機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)完整版PPT課件.ppt

1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)第一講機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 孫靖民 主編計(jì)劃學(xué)時(shí)數(shù)：48學(xué)時(shí)(最后一節(jié)課隨堂考試）使用教材孫靖民. 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì). 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003參考書1方世杰，綦耀光主編. 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì). 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，20032 陳立周，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，北京：冶金工業(yè)出版社，19973 劉惟信. 機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì). 北京：清華大學(xué)出版社，1994課程介紹本課主要內(nèi)容 優(yōu)化設(shè)計(jì)概述 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 一維搜索方法 無(wú)約束優(yōu)化方法 約束優(yōu)化方法 多目標(biāo)及離散變量?jī)?yōu)化方法 優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例第一章 優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念 1-1 緒論1-2 優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的示例1-3 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 1-

2、4 優(yōu)化問(wèn)題的幾何解釋和基本解法 優(yōu)化是從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。 優(yōu)化的原理與方法，在科學(xué)的、工程的和社會(huì)的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化設(shè)計(jì)。 1-1 緒論1.優(yōu)化、優(yōu)化設(shè)計(jì)和機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的含義 （1）來(lái)源：優(yōu)化一語(yǔ)來(lái)自英文Optimization，其本意是尋優(yōu)的過(guò)程； （2）優(yōu)化過(guò)程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（以max表示)或極小(以min表示)的過(guò)程。優(yōu)化方法也稱數(shù)學(xué)規(guī)劃，是用科學(xué)方法和手段進(jìn)行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學(xué)； （3）優(yōu)化設(shè)計(jì)：根據(jù)給定的設(shè)計(jì)要求和現(xiàn)有的技術(shù)條件，應(yīng)用專業(yè)理論和優(yōu)化方法，在電子計(jì)算機(jī)上從滿足給定的設(shè)計(jì)要求的許多可行方案中，按照給定的目

3、標(biāo)自動(dòng)地選出最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 就是把機(jī)械設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)理論及方法相結(jié)合，借助電子計(jì)算機(jī)，自動(dòng)尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案和最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。 優(yōu)化設(shè)計(jì)流程 常規(guī)設(shè)計(jì)流程2.優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展概況 歷史上最早記載下來(lái)的最優(yōu)化問(wèn)題可追溯到古希臘的歐幾里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周長(zhǎng)相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀(jì)微積分的建立給出了求函數(shù)極值的一些準(zhǔn)則，對(duì)最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。然而，在以后的兩個(gè)世紀(jì)中，最優(yōu)化技術(shù)的進(jìn)展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題，發(fā)展了變分法。 直到上世紀(jì)40年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)，并使優(yōu)化技術(shù)

4、首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭(zhēng)中的實(shí)際問(wèn)題，例如轟炸機(jī)最佳俯沖軌跡的設(shè)計(jì)等。 50年代末數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計(jì)中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。 近十幾年來(lái)，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機(jī)床、汽車、自動(dòng)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機(jī)、電器等工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域，并取得了顯著效果。其中在機(jī)械設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得了豐碩的成果。一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于工程設(shè)計(jì)問(wèn)題，所涉及的因素愈多，問(wèn)題愈復(fù)雜，最優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果所取得的效益就愈大。 最優(yōu)化設(shè)計(jì)是在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)

5、上發(fā)展起來(lái)的，是6O年代初電子計(jì)算機(jī)引入結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設(shè)計(jì)方法。利用這種方法，不僅使設(shè)計(jì)周期大大縮短，計(jì)算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法所不能解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。大型電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。第一階段人類智能優(yōu)化：與人類史同步，直接憑借人類的直覺(jué)或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。 第二階段數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)推動(dòng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來(lái)得到迅速發(fā)展。 第三階段工程優(yōu)化：近二十余年來(lái)，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展給解決復(fù)雜工程

6、優(yōu)化問(wèn)題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問(wèn)題。在處理多目標(biāo)工程優(yōu)化問(wèn)題中，基于經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)的方法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過(guò)程和方法學(xué)研究，尤其是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。 第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：如遺傳算法、 模擬退火算法、 蟻群算法、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動(dòng)選擇和優(yōu)化過(guò)程的自動(dòng)控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例 美國(guó)波音飛機(jī)公司對(duì)大型機(jī)翼用138個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運(yùn)輸艦用10個(gè)變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使成本降低約10%。 實(shí)踐證明，最

7、優(yōu)化設(shè)計(jì)是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設(shè)計(jì)方法。同時(shí)也可使設(shè)計(jì)者從大量繁瑣和重復(fù)的計(jì)算工作中解脫出來(lái)，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)，并大大提高設(shè)計(jì)效率。 基礎(chǔ)：（1）最優(yōu)化數(shù)學(xué)理論 （2）現(xiàn)代計(jì)算技術(shù) 內(nèi)容：（1）將工程實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化； （建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型） （2）用最優(yōu)化計(jì)算方法在計(jì)算機(jī)上求解 數(shù)學(xué)模型。優(yōu)化設(shè)計(jì)是一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法，是很好的設(shè)計(jì)工具。3. 本課程的任務(wù)該課程的主要目的和任務(wù)： 了解和基本掌握機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本知識(shí)； 擴(kuò)大視野，并初步具有應(yīng)用機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本理論和基本方法解決簡(jiǎn)單工程實(shí)際問(wèn)題的素質(zhì)。1-2 優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的示例 優(yōu)化設(shè)計(jì)

8、就是借助最優(yōu)化數(shù)值計(jì)算方法與計(jì)算機(jī)技術(shù)，求取工程問(wèn)題的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。 優(yōu)化設(shè)計(jì)包括： （1）必須將實(shí)際問(wèn)題加以數(shù)學(xué)描述，形成數(shù)學(xué)模型； （2）選用適當(dāng)?shù)囊环N最優(yōu)化數(shù)值方法和計(jì)算程序運(yùn)算求解。 已知：制造一體積為100m3，長(zhǎng)度不小于5m，不帶上蓋的箱盒，試確定箱盒的長(zhǎng)x1，寬x2，高x3，使箱盒用料最省。 分析：（1）箱盒的表面積的表達(dá)式；（2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：長(zhǎng)x1，寬x2，高x3 ；（3）設(shè)計(jì)約束條件： （a）體積要求； （b）長(zhǎng)度要求；x1x2x3箱盒的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：約束條件： 某工廠生產(chǎn)A 和B 兩種產(chǎn)品，A 產(chǎn)品單位價(jià)格為PA 萬(wàn)元， B 產(chǎn)品單位價(jià)格為PB 萬(wàn)元

9、。每生產(chǎn)一個(gè)單位A 產(chǎn)品需消耗煤aC 噸，電aE 度，人工aL 個(gè)人日；每生產(chǎn)一個(gè)單位B 產(chǎn)品需消耗煤bC 噸，電bE 度，人工bL 個(gè)人日?，F(xiàn)有可利用生產(chǎn)資源煤C 噸，電E 度，勞動(dòng)力L 個(gè)人日，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產(chǎn)值最大。 分析：（1）產(chǎn)值的表達(dá)式；（2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定： A 產(chǎn)品xA， B 產(chǎn)品xB ；（3）設(shè)計(jì)約束條件： （a）生產(chǎn)資源煤約束； （b）生產(chǎn)資源電約束； （b）生產(chǎn)資源勞動(dòng)力約束；最大產(chǎn)值生產(chǎn)資源分配問(wèn)題 數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：約束條件：1-3 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 1.設(shè)計(jì)變量 一個(gè)設(shè)計(jì)方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來(lái)表示，這些基本參數(shù)可以是構(gòu)件尺寸等幾何量，也可

