§23曲面的第二基本形式

1、 2.3曲面的第二基本形式2.3.1第二基本形式前面我們引進(jìn)出了曲面的笫某本形式人研究了曲面的些內(nèi)編性質(zhì)，即只依賴于曲面本身，而不依賴于曲面在空間中如何彎曲的兒何性質(zhì).在理論和實(shí)際應(yīng)用中：必須考慮曲面在空間中的彎曲程度，為此，我們將引進(jìn)曲面的另一個(gè)二次微分式.對正則Ck(k2)曲面S:r=r(u,v),單位法向量壯=耘亀作為參數(shù)卩的函數(shù),其微分表示為dn=nudu+nvdv.由于0=d(n-n)=2ndn、所以dri是切平面中的向鼠令U=-dr-dn.稱為曲面S的第二基本形式.下面我們首先計(jì)算第二基本形式的參數(shù)表示.由于dr=rndu+rvdv.所以II=drdn=(rudu+rvdv)+nv

2、dv)=Ldu2+2Mdudv+Ndv2其中L=-ru-nu,M=一(九nv+rvntt)/2,N=-rvnv.它們作為參數(shù)均的函數(shù)，稱為曲面s的第二基本形式系數(shù).由于心仇=仇=0,兩式分別關(guān)于饑卩求偏導(dǎo)數(shù)，我們有uun+runu=0ruvn+runv=0:rvuri+rv比翹=0,rvvn+rvnv=0,T(曠”如鮎m)y/EG-F2，(uvy九，九)因此第二某本形式系數(shù)可以衣示為A/T*TlV饑7*“Tl壯VEG-F2wr(rVVtrUyrv)A=rvv-n=rvnv=.Veg-f2另外，因?yàn)樾难?0,微分便得護(hù)r.n=-drdn,于是我們得到曲面的第二基本形式的以下三種等價(jià)的表示U=Ld

3、u2+2Mdudv+Ndv2=nd2r=drdn. 【例1】對平面，因法向量北為常向量：所以=一dnd曠三0.對中心徑矢為,半徑為a的球面，因其單位法矢量7i=(r-r0)或仇=令(曠0-)，于是=dndr=土訂.【例2求旋轉(zhuǎn)曲iff!r(w,v)=f(v)cosu,f(v)sinu,g(v)的第二基本形式.【解】直接計(jì)算得到以下各量ruu=/cosu,/sinu,0,ruv=fsinu./zcosu.0,rvv=/,cos,/,sinw,y,=gfcosgfsinW+/2-n因此fg/嚴(yán)+LruunN=rn=【例3求曲面z=f(x,y)的第二基本形式.【解】我們知道：曲面z=/(崩)可以寫成

4、向最形式直接計(jì)算得到以下各量ruruxrv=1,0/u：rV=0JJu】rUu=0,0,fuuyruv=0.0,/uv,rvv=0,0,屜,因此M=nN=nL=zi 曲面z=f(x,y)的第二基本形式是fuudu2+2fuvdudv+fvvdv2.2.3.2第二基本形式的幾何意義對曲面S:r=r(u,)上的給定點(diǎn)P(w,v)及其鄰近點(diǎn)Q(u+du,v+clv),令d=PQn,即位移向量局在點(diǎn)P處單位法向量n方向上的投影|d|即從Q點(diǎn)到P點(diǎn)切平面的垂直距離，而d的止負(fù)號依賴于Q點(diǎn)是位于P點(diǎn)切平面的側(cè)或另側(cè)，換句話說，d的止負(fù)號反映曲面S在P點(diǎn)處的彎曲方向.利用向量形式的Tavloy展開式及事實(shí)n

5、ru=0,n=0,有d=PQn=(r(u+如v+dv)r(u.v)n=dr+cl2r+o(du2+dv2)n=drn-rd2rn+o(du2+dv2)厶=*+o(d“2+dv2)由此可見，代表起點(diǎn)在P的位移向量兄在法向量上投彩的主要部分的二倍，它描述了Q點(diǎn)在法方向上相對于P的改變，即描述了曲面在Po點(diǎn)附近彎曲的狀況.【例4】容易驗(yàn)證平面r(u,v)=u,v,0與圓柱|frir(u.v)=cosu,sinu.v具有相同的第基本形式dudv但平面的第二基本形式三0,而圓柱面的笫二基本形式=-du這表明它們在空間中的形狀完全不同(事實(shí)正是如此).與第一某本形式/不同，曲面的第二基本形式作為(如血)的

