淺談初中數(shù)學(xué)的列方程解應(yīng)用題

1、鄉(xiāng)土教材淺談初中數(shù)學(xué)的列方程解應(yīng)用題目錄一、問題的背景：二列方程的步驟、三、列方程中的“設(shè)元”四、應(yīng)用題中的相等關(guān)系五、列方程的一般規(guī)律：一、問題的背景： 應(yīng)用性試題，是指有實際背景或?qū)嶋H意義的數(shù)學(xué)問題。隨著課程改革的不斷深入，應(yīng)用性試題所涉及的知識領(lǐng)域越來越廣，除了傳統(tǒng)的行程、工程、測量、濃度等問題外，還包括具有時代氣息的營銷決策，生產(chǎn)計劃安排，銀行存款，租船租車，旅游方案，國民總產(chǎn)值和人口增長率等問題，題目取材于現(xiàn)實生活，情景新穎，立意獨特，包含大量的數(shù)學(xué)知識。它也是今后中考命題的一個熱點問題。 應(yīng)用題常見的題型有：方程型應(yīng)題、不等式型應(yīng)用題、函數(shù)型應(yīng)用題、統(tǒng)計型應(yīng)用題、幾何型應(yīng)用題。而方

2、程應(yīng)用題是學(xué)習其他應(yīng)用題的基礎(chǔ)，學(xué)生必須學(xué)會列方程解應(yīng)題。二列方程的步驟、1、認真審題：弄清題意和題中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示題目中的一個未知數(shù)；2、找相等關(guān)系：找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系；3、列方程：根據(jù)找出的相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程；4、解方程：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值；5、答：根據(jù)問題的實際意義，寫出答案（包括單位名稱）三、列方程中的“設(shè)元”設(shè)元是學(xué)生必須掌握的一種技能，也是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟之一。恰當?shù)卦O(shè)元，往往能收到事半功倍的神奇效果。如何設(shè)元，需要根據(jù)具體問題的條件確定。下面通過具體例題簡要說明列方程解應(yīng)用題中常見的四種設(shè)元方法。（一）、直接設(shè)

3、元直接設(shè)元，就是將題目中要求的量設(shè)為未知元，即問什么設(shè)什么。一件夾克按成本價提高50%后標價，后因季節(jié)關(guān)系按標價的8折出售，每件以60元賣出，這批夾克每件的成本價是多少元？解、設(shè)這批夾克每件的成本價是x元，根據(jù)題意得，（1+50%）80%x=60 解得 x=50 答：略。（二）、間接設(shè)元所設(shè)的量不是所求的，但容易找出符合題意的數(shù)量關(guān)系，這種把題中要求的量以外的其他量設(shè)為未知元的方法，稱之為間接設(shè)元。例2甲，乙二人分別后，甲沿著鐵軌方向反向而行。此時，一列火車均速地向甲應(yīng)面駛來，列車在甲旁駛過，用了15秒；然后在乙身旁開過，用了17秒。已知兩人的步行速度都是3.6千米/時，這列火車有多長？解 設(shè)

4、這列火車的速度為X米/秒，根據(jù)題意，得(X+1)15=(X-1)17 (注：3.6千米/時1米/秒) 解得 X16所以（16+1）15255(米) 答：略（三）、輔助設(shè)元輔助設(shè)元，也叫設(shè)而不求。有些應(yīng)用題中隱含一些未知的量，這些量對于求解無直接關(guān)系，但如果不知指明這些量的存在，則難以求解。因此需把這些未知的量設(shè)為未知元，以便建立等量關(guān)系，稱之為輔助設(shè)元.某音樂廳月初決定在暑假期間舉辦學(xué)生專長音樂會。入場券分為團體票和零售票，其中團體票占總票數(shù)的23。若提前購票，則給予不同程度的優(yōu)惠，在五月份內(nèi)，團體票每張12元，公售出團體票數(shù)3/5，零售票每張16元，共售出零售票數(shù)的一半。如果在六月份內(nèi)，團體