10、以是質(zhì)量等物理量，還可以是應(yīng)力、變形等表示工作性能的導(dǎo)出量。 在設(shè)計(jì)過(guò)程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立的基本參數(shù)，稱作設(shè)計(jì)變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計(jì)條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。 設(shè)計(jì)變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個(gè)列向量表示。設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如n個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱為n維設(shè)計(jì)問(wèn)題。 由n個(gè)設(shè)計(jì)變量 為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間稱作設(shè)計(jì)空間。一個(gè)“設(shè)計(jì)”，可用設(shè)計(jì)空間中的一點(diǎn)表示。 設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如n個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱為n維設(shè)計(jì)問(wèn)題。 按照產(chǎn)品設(shè)

11、計(jì)變量的取值特點(diǎn)，設(shè)計(jì)變量可分為連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量（例如各種標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格等）。 圖1-1 設(shè)計(jì)變量所組成的設(shè)計(jì)空間（a）二維設(shè)計(jì)問(wèn)題 （b）三維設(shè)計(jì)問(wèn)題 只有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量的二維設(shè)計(jì)問(wèn)題可用圖1-1（a）所示的平面直角坐標(biāo)表示；有三個(gè)設(shè)計(jì)變量的三維設(shè)計(jì)問(wèn)題可用圖1-1（b）所表示的空間直角坐標(biāo)表示。 設(shè)計(jì)空間的維數(shù)表征設(shè)計(jì)的自由度，設(shè)計(jì)變量愈多，則設(shè)計(jì)的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設(shè)計(jì)愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈復(fù)雜。 小型設(shè)計(jì)問(wèn)題：一般含有210個(gè)設(shè)計(jì)變量； 中型設(shè)計(jì)問(wèn)題：1050個(gè)設(shè)計(jì)變量； 大型設(shè)計(jì)問(wèn)題：50個(gè)以上的設(shè)計(jì)變量。 目前已能解決200個(gè)設(shè)計(jì)變量的大型最

12、優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。如何選定設(shè)計(jì)變量？ 任何一項(xiàng)產(chǎn)品，是眾多設(shè)計(jì)變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會(huì)增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過(guò)大。所以設(shè)計(jì)變量時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）抓主要，舍次要。 對(duì)產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計(jì)變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2）根據(jù)要解決設(shè)計(jì)問(wèn)題的特殊性來(lái)選擇設(shè)計(jì)變量。 例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設(shè)計(jì)變量有4個(gè)，即鋼絲直徑d，彈簧中徑D，工作圈數(shù)n和自由高度H。在設(shè)計(jì)中，將材料的許用剪切應(yīng)力 和剪切模量等作為設(shè)計(jì)常量。在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計(jì)彈簧，則可把彈簧中徑D作為設(shè)計(jì)常量。 2.約束條件 設(shè)計(jì)空間是所

13、有設(shè)計(jì)方案的集合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上所不能接受的。如一個(gè)設(shè)計(jì)滿足所有對(duì)它提出的要求，就稱為可行設(shè)計(jì)。 一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡(jiǎn)稱約束。 約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：(1)等式約束(2)不等式約束顯式約束 隱式約束 約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式 ,如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過(guò)有限元等方法計(jì)算求得。根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束針對(duì)性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強(qiáng)度、剛度或穩(wěn)定

14、性等要求；邊界約束只是對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍，對(duì)軸段長(zhǎng)度的限定范圍就屬于邊界約束。圖1-2 設(shè)計(jì)空間中的約束面（或約束線） (a)二變量設(shè)計(jì)空間中的約束線 (b) 三變量設(shè)計(jì)空間中的約束面 如圖1-3上畫出了滿足兩項(xiàng)約束條件g1（X）=x12x2216 O和g2（X）2X20的二維設(shè)計(jì)問(wèn)題的可行域D，它位于X2=2的上面和圓 x12x22=16的圓弧ABC下面并包括線段AC和圓弧ABC在內(nèi)。圖1-3 約束條件規(guī)定的可行域D 可行域 : 在設(shè)計(jì)空間中，滿足所有約束條件的所構(gòu)成的空間 。 3.目標(biāo)函數(shù) 在優(yōu)化過(guò)程中，通過(guò)設(shè)計(jì)變量的不斷向F(

15、X)值改善的方向自動(dòng)調(diào)整，最后求得F(X)值最好或最滿意的X值。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計(jì)變量，所有的設(shè)計(jì)變量必須包含在約束函數(shù)中。在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有： 體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動(dòng)負(fù)荷最小等等。 為了對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，必須構(gòu)造包含設(shè)計(jì)變量的評(píng)價(jià)函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)，以F(X)表示。 在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，這種問(wèn)題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題。在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)

16、愈多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問(wèn)題的求解亦愈復(fù)雜。 在實(shí)際工程設(shè)計(jì)問(wèn)題中，常常會(huì)遇到在多目標(biāo)函數(shù)的某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計(jì)者正確處理各目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。 目標(biāo)函數(shù)等值（線）面 目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來(lái)。為了在n維設(shè)計(jì)空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。 目標(biāo)函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達(dá)式為： c為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設(shè)計(jì)空間中，F(xiàn)(x1,x2)=c 代表x-x設(shè)計(jì)平面上的一族曲線。 對(duì)于具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為等值線或等值面。圖1-4 等值線 圖1-4表示目標(biāo)函數(shù)f（X）

17、與兩個(gè)設(shè)計(jì)變量x1，x2階所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)所構(gòu)成的平面曲線。當(dāng)給目標(biāo)函數(shù)以不同值時(shí)，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的等值線族。在極值處目標(biāo)函數(shù)的等值線聚成一點(diǎn)，并位于等值線族的中心。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值的變化范圍一定時(shí)，等值線愈稀疏說(shuō)明目標(biāo)函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律。 從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中F=40的等值線就是使F(x1,x2)=40的各點(diǎn)x1,x2T所組成的連線。 如圖函數(shù) 的等值線圖。圖1-5 等值線4. 優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題一般數(shù)學(xué)形式：滿足約束條件 ：求設(shè)計(jì)變量向量使目

18、標(biāo)函數(shù) 對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，要建立能反映客觀工程實(shí)際的、完善的數(shù)學(xué)模型往往會(huì)遇到很多困難，有時(shí)甚至比求解更為復(fù)雜。這時(shí)要抓住關(guān)鍵因素，適當(dāng)忽略不重要的成分，使問(wèn)題合理簡(jiǎn)化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時(shí)間，有時(shí)也會(huì)改善優(yōu)化結(jié)果。 最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)通常為求目標(biāo)函數(shù)的最小值。若目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)為可行域中的最大值時(shí)，則可看成是求-F（X）的最小值，因?yàn)閙in-F（X）與maxF（X）是等價(jià)的。當(dāng)然，也可看成是求1F（X）的極小值。5. 建模實(shí)例1）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗(yàn)等，對(duì)優(yōu)化對(duì)象進(jìn)行分析。必要時(shí)，需要對(duì)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中的公式進(jìn)行改進(jìn)，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)步的

