《控制測(cè)量》第13講將地面觀測(cè)的方向值歸算至高斯面概要課件

1、昆明冶金高等?？茖W(xué)校測(cè)繪學(xué)院 本節(jié)介紹從橢球面上大地坐標(biāo)系到平面上直角坐標(biāo)系的正形投影過(guò)程。研究如何將大地坐標(biāo)、大地線長(zhǎng)度和方向以及大地方位角等向平面轉(zhuǎn)化的問(wèn)題。重點(diǎn)講述高斯投影的原理和方法，解決如何由球面到平面的換算問(wèn)題，解決相鄰?fù)队皫У淖鴺?biāo)換算問(wèn)題。 知識(shí)點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求1高斯投影的基本概念；2高斯平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換高斯投影的正算與反算3高斯投影的鄰帶換算；4橢球面上觀測(cè)成果（水平方向）歸化到高斯平面上的計(jì)算 難點(diǎn) 首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算計(jì)算；方向改化和距離改化計(jì)算；高斯投影帶的換算與應(yīng)用。第十三講 將地面觀測(cè)的方向值歸算至高斯面一、基礎(chǔ)知識(shí)（高斯投影與高

2、斯平面直角坐標(biāo)系）1 投影與變形 地圖投影：就是將橢球面各元素（包括坐標(biāo)、方向和長(zhǎng)度）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。研究這個(gè)問(wèn)題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)?？捎孟旅鎯蓚€(gè)方程式（坐標(biāo)投影公式）表示：式中L,B是橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo)，而x, y是該點(diǎn)投影后的平面直角坐標(biāo)。等角投影投影前后的角度相等，但長(zhǎng)度和面積有變形；等距投影投影前后的長(zhǎng)度相等，但角度和面積有變形;等積投影投影前后的面積相等，但角度和長(zhǎng)度有變形。地圖投影的方式投影變形：橢球面是一個(gè)凸起的、不可展平的曲面。將這個(gè)曲面上的元素（距離、角度、圖形）投影到平面上，就會(huì)和原來(lái)的距離、角度、圖形呈現(xiàn)差異，這一差異稱為投影變形。投影變形的形式：角

3、度變形、長(zhǎng)度變形和面積變形。2 控制測(cè)量對(duì)地圖投影的要求應(yīng)當(dāng)采用等角投影（又稱為正形投影） 在測(cè)制地圖時(shí)，采用等角投影可以保證在有限的范圍內(nèi)使得地圖上圖形同橢球上原形保持相似。在采用的正形投影中，要求長(zhǎng)度和面積變形不大，并能夠應(yīng)用簡(jiǎn)單公式計(jì)算由于這些變形而帶來(lái)的改正數(shù)。能按分帶投影3 高斯投影的基本概念（1）基本概念： 如下圖所示，假想有一個(gè)橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線（此子午線稱為中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過(guò)橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開(kāi)即成為投影面，此投影為高斯投影（又稱橫軸橢圓柱等

4、角投影），高斯投影是正形投影的一種。（2）分帶投影高斯投影 帶：自 子午線起每隔經(jīng)差 自西向東分帶，依次編號(hào)1,2,3,。我國(guó) 帶中央子午線的經(jīng)度，由 起每隔 而至 , 共計(jì)11帶（1323帶），帶號(hào)用 表示，中央子午線的經(jīng)度用 表示，它們的關(guān)系是 ,如下圖所示。高斯投影 帶：它的中央子午線一部分同 帶中央子午線重合，一部分同 帶的分界子午線重合，如用 表示 帶的帶號(hào)， 表示 帶中央子午線經(jīng)度，它們的關(guān)系 下圖所示。我國(guó) 帶共計(jì)22帶（2445帶）。在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，以中央子午線和赤道的交點(diǎn) 作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo) 軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo) 軸。（3

