13.4 課題學(xué)習(xí)　最短路徑…15

1、13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題【教學(xué)目標(biāo)】教學(xué)知識點能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題,體會圖形的變化在解決最值問題中的作用;感悟轉(zhuǎn)化思想.能力訓(xùn)練要求在將實際問題抽象成幾何圖形的過程中,提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想.情感與價值觀要求通過有趣的問題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.在解決實際問題的過程中,體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實用性,體現(xiàn)人人都學(xué)有所用的數(shù)學(xué).【教學(xué)重難點】重點:利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間,線段最短”問題.難點:如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題.突破難點的方法:利用軸對稱性質(zhì),作任意已知點的對稱點,連接對稱點和已知點,得到一條線段,利用兩點之間線段最短

2、來解決.【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情景 引入課題師:前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中,線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短”等的問題,我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題,本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題”. (板書)課題學(xué)生思考教師展示問題,并觀察圖片,獲得感性認(rèn)識.二、自主探究 合作交流 建構(gòu)新知追問1:觀察思考,抽象為數(shù)學(xué)問題這是一個實際問題,你打算首先做什么? 活動1:思考畫圖、得出數(shù)學(xué)問題將A,B 兩地抽象為兩個點,將河l 抽象為一條直線.追問2 你能用自己的語言說明這個問題的意思, 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎?

3、 師生活動:學(xué)生嘗試回答, 并互相補(bǔ)充,最后達(dá)成共識:(1)從A 地出發(fā),到河邊l 飲馬,然后到B 地; (2)在河邊飲馬的地點有無窮多處,把這些地點與A,B 連接起來的兩條線段的長度之和,就是從A 地到飲馬地點,再回到B 地的路程之和;(3)現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點.設(shè)C 為直線上的一個動點,上面的問題就轉(zhuǎn)化為:當(dāng)點C 在l 的什么位置時,AC 與CB 的和最小(如圖).強(qiáng)調(diào):將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”活動2:嘗試解決數(shù)學(xué)問題問題1 : 如圖,點A,B 在直線l 的同側(cè),點C 是直線上的一個動點,當(dāng)點C 在l 的什么位置時,AC 與CB 的和最小

4、?追問1你能利用軸對稱的有關(guān)知識,找到上問中符合條件的點B嗎? 問題2如圖,點A,B 在直線l 的同側(cè),點C 是直線上的一個動點,當(dāng)點C 在l 的什么位置時,AC 與CB的和最小?師生活動:學(xué)生獨立思考,畫圖分析,并嘗試回答,互相補(bǔ)充如果學(xué)生有困難,教師可作如下提示作法:(1)作點B 關(guān)于直線l 的對稱點B;(2)連接AB,與直線l 相交于點C,則點C 即為所求.如圖所示:問題3你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎? 教師展示:證明:如圖,在直線l 上任取一點C(與點C 不重合),連接AC,BC,BC.由軸對稱的性質(zhì)知,BC =BC,BC=BC.AC +BC= AC +BC = AB,AC+

5、BC= AC+BC.在ACB中,AC+BCAB,當(dāng)只有在C點位置時,AC+BC最短.方法提煉:將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”.問題4練習(xí)如圖,一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客,然后將游客送往河岸BC 上,再返回P 處,請畫出旅游船的最短路徑.基本思路:由于兩點之間線段最短,所以首先可連接PQ,線段PQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路.將河岸抽象為一條直線BC,這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點P,Q 在直線BC 的同側(cè),如何在BC上找到一點R,使PR與QR 的和最小”. 三、鞏固訓(xùn)練(一)基礎(chǔ)訓(xùn)練1.最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題,只要連接這

6、兩點,與直線的交點即為所求.如圖所示,點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點,在l上找一個點C,使CA+CB最短,這時點C是直線l與AB的交點.(2)求直線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題,只要找到其中一個點關(guān)于這條直線的對稱點,連接對稱點與另一個點,則與該直線的交點即為所求.如圖所示,點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點,在l上找一個點C,使CA+CB最短,這時先作點B關(guān)于直線l的對稱點B,則點C是直線l與AB的交點.(二)變式訓(xùn)練如圖,小河邊有兩個村莊A,B,要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水.(1)若要使廠部到A,B村的距離相等,則應(yīng)選擇在哪建廠?(2)若要使廠部到A,B兩村的水管最短,應(yīng)建在什么地方?(三)綜合訓(xùn)練茅坪民族中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會,桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO,BO),AO桌面上擺滿了橘子,OB桌面上擺滿了糖果,站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D處座位上,請你幫助他設(shè)計一條行走路線,使其所走