2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版必修4第一章1.4-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)4課時課件

1、三角函數(shù)第一章本章內(nèi)容1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函數(shù)1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式1.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.5 函數(shù) y=Asin(wx+j) 的圖象1.6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用第一章 小結(jié)1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.4.1 正余弦函數(shù)的圖象復(fù)習(xí)與提高1.4.2 正余弦函數(shù)的性質(zhì)(第一課時)1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象1.4.2 正余弦函數(shù)的性質(zhì)(第二課時)1.4.1正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象返回目錄 1. 正弦函數(shù) y=sinx 的圖象是一條怎樣的曲線? 與我們所學(xué)過的函數(shù)圖象相比, 它的突出特點是什么? 余弦函數(shù) y=cosx 的圖象呢? 2. 正弦函數(shù) y=sinx

2、 與余弦函數(shù) y=cosx 的圖象有什么相同與區(qū)別? 能否相互轉(zhuǎn)化? 3. 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象上關(guān)鍵的五點各是哪五點? 怎樣用這五點畫函數(shù)的簡圖?學(xué)習(xí)要點 問題 1. 前面我們學(xué)了三角函數(shù)的定義及一些關(guān)系式, 接下來我們要學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì). 你能寫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的解析式嗎? 請你描幾個點試一下, 正弦函數(shù)的圖象是個什么形狀?正弦函數(shù):余弦函數(shù):y = sinxy = cosx正、余弦函數(shù)的圖象是一個什么形狀呢,我們來看一個物理實驗:這是物理上的簡諧運動的圖象.物理中把簡諧運動的圖象叫做 “正弦曲線” 或“余弦曲線”.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象是否如此, 下面我們用正弦線、余弦線

3、畫它們的圖象.【用三角函數(shù)線畫正弦函數(shù)y=sinx的圖象】 1. 在坐標(biāo)系的左半平面畫一個單位圓;xoy2. 將單位圓分成 8 等分; (等分?jǐn)?shù)越多, 圖象越準(zhǔn)確)3. 在02p之間標(biāo)出各分界線為終邊的角的弧度數(shù);0p4. 畫出各角的正弦線;xoy0p2p5. 在x軸上標(biāo)出 0,6. 將各角的正弦線移到坐標(biāo)平面內(nèi)的對應(yīng)位置;7. 用平滑的曲線連接正弦線的各端點, 即得正弦函數(shù) y=sinx 的圖象 (正弦曲線).【用三角函數(shù)線畫正弦函數(shù)y=sinx的圖象】 當(dāng)再取 x2p 時, 曲線周期地出現(xiàn).由誘導(dǎo)公式知,xoy2p【余弦函數(shù) y=cosx 的圖象】 個單位得到.這一函數(shù)的圖象可由 y=si

4、nx 的圖象向左平移正、余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.y=sinxy=cosx也可用余弦線作 y=cosx 的圖象.xoy0p2p1. 在x軸左邊畫單位圓, 并將其n等分;2. 在02p上標(biāo)出各分界線為終邊的角的弧度數(shù);3. 畫出各角的余弦線;4. 在x軸上標(biāo)出單位圓中相應(yīng)各角的弧度數(shù);xoy0p2p6. 將各余弦線平移到坐標(biāo)平面內(nèi)的對應(yīng)位置;5. 將單位圓逆時針旋轉(zhuǎn)90;7. 用平滑的曲線連接余弦線的各端點, 當(dāng) x2p, 曲線周期地向兩邊延展, 即得余弦函數(shù) y=cosx 的圖象 (余弦曲線).也可用余弦線作 y=cosx 的圖象.(0, 0),oy2p1-1x正弦:在02p

5、的一個周期內(nèi), 五個關(guān)鍵點畫圖象 用這關(guān)鍵的五點畫正、余弦函數(shù)的簡圖,稱為五點法.余弦:xoy2p1(0, 1),-1(p, -1),(2p, 1).在02p 的一個周期內(nèi), 五個關(guān)鍵點畫圖象 例1. 畫出下列函數(shù)的簡圖: (1) y=1+sinx, x0, 2p; (2) y= -cosx, x0, 2p.按五點列表:xsinxy=1+sinx0p2p解:(1)01-10001112xoy2p1-12其實, y=1+sinx的圖象是將y=sinx的圖象向上平移 1 個單位得到的.y=1+sinxy=sinx列表:xcosxy= -cosx0p2p-100110-11-10 xoy2p-11其

6、實, y= -cosx的圖象是將 y=cosx 的圖象關(guān)于x軸對稱地翻折后得到的.y= -cosx例1. 畫出下列函數(shù)的簡圖: (1) y=1+sinx, x0, 2p; (2) y= -cosx, x0, 2p.解:(2)y=cosx練習(xí): (課本34頁)第 1、2 題.練習(xí): (補充)1. 在02p 內(nèi)畫出下列函數(shù)的圖象:(1) (2)練習(xí): (補充)1. 在02p 內(nèi)畫出下列函數(shù)的圖象:(1) (2)解:(1)列表:xsin xy0p2p010-10020-20 xyo2-2op2p練習(xí): (補充)1. 在02p 內(nèi)畫出下列函數(shù)的圖象:(1) (2)解:(2)列表:xcos xy0p2p