19、成果。2）對(duì)結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進(jìn)行分析，以確定設(shè)計(jì)的原始參數(shù)、設(shè)計(jì)常數(shù)和設(shè)計(jì)變量。3）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時(shí)要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)。4）必要時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化，以消除諸組成項(xiàng)間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型一般步驟：配料每磅配料中的營(yíng)養(yǎng)含量鈣蛋白質(zhì)纖維每磅成本（元）石灰石谷物大豆粉0.380 0.00 0.000.001 0.09 0.020.002 0.50 0.08 0.0164 0.0463 0.1250 以最低成本確定滿足動(dòng)物所需營(yíng)養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每天需要混合飼料的批量為100磅，這份飼料必須含：至少0.8%而不超過(guò)1.2%

20、的鈣;至少22%的蛋白質(zhì);至多5%的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營(yíng)養(yǎng)成分為：混合飼料配合解:根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下:設(shè) 是生產(chǎn)100磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。6. 優(yōu)化設(shè)計(jì)的分類對(duì)于最優(yōu)化問(wèn)題一般可作如下分類：還有其它的一些劃分方法： 如按設(shè)計(jì)變量的性質(zhì)分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量規(guī)劃問(wèn)題: 二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃等。一、幾何解釋1-4 優(yōu)化問(wèn)題的幾何解釋和基本解法無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題就是在沒(méi)有限制的條件下，對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)是以等值面的形式反映出來(lái)的，則無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的極小點(diǎn)即

21、為等值面的中心。約束優(yōu)化問(wèn)題是在可行域內(nèi)對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)，此極小點(diǎn)在可行域內(nèi)或在可行域邊界上。等值線等高線等值線等高線：它是由許多具有相同目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)所構(gòu)成的平面曲線目標(biāo)函數(shù)的等值線數(shù)學(xué)表達(dá)式為：例1：如下二維非線性規(guī)劃問(wèn)題例題 通過(guò)二維約束優(yōu)化問(wèn)題的幾何求解來(lái)直觀地描述優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本思想。 目標(biāo)函數(shù)等值線是以點(diǎn)（2，0）為圓心的一組同心圓。 如不考慮約束，本例的無(wú)約束最優(yōu)解是：，約束方程所圍成的可行域是D。圖1-9由圖易見(jiàn)約束直線與等值線的切點(diǎn)是最優(yōu)點(diǎn)，利用解析幾何的方法得該切點(diǎn)為 ， 對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值為 (見(jiàn)圖）例2：解：先畫出目標(biāo)函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一

22、條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點(diǎn)就是可行域上使等值線具有最小值的點(diǎn)。解：先畫出等式約束曲線 的圖形。 這是一條拋物線，如圖例3：再畫出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）最后畫出目標(biāo)函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點(diǎn)，ABCD 以及等值線與可行集的切點(diǎn)，易見(jiàn)可行域?yàn)榍€段ABCD。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿拋物曲線段ABCD由A點(diǎn)出發(fā)時(shí)，AB段目標(biāo)函數(shù)值下降。過(guò)點(diǎn)B后，在BC段目標(biāo)函數(shù)值上升。過(guò)C點(diǎn)后，在CD段目標(biāo)函數(shù)值再次下降。D點(diǎn)是使目標(biāo)函數(shù)值最小的可行點(diǎn)，其坐標(biāo)可通過(guò)解方程組：得出：ABCD 例4 人字架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)如圖所示的人字架由兩個(gè)鋼管構(gòu)成，其頂點(diǎn)承受外力為2F=3105N。人字架跨度2B152c

23、m，鋼管壁厚T0.25 cm，鋼管材料的彈性模量E2.1105MPa ,材料密度為7.8103Kg/m3,許用壓應(yīng)力y420MPa 。求在鋼管壓應(yīng)力不超過(guò)許用壓應(yīng)力y和失穩(wěn)臨界應(yīng)力e的條件下。人字架的高h(yuǎn)和鋼管平均直徑D，使鋼管總質(zhì)量m為最小。 根據(jù)題意，可以把人字架的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題歸結(jié)為求使結(jié)構(gòu)質(zhì)量但應(yīng)滿足強(qiáng)度約束條件和穩(wěn)定約束條件數(shù)學(xué)模型：鋼管所受的壓力壓桿失穩(wěn)的臨界力鋼管截面慣性矩鋼管截面面積（r，R為截面內(nèi)外半徑）鋼管所受的壓應(yīng)力鋼管的臨界應(yīng)力強(qiáng)度約束條件可以寫成穩(wěn)定約束條件可以寫成解析法 假定使人字架總值量為最小的最優(yōu)解剛好滿足強(qiáng)度條件，即有從而可以將設(shè)計(jì)變量D用設(shè)計(jì)變量h表示將D帶入

24、目標(biāo)函數(shù)m ( D, h ) 中，得根據(jù)極值必要條件得把所得參數(shù)帶入穩(wěn)定條件，可以證明即穩(wěn)定條件得到滿足。所以h* ，D* 這兩個(gè)參數(shù)是滿足強(qiáng)度約束和穩(wěn)定約束，且使結(jié)構(gòu)最輕的最佳參數(shù)。作圖法在設(shè)計(jì)平面D-h上畫出代表的兩條曲線。可行域條件然后再畫出一族等質(zhì)量等值線C為一系列常數(shù)。X*的坐標(biāo)：D*6.43 h*76 m*8.47 討論：若對(duì)于具有不等式約束條件的優(yōu)化問(wèn)題，判斷那些約束是起作用的，那些約束是不起作用的，這對(duì)求解優(yōu)化問(wèn)題是很關(guān)鍵的。按解析法求解得用作圖法求解得 由以上四個(gè)例子可見(jiàn)，對(duì)二維最優(yōu)化問(wèn)題。我們總可以用圖解法求解，而對(duì)三維或高維問(wèn)題，已不便在平面上作圖，此法失效。 在三維和三

25、維以上的空間中，使目標(biāo)函數(shù)取同一常數(shù)值的是 X| f(X)=C, C是常數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)的等值面。等值面具有以下性質(zhì)：（1）不同值的等值面之間不相交，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是單值函數(shù)；（2）等值面稠的地方，目標(biāo)函數(shù)值變化得較快，而稀疏的地方變化得比較慢；（3）一般地，在極值點(diǎn)附近，等值面（線）近似地呈現(xiàn)為同心橢球面族（橢圓族）。求解優(yōu)化問(wèn)題的基本解法有： 二、優(yōu)化問(wèn)題的基本解法解析法數(shù)值解法解析法：即利用數(shù)學(xué)分析(微分、變分等）的方法，根據(jù)函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的求解方法 。在目標(biāo)函數(shù)比較簡(jiǎn)單時(shí)，求解還可以。 局限性：工程優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)雜，有時(shí)甚至還無(wú)

