專題10 四邊形問題-2022中考數(shù)學(xué)壓軸題精講（原卷版）

1、中考?jí)狠S題全揭秘專題10四邊形問題一、單選題1如圖1的矩形ABCD中，有一點(diǎn)E在AD上，今以BE為折線將A點(diǎn)往右折，如圖2所示，再作過A點(diǎn)且與CD垂直的直線，交CD于F點(diǎn)，如圖3所示，若AB=6，BC=13，BEA=60，則圖3中AF的長度為何？（）A2 B4 C2 D42在矩形ABCD內(nèi)，將兩張邊長分別為a和的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊，矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為當(dāng)時(shí)，的值為A2a B2b C D3如圖，已知AOBC的頂點(diǎn)O（0，0），A（1，2），點(diǎn)B在x軸正半軸上按以下步驟

2、作圖：以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長度為半徑作弧，分別交邊OA，OB于點(diǎn)D，E；分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧在AOB內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線OF，交邊AC于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）A（1，2） B（，2） C（3，2） D（2，2）4如圖，在矩形ABCD中，ADC的平分線與AB交于E，點(diǎn)F在DE的延長線上，BFE=90，連接AF、CF，CF與AB交于G有以下結(jié)論：AE=BCAF=CFBF2=FGFCEGAE=BGAB其中正確的個(gè)數(shù)是（）A1 B2 C3 D45如圖，在矩形ABCD中，AD=AB，BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，DHAE于點(diǎn)H，連接BH并延長交CD于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O，

3、下列結(jié)論：AED=CED；OE=OD；BH=HF；BCCF=2HE；AB=HF，其中正確的有（ ）A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)6已知AOB=45，求作AOP=22.5，作法：（1）以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧分別交OA，OB于點(diǎn)N，M；（2）分別以N，M為圓心，以O(shè)M長為半徑在角的內(nèi)部畫弧交于點(diǎn)P；（3）作射線OP，則OP為AOB的平分線，可得AOP=22.5根據(jù)以上作法，某同學(xué)有以下3種證明思路：可證明OPNOPM，得POA=POB，可得；可證明四邊形OMPN為菱形，OP，MN互相垂直平分，得POA=POB，可得；可證明PMN為等邊三角形，OP，MN互相垂直平分，從而得POA=POB，可得

4、你認(rèn)為該同學(xué)以上3種證明思路中，正確的有（）A B C D7如圖1，分別沿長方形紙片ABCD和正方形紙片EFGH的對(duì)角線AC，EG剪開，拼成如圖2所示的ALMN，若中間空白部分四邊形OPQR恰好是正方形，且ALMN的面積為50，則正方形EFGH的面積為（）A24 B25 C26 D278如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿EC對(duì)折矩形ABCD，使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處，折痕為EC，連結(jié)AP并延長AP交CD于F點(diǎn)，連結(jié)CP并延長CP交AD于Q點(diǎn)給出以下結(jié)論：四邊形AECF為平行四邊形；PBA=APQ；FPC為等腰三角形；APBEPC其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A1 B2 C3 D49如圖，AD是AB

5、C的角平分線，DEAC，垂足為E，BFAC交ED的延長線于點(diǎn)F，若BC恰好平分ABF，AE=2BF給出下列四個(gè)結(jié)論：DE=DF；DB=DC；ADBC；AC=3BF，其中正確的結(jié)論共有（ ）A4個(gè) B3個(gè) C2個(gè) D1個(gè)10如圖，矩形ABCD與菱形EFGH的對(duì)角線均交于點(diǎn)O，且EGBC，將矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，折痕MN恰好過點(diǎn)G若AB=，EF=2，H=120，則DN的長為（ ）A B C D11如圖，在正方形ABCD中，AB=9，點(diǎn)E在CD邊上，且DE=2CE，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD的最小值是（）A B C9 D12如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對(duì)角線AC為邊作第二

6、個(gè)正方形ACEF，再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，依此下去，第n個(gè)正方形的面積為（）A（）n1 B2n1 C（）n D2n13如圖，ABC的周長為19，點(diǎn)D，E在邊BC上，ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，ACB的平分線垂直于AD，垂足為M，若BC=7，則MN的長度為（）A B2 C D314如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分BAD，分別交BC、BD于點(diǎn)E、P，連接OE，ADC=60，AB=BC=1，則下列結(jié)論：CAD=30BD=S平行四邊形ABCD=ABACOE=ADSAPO=，正確的個(gè)數(shù)是（）A2 B3 C4 D515如圖，在正方形ABCD中，連接A

7、C，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AB、AC于點(diǎn)M，N，分別以M，N為圓心，大于MN長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)H，連結(jié)AH并延長交BC于點(diǎn)E，再分別以A、E為圓心，以大于AE長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，Q，作直線PQ，分別交CD，AC，AB于點(diǎn)F，G，L，交CB的延長線于點(diǎn)K，連接GE，下列結(jié)論：LKB=22.5，GEAB，tanCGF=，SCGE：SCAB=1：4其中正確的是（）A B C D二、填空題16如圖，在ABC中，AD，CD分別平分BAC和ACB，AECD，CEAD若從三個(gè)條件：AB=AC；AB=BC；AC=BC中，選擇一個(gè)作為已知條件，則能使四邊形為菱形的是_（填序