7、010-111-1-3-11xyo1-3op2p-1 1. 用多種方法在同一直角坐標(biāo)系中, 畫出函數(shù) y = sinx, x0, 2p, y = cosx, x 的圖象. 通過觀察兩條曲線, 說出它們的異同.提示:可用列表、描點、連線的方法,可用三角函數(shù)線的方法,可用五點法,也可用計算機畫圖象.練習(xí): (課本34頁) 1. 用多種方法在同一直角坐標(biāo)系中, 畫出函數(shù) y = sinx, x0, 2p, y = cosx, x 的圖象. 通過觀察兩條曲線, 說出它們的異同.xyop2p-p1-1y=sinxy=cosx畫出圖象如下:兩條曲線形狀一樣,將正弦曲線但位置不同.余弦曲線,向左平移 個單位

8、得即得正弦曲線,將余弦曲線向右平移 個單位即練習(xí): (課本34頁) 2. 想一想函數(shù) 和 y = cosx 的圖象,并在同一直角坐標(biāo)系中, 畫出它們的草圖.解:= cosx, 兩函數(shù)是同一函數(shù), 它們的圖象是同一條曲線.xyo3pp2p-3p-2p-p1-1【課時小結(jié)】1. 正弦函數(shù)的圖象xyo3pp2p-3p-2p-p1-1y=sinx特點:(1) 周期出現(xiàn);(2) 在 y= -1 與 y=1 之間.五個關(guān)鍵點:0-1010y2pp0 x(0, 0)(p, 0)(2p, 0)xyo3pp2p-3p-2p-p1-1【課時小結(jié)】2. 余弦函數(shù)的圖象特點:(1) 周期出現(xiàn);(2) 在 y= -1

9、與 y=1 之間.五個關(guān)鍵點:10-101y2pp0 x(0, 1)(p, -1)(2p, 1)【課時小結(jié)】3. 正弦、余弦函數(shù)圖象的轉(zhuǎn)化xyo3pp2p-3p-2p-p1-1正弦曲線向左平移 得余弦曲線,余弦曲線向右平移 得正弦曲線,習(xí)題 1.4第 1 題.A 組習(xí)題 1.41. 畫出下列函數(shù)的簡圖: (1) y=1-sinx, x0, 2p; (2) y=3cosx+1, x0, 2p.A 組解:用五點法.(1)y2pp0 x10121xyop2p12xyo習(xí)題 1.41. 畫出下列函數(shù)的簡圖: (1) y=1-sinx, x0, 2p; (2) y=3cosx+1, x0, 2p.A 組

10、解:用五點法.(2)y2pp0 x41-214p2p14-21.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)(第一課時)正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)返回目錄 1. 什么叫周期函數(shù)? 什么叫周期? 什么叫最小正周期? 周期函數(shù)的圖象有什么特點? 2. 正弦函數(shù) y=sinx 的周期是多少? 最小正周期是多少? 余弦函數(shù) y=cosx 呢? 3. 正弦函數(shù) y=sinx 和余弦函數(shù) y=cosx 分別是奇函數(shù)還是偶函數(shù)?學(xué)習(xí)要點1. 周期性 問題 1. 正弦曲線每隔多長的距離出現(xiàn)重復(fù)? 根據(jù)是什么? sin(x+2p) = sin(x+4p) = sin(x+6p) = = sinx.由誘導(dǎo)公式知,正弦函數(shù)隨著自變量

11、x 每隔 2p 的變化而循環(huán).根據(jù)誘導(dǎo)公式, 余弦也是如此.于是得 f (x) = f (x+2p) = f (x+2p)+2p = xyo3pp2p-3p-2p-p1-1y=sinx定義: 對于函數(shù) f (x), 如果存在一個非零常數(shù) T, 使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個值時, 都有f (x+T) = f (x),那么函數(shù) f (x) 就叫做周期函數(shù), 非零常數(shù) T 叫做這個函數(shù)的周期.如:f (x) = sinx, sin(x+2p) = sinx, sin(x-2p) = sinx, T=2p, 或 T=4p, 都是 y=sinx 的周期.同樣,T=2p, 或 T=4p, 也是 y=co

12、sx 的周期.k 取整數(shù)時, 2kp 都是正、余弦函數(shù)的周期.sin(x+4p) = sinx, sin(x-4p) = sinx, 定義: 對于函數(shù) f (x), 如果存在一個非零常數(shù) T, 使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個值時, 都有f (x+T) = f (x),那么函數(shù) f (x) 就叫做周期函數(shù), 非零常數(shù) T 叫做這個函數(shù)的周期.周期中最小的一個正數(shù)叫最小正周期.以后不加特別說明, 一般都是指最小正周期. 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù), 2kp (kZ 且 k0) 都是它的周期, 最小正周期是 2p.例2. 求下列函數(shù)的周期:(1) y = 3cosx, xR;(2) y = si

13、n2x, xR;(3) y = 2sin xR.解:(1)3cosx=3cos(x+2p),因為對任意實數(shù) x 都有 y=3cosx, xR 的周期是 T=2p.設(shè) f(x)=2cosx,則 f(x+2p)=2cos(x+2p). f(x+2p)=f(x),T=2p例2. 求下列函數(shù)的周期:(1) y = 3cosx, xR;(2) y = sin2x, xR;(3) y = 2sin xR.解:(2)sin2x = sin(2x+2p)因為對任意實數(shù) x 都有 y=sin2x, xR 的周期是 T=p.= sin2(x+p),設(shè) f(x)=sin2x,則 f(x+p)=sin2(x+p).

