看0.8前面的0，這里的8就表示 “生：8個0.1。 “師：8個0.1怎樣列式？ “生：80.1。 “師：再乘3呢？ “生：80.13。 “師：在這道算式里，可以先算83，對嗎？ “生：對。”板書：830.1=240.1=2.4。（下略） 問題數(shù)學中的特殊化與一般化究竟有什么用？數(shù)學中的特殊化與一般化之間又有什么樣的關系？一些相關的論述（1）由隨意的特殊化，去了解問題；由系統(tǒng)的特殊化，為一般化提供基礎；由巧妙的特殊化，去對一般性結論進行檢驗。（梅森）例九 自行道問題假設商店中鋪設了單一方向上前進的自行道，問顧客由自

18、行道往返一次（例如，由商店大門順道前往某一柜臺然后再逆道返回）所花費的時間與先前完全依靠人力行走相比究竟是花費了更多的時間、還是節(jié)省了時間？ 相關的論述（2）什么看上去像是真的？為什么它是真的？它在怎樣的范圍內看上去也是真的？例十 一般化的實例在掌握了“三角形的內角和為180”以后，我們顯然就應進一步去思考如何才能求得四邊形、五邊形、乃至n邊形后者的內角和？在解決了“如何由長方形的長和寬去求取它的對角線”以后，我們就可進而去考慮“如何由長方體的長、寬、高去求取它的對角線”；乃至“已知平行六面體從對角線一個端點出發(fā)的三條棱的長度以及三棱間的三個夾角，求對角線的長？”“已知正八面體的棱，求其對角線

19、的長？”。相關的論述（3）“特殊化與一般化構成了整個解題過程的基礎?！保飞霸诮鉀Q一個數(shù)學問題時，如果我們沒有獲得成功，原因常常在于我們沒有認識到更一般的觀點，即眼下要解決的問題不過是一連串有關問題中的一個環(huán)節(jié)?！保ㄏ柌兀┪?、數(shù)學思維的教學基本立場：第一，應當從事數(shù)學思維的教學（前提：清楚地界定，特別是，就小學數(shù)學的各個學習階段而言究竟什么是相關的數(shù)學思維）；第二，很好解決如何進行教學的問題：應當強調滲透，即是用數(shù)學思想的分析指導、帶動具體知識內容的教學。一個特殊的背景數(shù)學方法論（數(shù)學思維方法）的研究；中學數(shù)學教學的相關實踐：數(shù)學方法論指導下的數(shù)學教學當前應當注意的問題：防止簡單移植。

20、例十一 “除非它們都能站起來！”這是發(fā)生在20世紀60年代的一個真實故事：當時“新數(shù)運動”作為風靡全球的改革運動正處于高潮之中，其核心思想就是認為應當用現(xiàn)代數(shù)學思想對傳統(tǒng)的數(shù)學教育作出改造，由于集合的概念在現(xiàn)代數(shù)學中占據(jù)了特別重要的位置，因此，下述情況的出現(xiàn)就無足為奇了。 在幼兒園上學的女兒告訴數(shù)學家的父親：“我們今天學了集合！”父親：“老師是怎么教的？”女兒：“女教師首先讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合；其次，她又讓所有的女孩子站起來，并說這是女孩子的集合；接下來，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，最后，教師問全班：大家是否都懂了？她得到了肯定的答復。”父：“那么，

21、我們是否可以將世界上所有的匙子或土豆組成一個集合？”遲疑了一會，女兒最終作出了這樣的回答：“不行！除非它們都能站起來！” 分析與思考有益的啟示：應當針對小學數(shù)學的實際更為深入地開展研究，切實防止簡單的移植（集合與分類；函數(shù)與變化；極限與無限等等。）又一關鍵性的問題：應當如何去進行數(shù)學思維的教學？問題的深化：如何進行滲透、如何用思維方法的分析帶動、促進具體知識內容的教學？例十二 “重建”高斯少年時代的高斯是如何很快求得1+2+3+99=4950的？ 類比與啟示為了求解S=1+2+3+99=？我們也可首先去計算2S：2S= 1 + 2+ 3+ 99 +99 + 98+ 97+ 1 =10099=9

22、900S=4950結論之八用思維分析帶動具體知識內容的教學的關鍵：方法論的重建，從而實現(xiàn)化神奇為平凡、化難為易。意義之一：使數(shù)學教學真正講活、講懂、講深；意義之二：使數(shù)學思維真正成為可以理解的、可以學到手的、和可以加以推廣應用的。“講活”：教師應當通過自己的教學活動向學生展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學研究工作，而不是死的數(shù)學知識；“講懂”：教師應當幫助學生真正理解有關的教學內容，而不是囫圇吞棗，死記硬背；“講深”：教師不僅應幫助學生掌握具體的數(shù)學知識，而且也應幫助學生深入領會并逐漸掌握內在的思維方法。 數(shù)學啟發(fā)法的學習與掌握學會數(shù)學思維的又一重要內涵：數(shù)學啟發(fā)法的學習與掌握。數(shù)學啟發(fā)法核心：一些定型的問題和建議 。例十三 “幻方” 如何在九宮格中放上1、2、3、4、5、6、7、8、9這樣九個數(shù)字，使得每一行、每一列、每條對角線上數(shù)字的和都相等？啟發(fā)性的問題與建議問題（1）：什么樣的信息可以使得這一問題變得較為容易求解？相應的方法論原則： 設立次目標：努力求得部分的結果，并利用它作為出發(fā)點去求得剩余的部分。 從后往前推：假設我們已經(jīng)獲得了解答，由此從后往前推以確定它所必然具有的性質。問題（2）：在所有九個方格中哪一個最重要？相應的方法論原則： 關鍵性原則：集中注意于關鍵點常常會給你帶來力量。 特殊化原則：首先對特殊的情況進行研究。 問題（3）：再來考