《控制測量》第13講將地面觀測的方向值歸算至高斯面概要課件

1、昆明冶金高等專科學(xué)校測繪學(xué)院 本節(jié)介紹從橢球面上大地坐標(biāo)系到平面上直角坐標(biāo)系的正形投影過程。研究如何將大地坐標(biāo)、大地線長度和方向以及大地方位角等向平面轉(zhuǎn)化的問題。重點(diǎn)講述高斯投影的原理和方法，解決如何由球面到平面的換算問題，解決相鄰?fù)队皫У淖鴺?biāo)換算問題。 知識點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求1高斯投影的基本概念；2高斯平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換高斯投影的正算與反算3高斯投影的鄰帶換算；4橢球面上觀測成果（水平方向）歸化到高斯平面上的計算 難點(diǎn) 首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算計算；方向改化和距離改化計算；高斯投影帶的換算與應(yīng)用。第十三講 將地面觀測的方向值歸算至高斯面一、基礎(chǔ)知識（高斯投影與高

2、斯平面直角坐標(biāo)系）1 投影與變形 地圖投影：就是將橢球面各元素（包括坐標(biāo)、方向和長度）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。研究這個問題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)?？捎孟旅鎯蓚€方程式（坐標(biāo)投影公式）表示：式中L,B是橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo)，而x, y是該點(diǎn)投影后的平面直角坐標(biāo)。等角投影投影前后的角度相等，但長度和面積有變形；等距投影投影前后的長度相等，但角度和面積有變形;等積投影投影前后的面積相等，但角度和長度有變形。地圖投影的方式投影變形：橢球面是一個凸起的、不可展平的曲面。將這個曲面上的元素（距離、角度、圖形）投影到平面上，就會和原來的距離、角度、圖形呈現(xiàn)差異，這一差異稱為投影變形。投影變形的形式：角

3、度變形、長度變形和面積變形。2 控制測量對地圖投影的要求應(yīng)當(dāng)采用等角投影（又稱為正形投影） 在測制地圖時，采用等角投影可以保證在有限的范圍內(nèi)使得地圖上圖形同橢球上原形保持相似。在采用的正形投影中，要求長度和面積變形不大，并能夠應(yīng)用簡單公式計算由于這些變形而帶來的改正數(shù)。能按分帶投影3 高斯投影的基本概念（1）基本概念： 如下圖所示，假想有一個橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線（此子午線稱為中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面，此投影為高斯投影（又稱橫軸橢圓柱等

4、角投影），高斯投影是正形投影的一種。（2）分帶投影高斯投影 帶：自 子午線起每隔經(jīng)差 自西向東分帶，依次編號1,2,3,。我國 帶中央子午線的經(jīng)度，由 起每隔 而至 , 共計11帶（1323帶），帶號用 表示，中央子午線的經(jīng)度用 表示，它們的關(guān)系是 ,如下圖所示。高斯投影 帶：它的中央子午線一部分同 帶中央子午線重合，一部分同 帶的分界子午線重合，如用 表示 帶的帶號， 表示 帶中央子午線經(jīng)度，它們的關(guān)系 下圖所示。我國 帶共計22帶（2445帶）。在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，以中央子午線和赤道的交點(diǎn) 作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo) 軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo) 軸。（3

5、）高斯平面直角坐標(biāo)系在我國 坐標(biāo)都是正的， 坐標(biāo)的最大值（在赤道上）約為330km。為了避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，可在橫坐標(biāo)上加上500 000m。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前面再冠以帶號。這種坐標(biāo)稱為國家統(tǒng)一坐標(biāo)。例如，有一點(diǎn) =19 123 456.789m，該點(diǎn)位于 帶內(nèi)，其相對于中央子午線而言的橫坐標(biāo)則是：首先去掉帶號，再減去500000m,最后得 =-376 543.211m。（3）高斯平面直角坐標(biāo)系（4）高斯平面投影的特點(diǎn)：（5） 橢球面上控制網(wǎng)投影到高斯平面上將橢球面上控制網(wǎng)投影到高斯面上的主要內(nèi)容是：將起始點(diǎn)的大地坐標(biāo)歸算為高斯平面直角坐標(biāo)；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即高 斯正、反算。通過計算起算

6、點(diǎn)的子午線收斂角及起算邊方向改正，將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上得相應(yīng)邊的坐標(biāo)方位角。通過計算各方向的曲率改正或方向改正，將橢球面上各三角形內(nèi)角（或?qū)Ь€轉(zhuǎn)角）歸算到高斯平面上成為由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角（或?qū)Ь€轉(zhuǎn)角） 。通過計算距離改正，將橢球面上各邊的長度（大地線）歸算到高斯平面上得直線長度。當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個相鄰?fù)队皫r，還需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。高斯投影坐標(biāo)正反算得實(shí)用公式及算例1 高斯投影坐標(biāo)正算公式（1）高斯投影正算：已知某點(diǎn)的 ，求該點(diǎn)的 ，即 的坐標(biāo)變換。（2）投影變換必須滿足的條件： 中央子午線投影后為直線； 中央子午線投影后長度不變； 投影具有正形性質(zhì)，即正形