14、f(x+p)=f(x),T=2pT=p解:(3)因為對任意實數(shù) x 都有的周期是 T=4p.問: 從此例中可看出周期與函數(shù)中的哪個常量有關(guān)? 在正、余弦函數(shù)中, 周期與變量 x 的系數(shù)有關(guān).例2. 求下列函數(shù)的周期:(1) y = 3cosx, xR;(2) y = sin2x, xR;(3) y = 2sin xR.T=2pT=pAsin(wx+j) =Asin(wx+j +2p)y=Asin(wx+j)的周期是同理可得余弦也如此. y=Asin(wx+j), y=Acos(wx+j) 的周期是 問題2. 根據(jù)上面的例題, 你能求得函數(shù)y=Asin(wx+j), xR, (A, w, j 為

15、常數(shù), w0) 的周期嗎?因為對一切實數(shù)都有當(dāng) w0 時, 周期為即練習(xí): (課本36頁)第 1、2 題. 1. 等式 sin(30+120) = sin30 是否成立? 如果這個等式成立, 能否說120是正弦函數(shù)的一個周期? 為什么?答: 120不是正弦函數(shù)的一個周期.由定義, 必須對定義域內(nèi)的一切變量 x 都有f (x+T) = f (x),f (x) 才是周期函數(shù).sin(40+120) sin40,而在定義域內(nèi)的sin(50+120) sin50, 120不是正弦函數(shù)的一個周期.練習(xí): (課本36頁)2. 求下列函數(shù)的周期: (1) (2) y=cos4x, xR; (3) (4)解:

16、(1)的周期是(2)w =4, y = cos4x, xR 的周期是2. 求下列函數(shù)的周期: (1) (2) y=cos4x, xR; (3) (4)解:(3)的周期是 2p.(4)的周期是6p.w =1,=2p,=6p,2. 奇偶性 問題3. 函數(shù)奇偶性的代數(shù)定義是怎樣的? 奇偶函數(shù)的圖象有什么特點? 你能用奇偶性的定義判定正、余弦函數(shù)的奇偶性嗎?f(-x) = f(x)f(-x) = - f(x)f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x),f(-x)=cos(-x)=cosx= f(x),偶函數(shù).奇函數(shù).f(x)=sinx,設(shè)f(x)=cosx,設(shè)奇函數(shù).偶函數(shù).正弦函數(shù)是奇函數(shù),

17、 余弦函數(shù)是偶函數(shù).xyo3pp2p-3p-2p-p1-1y=sinxxyo3pp2p-3p-2p-p1-1正弦函數(shù)是奇函數(shù), 圖象關(guān)于原點對稱.余弦函數(shù)是偶函數(shù), 圖象關(guān)于 y 軸對稱. 問題4. 正弦函數(shù) y=sinx 是奇函數(shù), 它的圖象關(guān)于原點對稱. 除了原點, 圖象還有對稱中心嗎? 余弦函數(shù) y=cosx 是偶函數(shù), 它的圖象關(guān)于 y 軸對稱. 除了 y 軸, 圖象還有對稱軸嗎?xyo3pp2p-3p-2p-p1-1y=sinx 正弦曲線除了原點, 還有很多對稱中心, 正弦曲線與 x 軸的交點都是對稱中心. 問題4. 正弦函數(shù) y=sinx 是奇函數(shù), 它的圖象關(guān)于原點對稱. 除了原

18、點, 圖象還有對稱中心嗎? 余弦函數(shù) y=cosx 是偶函數(shù), 它的圖象關(guān)于 y 軸對稱. 除了 y 軸, 圖象還有對稱軸嗎? 余弦曲線除了 y 軸, 還有很多條對稱軸, 過余弦曲線上下頂點平行 y 軸的直線都是對稱軸.xyo3pp2p-3p-2p-p1-1【課時小結(jié)】1. 周期函數(shù) 對于函數(shù) f (x), 如果存在一個非零常數(shù) T, 使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個值時, 都有f (x+T) = f (x),那么函數(shù) f (x) 就叫做周期函數(shù), 非零常數(shù) T 叫做這個函數(shù)的周期.周期中最小的一個正數(shù)叫最小正周期.【課時小結(jié)】1. 周期函數(shù)如果不加特別說明, 一般都是指最小正周期. 正弦函數(shù)和

