九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)導(dǎo)學(xué)案

1、 九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)導(dǎo)學(xué)案目 錄 HYPERLINK l 第1講 第一講一元二次方程的定義及解法 HYPERLINK l 第2講 第二講 一元二次方程的解法 HYPERLINK l 第3講 第三講一元二次方程的 HYPERLINK l 第8講 判別式 HYPERLINK l 第8講 HYPERLINK l 第4講 第四講一元二次方程的 HYPERLINK l 第9講 根與系數(shù)的關(guān)系 HYPERLINK l 第5講 第五講 HYPERLINK l 第9講 一元二次方程的應(yīng)用 HYPERLINK l 第6講 第六講 全等三角形 HYPERLINK l 第7講 第七講平行四邊形（一）第八講 平行四邊形（

2、二） HYPERLINK l 第9講 第九講 梯形 HYPERLINK l 第10講 第十講中位線及其應(yīng)用第十一講 HYPERLINK l 第1講 如何做幾何證明題第十二講反比例函數(shù)第十三講 反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)第十四講 反比例函數(shù)的應(yīng)用第十五講 反比例函數(shù)的練習(xí)第一講：一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念1、一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯如圖所示，它的長(zhǎng)為8m，寬為5m。如果地毯中央長(zhǎng)方形圖案的面積為18m2，那么花邊有多寬？ 2、趣味數(shù)學(xué)：先觀察下面等式：102112122132142你還能找到其它的五個(gè)連續(xù)整數(shù)，使前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和嗎？ 3、梯子移動(dòng)如圖，一個(gè)

3、長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m。如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？問(wèn)題如果設(shè)花邊的寬為x米，那么地毯中央長(zhǎng)方形圖案的長(zhǎng)為 米，寬為 米。根據(jù)題意，可得方程 。問(wèn)題如果設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)為x，那么后面四個(gè)數(shù)依次可表示為 ， ， ， 。根據(jù)題意，可得方程 。問(wèn)題由勾股定理可知，滑動(dòng)前梯子底端距墻 m,如果設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm，那么滑動(dòng)后梯子底端距墻 m。根據(jù)題意，可得方程 。探索新知三個(gè)方程化簡(jiǎn)后，教師可引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比一元一次方程觀察這三個(gè)的特點(diǎn)，然后進(jìn)行匯總，歸納，學(xué)生容易漏掉二次項(xiàng)系數(shù)不為0的要點(diǎn)，教師可給予必要的引導(dǎo)。具體處理方法如下：由上面

4、三個(gè)問(wèn)題，我們可以得到三個(gè)方程： （82x）(52x)=18 即2x2 13x 11 = 0 x2(x1) 2(x2) 2=(x3) 2(x4) 2 即x2 8x 200 (x6) 272=10 2 即x2 12 x15 0觀察上述三個(gè)方程有什么共同特點(diǎn)？（提示：我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)了元一次方程，同學(xué)們可以類(lèi)比著它的要點(diǎn)，看看這些方程有什么特點(diǎn)。）總結(jié)，尤其注意容易漏掉的二次項(xiàng)系數(shù)不為0的要點(diǎn)，給出一元二次方程的要點(diǎn)和定義：只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化為（a、b、c為常數(shù)，a0）的形式，這樣的方程叫做一元二次方程。（1）強(qiáng)調(diào)三個(gè)特征：整式方程；只含一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2且其系數(shù)

5、不為0。（2）幾種不同的表示形式：ax2+bx+c=0 (a0,b0,c0)ax2+bx=0 (a0,b0,c=0)ax2+c=0 (a0,b=0,c0)ax2=0 (a0,b=0,c=0)(3)相關(guān)概念：一元二次方程的一般形式：ax2bxc=0(a,b,c為常數(shù)，a不等于0)一元二次方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)分別為：ax2、bx、c二次項(xiàng)系數(shù)為：a 一次項(xiàng)系數(shù)為：b鞏固應(yīng)用1、判一判，下列方程哪些是一元二次方程?(1)7x26x0 (2)2x25xy6y0 (3)2x2-1/3x-1=0 （4）y2/2=0 (5)x22x31x2 (6)ax2+bx+c=02、把下列方程化為一元二次方程的

6、形式，并寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：方程一般形式二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03、想一想：關(guān)于x的方程(k3)x2 2x10,當(dāng)k 時(shí)，是一元二次方程 當(dāng)m取何值時(shí)，方程(m-1)xm+I+2mx+3=0是關(guān)于x的一元二次方程？拓展延伸關(guān)于x的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,當(dāng)k 為何值時(shí)是一元二次方程,當(dāng)k 為何值時(shí)，不是一元一次方程？關(guān)于x的方程(a2+2a+2)x2+6x-3=0是一元二次方程嗎？請(qǐng)說(shuō)明原因。3、從前有一天，一個(gè)醉漢拿著竹竿進(jìn)屋，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比門(mén)框?qū)挸?，豎著比門(mén)框高尺，另一個(gè)醉漢教他

