2008-2009學(xué)年第一學(xué)期隨機(jī)數(shù)學(xué)(B)期末考試試卷(A卷)答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)北 京 交 通 大 學(xué)20082009學(xué)年第一學(xué)期隨機(jī)數(shù)學(xué)（B）期末考試試卷（A卷）答案一（本題滿分8分） 擲兩顆均勻的骰子，記 ， 分別計(jì)算與 解： 擲兩顆骰子，樣本點(diǎn)總數(shù)為事件含有個(gè)樣本點(diǎn)，事件含有個(gè)樣本點(diǎn)所以 ，又事件含有個(gè)樣本點(diǎn)，所以所以有 ， 二（本題滿分10分） 寫出隨機(jī)事件與相互獨(dú)立的定義（4分） 設(shè)隨機(jī)事件滿足：，證明：隨機(jī)事件與相互獨(dú)立的充分必要條件是（6分） 解： 如果隨機(jī)事件與滿足：，則稱隨機(jī)事件與相互獨(dú)立 必要性：因?yàn)殡S機(jī)事件與相互獨(dú)立，而且，所

2、以所以 ；所以有 充分性：由于，所以有 因此有 ，即 ，整理，得 ，這表明，隨機(jī)事件與相互獨(dú)立三（本題滿分10分） 玻璃杯成箱出售，每箱只，假設(shè)各箱中有只，只，只次品的概率分別為，一顧客欲購買玻璃杯，在購買時(shí)，售貨員隨意取出一箱，而該顧客隨意從中取出只玻璃杯查看，若這只中無次品，則買下該箱產(chǎn)品，否則退回試求： 顧客買下這箱產(chǎn)品的概率；（5分） 在顧客買下的這箱產(chǎn)品中，確實(shí)沒有次品的概率（5分） 解： 設(shè)：， 由全概率公式，得 ； 由Bayes公式，得 四（本題滿分10分） 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為， 試求： （6分）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差； （4分）隨機(jī)變量的分布函數(shù) 解： 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以

3、有 五（本題滿分10分） 設(shè)顧客在某銀行等待服務(wù)的時(shí)間（單位：分鐘）的密度函數(shù)為一顧客在窗口等待服務(wù)，若等待時(shí)間超過10分鐘，他便離開 求某次該顧客因等待時(shí)間超過10分鐘而離開的概率（5分） 若在某月中，該顧客來到該銀行7次，但有3次顧客的等待時(shí)間都超過10分鐘，該顧客是否有理由推斷該銀行的服務(wù)十分繁忙（5分） 解： 由于隨機(jī)變量服從的指數(shù)分布，所以的概率密度函數(shù)為 設(shè)表示該顧客在一個(gè)月內(nèi)等待時(shí)間超過10分鐘的次數(shù)，則所以，這表明，是一個(gè)小概率事件，由于小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的，現(xiàn)在發(fā)生了因此該顧客有理由推斷該銀行的服務(wù)十分繁忙六（本題滿分15分） 設(shè)與是相互獨(dú)立且服從同一分布

4、的兩個(gè)隨機(jī)變量其中的分布律為 又設(shè)， 寫出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律（5分）； 分別求出隨機(jī)變量與的邊緣分布律（2分）； 判斷隨機(jī)變量與是否獨(dú)立（4分）； 求協(xié)方差（4分） 解： 由與的取值都是，可知與的取值也是 ； ； ； ； ； ； ； ； ；因此二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及與的邊緣分布律為 由于，所以與不獨(dú)立 的取值為，其分布律為123469所以，； ； ，因此，七（本題滿分10分） 某快餐店出售四種快餐套餐，這四種快餐套餐的價(jià)格分別為元、元、元和元并且這種快餐套餐售出的概率分別為、和若某天該快餐店售出套餐份，試用中心極限定理計(jì)算： 該快餐店這天收入至少為元的概率 元套餐至少售出份的概率（附

5、，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的部分值： 解： 設(shè)表示售出一份套餐的收入，則的分布律為則 ， ， 令表示出售的第套快餐套餐的收入，則獨(dú)立同分布，且的分布都與的分布相同則 設(shè)表示售出的份套餐中套餐的份數(shù)，則則 八（本題滿分6分） 設(shè)是取自正態(tài)總體中的一個(gè)樣本試求隨機(jī)變量的分布（不必求出的密度函數(shù)，只需指出是哪一種分布，以及分布中的參數(shù)即可） 解： 由于，而且與相互獨(dú)立，所以 ，由于 ，而且服從二元正態(tài)分布，所以與相互獨(dú)立所以，；而且與相互獨(dú)立所以，九（本題滿分11分） 設(shè)總體的密度函數(shù)為 ，其中是未知參數(shù)，是從該總體中抽取的一個(gè)樣本 . 求未知參數(shù)的矩估計(jì)；（4分） . 判斷是否為參數(shù)的無偏估計(jì)；（4分） . 求（3分） 解： . ，所以， ，將用樣本均值來替換，得未知參數(shù)的矩估計(jì)為 . 由于，所以，是參數(shù)的無偏估計(jì) . ，而 所以， 十（本題滿分10分） （7分） 設(shè)總體等可能地取值，其中是未知的正整數(shù)是取自該總體中的一個(gè)樣本試求的最大似然估計(jì)量 （3分） 某單位的自行車棚內(nèi)存放了輛自行車，其編號(hào)分別為1，2，3，假定職工從車棚中取出自行車是等可能的某人連續(xù)12天記錄下他觀察到的取走的第一輛自行車的編號(hào)為12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159試求在上述樣本