19、余弦函數(shù)都是周期函數(shù), 2kp (kZ 且 k0) 都是它的周期, 最小正周期是 2p.y=sin(wx+j), y=cos(wx+j) 的最小正周期是【課時小結(jié)】2. 奇偶性sin(-x)= -sinx.正弦函數(shù) y=sinx 奇函數(shù), 圖象關(guān)于原點對稱.cos(-x)=cosx.余弦函數(shù) y=cosx 偶函數(shù), 圖象關(guān)于 y 軸對稱. 正、余弦函數(shù)的圖象與 x 軸的交點是對稱中心;過上下頂點且平行 y 軸的直線是對稱軸.y=sinxy=cosx對稱中心對稱軸(kp, 0)x=kp習(xí)題 1.4A 組第 3、10 題.3. 求下列函數(shù)的周期: (1) (2)解:(1)周期= 3p.(2)周期習(xí)

20、題 1.4A 組 10. 設(shè)函數(shù) f(x) (xR) 是以 2 為最小正周期的周期函數(shù), 且 x0, 2時 f(x)=(x-1)2. 求 f(3), f( )的值.解: f(x) 是以 2 為周期的周期函數(shù), 則f(3) = f(3-2)= f(1),又 10, 2, f(3) = f(1) = (1-1)2= 0.(1)(2)又1.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)(第二課時)正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)返回目錄 1. 正弦函數(shù) y=sinx 有怎樣的單調(diào)性? 你能寫出它的增區(qū)間和減區(qū)間嗎? 余弦函數(shù) y=cosx 呢? 2. 正弦函數(shù) y=sinx 與余弦函數(shù) y=cosx 的最大值是多少? x 分別

21、取什么值的時候 y 取得最大值? 最小值呢?學(xué)習(xí)要點3. 單調(diào)性與最大值, 最小值 問題 4. 函數(shù)的單調(diào)性可根據(jù)圖象判定, 你能根據(jù)正弦曲線和余弦曲線判定正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性嗎? 從圖象上看, 正弦函數(shù)最大值是多少? 最小值是多少? x 等于多少時取得最大值或最小值? 余弦函數(shù)呢?增減增減增減2kp 的代表點xyO3pp2p-3p-2p-p1-1y=sinx時, 函數(shù)取得最大值 y最大=1.時, 函數(shù)取得最小值 y最小= -1.xO3pp2p-3p-2p-p1-1y=cosxy3. 單調(diào)性與最大值, 最小值 問題 4. 函數(shù)的單調(diào)性可根據(jù)圖象判定, 你能根據(jù)正弦曲線和余弦曲線判定正弦函

22、數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性嗎? 從圖象上看, 正弦函數(shù)最大值是多少? 最小值是多少? x 等于多少時取得最大值或最小值? 余弦函數(shù)呢?增減增減增減2kp 的代表點x=2kp 時, 函數(shù)取得最大值 y最大=1.x=(2k+1)p 時, 函數(shù)取得最小值 y最小= -1.2kp-p, 2kp 增.2kp, 2kp+p 減.y=sinx 在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù), 其值從 -1 增大到 1; 在每一個閉區(qū)間上都是減函數(shù), 其值從 1 減小到 -1.當(dāng)且僅當(dāng) 時, y=sinx 取得最大值 1; 當(dāng)且僅當(dāng) 時, y=sinx 取得最小值 -1.xyO3pp2p-3p-2p-p1-1y=sinxy=cosx

23、在每一個閉區(qū)間 2kp-p, 2kp (kZ)上都是增函數(shù), 其值從 -1 增大到 1; 在每一個閉區(qū)間2kp, 2kp+p (kZ) 上都是減函數(shù), 其值從 1 減小到 -1.當(dāng)且僅當(dāng) x=2kp (kZ) 時, y=cosx 取得最大值 1; 當(dāng)且僅當(dāng) x=2kp+p (kZ)時, y=cosx 取得最小值 -1.xO3pp2p-3p-2p-p1-1y=cosxy練習(xí): (補充) 畫出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象, 并根據(jù)圖象寫出正余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.xyOp2p-2p-p1-1y=sinx增區(qū)間:減區(qū)間:練習(xí): (補充) 畫出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象, 并根據(jù)圖象寫出正余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.增

24、區(qū)間:減區(qū)間:xyOp2p-2p-p1-1y=cosx 例 3. 下列函數(shù)有最大值、最小值嗎? 如果有, 請寫出取得最大值、最小值時的自變量 x 的集合, 并說出最大值、最小值分別是什么. (1) y=cosx+1, xR; (2) y= -3sin2x, xR.解:(1)當(dāng) x=2kp, kZ 時,cosx 取得最大值1.當(dāng) x=2kp +p, kZ 時,cosx 取得最小值 -1.則 y=cosx+1 取得最大值 2.則 y=cosx+1 取得最小值 0.即函數(shù)取得最大值 2 時, x 的集合為:x|x = 2kp, kZ;函數(shù)取得最小值 0 時, x 的集合為:x|x = (2k+1)p

25、, kZ. 例 3. 下列函數(shù)有最大值、最小值嗎? 如果有, 請寫出取得最大值、最小值時的自變量 x 的集合, 并說出最大值、最小值分別是什么. (1) y=cosx+1, xR; (2) y= -3sin2x, xR.解:(2)則 y= -3sin2x 取得最大值 3,當(dāng) 2x=2kp - 時, sin2x 取得最小值 -1,解得則 y= -3sin2x 取得最小值 -3,當(dāng) 2x=2kp + 時, sin2x 取得最大值 1,解得即 函數(shù)取得最大值 3 時, x 的取值集合為 例 3. 下列函數(shù)有最大值、最小值嗎? 如果有, 請寫出取得最大值、最小值時的自變量 x 的集合, 并說出最大值、