26、法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法就會(huì)帶來(lái)麻煩。 最優(yōu)化方法是與近代電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)值計(jì)算法比解析法更能適應(yīng)電子計(jì)算機(jī)的工作特點(diǎn)，因?yàn)閿?shù)值計(jì)算的迭代方法具有以下特點(diǎn)： 1）是數(shù)值計(jì)算而不是數(shù)學(xué)分析方法； 2）具有簡(jiǎn)單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進(jìn)行反復(fù)的同樣的算術(shù)計(jì)算； 3）最后得出的是逼近精確解的近似解。這些特點(diǎn)正與計(jì)算機(jī)的工作特點(diǎn)相一致。 數(shù)值解法：這是一種數(shù)值近似計(jì)算方法，又稱為數(shù)值迭代方法。它是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律，以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)沿著能使目標(biāo)函數(shù)值下降的方向，逐步向目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行探索，逐步逼近到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)或直至達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。數(shù)值解法（迭代法）是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的基

27、本解法。 其中也可能用到解析法，如最速下降方向的選取、最優(yōu)步長(zhǎng)的確定等。 數(shù)值迭代法的基本思路：是進(jìn)行反復(fù)的數(shù)值計(jì)算，尋求目標(biāo)函數(shù)值不斷下降的可行計(jì)算點(diǎn)，直到最后獲得足夠精度的最優(yōu)點(diǎn)。這種方法的求優(yōu)過(guò)程大致可歸納為以下步驟： 1）首先初選一個(gè)盡可能靠近最小點(diǎn)的初始點(diǎn)X（0），從X（0）出發(fā)按照一定的原則尋找可行方向和初始步長(zhǎng)，向前跨出一步達(dá)到X（1）點(diǎn)； 2）得到新點(diǎn)X（1）后再選擇一個(gè)新的使函數(shù)值迅速下降的方向及適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)，從X（1）點(diǎn)出發(fā)再跨出一步，達(dá)到X（2）點(diǎn)，并依此類推，一步一步地向前探索并重復(fù)數(shù)值計(jì)算，最終達(dá)到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)。1.求解步驟在中間過(guò)程中每一步的迭代形式為： 圖1-8

28、 迭代計(jì)算機(jī)逐步逼近最優(yōu)點(diǎn)過(guò)程示意圖 上式中：X（k）第k步迭代計(jì)算所得到的點(diǎn)，稱第k步迭代點(diǎn)， 亦為第k步設(shè)計(jì)方案； a（k）第k步迭代計(jì)算的步長(zhǎng)； S（k）第k步迭代計(jì)算的探索方向。 用迭代法逐步逼近最優(yōu)點(diǎn)的探索過(guò)程如圖1-8所示。 運(yùn)用迭代法，每次迭代所得新的點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)都應(yīng)滿足函數(shù)值下降的要求：（1）選擇搜索方向（2）確定步長(zhǎng)因子（3）給定收斂準(zhǔn)則收斂：迭代法要解決的問(wèn)題：柯西收斂準(zhǔn)則點(diǎn)列 收斂的必要和充要條件是：對(duì)于任意指定的實(shí)數(shù) ，都存在一個(gè)只與 有關(guān)而與 無(wú)關(guān)的自然數(shù) N，使得當(dāng)兩自然數(shù)m，p N時(shí),滿足 或 或2.迭代終止準(zhǔn)則（1）點(diǎn)距準(zhǔn)則或ffkfk+1f*xkoxk+1x*

29、x(a)（2）函數(shù)值下降量 準(zhǔn)則或xoffkfk+1f*xkxk+1x*(b)（3）目標(biāo)函數(shù)梯度 準(zhǔn)則 上述準(zhǔn)則都在一定程度上反映了逼近最優(yōu)點(diǎn)的程度，但都有一定的局限性。在實(shí)際應(yīng)用中，可取其中一種或多種同時(shí)滿足來(lái)進(jìn)行判定。采用哪種收斂準(zhǔn)則，可視具體問(wèn)題而定?？梢匀。?圖1-12 優(yōu)化設(shè)計(jì)流程三、優(yōu)化設(shè)計(jì) 一般步驟第二章 優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2-1 方向?qū)?shù)與梯度2-2 凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃2-3 二次函數(shù)及正定矩陣2-4 無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件 2-5 有約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件 2-1 方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)二元函數(shù)在點(diǎn)x0處沿某一方向s的方向?qū)?shù)Ox2x1x10 x20 x0 x1x2s

30、xS12Ox2x1x10 x20 x0 x1x2sxS12圖2-1方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系是方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)概念的推廣。三元函數(shù) 在 點(diǎn)處沿s方向的方向?qū)?shù)n元函數(shù)在點(diǎn)x0處沿s方向的方向?qū)?shù) 二、 梯度二元函數(shù)的梯度 為函數(shù)F(x1，x2)在x0點(diǎn)處的梯度。梯度的模：設(shè)梯度方向和s方向重合時(shí)，方向?qū)?shù)值最大。 梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向，而梯度的模就是函數(shù)變化率的最大值 。圖2-2 梯度方向與等值線的關(guān)系設(shè)：則有 為單位向量。多元函數(shù)的梯度 函數(shù)的梯度方向與函數(shù)等值面相垂直，也就是和等值面上過(guò)x0的一切曲線相垂直。 由于梯度的模因點(diǎn)而異，即函數(shù)在不同點(diǎn)處的最大變化率是不同的。因此，

31、梯度是函數(shù)的一種局部性質(zhì)。梯度 模：梯度兩個(gè)重要性質(zhì)： 性質(zhì)一 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度不為零，則必與過(guò)該點(diǎn)的等值面垂直； 性質(zhì)二 梯度方向是函數(shù)具有最大變化率的方向。圖2-2 梯度方向與等值面的關(guān)系例題 2-1求函數(shù) 在點(diǎn)3,2T 的 梯度。在點(diǎn)x(1)=3,2T處的梯度為：解： 例2-2：試求目標(biāo)函數(shù) 在點(diǎn) 處的最速下降方向，并求沿這個(gè)方向移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度后新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。則函數(shù)在 處的最速下降方向是解： 由于新點(diǎn)是這個(gè)方向上的單位向量是：幾個(gè)常用的梯度公式： 當(dāng)極值點(diǎn)X*能使f（X*）在整個(gè)可行域中為最小值時(shí)，即在整個(gè)可行域中對(duì)任一X都有f（X）f（X*）時(shí)，則X*就是最優(yōu)點(diǎn)，且稱為全域最優(yōu)點(diǎn)

32、或整體最優(yōu)點(diǎn)。若f（X*）為局部可行域中的極小值而不是整個(gè)可行域中的最小值時(shí)，則稱X*為局部最優(yōu)點(diǎn)或相對(duì)最優(yōu)點(diǎn)。最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是全域最優(yōu)點(diǎn)。為了判斷某一極值點(diǎn)是否為全域最優(yōu)點(diǎn)，研究一下函數(shù)的凸性很有必要。 函數(shù)的凸性表現(xiàn)為單峰性。對(duì)于具有凸性特點(diǎn)的函數(shù)來(lái)說(shuō)，其極值點(diǎn)只有一個(gè)，因而該點(diǎn)既是局部最優(yōu)點(diǎn)亦為全域最優(yōu)點(diǎn)。 為了研究函數(shù)的凸性，現(xiàn)引入凸集的概念：2-2 凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃一、凸集 設(shè)D為n維歐氏空間中的一個(gè)集合，若其中任意兩點(diǎn)X(1)、X(2)之間的聯(lián)接直線都屬于D，則稱這種集合D為n維歐氏空間的一個(gè)凸集。圖2-3（a）是二維空間的一個(gè)凸集，而圖2-3（b）不是凸集。圖2-3 二維空