5、票按每張16元出售。那么零售票應(yīng)按每張多少元定價才能使則兩個月的票款收入持平？解 設(shè)總票數(shù)為A張，六月份零售票應(yīng)按每張X元定價，依題意，得2/3 A3/512+1/3A1/216=2/3A2/516+1/3A1/2X解得 X19.2答：略山腳下有一池塘，山泉以固定的流量（即單位時間內(nèi)流入池塘的水量相同）不停地向池塘中流淌?，F(xiàn)池塘中有一定深度地水，若是一臺A型抽水機則1小時后正好把池塘中地水抽完，若用兩臺A型抽水機則20分鐘正好把池塘中地水抽完，若用3臺A型抽水機同時抽，則需要多長時間恰好能把池塘中水抽完？解：設(shè)泉水每分鐘流進池塘里地水X立方米，每臺抽水機每分鐘抽水Y立方米，池塘中原存水Z立方米

6、，三臺抽水機抽完池塘中水需要T分鐘，根據(jù)題意得：60X=Z 60Y-220Y-20X=Z 3TY-TX=Z eq oac(,1)- eq oac(,2)得 2 eq oac(,4)將 eq oac(,4)代入 eq oac(,1)得 Z=60X eq oac(,5)將 eq oac(,4) eq oac(,5)代入 eq oac(,3)得 Z=12即用三臺A型抽水機同時抽，需要12分鐘可把池塘中的水抽完。（四）、整體設(shè)元有些應(yīng)用題未知量太多，而已知關(guān)系又太少，如果某一部分未知量存在一個整體關(guān)系，則可設(shè)這一部分為一個未知元，這樣就減少了設(shè)元的個數(shù)，稱為整體設(shè)元。例5、有一個六位數(shù)，后三位數(shù)是85

7、7，將這個六位數(shù)乘以6以后，恰好前三位數(shù)與后三位數(shù)互換位置，求原六位數(shù)。解：設(shè)前三位數(shù)為x , 則原六位數(shù)為1000 x+857，根據(jù)題意得， 6（1000 x+857）=8571000+x解這個方程得，x=142原六位數(shù)=1000142+857=142857答：略。例6、古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯是丟番圖最得意的一個學(xué)生，他很小的時候就跟丟番圖學(xué)習數(shù)學(xué)，有一天他向老師請教一個問題：有四個數(shù)，把其中每三個相加，其和分別為22、24、27、20。求這個四位數(shù)。解：設(shè)這個四位數(shù)之和為x，那么這四個數(shù)就分別為X22，x-24，x-27，x20，依據(jù)題意得x=(x-22)+(x-24)+(x-27)+(x-2

8、0)解得 x=31 所以這個四位數(shù)是9、7、4、11。四、應(yīng)用題中的相等關(guān)系(一)、從關(guān)鍵詞語中找等量關(guān)系：在應(yīng)用題中，等量關(guān)系往往通過一定的詞語表現(xiàn)出來，所以在審題時，說先要留意描述它的語句。這種語句，一般含有“是”、“一共”、“比多”、“比少”、“是幾倍”、“比幾倍多幾”、“增加了”、“減少了”、“增加到”、“減少到”等詞語，很容易找到。(二)、從各種公式中找等量關(guān)系。如幾何形體的周長、面積、體積等公式的本身就表達了等量關(guān)系，列方程時經(jīng)常要用到它。(三)、從線段圖中找等量關(guān)系。有些比較復(fù)雜的應(yīng)用題，不易立即看出等量關(guān)系，可以畫出線段圖幫助尋找。(四)、從基本數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系。有的應(yīng)用題