8、號(hào)）17如圖，CE是ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，CE與DA的延長線交于點(diǎn)E連接AC，BE，DO，DO與AC交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論：四邊形ACBE是菱形；ACDBAE；AF：BE2：3；S四邊形AFOE：SCOD2：3其中正確的結(jié)論有_（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）18如圖，在菱形ABCD中，ABC=120，將菱形折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G處（不與B、D重合），折痕為EF，若DG=2，BG=6，則BE的長為_19如圖2，小靚用七巧板拼成一幅裝飾圖，放入長方形ABCD內(nèi)，裝飾圖中的三角形頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，三角形的邊GD在邊AD上，則的值是_20如圖，ABCD中，A

9、B=7，BC=3，連接AC，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交CD于點(diǎn)E，連接AE，則AED的周長是_21如圖，ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且ADCD，過點(diǎn)O作OMAC，交AD于點(diǎn)M如果CDM的周長為8，那么ABCD的周長是_22如圖，點(diǎn)E、F、G分別在菱形ABCD的邊AB，BC，AD上，AE=AB，CF=CB，AG=AD已知EFG的面積等于6，則菱形ABCD的面積等于_23如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接AC交BN于點(diǎn)E，連接DE交AM于點(diǎn)F，連接CF，若正方形的邊長為6，則線段CF的最小值是_24如圖，在正方形AB

10、CD中，BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點(diǎn)E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H給出下列結(jié)論：ABEDCF；DP2=PHPB；其中正確的是_（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）25如圖，正方形ABCD的邊長為12，點(diǎn)E在邊AB上，BE=8，過點(diǎn)E作EFBC，分別交BD、CD于G、F兩點(diǎn)若點(diǎn)P、Q分別為DG、CE的中點(diǎn)，則PQ的長為_26如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)M是邊BA延長線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），且AMAB，CBE由DAM平移得到若過點(diǎn)E作EHAC，H為垂足，則有以下結(jié)論：點(diǎn)M位置變化，使得DHC=60時(shí)，2BE=DM；無論點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處，都有DM=HM；無論點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何

11、處，CHM一定大于135其中正確結(jié)論的序號(hào)為_27如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，將BCE沿BE折疊后得到BEF、且點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，將BF延長交AD于點(diǎn)G若，則=_28如圖，已知MON=120，點(diǎn)A，B分別在OM，ON上，且OA=OB=a，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OM，旋轉(zhuǎn)角為（0120且60），作點(diǎn)A關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)C，畫直線BC交OM于點(diǎn)D，連接AC，AD，有下列結(jié)論：AD=CD；ACD的大小隨著的變化而變化；當(dāng)=30時(shí)，四邊形OADC為菱形；ACD面積的最大值為a2；其中正確的是_（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）29如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、

12、BD相交于點(diǎn)O，AB=OB，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OD的中點(diǎn)，連接EF，CEF=45，EMBC于點(diǎn)M，EM交BD于點(diǎn)N，F(xiàn)N=，則線段BC的長為_30如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BCAB，BD=8給出以下判斷：AC垂直平分BD；四邊形ABCD的面積S=ACBD；順次連接四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)得到的四邊形可能是正方形；當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，該圓的半徑為；將ABD沿直線BD對(duì)折，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接BE并延長交CD于點(diǎn)F，當(dāng)BFCD時(shí)，點(diǎn)F到直線AB的距離為其中正確的是_（寫出所有正確判斷的序號(hào)）三、解答題31如圖，在矩形ABCD中，AB=2cm，ADB=

13、30P，Q兩點(diǎn)分別從A，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿折線ABBC運(yùn)動(dòng)，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；點(diǎn)Q在BD上以2cm/s的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PNAD，垂足為點(diǎn)N連接PQ，以PQ，PN為鄰邊作PQMN設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），PQMN與矩形ABCD重疊部分的圖形面積為y（cm2）（1）當(dāng)PQAB時(shí)，x等于多少；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分時(shí)，直接寫出x的值32如圖1在ABC中，矩形EFGH的一邊EF在AB上，頂點(diǎn)G、H分別在BC、AC上，CD是邊AB上的高，CD交GH于點(diǎn)I若CI4，HI3，AD矩形

14、DFGI恰好為正方形（1）求正方形DFGI的邊長；（2）如圖2，延長AB至P使得ACCP，將矩形EFGH沿BP的方向向右平移，當(dāng)點(diǎn)G剛好落在CP上時(shí)，試判斷移動(dòng)后的矩形與CBP重疊部分的形狀是三角形還是四邊形，為什么？（3）如圖3，連接DG，將正方形DFGI繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到正方形DFGI，正方形DFGI分別與線段DG、DB相交于點(diǎn)M、N，求MNG的周長33如圖1，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點(diǎn)B，C，F(xiàn)30.（1）求證：BECE（2）將EFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).若EF，EG分別與AB，