33、間的凸集與非凸集X（1）、X（2）兩點(diǎn)之間的聯(lián)接直線，可用數(shù)學(xué)式表達(dá)為:式中 為由0到1（0 1）間的任意實(shí)數(shù)。凸集的性質(zhì)： 1）若D為凸集， 是一個(gè)實(shí)數(shù)，則集合 D仍是凸集； 2）若D和F均為凸集，則其和（或并）仍是凸集； 3）任何一組凸集的積（或交）仍是凸集。二、凸函數(shù) 具有凸性（表現(xiàn)為單峰性）或只有唯一的局部最優(yōu)值亦即全域最優(yōu)值的函數(shù)，稱為凸函數(shù)或單峰函數(shù)。其數(shù)學(xué)定義是： 設(shè) f（X）為定義在 n維歐氏空間中的一個(gè)凸集D上的函數(shù)，如果對(duì)任何實(shí)數(shù)a（0a 0），則 af（X）也必是定義在凸集D上的凸函數(shù)； 3）若f1(X），f2(X )為定義在凸集D上的兩個(gè)凸函數(shù)，和為兩個(gè)任意正數(shù)，則函數(shù)

34、 afl（X）f2(X)仍為D上的凸函數(shù)。 2）定義在凸集D上的兩個(gè)凸函數(shù)f1(X），f2(X)，其和 f（X）=f1（X）十f2（X）亦必為該凸集上的一個(gè)凸函數(shù)； 1）若f（X）為定義在凸集D上且具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f（X）為凸函數(shù)的充分必要條件為： 對(duì)任意兩點(diǎn)X（1），X（2），不等式三、凸性條件恒成立2）設(shè)f（X）為定義在凸集R上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f（X）在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海賽矩陣G(X)在R上處處半正定。四、凸規(guī)劃 對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題 式中若F（X）、 均為凸函數(shù)，則稱此問(wèn)題為凸規(guī)劃。 不論是無(wú)約束或有約束的優(yōu)化問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用中，要證明一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題是否為凸規(guī)劃

35、，一般比較困難，有時(shí)甚至比求解優(yōu)化問(wèn)題本身還要麻煩。尤其對(duì)一些工程問(wèn)題，由于其數(shù)學(xué)模型的性態(tài)都比較復(fù)雜，更難實(shí)現(xiàn)。因此，在優(yōu)化設(shè)計(jì)的求解中，就不必花精力進(jìn)行求證，而通常是從幾個(gè)初始點(diǎn)出發(fā)，找出幾個(gè)局部最優(yōu)解，從中選擇目標(biāo)函數(shù)值最好的解。注意：外，最簡(jiǎn)單最重要的一類就是二次函數(shù)。 在n元函數(shù)中，除了線形函數(shù)：或 f(X)=aX+c2-3 二次函數(shù)及正定矩陣其中 均為常數(shù)。若 ，X0 ，均有 0 ，則稱矩陣Q是正定的。在代數(shù)學(xué)中將特殊的二次函數(shù) 稱為二次型。對(duì)于二次函數(shù)，我們更關(guān)心的是Q為正定矩陣的情形。 若 ，且X0，均有 0，則稱Q是負(fù)定的。定義：設(shè)Q為nn對(duì)稱矩陣其中 Q= b= Q為對(duì)稱矩

36、陣其向量矩陣表示形式是：二次函數(shù)的一般形式為：解：對(duì)稱矩陣Q的三個(gè)主子式依次為：例：判定矩陣Q= 是否正定一個(gè)nn對(duì)稱矩陣Q是正定矩陣的充要條件是矩陣Q的各階主子式都是正的。一個(gè)nn對(duì)稱矩陣Q是負(fù)定矩陣的充要條件是矩陣Q的各階主子式的值負(fù)、正相間。因此知矩陣Q是正定的。定理： 若二次函數(shù) 中Q正定，則它的等值面是同心橢球面族，且中心為證明：作變換 ，代入二次函數(shù)式中：根據(jù)解析幾何知識(shí)，Q為正定矩陣的二次型 的等值面是以坐標(biāo)原點(diǎn) 為中心的同心橢球面族。由于上式中的 是常數(shù)，所以 的等值面也是以 =0為中心的同心橢球面族，回到原坐標(biāo)系中去，原二次函數(shù)就是以 為中心的同心橢球面族。 前面已說(shuō)過(guò)，一般

37、目標(biāo)函數(shù)的等值面在極小點(diǎn)附近近似地呈現(xiàn)為橢球面族。由此可見(jiàn)對(duì)于二次目標(biāo)函數(shù)有效的求極小點(diǎn)的算法，當(dāng)用于一般目標(biāo)函數(shù)時(shí)，至少在極小點(diǎn)附近同樣有效。因此在最優(yōu)化理論中判定一個(gè)算法好壞的標(biāo)準(zhǔn)之一，是把該算法用于Q為正定的二次目標(biāo)函數(shù)，如能迅速找到極小點(diǎn)，就是好算法；否則就不是太好的算法。 特別地若算法對(duì)于Q為正定的二次目標(biāo)函數(shù)能在有限步內(nèi)找出極小點(diǎn)來(lái)，就稱此算法為二次收斂算法，或具有二次收斂性。另外，這族橢球面的中心 恰是二次目標(biāo)函數(shù)的唯一極小點(diǎn)。例：把二次函數(shù) 化為矩陣向量形式并檢驗(yàn)Q是否正定，如正定，試用公式 求這個(gè)函數(shù)的極小點(diǎn)。極小點(diǎn)是 = =解：展開 = =與題中函數(shù)比較各項(xiàng)系數(shù)為：Q= b

38、=由前例知Q正定一、 多元函數(shù)的泰勒展開2-4 無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件 二元函數(shù)：二元函數(shù)：在點(diǎn)X0處多元函數(shù)泰勒展開海色矩陣（Hessian）對(duì)二次函數(shù)：為二次函數(shù)的海色（Hessian）矩陣，常量矩陣。二次函數(shù)的梯度為：例：求目標(biāo)函數(shù)f（X）=的梯度和Hesse矩陣。解：因?yàn)?則又因?yàn)椋汗蔋esse陣為：例題: 用泰勒展開將函數(shù)在點(diǎn)簡(jiǎn)化成線性函數(shù)與二次函數(shù)。解：函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值、梯度和二階導(dǎo)數(shù)矩陣：簡(jiǎn)化的線性函數(shù)簡(jiǎn)化的二次函數(shù)2.4 優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件一. 優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)解無(wú)約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題最優(yōu)解：約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題最優(yōu)解： 不受約束條件限制，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值的一組設(shè)計(jì)變

