絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用

1、絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用選修4-5 第一講 授課班級(jí)：高二7班 高州市第四中學(xué)：黃堅(jiān) 近年高考全國(guó)卷的最后一道選做題，主要考察含有兩個(gè)絕對(duì)值不等式的問(wèn)題。本題共分兩小題，第一小題主要考察求解集的，第二小題一般是考察恒成立（最值）的問(wèn)題。鏈接高考1.溫故而知新 絕對(duì)值三角不等式： | |a|-|b| | |ab| |a| + |b|2.合作討論，探索新知探究1：你能根據(jù)上面的絕對(duì)值三角不等式，得出|a|-|b|的取值范圍嗎？結(jié)論：|a|-|b|有最大值是|ab|，最小值是-|ab|。探究2：作為函數(shù)的最大（?。┲担仨殱M足什么條件？不是常數(shù)可以嗎？教學(xué)活動(dòng)：學(xué)生小組討論。結(jié)論：必須保證|a+b|（

2、或者|a-b|）為常數(shù)，才能取得最值。探究3：你能根據(jù)上面的絕對(duì)值三角不等式，得出|a|+|b|的取值范圍嗎？取得最值的條件又是什么呢？結(jié)論：|a|+|b|有最小值是|ab|，其中必須保證|a+b|（或者|a-b|）為常數(shù)。3.學(xué)以致用例題【1】解決一些簡(jiǎn)單的關(guān)于含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式的最值問(wèn)題。 （1）求函數(shù)|x-3|-|x+1|的最大值和最小值； （2）求函數(shù)|x-3|+|x+1|的最小值； （3）求函數(shù)|2x+1|+|5-2x|的最小值.（2） |x-3|+|x+1| |（x-3）-（x+1）|=4 函數(shù) |x-3|+|x+1|的最小值是4.（3） |2x+1|+|5-2x| |（2x+1

3、）+（5-2x） |=6 函數(shù) |2x+1|+|5-2x|的最小值是6.例題【1】鞏固練習(xí)：（1）求函數(shù)|2x-5|-|2x+3|的最大值和最小值；（2）求函數(shù)|2x-5|+2|3-x|的最小值.答案：（1） 函數(shù)|2x-5|-|2x+3|的最大值是8， 最小值是-8.（2）函數(shù)|2x-5|+2|3-x|的最小值是1.4.知識(shí)轉(zhuǎn)化與拓展應(yīng)用例題【2】解決一些簡(jiǎn)單的關(guān)于含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式的恒成立問(wèn)題。 (1)若|x+3|-|x-1| 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 （2）關(guān)于x的不等式 |x+2|+|x-1|m在R上恒成立等價(jià)于 f(x)的最小值m. 2. 若f(x)m在R上恒成立

4、等價(jià)于 f(x)的最大值m. 例題【2】鞏固練習(xí)： （1）若關(guān)于x的不等式 |x-a|+|x+4|1的解集為R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A.(-,3U5，+) B.-5，-3C.3，5 D.(-,-5U-3，+) (2)若關(guān)于x的不等式 |x-2|+|x+3|m的解集為 ，實(shí)數(shù)m的取值范圍是 。Dm5 例題【3】解決含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式“有解”（也即是“解集非空”）的問(wèn)題。 若關(guān)于x的不等式 |x-4|+|x+5|m的有解等價(jià)于 f(x)的最大值m. 2.若f(x)m的有解等價(jià)于 f(x)的最小值m. 5.課堂小結(jié)。 運(yùn)用絕對(duì)值三角不等式能解決哪幾類問(wèn)題？它們對(duì)應(yīng)的解決方法是什么？題型（1）：含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式的最值問(wèn)題。題型（2）：含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式的恒成立問(wèn)題。題型（3）：含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式的有解（即解集非空）問(wèn)題。拓展與提高 1. 對(duì)任意實(shí)數(shù)x，若不等式|x+1|-|x-2|k恒成立，則k的取值范圍是( )A.k-3 B.k-3 C.0k-3 D.k-3 2.若存在實(shí)數(shù)x滿足|x-3|+|x-m|5，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi) 3. 若不等式 對(duì)于一切非零實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A.-1，1 B.（-1，1） C.（-2，2） D