9、等量關(guān)系比較隱蔽，必須熟悉基本的數(shù)量關(guān)系才能找到。(五)、列方程解應(yīng)用題的主要類型及其數(shù)量關(guān)系：行程問題基本關(guān)系：路程速度時間基本類型：直線型的相遇問題、追及問題、航行問題，環(huán)形問題。常用的相等關(guān)系：（1）、相遇問題：同時不同地相向而行：兩者路程和兩地距離；兩者所用時間相等不同時不同地相向而行：兩者路程和兩地距離 兩者所用時間之差先行者先行時間（2）、追及問題：同時不同地：快者路程慢者路程兩地距離 快者時間慢者時間同地不同時：快者路程慢者路程 快者時間慢者時間慢者先行時間（3）、航行問題：順水速度靜水速度水流速度 逆流速度靜水速度水流速度（4）、環(huán)形問題：同時同地同向而行：第一次相遇：快者路程

10、慢者路程環(huán)形周長；第二次相遇：快者路程慢者路程2個環(huán)行路長 同時同地背向而行：同時同地同向而行：第一次相遇：快者路程慢者路程環(huán)形周長。2、工程問題：基本關(guān)系：工作量 工作效率工作時間相等關(guān)系：各隊工作量的和全部工作量3、利潤問題 相等關(guān)系：利潤售價進價；利潤利潤率進價售價標價打折數(shù) 4、年齡問題：這類問題應(yīng)抓住兩個關(guān)鍵：（1）兩者年齡之差是一個不變量；（2）兩者增長的年齡數(shù)相同。 5、數(shù)字問題此類問題多采用間接設(shè)元，注意數(shù)位上的數(shù)字關(guān)系和含數(shù)位的數(shù)字關(guān)系的不同。 6、比例問題： 比例問題多采用間接設(shè)元，例如三角形周長是60，三邊之比是3：4：5，求三邊之長?？稍O(shè)三邊長為3x、4x、5x。列方程

11、為3x+4x+5x60,使問題得到解決。 7、配套問題:甲工件的數(shù)量=乙工件數(shù)量的幾倍8、單位面積產(chǎn)量、總面積和總產(chǎn)量的關(guān)系。單位面積產(chǎn)量總面積=總產(chǎn)量9、單價、數(shù)量和總價的關(guān)系。單價數(shù)量=總價10、每份數(shù)、份數(shù)和總數(shù)的關(guān)系。每份數(shù)份數(shù)=總數(shù)11、大數(shù)、小數(shù)和相差數(shù)的關(guān)系大數(shù)小數(shù)= 相差數(shù)12、部分和總數(shù)的關(guān)系。一部分另一部分=總數(shù)五、列方程的一般規(guī)律：列方程解應(yīng)用題是初中代數(shù)的重點內(nèi)容之一，其關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程，而列方程的關(guān)鍵是尋找題目中的相等關(guān)系。應(yīng)用題中的相等關(guān)系看似紛雜無緒，但歸結(jié)起來不外乎兩類：一類是題目中涉及的基本的相等關(guān)系，一類是題目中蘊含的特殊的相等關(guān)系；它們各有用途，前者

12、一般用于尋找列方程需要的代數(shù)式，后者則多運用于設(shè)未知數(shù)和列出方程。以上是列一元一次方程的辦法。（一般地、有幾個特殊等量關(guān)系，就能列幾個方程，組成方程組。）例1、（2006年、南京）某停車場的收費標準如下：中型汽車的停車費為6元/輛，小型汽車的停車費為4元/輛，現(xiàn)在停車場有50輛中小型汽車，這些車共繳納停車費230元，問中小汽車各有多少輛？分析：本題的基本等量關(guān)系是：總價單價數(shù)量，特殊等量關(guān)系是：中型車數(shù)+小型車數(shù)50輛，中型車收費+小型車收費230元。 用特殊等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)：設(shè)中型汽車有X輛，則小型汽車有(50-X)輛。用特殊等量關(guān)系列方程：中型車收費+小型車收費230，并用基本等量關(guān)系表示