39、量，即最優(yōu)點(diǎn) x*=x1*,x2*,x n* 和最優(yōu)值 f(x*)構(gòu)成無(wú)約束問(wèn)題最優(yōu)解。 滿足約束條件，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值的一組設(shè)計(jì)變量， 即最優(yōu)點(diǎn) x*=x1*,x2*,x n* 和最優(yōu)值 f(x*)構(gòu)成約束問(wèn)題最優(yōu)解。例如 等式約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件(二)、拉格朗日乘子法 拉格朗日乘子法是求解等式約束優(yōu)化問(wèn)題的另一種經(jīng)典方法，它是通過(guò)增加變量將等式約束優(yōu)化問(wèn)題變成無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。所以又稱作升維法。二. 有約束問(wèn)題最優(yōu)點(diǎn)的幾種情況有適時(shí)約束 目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù),可行域是凸集，則目標(biāo)函數(shù)等值線與適時(shí)約束曲面的切點(diǎn)為最優(yōu)點(diǎn)，而且是全局最優(yōu)點(diǎn)。無(wú)適時(shí)約束 目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，可行域是凸集，則最優(yōu)點(diǎn)是

40、內(nèi)點(diǎn)。相當(dāng)于無(wú)約束問(wèn)題的最優(yōu)點(diǎn)。X*f (x) x*有適時(shí)約束 目標(biāo)函數(shù)是非凸函數(shù)（圖 a），或可行域是非凸集（圖 b）： 則目標(biāo)函數(shù)等值線與適時(shí)約束曲面可能存在多個(gè)切點(diǎn)，是局部極值點(diǎn)，其中只有一個(gè)點(diǎn)是全局最優(yōu)點(diǎn)。二. 有約束問(wèn)題最優(yōu)點(diǎn)的幾種情況pQQp三、無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件 1.F(x)在 處取得極值，其必要條件是: 即在極值點(diǎn)處函數(shù)的梯度為n維零向量。例： 在 處梯度為但 只是雙曲拋物面的鞍點(diǎn)，而不是極小點(diǎn)。函數(shù)的梯度為零的條件僅為必要的，而不是充分的。 則稱 為f的駐點(diǎn)。定義：設(shè) 是D的內(nèi)點(diǎn)，若根據(jù)函數(shù)在 點(diǎn)處的泰勒展開式，考慮上述極值必要條件，可得相應(yīng)的充分條件。 為了判斷從上述

41、必要條件求得的 是否是極值點(diǎn)，需建立極值的充分條件。2. 處取得極值充分條件海色（Hessian）矩陣 正定，即各階主子式均大于零，則X*為極小點(diǎn)。海色（Hessian）矩陣 負(fù)定，即各階主子式負(fù)、正相間，則X*為極大點(diǎn)。2-5 有約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件 不等式約束的多元函數(shù)極值的必要條件是著名的庫(kù)恩-塔克（Kuhn-Tucker）條件，它是非線性優(yōu)化問(wèn)題的重要理論（1）庫(kù)恩塔克條件 (K-T條件）對(duì)于多元函數(shù)不等式的約束優(yōu)化問(wèn)題： 一、多元函數(shù)不等式約束優(yōu)化問(wèn)題二、同時(shí)具有等式和不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題 利用KT條件求極值點(diǎn)往往是很繁瑣的，需要確定需要確定哪些約束在極值點(diǎn)處起作用。庫(kù)思塔克條件也

42、可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度一定能夠表示成所有起作用的各約束函數(shù)在該點(diǎn)梯度（法向量）的非負(fù)線性組合，即 (222)K-T條件庫(kù)恩塔克條件表明：如點(diǎn) 是函數(shù) 的極值點(diǎn)，要么 （此時(shí) ）要么目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度等于起作用約束梯度的非負(fù)線性組合（此時(shí) ）。 Ox1x2極值點(diǎn)處于等值線的中心極值點(diǎn)處于兩個(gè)約束曲線的交點(diǎn)上xg1 (x)0g2 (x)0g3 (x)0Ox1x2xg1(x)0g2(x)0起作用約束：庫(kù)恩塔克條件的幾何意義是: 在約束極小值點(diǎn) 處，函數(shù) 的負(fù)梯度一定能表示成所有起使用約束在該點(diǎn)梯度（法向量）的非負(fù)線性組合。x1x2Og2(x)=0g1(x)=0F (x)=Cg2(xk)g

43、1(xk)F(xk)xk可行域點(diǎn)xk處的切平面x1x2Og2(x)=0g1(x)=0F (x)=Cg2(xk)g1(xk)F (xk)xk可行域點(diǎn)xk處的切平面(a)(b) 同時(shí)具有等式和不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題 :K-T條件： K-T條件是多元函數(shù)取得約束極值的必要條件,以用來(lái)作為約束極值的判斷條件，又可以來(lái)直接求解較簡(jiǎn)單的約束優(yōu)化問(wèn)題。 對(duì)于目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是凸函數(shù)的情況， 符合K-T條件的點(diǎn)一定是全局最優(yōu)點(diǎn)。這種情況K-T條件即為多元函數(shù)取得約束極值的充分必要條件。 K-T條件是多元函數(shù)取得約束極值的必要條件,以用來(lái)作為約束極值的判斷條件，又可以來(lái)直接求解較簡(jiǎn)單的約束優(yōu)化問(wèn)題。例庫(kù)恩塔克

44、（K-T）條件應(yīng)用舉例 s.t判斷1 0T是否為約束最優(yōu)點(diǎn)。(1)當(dāng)前點(diǎn) 為可行點(diǎn)，因滿足約束條件(3) 各函數(shù)的梯度：（2）在 起作用約束為g1和g2 , 因 （4）求拉格朗日乘子由于拉格朗日乘子均為非負(fù)，說(shuō)明是一個(gè)局部最優(yōu)點(diǎn)，因?yàn)樗鼭M足K-T條件。s.t：機(jī)械系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過(guò)程第三章 一維搜索方法3-1 概述3-2 搜索區(qū)間的確定與區(qū)間消去法原理3-3 一維搜索的試探方法 3-4 一維搜索的插值方法 求解優(yōu)化問(wèn)題的基本解法有： 解析法數(shù)值解法解析法：即利用數(shù)學(xué)分析(微分、變分等）的方法，根據(jù)函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的求解方法 。在目標(biāo)函數(shù)比較簡(jiǎn)單

45、時(shí)，求解還可以。 局限性：工程優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)雜，有時(shí)甚至還無(wú)法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法就會(huì)帶來(lái)麻煩。 數(shù)值迭代法的基本思路：是進(jìn)行反復(fù)的數(shù)值計(jì)算，尋求目標(biāo)函數(shù)值不斷下降的可行計(jì)算點(diǎn)，直到最后獲得足夠精度的最優(yōu)點(diǎn)。這種方法的求優(yōu)過(guò)程大致可歸納為以下步驟： 1）首先初選一個(gè)盡可能靠近最小點(diǎn)的初始點(diǎn)X（0），從X（0）出發(fā)按照一定的原則尋找可行方向和初始步長(zhǎng)，向前跨出一步達(dá)到X（1）點(diǎn)； 2）得到新點(diǎn)X（1）后再選擇一個(gè)新的使函數(shù)值迅速下降的方向及適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)，從X（1）點(diǎn)出發(fā)再跨出一步，達(dá)到X（2）點(diǎn)，并依此類推，一步一步地向前探索并重復(fù)數(shù)值計(jì)算，最終達(dá)到