7、沿著門(mén)的兩個(gè)對(duì)角斜著拿竿，這個(gè)醉漢一試，不多不少剛好進(jìn)去了你知道竹竿有多長(zhǎng)嗎？請(qǐng)根據(jù)這一問(wèn)題列出方程用配方法解一元二次方程前面我們通過(guò)實(shí)例建立了一元二次方程，并通過(guò)觀察歸納出一元二次方程的有關(guān)概念，大家回憶一下?；卮鹣铝袉?wèn)題：什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2+bx+c-0(a0)2、指出下列方程的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。（1）2x2x+1=0(2)x2+1=0(3)x2x=0(4) EQ EQ R(,3) x2=0估算地毯花邊的寬地毯花邊的寬x(m)，滿(mǎn)足方程 (82x)(52x)=18也就是：2x213x+11=0你能求出x嗎？（1）x可能小于0嗎？說(shuō)說(shuō)你的理

8、由；x不可能小于0，因?yàn)閤表示地毯的寬度。（2）x可能大于4嗎？可能大于2.5嗎？為什么？（3）完成下表x00.511.522.52x213x+11你知道地毯花邊的寬x(m)是多少嗎？還有其他求解方法嗎？與同伴交流。注意：當(dāng)相鄰兩個(gè)整數(shù)，一個(gè)使ax2+bx+c0 ，一個(gè)使ax2+bx+c0，則一元二次方程的解就介于這兩個(gè)數(shù)之間。認(rèn)真觀察代數(shù)式的特點(diǎn)和取值走向，才能很快找到這樣的兩個(gè)相鄰整數(shù)。 三、梯子底端滑動(dòng)的距離x(m)滿(mǎn)足方程(x+6)2+72=102也就是x2+12x15=0（1）你能猜出滑動(dòng)距離x(m)的大致范圍嗎？x00.511.52x2+12x15-15-8.75-25.2513（

9、2）x的整數(shù)部分是幾？十分位是幾？x1.11.21.31.4x2+12x15-0.590.842.293.76注意：（1）估算的精度不適過(guò)高。（2）計(jì)算時(shí)提倡使用計(jì)算器。課堂練習(xí)五個(gè)連續(xù)整數(shù)，前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和，你能求出這五個(gè)整數(shù)分別是多少嗎?總結(jié)：本節(jié)課我們通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似計(jì)算的重要思想“逼近”思想當(dāng)相鄰兩個(gè)整數(shù)，一個(gè)使ax2+bx+c0 ，一個(gè)使ax2+bx+c0，則一元二次方程的解就介于這兩個(gè)數(shù)之間。認(rèn)真觀察代數(shù)式的特點(diǎn)和取值走向，才能很快找到這樣的兩個(gè)相鄰整數(shù)。 復(fù)習(xí)：1、如果一個(gè)數(shù)的平方等于，則這個(gè)數(shù)是 ，若一個(gè)數(shù)的平方

10、等于7，則這個(gè)數(shù)是 。一個(gè)正數(shù)有幾個(gè)平方根，它們具有怎樣的關(guān)系？2、用字母表示完全平方公式。3、用估算法求方程的解？你喜歡這種方法嗎？為什么？你能設(shè)法求出其精確解嗎？1、解下列方程：（1）x2=4（2）(x+3)2=92、利用公式計(jì)算： （1）(x+6)2=0（2）(x EQ F(1,2) )2 =03、解方程：（梯子滑動(dòng)問(wèn)題）x2+12x15=0解析：解方程的基本思路（配方法）如：x2+12x15=0轉(zhuǎn)化為 兩邊開(kāi)平方，得 x1= EQ R(,51) 6x2= EQ R(,51) 6(不合實(shí)際)這種方法叫直接開(kāi)平方法(x十m) n(n0)因此，解一元二次方程的基本思路是將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)

11、2=n 的形式，它的一邊是一個(gè)完全平方式，另一邊是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)n0 時(shí)，兩邊開(kāi)平方便可求出它的根。3、配方：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：（1）x2+12x+=(x+6)2（2）x212x+=(x )2（3）x2+8x+=(x+ )2從上可知：常數(shù)項(xiàng)配上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方。4、講解例題：例1：解方程：x2+8x9=0配方法：通過(guò)配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，這種解一元二閃方程的方法稱(chēng)為配方法。三、課堂練習(xí)1解下列方程(1) x一l0 x十257； (2) x十6x1. （3）x2+4x+3=0 （4）x24x+2=0四、例題講析：例：解方程：3x2+8x3=0通過(guò)對(duì)例題的講解

12、，繼續(xù)拓展規(guī)范配方法解一元二次方程的過(guò)程.讓學(xué)生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,關(guān)鍵是將方程轉(zhuǎn)化成形式，特別強(qiáng)調(diào)當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí)，所要添加常數(shù)項(xiàng)仍然為一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，理解這樣做的原理，樹(shù)立解題的信心。另外，得到 后，在移項(xiàng)得到要注意符號(hào)問(wèn)題，這一步在計(jì)算過(guò)程中容易出錯(cuò)。2、用配方法解一元二次方程的步驟：（1）把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；（2）移項(xiàng)，方程的一邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，另一邊為常數(shù)項(xiàng)。（3）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。（4）用直接開(kāi)平方法求出方程的根。3、做一做： 一小球以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h（m）與時(shí)間t（s）滿(mǎn)足關(guān)系： h=15