7、投影條件。（3）投影過程 在橢球面上有對稱于中央子午線的兩點(diǎn) 和 ,它們的大地坐標(biāo)分別為 及 式中 為橢球面上點(diǎn)的經(jīng)度與中央子午線 的經(jīng)度差： ,點(diǎn)在中央子午線之東, 為正，在西則為負(fù)，則投影后的平面坐標(biāo)一定為 和 。 （4）計算公式當(dāng)要求轉(zhuǎn)換精度精確至0.00lm時，用下式計算。 式中：（1）高斯投影反算：已知某點(diǎn) ，求該點(diǎn) ，即 的坐標(biāo)變換。（2）投影變換必須滿足的條件 坐標(biāo)軸投影成中央子午線，是投影的對稱軸； 軸上的長度投影保持不變； 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。（3）投影過程根據(jù)計算縱坐標(biāo)在橢球面上的投影的底點(diǎn)緯度 ，接著按 計算（ ）及經(jīng)差 ,最后得到 、 。2 高斯投影坐標(biāo)反

8、算公式（4）計算公式當(dāng)要求轉(zhuǎn)換精度至 時，可簡化為下式：高斯投影相鄰帶的坐標(biāo)換算（1）產(chǎn)生換帶的原因 為了限制高斯投影的長度變形，把投影范圍限制在中央子午線東、西兩側(cè)一定的范圍內(nèi)。使得統(tǒng)一的坐標(biāo)系分割成各帶的獨(dú)立坐標(biāo)系。在工程應(yīng)用中，往往要用到相鄰帶中的點(diǎn)坐標(biāo)，有時工程測量中要求采用 帶、 帶或任意帶，而國家控制點(diǎn)通常只有 帶坐標(biāo)，這時就產(chǎn)生了 帶同 帶（或 帶、任意帶）之間的坐標(biāo)換算問題，如圖所示：把橢球面上的大地坐標(biāo)作為過渡坐標(biāo)。首先把某投影帶（比如帶）內(nèi)有關(guān)點(diǎn)的平面坐標(biāo) ，利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大地坐標(biāo)，進(jìn)而得到；然后再由大地坐標(biāo) 利用投影正算公式換算成相鄰帶的（第帶）的平

9、面坐標(biāo)。在這一步計算時，要根據(jù)第帶的中央子午線經(jīng)度 來計算經(jīng)差 ，亦即此時（2）應(yīng)用高斯投影正、反算公式間接進(jìn)行換帶計算計算過程：計算步驟：根據(jù),利用高斯反算公計算換算,，得到 。采用已求得的,，并顧及到第帶的中央子午線，求得，利用高斯正算公式計算第帶的直角坐標(biāo) 。為了檢核計算的正確性，要求每步都應(yīng)進(jìn)行往返計算。算例在中央子午線 的帶中，有某一點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)，現(xiàn)要求計算該點(diǎn)在中央子午線經(jīng)度為 的第帶的平面直角坐標(biāo)。 3 平面子午線收斂角計算公式（1）子午線收斂角的概念 如圖所示，由于所有子午線都收殮與極點(diǎn)N，而所有坐標(biāo)縱線X都相互平行，所以，除了中央子午線的點(diǎn)子午線與坐標(biāo)縱線重合外，其他位置

10、上的點(diǎn)的子午線與坐標(biāo)縱線都存在一個夾角。 子午線收斂角就是同一點(diǎn)的子午線真北方向與坐標(biāo)縱線北之間的夾角，用 表示。 子午線收斂角的大小與緯度及離開中央子午線的距離（經(jīng)差）有關(guān)，東偏為正（+）、西偏為負(fù)（-）。 （2）由大地坐標(biāo) 計算平面子午線收斂角公式（3）由平面坐標(biāo)計算平面子午線收斂角的公式上式計算精度可達(dá)1。如果要達(dá)到0.001計算精度，可用下式計算：（4）實(shí)用公式已知大地坐標(biāo) 計算子午線收斂角已知平面坐標(biāo)已知平面坐標(biāo)計算子午線收斂角4 大地方位角化為坐標(biāo)方位角的計算 大地方位角與坐標(biāo)方位角的關(guān)系如圖所示相差一個子午線收角和方向改化值。 其中：二、橢球面上觀測成果歸化到高斯平面上1 概述：

11、高斯正形投影，橢球面上大地線間的夾角與它們在高斯平面上的投影曲線之間的夾角相等。為了在平面進(jìn)行計算，須把大地線的投影曲線用其弦線來代替?？刂凭W(wǎng)歸算到高斯平面上的內(nèi)容有：起算點(diǎn)坐標(biāo)的歸算將起算點(diǎn)大地坐標(biāo) 歸算為高斯平面直角坐標(biāo)。起算方向角的歸算將起算邊大地方位歸算為高斯平面坐標(biāo)方位。方向改化計算橢球面上各大地線的方向值歸算為平面上相應(yīng) 的弦線方向值。距離改化計算橢球面上已知的大地線邊長（或觀測的大線邊長）歸算至平面上相應(yīng)的弦線長度。 2 方向改化（1）概念 將橢球面上的大地線 方向改化為平面上的弦線ab方向，其相差一個角值,即稱為方向改化值。（2）方向改化的過程 若將大地線 方向改化為弦線ab方向。過A,B點(diǎn)，在球面上各作一大圓弧與軸子午線正交，其交點(diǎn)分別為D,E，它們在投影面上的投影分別為ad和be。由于是把地球近似看成球，故都是垂直于x軸的直線。在a,b點(diǎn)上的方向改化分別為 和 。當(dāng)大地線長度不大于10km，y坐標(biāo)不大于l0