6、二次型，當(dāng)LN-M20時(shí)是正定或負(fù)定；當(dāng)LN-M2V0時(shí)是不定的；而當(dāng)LN-M2=0時(shí)是退化的.下面定理表明，笫二基本形式在一點(diǎn)的值與這點(diǎn)鄰近曲面形狀的關(guān)系.定理3.1曲面上，使第二基本形式正定或負(fù)定的點(diǎn)鄰近，曲面的形狀是凸的(或凹的，由法向選取決定)；在第二基本形式不定的點(diǎn)鄰近，曲面是馬鞍型的.證明設(shè)a)(uo,vo)是曲面S:r=r(u,v)的任一取定點(diǎn)，我們考察到D點(diǎn)切平面的高度函數(shù)f(u,v)=(r(u.v)-r(no,vo)n(u(),v().由于九=九n(uo,3),fv=rvn(uo,vo)j所以fu(uo.vo)=fv(uo,vo),即(020)是f的臨界點(diǎn).在這一點(diǎn)，高度函數(shù)

7、f的二階導(dǎo)數(shù)方陣(Hessian矩陣)為fuufvufuvfuv(0N0)=(o2o)I大1此，當(dāng)?shù)诙拘问皆邳c(diǎn)包020)止定或負(fù)定吋，/包0卩0)=0是最大值或最小值，這說明ffllfris的形狀是凸或凹的(如圖2(1).而當(dāng)?shù)诙拘问皆邳c(diǎn)(020)既非止定也非負(fù)定時(shí)，/(uo,fo)=0既不是最大值也不是最小值，因而曲面S在這點(diǎn)附近是馬鞍型(如圖2(2).根據(jù)上述定理，我們對曲面上的點(diǎn)進(jìn)行如下分類：橢圓點(diǎn)一使LN-M20的點(diǎn).在橢圓點(diǎn)處，第二基本形式沿任何方向都不變號，而且曲面在橢圓點(diǎn)鄰近總位于切平面的一側(cè)(如圖2(1).雙曲點(diǎn)一使LN-M20的點(diǎn).在雙曲點(diǎn)的切平面上，有通過該點(diǎn)的兩條

8、直線將切平面分成四部分，第二基本形式在這四部分或?yàn)檎?，或?yàn)樨?fù)：而沿這兩條直線，第二基本形式為零曲面在雙曲點(diǎn)鄰近位于切平面的兩側(cè)(如圖2(2).拋物點(diǎn)一使LN-M2=0,且厶2+m2+N2鼻0的點(diǎn).在拋物點(diǎn)的切平面上，有通過該點(diǎn)的惟一條直線，沿這條直線：笫二基本形式為零；而沿其它任何方向笫二基本形式都不變號(如圖2(3).平點(diǎn)一使厶=M=N=0的點(diǎn).【例5對環(huán)面(0,0)=(6+osin(I)cos(6+asinj)sin0,acos,其中ab是正常數(shù)，參數(shù)02tt.直接計(jì)算知L=ruun=(6+asin0)sin0,JW=VuyM=0,N=rvv7i=a,而且LNM2=a(b+asin0)si

9、n,注意到笫二基本形式系數(shù)只依賴于參數(shù)0,即沿參數(shù)曲線0=00,笫二基本形式系數(shù)為常數(shù).又因?yàn)?a0,所以厶N(yùn)-M2與si】0同號.最后我們得到環(huán)面上點(diǎn)的如下分類(如圖3):參數(shù)0滿足007T的點(diǎn)是橢圓點(diǎn)(對應(yīng)環(huán)面的外側(cè)點(diǎn))；參數(shù)0滿足7T02兀的點(diǎn)是雙曲點(diǎn)(對應(yīng)環(huán)面的內(nèi)側(cè)點(diǎn))；參數(shù)0=0及0=7T的點(diǎn)是拋物點(diǎn)(對應(yīng)環(huán)面的內(nèi)外側(cè)交界點(diǎn)).2.3.3第二基本形式的性質(zhì)定理3.2在容許相差一個(gè)正負(fù)號的意義下，第二基本形式與曲面S上止則參數(shù)包卩)的選取無關(guān).證明設(shè)=r(w,r)和r=r(u,v)是曲friS的兩個(gè)不同參數(shù)表示，相應(yīng)的單位法向量分別為n和斤.利用下面兩組等式(股=鴛血+霍仇dv=靂血+黑如及(九=九貉篇容易驗(yàn)證，dr=dC(或者直接利用一階微分形式的不變性)，同理有de=Jn(iE負(fù)號依賴于參數(shù)變換(2)T伍,刁)是同向或反向參數(shù)變換).因此drdn=drrfn,即在同向參數(shù)變換下：笫二基本形式不變，而在反向參數(shù)變換下，笫二某本形式改變符號.定理3.3曲面的笫二基本形式在R3的剛性運(yùn)動下不變；而在R3的反剛性運(yùn)動下改變符號.證明設(shè)f:/(P)=P-T+P是皿的任-剛性或反剛性變換，曲面S:r=r(w,勺)在f下的像為S*:r*(u,v)=for(w,v)