13、t5t2小球何時(shí)能達(dá)到10m高？練習(xí)：1、配方：（1）x23x+ =(x )2（2）x25x+ =(x )22、用配方法解一元二次方程的步驟是什么？3、用配方法解下列一元二次方程？（1）3x21=2x(2)x25x+4=0思考我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，在生產(chǎn)生活中常遇到一些問(wèn)題，需要用一元二次方程來(lái)解答，請(qǐng)同學(xué)們將課本翻到54頁(yè)，閱讀課本，并思考：出示思考題：1、如圖所示：（1）設(shè)花園四周小路的寬度均為x m，可列怎樣的一元二次方程？（2）一元二次方程的解是什么？（3）這兩個(gè)解都合要求嗎？為什么？2、設(shè)花園四角的扇形半徑均為x m，可列怎樣的一元二次方程？ （2）一元二次方程的解是

14、什么？（3）合符條件的解是多少？3、你還有其他設(shè)計(jì)方案嗎？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來(lái)與同伴交流。第二講：一元二次方程的解法公式法解一元二次方程一、復(fù)習(xí)1、用配方法解一元二次方程的步驟有哪些？2、用配方法解方程：x27x18=0二、新授：1、推導(dǎo)求根公式：ax2+bx+c=0 (a0)解：方程兩邊都作以a，得 移項(xiàng)，得： 配方，得： 即： 討論： 一般地，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)，當(dāng)b24ac0時(shí)，它的根是 x= EQ F(br(,b24ac),2a) 。注意：當(dāng)b24ac0等條件在推導(dǎo)過(guò)程中的應(yīng)用，也要弄清其中的道理。（2）應(yīng)用求根公式解一元二次方程，通常應(yīng)把方程寫(xiě)成一般形式，并寫(xiě)出a、

15、b、c的數(shù)值以及計(jì)算b4ac的值。當(dāng)熟練掌握求根公式后，可以簡(jiǎn)化求解過(guò)程一、回顧交流1、用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n（n0）的形式。 2、用公式法解一元二次方程應(yīng)先將方程化為一般形式。3、選擇合適的方法解下列方程： = 1 * GB3 x2-6x=7 = 2 * GB3 3x2+8x-3=0用兩種不同的方法解下列一元二次方程。 （1）5x-2x-1=0 （2）10(x+1) 2-25(x+1)+10=0觀察比較：一個(gè)數(shù)的平方與這個(gè)數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果相等，這個(gè)數(shù)是幾？你是怎樣求出來(lái)的？分析小穎、小明、小亮的解法：小穎：用公式法解正確；小明：兩邊約去x，是非同

16、解變形，結(jié)果丟掉一根，錯(cuò)誤。小亮：利用“如果ab=0，那么a=0或b=0”來(lái)求解，正確。分解因式法解一元二次方程利用分解因式來(lái)解一元二次方程的方法叫分解因式法。 如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一個(gè)成立”的意思，包括兩種情況，二者同時(shí)成立；二者有一個(gè)成立。“且”是“二者同時(shí)成立”的意思。二、范例學(xué)習(xí)例：解下列方程。1. 5x=4x 2. x-2=x(x-2)想一想你能用幾種方法解方程x-4=0,(x+1)-25=0。知識(shí)要點(diǎn)直接開(kāi)平方法：對(duì)于形式如（n0）的方程，根據(jù)平方根的意義，即兩邊同時(shí)開(kāi)平方，變形為，得到兩個(gè)一次方程，解一次方程得到未知數(shù)的值。配方法：把一元二次方

17、程通過(guò)配成完全平方式的方法轉(zhuǎn)化為的形式，從而得到這個(gè)一元二次方程的根。步驟如下：(1)把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；(2) 把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，(如果二次項(xiàng)系數(shù)不是1，給方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù))(3) 給方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方(4) 方程左邊是一個(gè)完全平方式，將方程變形為的形式在中，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。公式法：一元二次方程的求根公式：(b2-4ac0)，步驟如下：(1) 把方程化為一般形式，進(jìn)而確定a、b、c的值（注意符號(hào)）(2) 求出b2-4ac的值，（先判別方程是否有根）(3)在b2-4ac0的前提下，把a(bǔ)、

18、b、c的值代入求根公式，求出的值，最后寫(xiě)出方程的根。分解因式法：當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)因式的乘積時(shí)，令每個(gè)因式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程，分別解之，得到的解就是原方程的解，這種解方程的方法稱(chēng)為分解因式法。一般步驟如下：(1) 把方程整理使其右邊化為0；(2) 把方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積；(3) 令每個(gè)因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程；(4) 解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。提示：分解因式法應(yīng)用面廣，它不僅可以解一元二次方程，對(duì)高次的求解更有獨(dú)到之處。根的判別式：b2-4ac=，當(dāng)b2-4ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac0

19、時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。即不解方程就可判斷方程解的情況。根與系數(shù)的關(guān)系:由求根公式可知，即不解方程可知方程的兩根之和與兩根之積，利用此可解決一些關(guān)于兩根之和、之積、兩根的倒數(shù)和、兩根平方和等一類(lèi)的問(wèn)題。利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)根，這些根雖然滿(mǎn)足所列的一元二次方程，但未必符合實(shí)際問(wèn)題，因此，解完一元二次方程，要按題意檢驗(yàn)這些根是不是符合實(shí)際問(wèn)題的解。易錯(cuò)易混點(diǎn)(1) 用配方法解一元二次方程時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)化1時(shí)易錯(cuò)；(2) 不能確定a、b、c的值，代入公式時(shí)，代入不準(zhǔn)確； (3) 方程兩邊同除以一個(gè)含有未知數(shù)的式子。用配方法解方程：2

