必考題型高考數(shù)學(xué)：數(shù)列求和問題大全

1、第26練數(shù)列求和問題大全題型一分組轉(zhuǎn)化法求和例1等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.破題切入點(diǎn)(1)可以通過逐個驗(yàn)證來確定數(shù)列的前三項(xiàng)，進(jìn)而求得an；(2)可以分組求和：將bn前n項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為數(shù)列an和數(shù)列(1)nln an前n項(xiàng)的和解(1)當(dāng)a13時，不合題意；當(dāng)a12時，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時，符合題意；當(dāng)a110時，不合題意因此a12，a26

2、，a318.所以公比q3.故an23n1 (nN*)(2)因?yàn)閎nan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn2eq f(13n,13)eq f(n,2)ln 33neq f(n,2)ln 31；當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn2eq f(13n,13)(ln 2ln 3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(n1,2)n)ln 33neq f(n1,2)ln 3ln 21.綜上所述，Sne

3、q blcrc (avs4alco1(3nf(n,2)ln 31，n為偶數(shù)，,3nf(n1,2)ln 3ln 21， n為奇數(shù).)題型二錯位相減法求和例2已知：數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn2ann(nN*)(1)求a1，a2的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)若數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，且滿足bnnan(nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.破題切入點(diǎn)(1)代入求解即可(2)由Sn2ann得Sn12an1(n1)，n2，兩式相減構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)公式(3)錯位相減求和解(1)Sn2ann.令n1，解得a11；令n2，解得a23.(2)Sn2ann，所以Sn12an1(n1)(n2，nN*

4、)，兩式相減得an2an11，所以an12(an11)(n2，nN*)，又因?yàn)閍112，所以數(shù)列an1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列所以an12n，即通項(xiàng)公式an2n1(nN*)(3)bnnan，所以bnn(2n1)n2nn，所以Tn(1211)(2222)(3233)(n2nn)，Tn(121222323n2n)(123n)令Sn121222323n2n，2Sn122223324n2n1，得Sn2122232nn2n1，Sneq f(212n,12)n2n1，Sn2(12n)n2n12(n1)2n1，所以Tn2(n1)2n1eq f(nn1,2)(nN*)題型三倒序相加法求和例3已知函數(shù)f(

5、x)eq f(1,4x2)(xR)(1)證明：f(x)f(1x)eq f(1,2)；(2)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anf(eq f(n,m)(mN*，n1,2，m)，求數(shù)列an的前m項(xiàng)和Sm；(3)設(shè)數(shù)列bn滿足b1eq f(1,3)，bn1beq oal(2,n)bn，Tneq f(1,b11)eq f(1,b21)eq f(1,bn1)，若(2)中的Sm滿足對不小于2的任意正整數(shù)m，Sm0，則eq f(1,bn1)eq f(1,bnbn1)eq f(1,bn)eq f(1,bn1)，即eq f(1,bn1)eq f(1,bn)eq f(1,bn1)，所以Tn(eq f(1,b1)eq f(1

6、,b2)(eq f(1,b2)eq f(1,b3)(eq f(1,bn)eq f(1,bn1)eq f(1,b1)eq f(1,bn1)3eq f(1,bn1).因?yàn)閎n1bnbeq oal(2,n)0，所以bn1bn，即數(shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列所以Tn關(guān)于n遞增，所以當(dāng)nN*時，TnT1.因?yàn)閎1eq f(1,3)，b2(eq f(1,3)2eq f(1,3)eq f(4,9)，所以TnT13eq f(1,b2)eq f(3,4).由題意，知Smeq f(3,4)，即eq f(m,4)eq f(1,12)eq f(3,4)，解得meq f(10,3)，所以正整數(shù)m的最大值為3.題型四裂項(xiàng)相消法

7、求和例4在公差不為0的等差數(shù)列an中，a1，a4，a8成等比數(shù)列(1)已知數(shù)列an的前10項(xiàng)和為45，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bneq f(1,anan1)，且數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若Tneq f(1,9)eq f(1,n9)，求數(shù)列an的公差破題切入點(diǎn)(1)列方程組(兩個條件)確定an.(2)可以采用裂項(xiàng)相消法求得含有公差的表達(dá)式，再和已知Tneq f(1,9)eq f(1,n9)對比求得公差解設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a1，a4，a8成等比數(shù)列可得aeq oal(2,4)a1a8，即(a13d)2a1(a17d)，aeq oal(2,1)6a1d9d2aeq oal(2,1)7a1