46、目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)。數(shù)值解法求解步驟在中間過(guò)程中每一步的迭代形式為： 上式中：X（k）第k步迭代計(jì)算所得到的點(diǎn)，稱第k步迭代點(diǎn)， 亦為第k步設(shè)計(jì)方案； a（k）第k步迭代計(jì)算的步長(zhǎng)； S（k）第k步迭代計(jì)算的探索方向。圖1-8 迭代計(jì)算機(jī)逐步逼近最優(yōu)點(diǎn)過(guò)程示意圖 用迭代法逐步逼近最優(yōu)點(diǎn)的探索過(guò)程如圖1-8所示。 運(yùn)用迭代法，每次迭代所得新的點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)都應(yīng)滿足函數(shù)值下降的要求：（1）選擇搜索方向（2）確定步長(zhǎng)因子（3）給定收斂準(zhǔn)則收斂：迭代法要解決的問(wèn)題：3-1 概述 當(dāng)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法尋求多元函數(shù)的極值點(diǎn)時(shí)，一般要進(jìn)行一系列如下格式的迭代計(jì)算:當(dāng)方向 給定，求最佳步長(zhǎng) 就是求一元函數(shù) :的極值問(wèn)

47、題，這一過(guò)程被稱為一維搜索. 一維搜索方法解析法高等數(shù)學(xué)已學(xué)過(guò)，即利用一維函數(shù)的極值條件：一維搜索方法數(shù)值解法分類 一維搜索也稱直線搜索。這種方法不僅對(duì)于解決一維最優(yōu)化本身具有實(shí)際意義，而且也是解多維最優(yōu)化問(wèn)題的重要支柱。1. 解析法： 步驟: f(X(k) + S(k) ) 沿S(k) 方向在x(k) 點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開； 取二次近似： 對(duì)求導(dǎo)，令其為零。 求得最優(yōu)步長(zhǎng) 1、單谷(峰）區(qū)間 在給定區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)谷值的函數(shù)稱為單谷數(shù)，其區(qū)間稱為單谷區(qū)間。3-2 搜索區(qū)間的確定與區(qū)間消去法原理一、 一維搜索的基本思想O f (a) b x* x a 函數(shù)值：“大小大”圖形：“高低高” 單谷區(qū)間中一定

48、能求得一個(gè)極小點(diǎn) 2. 找初始單谷區(qū)間是一維搜索的第一步；第二步使區(qū)間縮小。二、確定初始單谷區(qū)間的進(jìn)退法基本思想： 對(duì)f(x)任選一個(gè)初始點(diǎn)a1及初始步長(zhǎng)h， 通過(guò)比較這兩點(diǎn)函數(shù)值的大小，確定第三點(diǎn)位置，比較這三點(diǎn)的函數(shù)值大小，確定是否為 “高低高” 形態(tài)。三、確定初始單谷區(qū)間的外推法 搜索區(qū)間確定之后，采用區(qū)間消去法逐步縮短搜索區(qū)間，從而找到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。 假定在搜索區(qū)間內(nèi)a,b 任取兩點(diǎn)a1,b1;3-3 一維搜索的區(qū)間消去方法一、基本思想f1f（a1）， f2f（b1）f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)a1a1 a1 b1baabab b1b1 f1f（a

49、1）， f2f（b1）(1)如f1f2, 則縮小的新區(qū)間為a1,b;(3)如f1=f2, 則縮小的新區(qū)間為a1,b1f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)a1a1 a1b1baabab b1 b1綜合為兩種情況：若 則取 為縮短后的搜索區(qū)間。若 則取 為縮短后的搜索區(qū)間。二、黃金分割法 黃金分割法適用于a,b區(qū)間上的任何單谷函數(shù)求極小值問(wèn)題。對(duì)函數(shù)除要求“單谷”外不作其他要求，甚至可以不連續(xù)。因此，這種方法的適應(yīng)面相當(dāng)廣。 黃金分割法也是建立在區(qū)間消去法原理基礎(chǔ)上的試探方法。 在搜索區(qū)間內(nèi)a,b適當(dāng)插入兩點(diǎn) ，將區(qū)間分成三段； 利用區(qū)間消去法，使搜索區(qū)間縮小，通過(guò)迭代計(jì)算

50、，使搜索區(qū)間無(wú)限縮小，從而得到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。 黃金分割法要求在保留下來(lái)的區(qū)間內(nèi)再插入一點(diǎn)所形成的區(qū)間新三段，與原來(lái)區(qū)間的三段具有相同的比例分布 。將區(qū)間分成三段黃金分割法要求插入的兩點(diǎn)：f(a1)f(a2)f(a1)f(a2)a1 a1 a2abab a2黃金分割法區(qū)間消去示意：黃金分割法的搜索過(guò)程：1）給出初始搜索區(qū)間及收斂精度 ，將 賦以0.618。2）按坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算公式計(jì)算 , ；并計(jì)算其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。3）根據(jù)區(qū)間消去法原理縮短搜索區(qū)間。為了能用原來(lái)的坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算公式，需進(jìn)行區(qū)間名稱的代換，并在保留區(qū)間中計(jì)算一個(gè)新的試驗(yàn)點(diǎn)及其函數(shù)值。如果 ，則新區(qū)間 令 記N0=0； 如果 ，則新區(qū)間

51、 ，令 ，記N0=1； 4）檢查區(qū)間是否縮短到足夠小和函數(shù)值收斂到足夠精度，如果收斂條件滿足，則取最后兩試驗(yàn)點(diǎn)的平均值作為極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。如果條件不滿足則轉(zhuǎn)向步驟5）。f(a1)f(a2)f(a1)f(a2)a1(a) a1(a2) a2(b)abab a2(a1)a1a2如N0=0，則取如N0=1，則取5）產(chǎn)生新的插入點(diǎn)：轉(zhuǎn)向3）進(jìn)行新的區(qū)間縮小。黃金分割法程序框圖 確定搜索區(qū)間求最優(yōu)解例 3-1 用黃金分割法求函數(shù)f(x)=3x3-4x+2的極小點(diǎn)，給定 x0=0, h=1, =0.2。解：1）確定初始區(qū)間x1=x0=0, f1=f(x1)=2x2=x0+h=0+1=1, f2=f(x

52、2)=1由于f1f2, 應(yīng)在原方向繼續(xù)向前探測(cè)。x3= x2+h=1+1=2, f3=f(x3)=18由于f2f3,可知初始區(qū)間已經(jīng)找到，即a,b=x1,x2=0,22）用黃金分割法縮小區(qū)間 第一次縮小區(qū)間： x1=0+0.382X(2-0)=0.764, f1=0.282 x2=0+0.618 X(2-0)=1.236, f2=2.72 f10.2第二次縮小區(qū)間：令 x2=x1=0.764, f2=f1=0.282 x1=0+0.382X(1.236-0)=0.472, f1=0.317由于f1f2, 故新區(qū)間a,b=x1,b=0.472, 1.236因?yàn)?b-a=1.236-0.472=0

53、.7640.2, 應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間。 第三次縮小區(qū)間：令 x1=x2=0.764, f1=f2=0.282 x2=0.472+0.618X(1.236-0.472)=0.944, f2=0.747由于f10.2, 應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間。 第四次縮小區(qū)間：令 x2=x1=0.764, f2=f1=0.282 x1=0.472+0.382X(0.944-0.472)=0.652, f1=0.223由于f10.2, 應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間。第五次縮小區(qū)間：令 x2=x1=0.652, f2=f1=0.223 x1=0.472+0.382X(0.764-0.472)=0.584, f1=0.262由于f1f2, 故新