20、x2-4x-10=0解方程：8x2+10 x=3用分解因式法解一元二次方程：典型例題當(dāng)x取_時(shí)，x2-5x+7有最小值，最小值是_。已知是方程2x2-x-7=0的兩根，則=_。已知一三角形的兩邊長(zhǎng)分別為1和2，第三邊的長(zhǎng)是方程2x2-5x+3=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)。已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，化簡(jiǎn)：。已知a2-3a=1，b2-3b=1，并且ab，那么=_。一元二次方程x2-px+q=0的兩個(gè)根為3，-4，那么二次三項(xiàng)式x2-px+q可分解為（ ）A. (x-3)(x+4) B. (x+3)(x-4) C. (x-3)(x-4) D. (x+3)(x+4)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值

21、范圍是（ ）A. k-1 B.k-1 C. k1 D. k0用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1) ； (2) ； (3) ; (4) x2-4x-6=0按要求解下列方程：(1) x2-3x=5 (用公式法解) (2) 8x2+10 x=3 (用公式法解) (3) 2(x-2)2=x2-4 (用因式分解法解) (4) (2x-1)(x+3)=4 (用因式分解法解)學(xué)習(xí)自評(píng)方程4x2+5=0的根是（ ）A. B. C. D. 無(wú)實(shí)根用配方法將方程變形得（ ）A. B. C. D. 已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰好是方程2x2-8x+7=0的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是（ ）A. B. 3 C.

22、6 D. 9三角形的兩邊長(zhǎng)分別是8和6，第三邊的長(zhǎng)是一元二次方程x2-16x+60=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是（ ）A. 24 B. 24或 C. 48 D. 已知，則x+y的值為（ ）A. 3或5 B. 3或-5 C. -3或5 D. -3或-5x2-_+9=(x-_)2；x2-5x+6=(_)(_).若x2+4x+m2是一個(gè)完全平方式，則m的值為_(kāi)。把方程化成一般形式為_(kāi)。若a+b+c=0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0必有一根為_(kāi)。完成下列配方過(guò)程：x2+2px+1= x2+2px+(_)+(_)=(x+_)2+(_).已知實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足等式，則方程ax2+bx+c=0的

23、根是_。若x1，x2是方程x2-3x-2=0的兩個(gè)根，則x1+x2=_，x1+x2=_，x12+x22=_，_。用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1) x2+2x=2； (2) 4x2-7x+2=0; (3) x2+3x-4=0(5) 2x2-3x+=0; (5) 2x(x+1)=3(x+1); (6) (1)用配方法證明-10 x2+7x-4的值恒小于0；(2) 由第(1)題，你能否得到啟發(fā)而寫(xiě)出三個(gè)值恒大于0的二次三項(xiàng)式。三角形兩邊長(zhǎng)分別是2和3，第三邊是方程的解，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)在寬為20m，長(zhǎng)為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下的部分作為耕地，要使耕地的面積為540m2，道

24、路的寬為多少？某電腦公司今年每個(gè)月的銷(xiāo)售量都比上個(gè)月增長(zhǎng)相同的百分?jǐn)?shù)，已知該公司今年4月份的電腦銷(xiāo)售量為500臺(tái)，6月份比5月份多售出120臺(tái)，求該公司今年銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率是多少?【知識(shí)梳理】形如的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過(guò)的全部代數(shù)運(yùn)算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等基本問(wèn)題；它展示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美?！纠}精講】【例1】選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋ɑA(chǔ)題）： （1）x2 2x=0 （2） x2 9=0 （3）(13x)21；（4

25、）（t2）（t1）0 （5）x28x2（6）（7） （8） （9） （10） （11） （12）（13）x（x6）2 （14）（2x1）23（2x1） （15）（16） （17） （18） （19） （20）； 【例2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于的方程（提高題）：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）。【鞏固】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于的方程：（1）； （2）；（3）。 （4）。 【例5】已知方程與有公共根。（1）求的值；（2）求二方程的所有公共根和所有相異根?！眷柟獭渴欠翊嬖谀硞€(gè)實(shí)數(shù)，使得方程和有且只有一個(gè)公共的實(shí)根？如果存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。第三講：一元

26、二次方程的判別式【知識(shí)梳理】一、一元二次方程根的情況：令。1、若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：；2、若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：；3、若，則方程無(wú)實(shí)根（不代表沒(méi)有解）。二、1、利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性；2、運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；3、通過(guò)判別式，證明與方程有關(guān)的代數(shù)問(wèn)題；4、借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問(wèn)題、最值問(wèn)題。【例題精講】【例1】已知方程；則當(dāng)取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？當(dāng)取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？當(dāng)取什么值時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根？【鞏固】1、已知關(guān)于的方程。求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，方程

27、總有實(shí)數(shù)根；2、已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍?！就卣埂筷P(guān)于的方程有有理根，求整數(shù)的值?！纠?】已知關(guān)于的方程。（1）求證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)，另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求ABC的周長(zhǎng)?！眷柟獭?、等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩根，則_。2、在等腰三角形ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為，已知，和是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求三角形ABC的周長(zhǎng)。【拓展】已知對(duì)于正數(shù)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求證：以長(zhǎng)的線段為邊能組成一個(gè)三角形?！纠?】設(shè)方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值和相應(yīng)的3個(gè)根。【鞏固】已知