8、d，而d0，a19d.(1)由數(shù)列an的前10項(xiàng)和為45可得S1010a1eq f(109,2)d45，即90d45d45，故deq f(1,3)，a13，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3(n1)eq f(1,3)eq f(1,3)(n8)(2)bneq f(1,anan1)eq f(1,d)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,an)f(1,an1)，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tneq f(1,d)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a1)f(1,a2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a2)f(1,a3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a

9、n)f(1,an1)eq f(1,d)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a1)f(1,an1)eq f(1,d)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,9d)f(1,9dnd)eq f(1,d2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,9)f(1,n9)eq f(1,9)eq f(1,n9).所以eq f(1,d2)1，d1.故數(shù)列an的公差d1或1.總結(jié)提高數(shù)列求和的主要方法：(1)分組求和法：一個數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，若將這個數(shù)列適當(dāng)拆開，重新組合，就會變成幾個可以求和的部分，即能分別求和，然后再合并，或?qū)ψ帜竛分類討論后再求和(2)錯位相減

10、法：這是推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，主要用于求anbn的前n項(xiàng)和，其中an和bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(3)倒序相加法： 這是推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和時所用的方法，將一個數(shù)列倒過來排序，如果原數(shù)列相加時，若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和(4)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開后，消去一部分從而計算和的方法，適用于求通項(xiàng)為eq f(1,anan1)的前n項(xiàng)和，其中an若為等差數(shù)列，則eq f(1,anan1)eq f(1,d)(eq f(1,an)eq f(1,an1)其余還有公式法求和等1若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為aneq f(2,nn2)，則其

11、前n項(xiàng)和Sn為()A1eq f(1,n2) B.eq f(3,2)eq f(1,n)eq f(1,n1)C.eq f(3,2)eq f(1,n)eq f(1,n2) D.eq f(3,2)eq f(1,n1)eq f(1,n2)答案D解析方法一因?yàn)閍neq f(2,nn2)eq f(1,n)eq f(1,n2)，所以Sna1a2an1eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,3)eq f(1,5)eq f(1,n1)eq f(1,n1)eq f(1,n)eq f(1,n2)1eq f(1,2)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(3,2)eq f(1,n1

12、)eq f(1,n2).故選D.方法二因?yàn)閍1eq f(2,3)，a2eq f(1,4)，所以S1a1eq f(2,3).令n1，選項(xiàng)B中，eq f(3,2)1eq f(1,2)0，選項(xiàng)C中，eq f(3,2)1eq f(1,3)eq f(1,6)，故排除B，C.又S2eq f(2,3)eq f(1,4)eq f(11,12)，選項(xiàng)A中，令n2，則1eq f(1,4)eq f(3,4)，故排除A，應(yīng)選D.2已知數(shù)列1eq f(1,2)，3eq f(1,4)，5eq f(1,8)，7eq f(1,16)，則其前n項(xiàng)和Sn為()An21eq f(1,2n) Bn22eq f(1,2n)Cn21eq

13、 f(1,2n1) Dn22eq f(1,2n1)答案A解析因?yàn)閍n2n1eq f(1,2n)，則Sneq f(12n1,2)neq f(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n)f(1,2),1f(1,2)n21eq f(1,2n).3(2013課標(biāo)全國)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sm12，Sm0，Sm13，則m等于()A3 B4C5 D6答案C解析am2，am13，故d1，因?yàn)镾m0，故ma1eq f(mm1,2)d0，故a1eq f(m1,2)，因?yàn)閍mam15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.4在數(shù)列an中，若存在一個確定的正整數(shù)T，對任意nN*