13、列方程所需的代數(shù)式：中型車收費6X元，小型車收費4(50-X)元，則所列方程為6X+4(50-X) 230 例2、某校舉辦的珠球比賽中規(guī)定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分。某班足球隊參加了12場比賽，共得22分。已知這個足球隊輸了2場，那么這個足球隊勝了幾場？負了幾場？分析：本題的基本等量關(guān)系是：應(yīng)得分數(shù)比賽場數(shù)每場得分。特殊等量關(guān)系是：勝的場數(shù)+平的場數(shù)+負的場數(shù)12場；勝場得分數(shù)+平場得分數(shù)+負場得分數(shù)22分。用特殊等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)：設(shè)這個足球隊勝X場，平(12-X-2)場。用特殊等量關(guān)系列方程：勝場得分數(shù)+平場得分數(shù)+負場得分數(shù)22分，并用基本等量關(guān)系表示列方程所需的代數(shù)式：勝

14、場得分數(shù)3X分，平場得分數(shù)1(12-X-2)分，負場得分數(shù)02分，則所列方程為：3X+1(12-X-2)+ 0222 例3、同學(xué)們到距學(xué)校15千米的生產(chǎn)基地去支農(nóng)，一部分學(xué)生騎自行車先去，40分鐘后，其余的人乘汽車去，結(jié)果同時到達。已知汽車得速度是自行車的3倍，求兩車的速度。 分析：用s表示路程，v表示速度，t表示時間。本題需要的基本等量關(guān)系是svt,用它可以找出列方程所需要的兩個代數(shù)式：自行車行15千米用的時間是(15/v)小時，汽車行駛15千米用的時間是(15/3v)小時，本題中蘊含著兩個特有的相等關(guān)系：汽3自 t汽t自- (2/3) 用式設(shè)出未知數(shù)：自行車速度為v千米/時，那么汽車的速度

15、為3v千米/時；用式可列方程 (15/3v)(15/v)(2/3)。 例4、甲、乙兩人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個用的時間與乙做60個所用的時間相等，求甲、乙每小時個做多少個？ 分析： 本題的基本等量關(guān)系是工作量工作時間工作效率，兩個特殊等量關(guān)系是：甲的工作效率乙的工作效率+6，甲做90零件的時間乙做60個零件的時間。 用特殊等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)：設(shè)甲的工作效率為X個/小時，則乙的工作效率為（X-6）個/小時。 用特殊等量關(guān)系列方程T甲T乙。用基本等量關(guān)系表示列方程所用的代數(shù)式， T甲90/X, T乙=60/（X-6）。 根據(jù)題意列方程為90/X60/（X-6）例5、如圖，

16、將正方形ABCD一角折疊，折痕為AE,BAD比BAE大48，求BAE與BAE度數(shù)。 圖（1）分析:本題直接運用特殊等量關(guān)系可解決問題。特殊等量關(guān)系：BAD-BAE48，（隱含等量關(guān)系）BAD+2BAE90 (如圖（2）) 用特殊等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)：設(shè)BAD為X度，B圖（2）則BAEX-48。用特殊等量關(guān)系列方程,則X+2(X-48) 90例6、某校辦工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，今年的產(chǎn)量為200件，計劃通過改革技術(shù)，使今后兩年的產(chǎn)量都比前一年增長一個相同的百分數(shù)，這樣三年（包括今年）的產(chǎn)量達到1400件，求這個百分數(shù)。分析：本題的基本等量關(guān)系是：明年的產(chǎn)量今年的產(chǎn)量（1+增長百分數(shù)）。特殊等量關(guān)系：每年的增長百分數(shù)相同，三年的產(chǎn)量和1440件。用特殊等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)：設(shè)每年的增長百分數(shù)位X。用特殊等量關(guān)系列方程：三年的產(chǎn)量和1440件。并用基本等量關(guān)系表示列方程所用的代數(shù)式：明年的產(chǎn)量200（1+X），后年的產(chǎn)量200（1+X）2。列方程為：200+200（1+X）+200（1+X）21440由上述可知，基本等量關(guān)系揭示了某一類問題的最基本量之間的關(guān)系，是列方程的基礎(chǔ)，要透徹理解，靈活運用；特有相等關(guān)系給出兩個同類量之間的關(guān)系，是列方程的突破口；特