28、關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_。【例4】設(shè)，證明在方程中，至少有兩個(gè)方程有不相等的實(shí)數(shù)根。第四講：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【知識(shí)梳理】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）設(shè)方程的兩個(gè)根，則。韋達(dá)定理用途比較廣泛，運(yùn)用時(shí)，常需要作下列變形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）?！纠}精講】【例1】求下列方程的兩根之和，兩根之積。（1）x22x10； （2）x29x100；解：_， 解：_，（3）2x29x50； （4）4x27x10；解：_， 解：_，（5）2x25x0； （6）x210解：_， 解：_，【例2】設(shè)x1，x2是方程2x2+4x3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)

29、的關(guān)系，求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）=_； （2）x12x2+x1x22=_； （3）=_（4）（x1+x2）2=_； （5）（x1x2）2=_； （6）x13+x23=_ 【例3】解答下列問(wèn)題：（1）設(shè)關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，問(wèn)是否存在的情況？（2）已知：是關(guān)于的方程的；兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求的值。【鞏固】1、已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則_。2、已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為_(kāi)?！纠?】已知關(guān)于的方程：。（1）求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根滿(mǎn)足，求的值及相應(yīng)的?！眷柟獭恳阎P(guān)于的方程。（1）當(dāng)為何值時(shí)，此方程有

30、實(shí)數(shù)根；（2）若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿(mǎn)足，求的值。【例4】CD是RtABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則ABC的面積是多少？【鞏固】已知ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5。（1）為何值時(shí)，ABC是以BC為斜邊的直角三角形；（2）為何值時(shí)，ABC是等腰三角形，并求ABC的周長(zhǎng)。第五講：一元二次方程的應(yīng)用【知識(shí)梳理】方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，許多實(shí)際問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為解一元二次方程、研究一元二次方程根的性質(zhì)而獲解。列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟基本相同，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、分

31、析數(shù)量關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題中內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立二次方程模型解決問(wèn)題。【例題精講】【例1】要建一個(gè)面積為150m2的長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，為了節(jié)省材料，雞場(chǎng)的一邊靠著原有的一條墻，墻長(zhǎng)m，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長(zhǎng)為35m。（1）求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少？（2）題中墻的長(zhǎng)度m對(duì)題目的解起著怎樣的作用？票價(jià)（元）人數(shù)（人）20151057000600050004000300020001000【例2】某博物館每周都吸引大量中外游客參觀，如果游客過(guò)多，對(duì)館中的珍貴文物會(huì)產(chǎn)生不利影響；但同時(shí)考慮文物的修繕和保存費(fèi)用問(wèn)題，還要保證一定的門(mén)票收入，因此博物館采用了漲浮門(mén)票的價(jià)格來(lái)控制參觀人數(shù)，在該

32、方法實(shí)施過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：每周參觀人數(shù)與票價(jià)之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，在這樣的情況下，如果確保每周4萬(wàn)元的門(mén)票收入，那么每周應(yīng)限定參觀人數(shù)是多少？門(mén)票價(jià)格應(yīng)是多少元？【例3】將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，就能賣(mài)出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷(xiāo)售量就減少10個(gè)，問(wèn)為了賺得8000元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？【例4】甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)相背而行，1小時(shí)后分別到達(dá)各自的終點(diǎn)A與B，若讓他們?nèi)詮脑爻霭l(fā)，互換彼此到達(dá)的目的地，則甲將在乙到達(dá)A之后35分鐘到達(dá)B，求甲與乙的速度之比?！纠?】一支士兵隊(duì)伍長(zhǎng)1200米，在行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊(duì)

33、伍的排頭兵，并在到達(dá)排頭后立即回到末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已經(jīng)前進(jìn)了1200米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？【例6】象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分，如果平局，兩個(gè)選手各記1分，今有4個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了比賽中全部選手的得分總數(shù)，分別是1980、1981、1993、1994，經(jīng)核實(shí)確實(shí)有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無(wú)誤，試計(jì)算這次比賽中共有多少名選手參加。【鞏固】1、在青島市開(kāi)展的創(chuàng)城活動(dòng)中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻（墻長(zhǎng)15m）的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍成（如圖

34、所示），若設(shè)花園的BC邊長(zhǎng)為m，花園的面積為m2。（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；BCDA（2）滿(mǎn)足條件的花園面積能達(dá)到200m2嗎？若能，求出此時(shí)的值；若不能，說(shuō)明理由；（3）當(dāng)取何值時(shí)，花園的面積最大？最大面積為多大？2、某水果批發(fā)商場(chǎng)有一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷(xiāo)售量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？3、甲乙兩條船分別從河的兩岸同時(shí)出發(fā)，它們的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸700米處，然后繼續(xù)前進(jìn)，都到達(dá)對(duì)岸后立

35、即折回，第二次相遇距河的另一岸400米處，如果認(rèn)為船到岸調(diào)轉(zhuǎn)方向時(shí)不耽誤時(shí)間，問(wèn)河有多寬？4、一支士兵隊(duì)伍長(zhǎng)100米，在行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊(duì)伍排頭，并在到達(dá)排頭后立即回到隊(duì)伍的末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已前進(jìn)了100米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？5、象棋比賽共有奇數(shù)個(gè)選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤(pán)，記分辦法是勝一盤(pán)得1分，和一盤(pán)各得0.5分，負(fù)一盤(pán)得0分，已知其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為整數(shù)，求參加此次比賽的選手共有多少人？第六講：全等三角形一、選擇題1. （2011安徽蕪湖，6，4分）

