數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題教案

1、泰州二中高中數(shù)學二輪復(fù)習講義13. 構(gòu)建數(shù)學模型解數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題（教案）一.重難點歸納 1 解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題既要有堅實的基礎(chǔ)知識,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應(yīng)用性問題，應(yīng)充分運用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識來解決問題 2 縱觀近幾年高考應(yīng)用題看，解決一個應(yīng)用題，重點過三關(guān) (1)事理關(guān) 需要讀懂題意，明確問題的實際背景，即需要一定的閱讀能力 (2)文理關(guān) 需將實際問題的文字語言轉(zhuǎn)化數(shù)學的符號語言，用數(shù)學式子表達數(shù)學關(guān)系 (3)事理關(guān) 在構(gòu)建數(shù)學模型的過程中；要求考生對數(shù)學知識的檢索能力，認定或構(gòu)建相應(yīng)

2、的數(shù)學模型，完成用實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化 構(gòu)建出數(shù)學模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實的基礎(chǔ)知識和較強的數(shù)理能力 二課前預(yù)習：1 在直角坐標系中，O是坐標原點，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的兩個點，若1，x1，x2，4依次成等差數(shù)列，而1，y1，y2，8依次成等比數(shù)列，則OP1P2的面積是_ 2 從盛滿a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加滿，再倒出b升，再用水加滿；這樣倒了n次，則容器中有純酒精_升 3 據(jù)2000年3月5日九屆人大五次會議政府工作報告 “2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達到95933億元，比上年增長7 3%，”如果“十五”期間(2001年2005年)每年

3、的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為_億元 4 已知數(shù)列an滿足條件 a1=1,a2=r(r0),且anan+1是公比為q(q0)的等比數(shù)列，設(shè)bn=a2n1+a2n(n=1,2,) (1)求出使不等式anan+1+an+1an+2an+2an+3(nN*)成立的q的取值范圍； (2)設(shè)r=219 21，q=，求數(shù)列的最大項和最小項的值 1 解析 由1,x1,x2,4依次成等差數(shù)列得 2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3 又由1，y1,y2,8依次成等比數(shù)列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,P1(2,2),P2(3,4

4、) =(3,4) 答案 12 解析 第一次容器中有純酒精ab即a(1)升，第二次有純酒精a(1)，即a(1)2升，故第n次有純酒精a(1)n升 答案 a(1)n3 解析 從2001年到2005年每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以95933為首項，以7 3%為公比的等比數(shù)列，a5=95933(1+7 3%)4120000(億元) 答案 1200004 解 (1)由題意得rqn1+rqnrqn+1 由題設(shè)r0,q0,從上式可得 q2q10，解得q,因q0,故0q;,從上式可知，當n20 20，即n21(nN*)時，Cn隨n的增大而減小，故1CnC21=1+=2 25當n20 20，即n20(nN*)時，Cn

5、也隨n的增大而減小，故1CnC20=1+=4綜合兩式知，對任意的自然數(shù)n有C20CnC21,故Cn的最大項C21=2 25，最小項C20=4 三.典型題例 例1從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加 (1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達式；(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？命題意圖 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不

6、等式等基礎(chǔ)知識；考查綜合運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，本題有很強的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的熱點和重點題型 知識依托 本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識點 錯解分析 (1)問an、bn實際上是兩個數(shù)列的前n項和，易與“通項”混淆；(2)問是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差 技巧與方法 正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧 解 (1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800(1)萬元，第n年投入為800(1)n1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為 an=8

7、00+800(1)+800(1)n1=800(1)k1=40001()n第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400(1+)，第n年旅游業(yè)收入400(1+)n1萬元 所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn=400+400(1+)+400(1+)k1=400()k1=1600()n1(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bnan0，即1600()n140001()n0，令x=()n，代入上式得 5x27x+20 解此不等式，得x，或x1(舍去) 即()n，由此得n5 至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入 例2已知Sn=1+,(nN*)，設(shè)f(n)=S2n+1Sn+1,試