26、最小值分別是什么. (1) y=cosx+1, xR; (2) y= -3sin2x, xR.解:(2)則 y= -3sin2x 取得最大值 3,當(dāng) 2x=2kp - 時, sin2x 取得最小值 -1,解得則 y= -3sin2x 取得最小值 -3,當(dāng) 2x=2kp + 時, sin2x 取得最大值 1,解得即 函數(shù)取得最大值 3 時, x 的取值集合為函數(shù)取得最小值 -3 時, x 的取值集合為 例4. 利用三角函數(shù)的單調(diào)性, 比較下列各組數(shù)的大小: (1) (2)解:(1)又 y = sinx 在 上是增函數(shù), 例4. 利用三角函數(shù)的單調(diào)性, 比較下列各組數(shù)的大小: (1) (2)解:(

27、2)而且又 y=cosx 在 0, p上是減函數(shù),即要點: 用誘導(dǎo)公式化在0, 2p內(nèi)的一個單調(diào)區(qū)間進行比較.解:為增函數(shù),解不等式得x-2p, 2p時,上式取 k=0得,即函數(shù) 在 x-2p, 2p上的單調(diào)遞增區(qū)間是: 例 5. 求函數(shù) x-2p, 2p的單調(diào)遞增區(qū)間.練習(xí): (課本40頁)第 3、5、6 題. 3. 求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量的集合, 并寫出最大值、最小值各是多少? (1) y=2sinx, xR; (2)解:(1)則 y = 2sinx 取得最大值 2;當(dāng) x=2kp + 時, sinx 取得最大值 1,則 y = 2sinx 取得最小值 -2.當(dāng) x=2kp

28、 - 時, sinx 取得最小值 -1,即 函數(shù)取得最大值 2 時, x 的取值集合為函數(shù)取得最小值 -2 時, x 的取值集合為 3. 求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量的集合, 并寫出最大值、最小值各是多少? (1) y=2sinx, xR; (2)解:(2)當(dāng) 時, 解得 x = 6kp+3p ;當(dāng) 時, 取得最小值 -1,則 取得最大值 3,取得最大值 1,則 取得最小值 1,解得 x = 6kp.xx|x=6kp, kZ 時, 函數(shù)取得最小值 1.即 xx|x=6kp+3p, kZ 時, 函數(shù)取得最大值 3.解:(1) 25090, 270, 260 90, 270,且 250s

29、in260. 5. 利用三角函數(shù)的單調(diào)性, 比較下列各組中兩個三角函數(shù)值的大小: (1) sin250與sin260; (2) (3) cos515與cos530; (4)解:(2)又 y = cosx 在 0, p 上是減函數(shù),即 5. 利用三角函數(shù)的單調(diào)性, 比較下列各組中兩個三角函數(shù)值的大小: (1) sin250與sin260; (2) (3) cos515與cos530; (4) 5. 利用三角函數(shù)的單調(diào)性, 比較下列各組中兩個三角函數(shù)值的大小: (1) sin250與sin260; (2) (3) cos515與cos530; (4)解:(3) 1550, 180, 170 0,

30、180,且 155cos170.cos515=cos(360+155)=cos155,cos530=cos(360+170)=cos170,即 cos515cos530.解:(4)即 5. 利用三角函數(shù)的單調(diào)性, 比較下列各組中兩個三角函數(shù)值的大小: (1) sin250與sin260; (2) (3) cos515與cos530; (4)又 y = sinx 在 上是增函數(shù), 6. 求函數(shù) y=3sin(2x+ ), x0, p 的單調(diào)遞減區(qū)間.解:要使函數(shù)單調(diào)遞減, 需解得當(dāng) k = 0 時得, 函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是【課時小結(jié)】1. 正弦函數(shù) y=sinx 的單調(diào)區(qū)間增區(qū)間:函數(shù)值從 -

31、1 增到 1.減區(qū)間:函數(shù)值從 1 減到 -1.【課時小結(jié)】2. 余弦函數(shù) y=cosx 的單調(diào)區(qū)間增區(qū)間:函數(shù)值從 -1 增到 1.減區(qū)間:函數(shù)值從 1 減到 -1.2kp-p, 2kp (kZ)2kp, 2kp+p (kZ)【課時小結(jié)】3. 正弦函數(shù) y=sinx 的最值最大值:y最大= 1.最小值:y最小= -1.【課時小結(jié)】4. 余弦函數(shù) y=cosx 的最值最大值:y最大= 1.最小值:y最小= -1.x=2kp (kZ) 時x=2kp+p (kZ) 時練習(xí): (課本40頁)第 1、2、4 題.習(xí)題 1.4第 2、4、5 題.A 組 1. 觀察正弦曲線和余弦曲線, 寫出滿足下列條件的