54、區(qū)間a,b=x1,b=0.584, 0.764因?yàn)?b-a=0.764-0.584=0.180.2, 停止迭代。極小點(diǎn)與極小值：x*=0.5X(0.584+0.764)=0.674, f(x*)=0.222第四節(jié) 一維搜索的插值方法 假定我們的問(wèn)題是在某一確定區(qū)間內(nèi)尋求函數(shù)的極小點(diǎn)位置，雖然沒(méi)有函數(shù)表達(dá)式，但能夠給出若干試驗(yàn)點(diǎn)處的函數(shù)值。我們可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達(dá)式，進(jìn)而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來(lái)函數(shù)極小點(diǎn)的近似值。這種方法稱作插值方法， 又稱作函數(shù)迫近法。一、牛頓法 設(shè)f(x)為一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)，則在x0附近，該函數(shù)應(yīng)該與一個(gè)二次函數(shù)接近，即可在

55、點(diǎn)x0附近用一個(gè)二次函數(shù)(x)來(lái)逼近函數(shù)f(x) ，即： 用二次函數(shù)的(x)極小點(diǎn)x1作為f(x)極小點(diǎn)的一個(gè)近似點(diǎn)。根據(jù)極值必要條件:即依次繼續(xù)下去，可得牛頓迭代公式：牛頓法所作的幾何解釋 在圖中，在x0處用一拋物線(x)代替曲線f(x)，相當(dāng)于用一斜直線(x)代替曲線f(x) 。這樣各個(gè)近似點(diǎn)是通過(guò)對(duì)作f(x)切線求得與軸的交點(diǎn)找到的，所以，有時(shí)，牛頓法又稱作切線法。牛頓法的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快。缺點(diǎn)是要計(jì)算函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，因而增加了每次迭代的工作量。如果用數(shù)值微分計(jì)算函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，其舍入誤差將嚴(yán)重影響牛頓法的收斂速度， f(x)的值越小，這個(gè)問(wèn)題就越嚴(yán)重。另外，牛頓法要求初始點(diǎn)選的比

56、較好，也就是說(shuō)應(yīng)離極小點(diǎn)不太遠(yuǎn)，否則有可能使極小化序列發(fā)散或收斂到非極小點(diǎn)。二、拋物線法（二次插值法） 二次插值的基本思想是利用目標(biāo)函數(shù)在不同3點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)成一個(gè)與原函數(shù)f(x)相近似的二次多項(xiàng)式p(x)，以函數(shù)p(x)的極值點(diǎn) (即p(x*p)=0的根)作為目標(biāo)函數(shù)f(x)的近似極值點(diǎn)。 x23p2p1f3x*1xf(x)p(x)xx1p3f2fp1. 二次多項(xiàng)式p(x)的構(gòu)成及其極小點(diǎn)設(shè)原目標(biāo)函數(shù)的初始單峰區(qū)間為 。函數(shù)在x1, x2, x3 3點(diǎn)處函數(shù)值分別為f1, f2, f3， 求待定系數(shù)a0, a1和a2, 并代入上式，得：2 縮短區(qū)間 假若f(x)本身為二次函數(shù)，則在理論上按前式

57、一次求值就可找到最優(yōu)點(diǎn) 。 若f(x)為高于二次的函數(shù)或?yàn)槠渌瘮?shù) ,可采用區(qū)間消去法逐步縮小區(qū)間 。 根據(jù)xp* ，x2，f(xp* )和f(x2)的相互關(guān)系，分4種情況進(jìn)行區(qū)間縮小。 在已有的四x1,x2,x3,xp* 中選擇新的三個(gè)點(diǎn)x1,x2,x3，再進(jìn)行二次插值。 選點(diǎn)要求： x1x2f2, f2f3 （高低高形態(tài)） 如果 ，以x2,xp* 中函數(shù)值較小的點(diǎn)作為最優(yōu)點(diǎn)x*。二次插值法的程序框圖 例 33 用二次插值法求函數(shù)f(x)=3x3-4x+2的極小點(diǎn)，給定 x0=0, =0.2。解 1）確定初始區(qū)間初始區(qū)間a,b=0,2, 中間點(diǎn)x2=1。2）用二次插值法逼近極小點(diǎn)相鄰三點(diǎn)的函

58、數(shù)值: x1=0, x2=1, x3=2; f1=2, f2=1, f3=18. 代入公式：xp*0.555, fp=0.292在新區(qū)間，相鄰三點(diǎn)的函數(shù)值: x1=0, x2=0.555, x3=1; f1=2, f2=0.292, f3=1.xp*0.607, fp=0.243 由于fpx2, 新區(qū)間a,b=x2, b=0.555,1 |x2-xp * |=|0.555-0.607|=0.0520.2, 迭代終止。 xp*0.607, f*=0.243由于fpf2, xp * 0.2, 應(yīng)繼續(xù)迭代。例 3-4 用二次插值法求 的極值點(diǎn)。初始搜索區(qū)間 ， 。解：取x2點(diǎn)為區(qū)間x1,x3的中點(diǎn)，

59、 , 計(jì)算x1,x2,x3 3點(diǎn)處的函數(shù)值f1=19，f2=-96.9375，f3=124。可見(jiàn)函數(shù)值滿足“高低高”形態(tài)。 以x1,x2,x3為插值點(diǎn)構(gòu)造二次曲線， 求第一次近似的二次曲線p(x)的極小值點(diǎn)，由公式得： ， 比較函數(shù)值可知這種情況應(yīng)消除左邊區(qū)段 。然后用 作為x1,x2,x3新3點(diǎn),重新構(gòu)造二次曲線p(x)，如此反復(fù)計(jì)算，直到 為止。整個(gè)迭代過(guò)程的計(jì)算結(jié)果列于表。第四章 無(wú)約束優(yōu)化方法 4-1 最速下降法（梯度法）4-2 牛頓類方法4-3 變尺度法4-4 共軛方向法 4-5 鮑威爾方法4-6 其它方法（如坐標(biāo)輪換法、單純形法） 第1章所列舉的機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，都是在一定的限制條

60、件下追求某一指標(biāo)為最小，它們都屬于約束優(yōu)化問(wèn)題。工程問(wèn)題大都如此。 為什么要研究無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題? （1）有些實(shí)際問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型本身就是一個(gè)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。 （2）通過(guò)熟悉它的解法可以為研究約束優(yōu)化問(wèn)題打下良好的基礎(chǔ)。 （3）約束優(yōu)化問(wèn)題的求解可以通過(guò)一系列無(wú)約束優(yōu)化方法來(lái)達(dá)到。所以無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的解法是優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的基本組成部分，也是優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。 （4）對(duì)于多維無(wú)約束問(wèn)題來(lái)說(shuō)，古典極值理論中令一階導(dǎo)數(shù)為零，但要求二階可微，且要判斷海賽矩陣為正定才能求得極小點(diǎn)，這種方法有理論意義，但無(wú)實(shí)用價(jià)值。和一維問(wèn)題一樣，若多元函數(shù)F(X)不可微，亦無(wú)法求解。但古典極值理論是無(wú)約束優(yōu)化方法發(fā)展的基礎(chǔ)。