【人教版】八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)：《三角形解讀與拓展》課件：與三角形有關(guān)的線段

1、 第十一章 三角形11.1 與三角形有關(guān)的線段概念圖例三角形由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫作三角形.用符號(hào)“”來表示，如ABC三角形的定義及相關(guān)概念概念圖例三角形的基本元素邊組成三角形的線段.圖例中的線段BC，CA，AB，也可以用對(duì)應(yīng)的a，b，c來表示頂點(diǎn)兩邊的公共點(diǎn).圖例中的點(diǎn)A，B，C角相鄰兩邊組成的角.圖例中的A，B，C知識(shí)解讀三角形的定義有三個(gè)要點(diǎn)：(1)不在同一條直線上,(2)三條線段,(3)首尾順次相接巧記樂背首尾相接三線段，三邊三角三頂點(diǎn).數(shù)復(fù)雜圖形中三角形個(gè)數(shù)的方法 可以先固定三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，再確定另兩個(gè)頂點(diǎn)，按一定的順序數(shù)；可以固定三角形的一條邊，再

2、確定三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)，按一定的順序數(shù)；可以按照?qǐng)D形的形成過程來數(shù)等，原則是分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，做到不重不漏. 例1 如圖11-1-1，圖中有幾個(gè)三角形，分別表示出來，并指出其中一個(gè)三角形的邊和角.圖11-1-1解：圖中共有五個(gè)三角形，分別是AMN,ABC,MBE,BEC,ENC.其中,AMN的三條邊分別是AM,AN,MN，三個(gè)角分別是A,AMN,ANM. 找三角形時(shí)，可以按“邊”的順序逐一來找，如此題中以AB為邊的ABC，以AM為邊的AMN，以BM為邊的MBE，以NC為邊的ENC，以EC為邊的BEC.三角形的分類按邊分類按角分類三角形的分類知識(shí)解讀（1）按內(nèi)角的大小判斷一個(gè)三角形的形狀時(shí)主要看三角

3、形中最大內(nèi)角的度數(shù)；（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形；（3）三角形按邊分類的包含圖，如下圖知識(shí)解讀三角形例2 下列說法中，描述正確的是_（填序號(hào)）.三角形按邊分類可分為三邊都不相等的三角形、等腰三角形和等邊三角形；等邊三角形是特殊的等腰三角形；等腰三角形是特殊的等邊三角形；兩邊相等的三角形一定是等腰三角形，但不一定是等邊三角形.解析：等腰三角形包含等邊三角形，故錯(cuò)誤；等邊三角形是特殊的等腰三角形，故正確，錯(cuò)誤；由等腰三角形的定義知，兩邊相等的三角形一定是等腰三角形，三邊都相等的三角形是等邊三角形，故正確.三角形的三邊關(guān)系文字?jǐn)⑹鰩缀握Z言三角形的三邊關(guān)系三角形兩邊的和大于第三邊若a,b,c分別

4、是ABC的三邊，則有a+bc,b+ca,a+cb三角形兩邊的差小于第三邊若a,b,c分別是ABC的三邊，不妨設(shè)abc,則有a-bc,b-ca,a-cb知識(shí)解讀(2)三角形兩邊的和大于第三邊中“兩邊的和”是指任意兩邊的和，三角形兩邊的差小于第三邊中“兩邊的差”是指任意兩邊中較長(zhǎng)邊與較短邊的差；(1)知識(shí)解讀（3）三角形三邊關(guān)系的逆用：如果三條線段滿足任意兩條線段的和大于第三條線段，那么這三條線段一定能組成三角形；如果三條線段滿足任意兩條線段的差小于第三條線段，那么這三條線段一定能組成三角形巧記樂背兩邊和大于第三邊，兩邊差小于第三邊,三邊的關(guān)系不一般，反過來使用最廣泛. 例3 下列長(zhǎng)度的三條線段(

5、單位：cm)，能組成三角形的是（ ） A. 1,2,3.5 B. 4,5,9 C. 5,8,15 D. 6,8,9D 解析：選擇較短的兩條線段，計(jì)算它們的和是否大于最長(zhǎng)的線段，若大于，則能組成三角形，否則不能組成三角形，只有68149，所以長(zhǎng)度為6,8,9的三條線段能組成三角形.故選D. 例4 已知三角形三邊長(zhǎng)分別為2，x，13，則x的取值范圍是_.解析：由三角形的三邊關(guān)系知13-2x13+2,即11x15.11x15三角形的高、中線與角平分線概念圖例幾何語言推理語言三角形的三條重要線段高過三角形的頂點(diǎn)作其對(duì)邊或其延長(zhǎng)線的垂線段過頂點(diǎn)A作ADBC，垂足為D，則AD是ABC中BC邊上的高AD是A

6、BC中BC邊上的高，ADBC（或ADC=90,或ADB=90）概念圖例幾何語言推理語言三角形的三條重要線段中線頂點(diǎn)與其對(duì)邊中點(diǎn)連接所得的線段取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD，則AD是ABC的邊BC上的中線AD是ABC的邊BC上的中線，BD=CD=概念圖例幾何語言推理語言三角形的三條重要線段角平分線三角形的一個(gè)角的平分線和對(duì)邊相交，頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫作三角形的角平分線作A的平分線，交BC邊于點(diǎn)D，則AD是ABC的角平分線AD是ABC中A的平分線，BAD=CAD= BAC知識(shí)解讀（1）三角形的高、中線與角平分線都是線段，特別是三角形角的平分線與角的平分線是不同的，一條是線段，一條是射線；（2）三角形的