32、區(qū)間: (1) sinx0; (2) sinx0; (4) cosx0 x(2kp, 2kp+p).sinx0; (2) sinx0; (4) cosx0 cosx0 (3)(4)練習(xí): (課本40頁)2. 下列各等式能否成立? 為什么? (1) 2cosx=3; (2) sin2x=0.5.答:(1) 式不成立, (2)式成立.因為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值是 1, 最小值是 -1,而 (1) 式中超過了最大值, 所以不成立.(2) 式在值域范圍內(nèi), 所以(2)式成立. 4. 選擇題: 下列關(guān)于函數(shù) y=4sinx, x-p, p 的單調(diào)性的敘述, 正確的是 ( ) (A) 在-p, 0上是

33、增函數(shù), 在0, p上是減函數(shù). (B) 在 上是增函數(shù), 在 及 上是減函數(shù). (C) 在0, p上是增函數(shù), 在-p, 0上是減函數(shù). (D) 在 及 上是增函數(shù), 在 上是減函數(shù).xyop-p4-4y=4sinx如圖,函數(shù)在 上減,在 上增,在 上減.B 2. 求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量 x 的集合, 并分別寫出最大值、最小值是什么. (1) (2) (3) (4)解:(1)得 x = 6k+3,得 x = 6k,y 取最大值即 xx|x=6k+3, kZ 時, 函數(shù)取得最大值y 取最小值即 xx|x=6k, kZ 時, 函數(shù)取得最小值習(xí)題 1.4A 組 2. 求使下列函數(shù)取

34、得最大值、最小值的自變量 x 的集合, 并分別寫出最大值、最小值是什么. (1) (2) (3) (4)解:(2)y 取最大值 3.即 xx|x=kp + kZ 時, 函數(shù)取得最大值 3.y 取最小值 -3.即 xx|x=kp - kZ 時, 函數(shù)取得最小值 -3.習(xí)題 1.4A 組 2. 求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量 x 的集合, 并分別寫出最大值、最小值是什么. (1) (2) (3) (4)解:(3)y 取最大值即 xx|x=4kp + kZ 時, 函數(shù)取得最大值y 取最小值即 xx|x=4kp + kZ 時, 函數(shù)取得最小值習(xí)題 1.4A 組 2. 求使下列函數(shù)取得最大值、最

35、小值的自變量 x 的集合, 并分別寫出最大值、最小值是什么. (1) (2) (3) (4)解:(4)y 取最大值即 xx|x=4kp + kZ 時, 函數(shù)取得最大值y 取最小值即 xx|x=4kp - kZ 時, 函數(shù)取得最小值習(xí)題 1.4A 組 4. 利用函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個三角函數(shù)值的大小: (1) sin10315 與 sin16430; (2) (3) sin508 與 sin144; (4) cos760 與 cos(-770).解:(1) 1031590, 270, 1643090, 270,且 10315sin16430. 4. 利用函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個三角

36、函數(shù)值的大小: (1) sin10315 與 sin16430; (2) (3) sin508 與 sin144; (4) cos760 與 cos(-770).解:(2)又 y = cosx 在 0, p 上是減函數(shù), 4. 利用函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個三角函數(shù)值的大小: (1) sin10315 與 sin16430; (2) (3) sin508 與 sin144; (4) cos760 與 cos(-770).解:(3) 14890, 270, 144 90, 270,且 148144,又 y = sinx 在 90, 270 上是減函數(shù), sin148sin144,sin508

37、=sin(360+148)=sin148,即 sin508cos144. 4. 利用函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個三角函數(shù)值的大小: (1) sin10315 與 sin16430; (2) (3) sin508 與 sin144; (4) cos760 與 cos(-770).解:(4) 400, 180, 50 0, 180,且 40cos50,cos760=cos(720+40)= cos40,cos(-770)=cos(-720-50)= cos50,即 cos760cos(-770).5. 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: (1) y=1+sinx, xR; (2) y= -cosx, xR.

38、解:(1)函數(shù)在 上是增函數(shù),函數(shù)在 上是減函數(shù). cosx 的減區(qū)間就是 -cosx 增區(qū)間,(2)cosx 的增區(qū)間就是 -cosx 減區(qū)間, 原函數(shù)在2kp, 2kp+p上是增函數(shù),在2kp-p, 2kp上是減函數(shù).1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象返回目錄 1. 正切函數(shù) y=tanx 的圖象是怎樣的曲線? 與正弦曲線和余弦曲線相比, 它是連續(xù)不斷的嗎? 是周期出現(xiàn)的嗎? 是在一個帶狀范圍內(nèi)嗎? 2. 正切函數(shù) y=tanx 的定義域、周期、奇偶性、單調(diào)性、最大值、最小值與正、余弦函數(shù)是否相同?如果不同, 有哪些區(qū)別?學(xué)習(xí)要點 問題 1. 前面我們學(xué)習(xí)了正、余弦函數(shù)的性質(zhì), 類似地, 你能