5、）高斯平面直角坐標(biāo)系在我國(guó) 坐標(biāo)都是正的， 坐標(biāo)的最大值（在赤道上）約為330km。為了避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，可在橫坐標(biāo)上加上500 000m。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前面再冠以帶號(hào)。這種坐標(biāo)稱為國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)。例如，有一點(diǎn) =19 123 456.789m，該點(diǎn)位于 帶內(nèi)，其相對(duì)于中央子午線而言的橫坐標(biāo)則是：首先去掉帶號(hào)，再減去500000m,最后得 =-376 543.211m。（3）高斯平面直角坐標(biāo)系（4）高斯平面投影的特點(diǎn)：（5） 橢球面上控制網(wǎng)投影到高斯平面上將橢球面上控制網(wǎng)投影到高斯面上的主要內(nèi)容是：將起始點(diǎn)的大地坐標(biāo)歸算為高斯平面直角坐標(biāo)；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即高 斯正、反算。通過(guò)計(jì)算起算

6、點(diǎn)的子午線收斂角及起算邊方向改正，將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上得相應(yīng)邊的坐標(biāo)方位角。通過(guò)計(jì)算各方向的曲率改正或方向改正，將橢球面上各三角形內(nèi)角（或?qū)Ь€轉(zhuǎn)角）歸算到高斯平面上成為由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角（或?qū)Ь€轉(zhuǎn)角） 。通過(guò)計(jì)算距離改正，將橢球面上各邊的長(zhǎng)度（大地線）歸算到高斯平面上得直線長(zhǎng)度。當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個(gè)相鄰?fù)队皫r(shí)，還需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。高斯投影坐標(biāo)正反算得實(shí)用公式及算例1 高斯投影坐標(biāo)正算公式（1）高斯投影正算：已知某點(diǎn)的 ，求該點(diǎn)的 ，即 的坐標(biāo)變換。（2）投影變換必須滿足的條件： 中央子午線投影后為直線； 中央子午線投影后長(zhǎng)度不變； 投影具有正形性質(zhì)，即正形

7、投影條件。（3）投影過(guò)程 在橢球面上有對(duì)稱于中央子午線的兩點(diǎn) 和 ,它們的大地坐標(biāo)分別為 及 式中 為橢球面上點(diǎn)的經(jīng)度與中央子午線 的經(jīng)度差： ,點(diǎn)在中央子午線之東, 為正，在西則為負(fù)，則投影后的平面坐標(biāo)一定為 和 。 （4）計(jì)算公式當(dāng)要求轉(zhuǎn)換精度精確至0.00lm時(shí)，用下式計(jì)算。 式中：（1）高斯投影反算：已知某點(diǎn) ，求該點(diǎn) ，即 的坐標(biāo)變換。（2）投影變換必須滿足的條件 坐標(biāo)軸投影成中央子午線，是投影的對(duì)稱軸； 軸上的長(zhǎng)度投影保持不變； 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。（3）投影過(guò)程根據(jù)計(jì)算縱坐標(biāo)在橢球面上的投影的底點(diǎn)緯度 ，接著按 計(jì)算（ ）及經(jīng)差 ,最后得到 、 。2 高斯投影坐標(biāo)反

8、算公式（4）計(jì)算公式當(dāng)要求轉(zhuǎn)換精度至 時(shí)，可簡(jiǎn)化為下式：高斯投影相鄰帶的坐標(biāo)換算（1）產(chǎn)生換帶的原因 為了限制高斯投影的長(zhǎng)度變形，把投影范圍限制在中央子午線東、西兩側(cè)一定的范圍內(nèi)。使得統(tǒng)一的坐標(biāo)系分割成各帶的獨(dú)立坐標(biāo)系。在工程應(yīng)用中，往往要用到相鄰帶中的點(diǎn)坐標(biāo)，有時(shí)工程測(cè)量中要求采用 帶、 帶或任意帶，而國(guó)家控制點(diǎn)通常只有 帶坐標(biāo)，這時(shí)就產(chǎn)生了 帶同 帶（或 帶、任意帶）之間的坐標(biāo)換算問(wèn)題，如圖所示：把橢球面上的大地坐標(biāo)作為過(guò)渡坐標(biāo)。首先把某投影帶（比如帶）內(nèi)有關(guān)點(diǎn)的平面坐標(biāo) ，利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大地坐標(biāo)，進(jìn)而得到；然后再由大地坐標(biāo) 利用投影正算公式換算成相鄰帶的（第帶）的平