36、如圖，已知中， 是高和的交點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（ ）. A B 4 CD2. （2011山東威海，6，3分）在ABC中，ABAC，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，連接DE,DF,EF.則添加下列哪一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定BFD與EDF全等（ ）A EFABBBF=CFCA=DFEDB=DFE3. （2011浙江衢州，1,3分）如圖，平分于點(diǎn)，點(diǎn)是射線 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（ ）A.1 B.2 C.3 D. 4（第6題）4. （2011江西，7，3分）如圖下列條件中，不能證明ABDACD的是（ ）.A.BD=DC，AB=AC B.ADB=ADC C.B=C，BAD=CAD

37、 D.B=C，BD=DC5. （2011江蘇宿遷,7,3分）如圖，已知12，則不一定能使ABDACD的條件是（ ）AABAC BBDCD CBC D BDACDA6. （2011江西南昌，7，3分）如圖下列條件中，不能證明ABDACD的是（ ）.A.BD=DC，AB=AC B.ADB=ADC C.B=C，BAD=CAD D.B=C，BD=DC7. （2011上海，5，4分）下列命題中，真命題是（ ）(A)周長(zhǎng)相等的銳角三角形都全等； (B) 周長(zhǎng)相等的直角三角形都全等；(C)周長(zhǎng)相等的鈍角三角形都全等； (D) 周長(zhǎng)相等的等腰直角三角形都全等8. （2011安徽蕪湖，6,4分）如圖，已知中，

38、是高和的交點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（ ）. A B 4 CD二、填空題1. （2011江西，16，3分）如圖所示，兩塊完全相同的含30角的直角三角形疊放在一起，且DAB=30。有以下四個(gè)結(jié)論：AFBC ；ADGACF； O為BC的中點(diǎn)； AG：DE=：4，其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .（錯(cuò)填得0分，少填酌情給分）2. （2011廣東湛江19,4分）如圖，點(diǎn)在同一直線上, , （填“是”或“不是”） 的對(duì)頂角，要使，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是 （只需寫(xiě)出一個(gè)）三、解答題1. （2011廣東東莞，13，6分）已知：如圖，E,F在AC上，ADCB且AD=CB，DB.求證：AE=CF.2. （2011山東菏

39、澤，15（2），6分）已知：如圖，ABC=DCB，BD、CA分別是ABC、DCB的平分線求證：AB=DC 3. （2011浙江省，19，8分）如圖，點(diǎn)D，E分別在AC，AB上(1) 已知，BD=CE，CD=BE，求證：AB=AC；(2) 分別將“BD=CE”記為，“CD=BE” 記為，“AB=AC”記為添加條件、，以為結(jié)論構(gòu)成命題1，添加條件、以為結(jié)論構(gòu)成命題2命題1是命題2的 命題，命題2是 命題（選擇“真”或“假”填入空格）4. （2011浙江臺(tái)州，19,8分）如圖，在ABCD中，分別延長(zhǎng)BA，DC到點(diǎn)E，使得AE=AB，CH=CD，連接EH，分別交AD，BC于點(diǎn)F,G。求證：AEFCHG

40、.5. （2011四川重慶，19，6分）如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且ABDE，AD，AFDC求證：BCEF6. （2011江蘇連云港，20，6分）兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點(diǎn)O為邊AC和DF的交點(diǎn).不重疊的兩部分AOF與DOC是否全等？為什么？ 7. （2011廣東汕頭，13，6分）已知：如圖，E,F在AC上，ADCB且AD=CB，DB.求證：AE=CF.8. （ 2011重慶江津， 22，10分）在ABC中,AB=CB,ABC=90,F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,且AE=CF. (1)求證

41、:RtABERtCBF;(2)若CAE=30,求ACF度數(shù).ABCEF9. （2011福建福州，17（1），8分）如圖6,于點(diǎn),于點(diǎn),交于點(diǎn),且.求證.圖610（2011四川內(nèi)江，18，9分）如圖，在RtABC中，BAC=90，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連結(jié)BE、EC試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想ABCDE11. （2011廣東省，13，6分）已知：如圖，E,F在AC上，ADCB且AD=CB，DB.求證：AE=CF.12. （2011湖北武漢市，19，6分）（本題滿(mǎn)分6分）如圖，D，E，分

42、別是AB，AC上的點(diǎn)，且AB=AC，AD=AE求證B=C13. （2011湖南衡陽(yáng)，21，6分）如圖，在ABC中，AD是中線，分別過(guò)點(diǎn)B、C作AD及其延長(zhǎng)線的垂線BE、CF，垂足分別為點(diǎn)E、F求證：BE=CF14. (20011江蘇鎮(zhèn)江,22,5分)已知:如圖,在ABC中,D為BC上的一點(diǎn),AD平分EDC,且E=B,ED=DC.求證:AB=AC15. （2011湖北宜昌，18，7分）如圖，在平行四邊形ABCD 中，E為BC 中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.(1)證明：DFA = FAB；(2)證明: ABEFCE. （第18題圖）第七講：平行四邊形【知識(shí)梳理】1、平行四邊形：平行四