15、BC相交于點(diǎn)M，N.（如圖2）求證：BEMCEN；若AB2，求BMN面積的最大值；當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí)，點(diǎn)B恰好在FG上（如圖3），求sinEBG的值.34（1）如圖1，將矩形ABCD折疊，使BC落在對(duì)角線BD上，折痕為BE，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，若ADB=46，則DBE的度數(shù)為 （2）小明手中有一張矩形紙片ABCD，AB=4，AD=9（畫一畫）如圖2，點(diǎn)E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設(shè)為MN（點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕MN（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；（算一算）如圖3，點(diǎn)F在這張矩形紙片的邊BC上，將紙片折疊，使F

16、B落在射線FD上，折痕為GF，點(diǎn)A，B分別落在點(diǎn)A，B處，若AG=，求BD的長；（驗(yàn)一驗(yàn)）如圖4，點(diǎn)K在這張矩形紙片的邊AD上，DK=3，將紙片折疊，使AB落在CK所在直線上，折痕為HI，點(diǎn)A，B分別落在點(diǎn)A，B處，小明認(rèn)為BI所在直線恰好經(jīng)過點(diǎn)D，他的判斷是否正確，請(qǐng)說明理由35已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，AE與BE分別為DAB和CBA的平分線（1）請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件 ，使得四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，并以AB為直徑作O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（3）在（2）的條件下，O交邊AD于

17、點(diǎn)F，連接BF，交AE于點(diǎn)G，若AE=4，sinAGF=，求O的半徑36綜合與實(shí)踐折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，同學(xué)們小時(shí)候都玩過折紙，可能折過小動(dòng)物、小花、飛機(jī)、小船等，折紙活動(dòng)也伴隨著我們初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)在折紙過程中，我們可以通過研究圖形的性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)、確定圖形位置等，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，在經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程中，我們會(huì)初步建立幾何直觀，折紙往往從矩形紙片開始，今天，就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來玩一玩折紙，看看折疊矩形的對(duì)角線之后能得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論實(shí)踐操作如圖1，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC翻折，使點(diǎn)B落在矩形ABCD所在平面內(nèi)，BC和AD相交于點(diǎn)E，連接BD解決問題(1)在圖1中，BD和AC的位

18、置關(guān)系為；將AEC剪下后展開，得到的圖形是；(2)若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(shí)(ABBC)，如圖2所示，結(jié)論和結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)?zhí)暨x其中的一個(gè)結(jié)論加以證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)小紅沿對(duì)角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對(duì)稱圖形，沿對(duì)稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對(duì)稱圖形，則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為；拓展應(yīng)用(4)在圖2中，若B=30，AB=4，當(dāng)ABD恰好為直角三角形時(shí)，BC的長度為37如圖（1），已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，GEBC，垂足為點(diǎn)E，GFCD，垂足為點(diǎn)F（1）證明與推斷：求證：四邊形CEGF是正方形；推斷：的值為 ：（2）探究與證明：將正方形C

19、EGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（045），如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：（3）拓展與運(yùn)用：正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長CG交AD于點(diǎn)H若AG=6，GH=2，則BC= 38在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點(diǎn)，把PBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BECG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點(diǎn)F（1）如圖1，若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證：AEBDEC；（2）如圖2，求證：BP=BF；當(dāng)AD=25，且AEDE時(shí)，求cosPCB的值；當(dāng)BP=9時(shí)，求BEEF的值39對(duì)給定的一張矩形紙片ABCD進(jìn)行

20、如下操作：先沿CE折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上（如圖），再沿CH折疊，這時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)D重合（如圖）（1）根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求的值；（2）將該矩形紙片展開如圖，折疊該矩形紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)H重合，折痕與AB相交于點(diǎn)P，再將該矩形紙片展開求證：HPC=90；不借助工具，利用圖探索一種新的折疊方法，找出與圖中位置相同的P點(diǎn)，要求只有一條折痕，且點(diǎn)P在折痕上，請(qǐng)簡要說明折疊方法（不需說明理由）40如圖1，在ABCD中，DHAB于點(diǎn)H，CD的垂直平分線交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5（1）如圖2，作FGAD于點(diǎn)G，交DH于點(diǎn)M，將DGM沿DC方向平移，得到CGM，連接

21、MB求四邊形BHMM的面積；直線EF上有一動(dòng)點(diǎn)N，求DNM周長的最小值（2）如圖3，延長CB交EF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QKAB，過CD邊上的動(dòng)點(diǎn)P作PKEF，并與QK交于點(diǎn)K，將PKQ沿直線PQ翻折，使點(diǎn)K的對(duì)應(yīng)點(diǎn)K恰好落在直線AB上，求線段CP的長41在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn).以點(diǎn)為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，.（）如圖，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（）如圖，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，與交于點(diǎn).求證；求點(diǎn)的坐標(biāo).（）記為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，為的面積，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.42在菱形中，,點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊，點(diǎn)的位置隨點(diǎn)的位置變化而變化.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，連接，與的數(shù)量關(guān)系是 ，與的位置關(guān)系是 ；（2）當(dāng)點(diǎn)在菱形外部時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由(選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理). (3) 如圖4，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，連接，若