9、面坐標(biāo)。在這一步計(jì)算時(shí)，要根據(jù)第帶的中央子午線經(jīng)度 來(lái)計(jì)算經(jīng)差 ，亦即此時(shí)（2）應(yīng)用高斯投影正、反算公式間接進(jìn)行換帶計(jì)算計(jì)算過(guò)程：計(jì)算步驟：根據(jù),利用高斯反算公計(jì)算換算,，得到 。采用已求得的,，并顧及到第帶的中央子午線，求得，利用高斯正算公式計(jì)算第帶的直角坐標(biāo) 。為了檢核計(jì)算的正確性，要求每步都應(yīng)進(jìn)行往返計(jì)算。算例在中央子午線 的帶中，有某一點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)，現(xiàn)要求計(jì)算該點(diǎn)在中央子午線經(jīng)度為 的第帶的平面直角坐標(biāo)。 3 平面子午線收斂角計(jì)算公式（1）子午線收斂角的概念 如圖所示，由于所有子午線都收殮與極點(diǎn)N，而所有坐標(biāo)縱線X都相互平行，所以，除了中央子午線的點(diǎn)子午線與坐標(biāo)縱線重合外，其他位置

10、上的點(diǎn)的子午線與坐標(biāo)縱線都存在一個(gè)夾角。 子午線收斂角就是同一點(diǎn)的子午線真北方向與坐標(biāo)縱線北之間的夾角，用 表示。 子午線收斂角的大小與緯度及離開(kāi)中央子午線的距離（經(jīng)差）有關(guān)，東偏為正（+）、西偏為負(fù)（-）。 （2）由大地坐標(biāo) 計(jì)算平面子午線收斂角公式（3）由平面坐標(biāo)計(jì)算平面子午線收斂角的公式上式計(jì)算精度可達(dá)1。如果要達(dá)到0.001計(jì)算精度，可用下式計(jì)算：（4）實(shí)用公式已知大地坐標(biāo) 計(jì)算子午線收斂角已知平面坐標(biāo)已知平面坐標(biāo)計(jì)算子午線收斂角4 大地方位角化為坐標(biāo)方位角的計(jì)算 大地方位角與坐標(biāo)方位角的關(guān)系如圖所示相差一個(gè)子午線收角和方向改化值。 其中：二、橢球面上觀測(cè)成果歸化到高斯平面上1 概述：

11、高斯正形投影，橢球面上大地線間的夾角與它們?cè)诟咚蛊矫嫔系耐队扒€之間的夾角相等。為了在平面進(jìn)行計(jì)算，須把大地線的投影曲線用其弦線來(lái)代替?？刂凭W(wǎng)歸算到高斯平面上的內(nèi)容有：起算點(diǎn)坐標(biāo)的歸算將起算點(diǎn)大地坐標(biāo) 歸算為高斯平面直角坐標(biāo)。起算方向角的歸算將起算邊大地方位歸算為高斯平面坐標(biāo)方位。方向改化計(jì)算橢球面上各大地線的方向值歸算為平面上相應(yīng) 的弦線方向值。距離改化計(jì)算橢球面上已知的大地線邊長(zhǎng)（或觀測(cè)的大線邊長(zhǎng)）歸算至平面上相應(yīng)的弦線長(zhǎng)度。 2 方向改化（1）概念 將橢球面上的大地線 方向改化為平面上的弦線ab方向，其相差一個(gè)角值,即稱為方向改化值。（2）方向改化的過(guò)程 若將大地線 方向改化為弦線ab方向。過(guò)A,B點(diǎn)，在球面上各作一大圓弧與軸子午線正交，其交點(diǎn)分別為D,E，它們?cè)谕队懊嫔系耐队胺謩e為ad和be。由于是把地球近似看成球，故都是垂直于x軸的直線。在a,b點(diǎn)上的方向改化分別為 和 。當(dāng)大地線長(zhǎng)度不大于10km，y坐標(biāo)不大于l0