43、邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：（1）平行四邊形對(duì)角相等；（2）平行四邊形對(duì)邊相等；（3）平行四邊形對(duì)角線互相平分。除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：（1）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（4）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。2、特殊平行四邊形：一、矩形（1）有一角是直角的平行四邊形是矩形（2）矩形的四個(gè)角都是直角；（3）矩形的對(duì)角線相等。（4）矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（5）矩形判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 二、菱形（1）把一組鄰邊相等的平行四邊

44、形叫做菱形.（2）定理1:菱形的四條邊都相等（3）菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.（4）菱形的面積等于菱形的對(duì)角線相乘除以2（5）菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（6）菱形判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。三、正方形（1）有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形（2）性質(zhì)：四個(gè)角都是直角，四條邊相等 對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角（3）判定：一組鄰邊相等的矩形是正方形 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形【例題精講】【例1】填空題：平行四邊形具有的是： 矩形具有的是： 菱形具有的是： 正方形具有的是： 在下列特征中，四條邊都相

45、等對(duì)角線互相平分對(duì)角線相等對(duì)角線互相垂直四個(gè)角都是直角每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)邊相等且平行鄰角互補(bǔ)【鞏固】1、下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）A.四個(gè)角相等的四邊形是矩形 B.四條邊相等的四邊形是正方形 C.對(duì)角線相等的菱形是正方形 D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形2、如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，互相垂直且相等，那么這個(gè)四邊形是 ( )A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形3、下面結(jié)論中，正確的是（ ）A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形4、如圖，在中，點(diǎn)D、E、F分別在

46、邊、上，且，下列四種說(shuō)法： 四邊形是平行四邊形；如果，那么四邊形是矩形；如果平分，那么四邊形是菱形；如果且，那么四邊形是菱形.其中，正確的有 .（只填寫(xiě)序號(hào)）【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn).求證：四邊形BFDE是平行四邊形.AEDCFB【鞏固】已知，如圖9，E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AFCE，DFBE，DFBE四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由【例3】如圖，梯形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于點(diǎn)E求證：四邊形AECD是菱形【例4】如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作等邊ADE（1）求CAE的度

47、數(shù)；（2）取AB邊的中點(diǎn)F，連結(jié)CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形【鞏固】如圖，O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，DEAC，CEBD（1）試判斷四邊形OCED的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若AB6，BC8，求四邊形OCED的面積【例5】如圖所示，在ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊ABD、等邊ACE、等邊BCF.CBADFE（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形； （2）探究下列問(wèn)題：（只填滿(mǎn)足的條件，不需證明）當(dāng)ABC滿(mǎn)足_條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形；當(dāng)ABC滿(mǎn)足_條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形；當(dāng)ABC滿(mǎn)足_條件時(shí)，以D、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在. 第八講：平行四邊形

48、（二）【知識(shí)梳理】由平行四邊形的結(jié)構(gòu)知，平行四邊形可以分解為一些全等的三角形，并且包含著平行線的有關(guān)性質(zhì)，因此，平行四邊形是全等三角形知識(shí)和平行線性質(zhì)的有機(jī)結(jié)合，平行四邊形包括矩形、菱形、正方形。另一方面，平行四邊形有許多很好的性質(zhì)，使得構(gòu)造平行四邊形成為解幾何題的有力工具?！纠}精講】【例1】四邊形四條邊的長(zhǎng)分別為，且滿(mǎn)足，則這個(gè)四邊形是（ ）A.平行四邊形 B.對(duì)角線互相垂直的四邊形C.平行四邊形或?qū)蔷€互相垂直的四邊形 D.對(duì)角線相等的四邊形【例2】如圖，四邊形ABCD是正方形， 點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DEAG于點(diǎn)E，BFAG于點(diǎn)F. (1) 求證：DEBF EF(2) 當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中

49、點(diǎn)時(shí)， 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系， 并說(shuō)明理由 (3) 若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變請(qǐng)你在圖中畫(huà)出圖形，寫(xiě)出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）【鞏固】如圖1，在邊長(zhǎng)為5的正方形中，點(diǎn)、分別是、邊上的點(diǎn)，且，.（1）求的值；（2）延長(zhǎng)交正方形外角平分線（如圖132），試判斷的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在圖2的邊上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1ADCBE圖2BCEDAFPF【例3】如圖，在矩形ABCD中，已知AD12，AB5，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PEBD于E，PFAC于F，求PEPF的值?！纠?】如圖，在AB

50、C中，BAC90，ADBC，BE、AF分別是ABC、DAC的平分線，BE和AD交于G，求證：GFAC?！纠?】如圖所示，RtABC中，BAC90，ADBC于D，BG平分ABC，EFBC且交AC于F。求證：AECF?！眷柟獭咳鐖D，在平行四邊形ABCD中，B，D的平分線分別交對(duì)邊于點(diǎn)E、F，交四邊形的對(duì)角線AC于點(diǎn)G、H。求證：AHCG。第九講：梯 形【知識(shí)梳理】與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位，本講就來(lái)研究它們的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形，等腰梯形是一類(lèi)特殊的梯形，其判定和性質(zhì)定理與等腰三角形的判定和性質(zhì)類(lèi)似。通過(guò)作