8、確定實數(shù)m的取值范圍，使得對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式 f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立 命題意圖 本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問題，需較強的綜合分析問題、解決問題的能力 知識依托 本題把函數(shù)、不等式恒成立等問題組合在一起，構(gòu)思巧妙 錯解分析 本題學生很容易求f(n)的和，但由于無法求和，故對不等式難以處理 技巧與方法 解決本題的關(guān)鍵是把f(n)(nN*)看作是n的函數(shù)，此時不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為 函數(shù)f(n)的最小值大于logm(m1)2log(m1)m2 解 Sn=1+ (nN*)f(n+1)f(n)f(n)是關(guān)于n的增函數(shù)f(n) min=f(2)=要

9、使一切大于1的自然數(shù)n，不等式f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立只要logm(m1)2log(m1)m2成立即可由得m1且m2此時設(shè)logm(m1)2=t 則t0于是解得0t1 由此得0logm(m1)21 解得m且m2 例3已知二次函數(shù)y=f(x)在x=處取得最小值 (t0),f(1)=0 (1)求y=f(x)的表達式；(2)若任意實數(shù)x都滿足等式f(x)g(x)+anx+bn=xn+1g(x)為多項式，nN*),試用t表示an和bn；(3)設(shè)圓Cn的方程為(xan)2+(ybn)2=rn2，圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,);rn是各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn為前n

10、個圓的面積之和，求rn、Sn 解 (1)設(shè)f(x)=a(x)2，由f(1)=0得a=1 f(x)=x2(t+2)x+t+1 (2)將f(x)=(x1)x(t+1)代入已知得 (x1)x(t+1)g(x)+anx+bn=xn+1，上式對任意的xR都成立，取x=1和x=t+1分別代入上式得 且t0，解得an=(t+1)n+11，bn=1(t+1n)(3)由于圓的方程為(xan)2+(ybn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圓Cn的圓心On在直線x+y=1上，又圓Cn與圓Cn+1相切，故有rn+rn+1=an+1an=(t+1)n+1設(shè)rn的公比為q，則得q=t+1，代入得rn=Sn=(r

11、12+r22+rn2)=(t+1)2n1 四學生鞏固練習1 某公司全年的利潤為b元，其中一部分作為獎金發(fā)給n位職工，獎金分配方案如下 首先將職工按工作業(yè)績(工作業(yè)績均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金 (1)設(shè)ak(1kn)為第k位職工所得獎金金額，試求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必證明)；(2)證明akak+1(k=1,2,n1),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實際意義；2 據(jù)有關(guān)資料，1995年我國工業(yè)廢棄垃圾達到7 4108噸，占地562 4平方公里，若環(huán)保部門每年

12、回收或處理1噸舊物資，則相當于處理和減少4噸工業(yè)廢棄垃圾，并可節(jié)約開采各種礦石20噸，設(shè)環(huán)保部門1996年回收10萬噸廢舊物資，計劃以后每年遞增20%的回收量，試問 (1)2001年回收廢舊物資多少噸？(2)從1996年至2001年可節(jié)約開采礦石多少噸(精確到萬噸)？(3)從1996年至2001年可節(jié)約多少平方公里土地？3 已知點的序列An(xn，0),nN,其中x1=0,x2=a(a0),A3是線段A1A2的中點，A4是線段A2A3的中點，An是線段An2An1的中點， (1)寫出xn與xn1、xn2之間關(guān)系式(n3);(2)設(shè)an=xn+1xn，計算a1,a2,a3，由此推測數(shù)列an的通項公式，并加以證明；參考答案:1 解 (1)第1位職工的獎金a1=，第2位職工的獎金a2=(1)b，第3位職工的獎金a3=(1)2b，第k位職工的獎金ak= (1)k1b;(2)akak+1=(1)k1b0，此獎金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則 2 解 設(shè)an表示第n年的廢舊物資回收量，Sn表示前n年廢舊物資回收總量，則數(shù)列an是以10為首項，1+20%為公比的等比數(shù)列 (1)a6=10(1+20%)5=101.25=24.883225(萬噸)(2)S6=99.299299.3(萬噸)從1996年到2000年共節(jié)約開