39、根據(jù)正切函數(shù)的解析式確定正切函數(shù)的定義域、周期、奇偶性、單調(diào)性、值域等性質(zhì)嗎?由 得角的終邊不與 y 軸重合, 得正切函數(shù)的定義域為 xR | xkp + kZ.(1)(2) tan(x+p) = tanx, 周期 T=p.(3)tan(-x) = -tanx, 正切函數(shù)是奇函數(shù).(4)由正切線得xyo(5)值域 (-, +).增函數(shù).【用正切線作正切函數(shù)的圖象】oxy1. 在 y 軸左邊作單位圓, 圓心在 x 軸上;oxy2. 將單位圓分成16等分, 在 上標(biāo)出各03. 畫出各終邊所表示角的正切線;分界線為終邊的弧度數(shù);oxy0o4. 在 x 軸上標(biāo)出單位圓上的各弧度數(shù);5. 將各正切線沿

40、x 軸平移到相應(yīng)的坐標(biāo)位置;6. 用平滑的曲線把正切線的各端點連接起來;oxy0o 這就是函數(shù)y=tanx 在 上的圖象, 叫正切曲線.oxy-2p-p2p3p-3p圖象特點:分界線(漸近線):傾斜:左低右高.與 x 軸的交點:(kp, 0).【正切函數(shù) y = tanx 的圖象】【由圖象分析性質(zhì)】定義域:值域:(-, +).對稱中心:單調(diào)性:(角坐標(biāo)系中: 左、右兩半平面)(無減區(qū)間) !oxy-pp奇偶性:奇函數(shù).周期性:T=p.增區(qū)間:y=tan(wx+j ):對稱性:中心對稱, 例6. 求函數(shù) 的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間.解:(2) 函數(shù)的周期(1) 定義域:定義域為:(3) 單調(diào)區(qū)間:

41、函數(shù)在 是增函數(shù),沒有減函數(shù)區(qū)間.= 2. 問題2(45頁練習(xí)第5題). (1) 正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎? 為什么? (2) 正切函數(shù)會不會在某一區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)? 為什么?答:(1) 正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)不是增函數(shù).如:而-1 1.(2) 正切函數(shù)不會在某一區(qū)間內(nèi)是減函數(shù), 如圖象:連續(xù)不斷的任一區(qū)間, 圖象都是左低右高的, 沒有減函數(shù)區(qū)間.ox y-pp正切函數(shù)在練習(xí): (課本45頁)第 2、3、4、6 題. 2. 觀察正切曲線, 寫出滿足下列條件的 x 值的范圍: (1) tanx0; (2) tanx=0; (3) tanx0 (2)tanx = 0 (3)tanx0 3.

42、求函數(shù) y = tan3x 的定義域.解:則函數(shù) y = tan3x 的定義域為4. 求下列函數(shù)的周期: (1) (2)解:(1)周期(2)周期= 2p. 6. 利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個正切值的大小: (1) tan138 與 tan143; (2)解:(1)138 (90, 270), 143(90, 270),且 138143,又函數(shù) y = tanx在 (90, 270)是增函數(shù), tan138tan143. 6. 利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個正切值的大小: (1) tan138 與 tan143; (2)解:(2)又 y = tanx 在 是增函數(shù),【課時小結(jié)】

43、1. 正切函數(shù) y=tanx 的圖象oxy-2p-p2p3p-3p【課時小結(jié)】2. 正切函數(shù) y=tanx 的性質(zhì)定義域:值域:(-, +).對稱中心:單調(diào)性:(無減區(qū)間) !奇偶性:奇函數(shù).周期性:T=p.增區(qū)間:y=tan(wx+j ):ox y-pp習(xí)題 1.4A 組第 6、7、8 題.6. 求函數(shù) y = -tan(x+ )+2 的定義域.解:即函數(shù)的定義域為習(xí)題 1.4A組7. 求函數(shù) 的周期.解:其周期為 8. 利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個函數(shù)值的大小: (1) (2) tan1519 與 tan1493; (3) (4)解:(1)又 y = tanx 在 是增函數(shù), 8

44、. 利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個函數(shù)值的大小: (1) (2) tan1519 與 tan1493; (3) (4)解:(2)tan1519=tan(4360+79)=tan79,tan1493=tan(4360+53)=tan53, y=tanx在(-90, 90)是增函數(shù),而 -905379tan53,即 tan1519tan1493. 8. 利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個函數(shù)值的大小: (1) (2) tan1519 與 tan1493; (3) (4)解:(3) y = tanx 在 是增函數(shù), 8. 利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個函數(shù)值的大小: (1) (2

45、) tan1519 與 tan1493; (3) (4)解:(3) y = tanx 在 是增函數(shù), 8. 利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個函數(shù)值的大小: (1) (2) tan1519 與 tan1493; (3) (4)解:(4) y = tanx 在 是增函數(shù),問:如果不要求用單調(diào)性, 此題可以怎樣比較?復(fù)習(xí)與提高復(fù)習(xí)與提高返回目錄1. 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象xyO3pp2p-3p-2p-p1-1y=sinxxO3pp2p-3p-2p-p1-1y=cosxy知識要點2. 正切函數(shù)的圖象oxy-2p-p2p3p-3p知識要點3. 正弦曲線、余弦曲線的五個關(guān)鍵點0-1010y2pp0