14、滿足anTan，則稱an是周期數(shù)列，T叫作它的周期已知數(shù)列xn滿足x11，x2a(a1)，xn2|xn1xn|，當(dāng)數(shù)列xn的周期為3時，則xn的前2 013項(xiàng)和S2 013等于()A1 340 B1 342C1 344 D1 346答案B解析由xn2|xn1xn|，得x3|x2x1|a1|1a，x4|x3x2|12a|，因?yàn)閿?shù)列xn的周期為3，所以x4x1，即|12a|1，解得a0或a1.當(dāng)a0時，數(shù)列xn為1,0,1,1,0,1，所以S2 01326711 342.當(dāng)a1時，數(shù)列xn為1,1,0,1,1,0，所以S2 01326711 342.綜上，S2 0131 342.5已知數(shù)列2 00

15、8,2 009,1，2 008，2 009，這個數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個數(shù)列的前2 014項(xiàng)之和S2 014等于()A2 008 B2 010 C1 D0答案B解析由已知得anan1an1(n2)，an1anan1.故數(shù)列的前8項(xiàng)依次為2 008,2 009,1，2 008，2 009，1,2 008,2 009.由此可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為6，且S60.2 01463354，S2 014S42 0082 0091(2 008)2 010.6數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為_答案1 830解析an1(1)nan2n1，a21a1，

16、a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)102642234eq f(1510234,2)1 830.7在等比數(shù)列an中，a13，a481，若數(shù)列bn滿足bnlog3an，則數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,bnbn1)的前n項(xiàng)和Sn_.答案eq f(n,n1)解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則eq f(a4,a1)q327，解得q3.所以ana1qn1

17、33n13n，故bnlog3ann，所以eq f(1,bnbn1)eq f(1,nn1)eq f(1,n)eq f(1,n1).則數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,bnbn1)的前n項(xiàng)和為1eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)eq f(1,n1)1eq f(1,n1)eq f(n,n1).8對于數(shù)列an，定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a11.an的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為an1an2n，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.答案2n1n2解析因?yàn)閍n1an2n，應(yīng)用累加法可得an2n1，所以Sna1a2a3an222232nneq f(21

18、2n,12)n2n1n2.9定義：若數(shù)列An滿足An1Aeq oal(2,n)，則稱數(shù)列An為“平方遞推數(shù)列”已知數(shù)列an中，a12，點(diǎn)(an，an1)在函數(shù)f(x)2x22x的圖象上，其中n為正整數(shù)(1)證明：數(shù)列2an1是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列l(wèi)g(2an1)為等比數(shù)列；(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為Tn，即Tn(2a11)(2a21)(2an1)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及Tn關(guān)于n的表達(dá)式(1)證明由題意得an12aeq oal(2,n)2an，得2an114aeq oal(2,n)4an1(2an1)2.所以數(shù)列2an1是“平方遞推數(shù)列”令cn2an1，所以lg cn1

19、2lg cn.因?yàn)閘g(2a11)lg 50，所以eq f(lg2an11,lg2an1)2.所以數(shù)列l(wèi)g(2an1)為等比數(shù)列(2)解因?yàn)閘g(2a11)lg 5，所以lg(2an1)2n1lg 5，所以2an152n1，即aneq f(1,2)(52n11)因?yàn)閘g Tnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1)eq f(lg 512n,12)(2n1)lg 5.所以Tn52n1.10(2014湖南)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sneq f(n2n,2)，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和解(1)當(dāng)n1時，a1S11；當(dāng)n2時，anS

20、nSn1eq f(n2n,2)eq f(n12n1,2)n.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n(212222n)(12342n)記A212222n，B12342n，則Aeq f(2122n,12)22n12.B(12)(34)(2n1)2nn，故數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2nAB22n1n2.11(2014課標(biāo)全國)已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明aneq f(1,2)是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)證明eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)eq f(3,2).證明(1)由an13an1得an1eq f(1,2)3(aneq f(1,2)又a1eq f(1,2)eq f(3,2)，所以aneq f(1,2)是首項(xiàng)為eq f(3,2)，公比為3的等比數(shù)列aneq f(1,2)eq f(3n,2)，因此an的通項(xiàng)公式為aneq f(3n1,2).(2)由(1)知eq f(1,an)eq f(2,3n1).因?yàn)楫?dāng)n1時，3n123n1，所以eq f(1,3n1)eq f(1,2