51、輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，這是解梯形問(wèn)題的基本思路，常用的輔助線的作法是：平移腰：過(guò)一頂點(diǎn)作一腰的平行線；平移對(duì)角線：過(guò)一頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線；過(guò)底的頂點(diǎn)作另一底的垂線。熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：【例題精講】中位線概念： (1)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線 (2)梯形中位線定義：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半。梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并等于兩底和的一半?！纠}精講】【例1】如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB8，DC6，B45，BC10，求梯形上

52、底AD的長(zhǎng). 【例2】如圖所示，在直角梯形ABCD中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的長(zhǎng). 【例3】如圖所示，在等腰梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線ACBD，BD6cm. 求梯形ABCD的面積. 【例4】如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADBC. 判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論. 【鞏固】1、如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長(zhǎng). 2、如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的長(zhǎng). 3、如圖所示，梯形ABCD中，ABCD，D2B，ADDC8，

53、求AB的長(zhǎng). 【例5】已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，E是CD的中點(diǎn)，且AEBE.求證：ADBCAB【鞏固】如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，E是CD的中點(diǎn)，且ADBCAB求證：DEAE?！纠?】如圖，在梯形ABCD 中，ADBC ， E、F 分別是AD 、BC 的中點(diǎn)，若BC90.AD 7 ，BC 15 ，求EF 第十講：中位線及其應(yīng)用【知識(shí)梳理】1、三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。2、中位線性質(zhì)定理的結(jié)論，兼有位置和大小關(guān)系，可以用它判定平行，計(jì)算線段的長(zhǎng)度，確定線段的和、差、倍關(guān)系。3、運(yùn)用中位線性質(zhì)的關(guān)鍵是從出現(xiàn)的線

54、段中點(diǎn)，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。4、中位線性質(zhì)定理，常與它的逆定理結(jié)合起來(lái)用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理及推論，一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)而平行于另一邊的直線，必平分第三邊經(jīng)過(guò)梯形一腰中點(diǎn)而平行于兩底的直線，必平分另一腰5、有關(guān)線段中點(diǎn)的其他定理還有：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等因此如何發(fā)揮中點(diǎn)作用必須全面考慮。【例題精講】【例1】已知ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC，AECD于E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，

55、試說(shuō)明BD=2EF?！眷柟獭恳阎贏BC中，B=2C，ADBC于D，M為BC的中點(diǎn).求證：【例2】已知E、F、G、H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)則四邊形EFGH是_形當(dāng)ACBD時(shí)，四邊形EFGH是_形當(dāng)ACBD時(shí)，四邊形EFGH是_形當(dāng)AC和BD_時(shí)，四邊形EFGH是正方形?！眷柟獭咳鐖D，等腰梯形ABCD中，ADBC，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)。（1）求證：四邊形MENF是菱形；（2）若四邊形MENF是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鞯妊菪蜛BCD的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。【例3】梯形ABCD中，ABCD，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)。求證：MN（ABCD）【鞏固

56、】如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，E、F分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)。求證：EF【拓展】E、F為四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn)，若EF，問(wèn)：四邊形ABCD為什么四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由。 【例4】四邊形ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，AB=CD.BA、CD的延長(zhǎng)線交HG的延長(zhǎng)線于E、F。求證：BEH=CFH.【例5】如圖，ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB14，BC16，AC26，P為A的平分線AD上一點(diǎn)，且BPAD，M為BC的中點(diǎn)，求PM的長(zhǎng)?！眷柟獭恳阎篈BC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中點(diǎn)。求證：PMPN【例】如圖，平形四邊形ABCD的對(duì)

57、角線AC、BD相交于點(diǎn)O，OE垂直于AB，OE垂直于CD，垂足分別是E，F(xiàn)，求證：OE=OF。第十一講：如何做幾何證明題【知識(shí)梳理】1、幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類(lèi)型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類(lèi)問(wèn)題常常可以相互轉(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。2、掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的

58、結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來(lái)，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。3、掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的?！纠}精講】【專(zhuān)題一】證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類(lèi)問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方

59、法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。【例1】已知：如圖所示，中，。 求證：DEDF【鞏固】如圖所示，已知為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AEBD，連結(jié)CE、DE。 求證：ECED【例2】已知：如圖所示，ABCD，ADBC，AECF。求證：EF【專(zhuān)題二】證明直線平行或垂直 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁?xún)?nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證?！纠?/p>

60、3】如圖所示，設(shè)BP、CQ是的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。 求證：KHBC【例4】已知：如圖所示，ABAC，。 求證：FDED【專(zhuān)題三】證明線段和的問(wèn)題總結(jié)：證明線段的和、差、倍、分常用的證明策略：1，長(zhǎng)截短：要證明一條線段等于另外兩條線段的和與差，可在長(zhǎng)線上截取一部分等于另兩條線段中的一條，然后再證明另一部分等于剩下的一條線段的長(zhǎng)。（角也亦然）2，短延長(zhǎng)：要證明一條線段等于另外兩條線段的和與差，可先延長(zhǎng)較短的一條線段，得到兩條線段的和，然后再證明其與長(zhǎng)的線段相等。（角也這樣）3，加倍法：要證明一條線段等于另一條線段的2倍或1/2，可加倍延長(zhǎng)線段，延長(zhǎng)后使之為其2倍，再證