46、 x10-101y2pp0 xy=sinxy=cosx知識要點4. 正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)知識要點y=sinxy=cosxy=tanx定義域值域周期性奇偶性增區(qū)間RR-1, 1-1, 1(-, +)T=2pT=2pT=p奇偶奇減區(qū)間無4. 正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)知識要點最大值最小值對稱中心對稱軸無無(kp, 0)x=kp無y=sinxy=cosxy=tanx例題選講 例1. 已知 w0, 函數(shù) f(x)=sin(wx+ ) 在 ( , p)上單調(diào)遞減, 則 w 的取值范圍是 ( ) (A) (B) (C) (D) (0, 2分析:正弦函數(shù) y=sinx 的單減區(qū)間是即 f(x) 的單減

47、區(qū)間應(yīng)由由題設(shè)要求, f(x) 的單減區(qū)間需包含例題選講 例1. 已知 w0, 函數(shù) f(x)=sin(wx+ ) 在 ( , p)上單調(diào)遞減, 則 w 的取值范圍是 ( ) (A) (B) (C) (D) (0, 2思路:(1) 解不等式得 f(x) 的單減區(qū)間 D.(2) 使 解 w 的不等式, 即得 w 的范圍.例題選講 例1. 已知 w0, 函數(shù) f(x)=sin(wx+ ) 在 ( , p)上單調(diào)遞減, 則 w 的取值范圍是 ( ) (A) (B) (C) (D) (0, 2解:解不等式得得取 k=0 時, 解得A 例2. 已知 w0, 0jp, 直線 和 是函數(shù) f(x)=sin(

48、wx+j) 圖象的兩條相鄰的對稱軸, 則 j=( ) (A) (B) (C) (D)分析:(1) 函數(shù) y=sinx 的對稱軸是則求 f(x) 的對稱軸需思路:(2) 解 得函數(shù) f(x) 的對稱軸x=g(j, k).(2) 相鄰兩對稱軸間的距離是半個周期.(1) 由相鄰兩對稱軸之差求 w.(3) 使由 0j0, 0jp, 直線 和 是函數(shù) f(x)=sin(wx+j) 圖象的兩條相鄰的對稱軸, 則 j=( ) (A) (B) (C) (D)解:w=1.則對稱軸:0j0,-p0,-pjp, 若 f(x) 的最小正周期為 6p, 且當(dāng) 時, f(x) 取得最大值, 則 ( ) (A) f(x)

49、在區(qū)間 -2p, 0 上是增函數(shù) (B) f(x) 在區(qū)間 -3p, -p 上是增函數(shù) (C) f(x) 在區(qū)間 3p, 5p 上是減函數(shù) (D) f(x) 在區(qū)間 4p, 6p 上是減增函數(shù)解:f(x) 取得最大值時需-p0,-pjp, 若 f(x) 的最小正周期為 6p, 且當(dāng) 時, f(x) 取得最大值, 則 ( ) (A) f(x) 在區(qū)間 -2p, 0 上是增函數(shù) (B) f(x) 在區(qū)間 -3p, -p 上是增函數(shù) (C) f(x) 在區(qū)間 3p, 5p 上是減函數(shù) (D) f(x) 在區(qū)間 4p, 6p 上是減增函數(shù)解:f(x) 取得最大值時需-p0) 在區(qū)間 0, 上單調(diào)遞增,

50、 在區(qū)間 上單調(diào)遞減, 則 w 等于 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) (D)4. 下列函數(shù)中, 周期為 p, 且在 上為減函數(shù)的是 ( ) (A) (B) (C) (D)5. 下列關(guān)系式中正確的是 ( ) (A) sin11cos10sin168 (B) sin168sin11cos10 (C) sin11sin168cos10 (D) sin168cos100) 在區(qū)間 0, 上單調(diào)遞增, 在區(qū)間 上單調(diào)遞減, 則 w 等于 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) (D)分析:由題設(shè)知 時 f(x) 取得最大值.即解得因為一個單調(diào)區(qū)間不能超過半個周期,所以解得 0w3.由得C 4.

51、下列函數(shù)中, 周期為 p, 且在 上為減函數(shù)的是 ( ) (A) (B) (C) (D)分析:排除 C, D 選項.正弦函數(shù)的減區(qū)間:解得k 取任何整數(shù)都不包含排除 A 選項.B5. 下列關(guān)系式中正確的是 ( ) (A) sin11cos10sin168 (B) sin168sin11cos10 (C) sin11sin168cos10 (D) sin168cos10sin11 分析:sin168=sin12正弦在 -90, 90 上是增函數(shù).sin11sin12=sin168,排除 B, D 選項.又 sin12cos45cos10sin12.C 6. 在同一平面直角坐標(biāo)系中, 函數(shù) y=cos (x0, 2p) 的圖象和直線 的交點個數(shù)是 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4分析:求函數(shù)的增區(qū)間:解得 4kp-5px4kp-3p.k=1 時, 增區(qū)間為 -p, p, 減區(qū)間為 p, 3p.xyOp-p2p3p如圖:則在 0, 2p 上函數(shù)圖象與 有兩個交點.C 9. 根據(jù)正切函數(shù)的圖象, 寫出使下列不等式成立的 x 的集合: (1) 1+tanx0; (2) tanx - 0.oxy-pp解:(1)tanx-1,由原式得-1其集合為習(xí)題 1.4 A 組 9. 根據(jù)正切函數(shù)的圖象, 寫出使下列不等式成