7、中線與角平分線一定在三角形的內(nèi)部，而三角形的高則不一定巧記樂背中線高線角平分線，各為三條是線段，有高可得線垂直，中線可得等線段，平分內(nèi)角角平分線，靈活運(yùn)用真簡(jiǎn)單. （1）三角形的三條高所在的位置：如圖，銳角三角形的三條高，都在三角形內(nèi)部；直角三角形的三條高，其中兩條是直角邊，另一條在三角形的內(nèi)部；鈍角三角形的三條高，其中兩條在三角形外部，另一條在三角形內(nèi)部. （2）三角形的三個(gè)重要的點(diǎn)：三角形的三條高，三條中線，三條角平分線分別相交于一點(diǎn)，其中三角形三條高的交點(diǎn)叫作三角形的垂心；三條中線的交點(diǎn)叫作三角形的重心；三條角平分線的交點(diǎn)叫作三角形的內(nèi)心. （3）三角形三條高的交點(diǎn)的位置：銳角三角形三條

8、高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部；直角三角形三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形三條高的交點(diǎn)在三角形的外部，如圖.銳角三角形直角三角形鈍角三角形 例6 如圖11-1-2,在ABC中，12，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，連接BG并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，CFAD于點(diǎn)H，下面說法正確的是_（填序號(hào)）. AD是ABE的角平分線；BE是ABD的邊AD上的中線；CH為ACD的邊AD上的高；AH是ACF的角平分線和高線.圖11-1-2 解析：因?yàn)?2，所以AD是ABC的角平分線，AH是ACF的角平分線.又因?yàn)镃FAD于點(diǎn)H，所以AH是ACF的高線，CH為ACD的邊AD上的高，所以錯(cuò)誤，正確.因?yàn)辄c(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，所

9、以BG是ABD的邊AD上的中線，所以錯(cuò)誤.三角形的穩(wěn)定性概念三角形的穩(wěn)定性如果三角形的三條邊的長(zhǎng)度確定，那么這個(gè)三角形的形狀與大小也確定知識(shí)解讀( 1）生活中的三角形穩(wěn)定性的應(yīng)用：三角形吊臂、屋頂鋼架、自行車鋼梁等.知識(shí)解讀（2）四邊形及邊數(shù)為四以上的圖形不具有穩(wěn)定性，構(gòu)造出三角形，可使不穩(wěn)定圖形變穩(wěn)定讓多邊形變穩(wěn)定則至少需再釘幾根木條：四邊形：再釘上1 根木條，使四邊形變成2 個(gè)三角形；五邊形：再釘上2 根木條，使五邊形變成3 個(gè)三角形；n邊形：再釘上（n-3）根木條，使n邊形變成（n-2）個(gè)三角形. 例7 如圖11-1-3，一扇窗戶打開后用窗鉤AB可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是（ ）A

10、.三角形的穩(wěn)定性 B.兩點(diǎn)之間線段最短C.兩點(diǎn)確定一條直線 D.垂線段最短圖11-1-3A 解析：加上窗鉤AB后，原圖形中構(gòu)造出AOB，故這種做法根據(jù)的是三角形的穩(wěn)定性.故選A.忽略三角形三邊之間的關(guān)系 例8 已知等腰三角形的周長(zhǎng)為16，且一邊長(zhǎng)為3，則腰長(zhǎng)為_. 6.5解析：當(dāng)腰長(zhǎng)為3時(shí)，底邊長(zhǎng)為16-3-3=10.因?yàn)?+3BC時(shí)，如圖11-1-4(2),當(dāng)AB=AC,ABBC時(shí),所以這個(gè)等腰三角形的各邊長(zhǎng)分別為8 cm,8 cm,5 cm或6 cm,6 cm,9 cm.題中沒有給出圖形，在解答時(shí)，常按自己熟悉的等腰三角形求解，從而遺漏了圖（2）的情況，即沒有做到運(yùn)用分類討論的思想方法求解

11、，導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤.角度a 根據(jù)三角形三邊關(guān)系求第三邊題型一 三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用 例10 已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和8，則該三角形第三邊的長(zhǎng)可能是（ ） A.5 B.10 C.11 D.12B思路導(dǎo)圖根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解由8-3第三邊的長(zhǎng)c,b+ca,a+cb都成立時(shí)，a,b,c可組成三角形；當(dāng)|a-b|ca時(shí)，a,b,c可組成三角形. （2）已知三角形的兩邊，確定第三邊的取值范圍.已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為a,b,設(shè)第三邊長(zhǎng)為c,那么有|a-b|cb時(shí),2aa+b+c2(a+b)，當(dāng)ab時(shí)，2ba+b+c2(a+b). (3)可證明線段之間的不等關(guān)系.解讀中考： 中考在這一節(jié)內(nèi)容中，對(duì)三角形

12、的三邊關(guān)系及其運(yùn)用，常常結(jié)合等腰三角形的周長(zhǎng)考查，這也是本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn).在其他知識(shí)點(diǎn)中，如：三角形高的作法，三角形的中線與面積，三角形的穩(wěn)定性等方面鮮有涉及.考查的題型主要有選擇題和填空題，難度較小.考點(diǎn)一 判斷三條線段能否組成三角形 例17 （湖南岳陽中考）下列長(zhǎng)度的三根小木棒能構(gòu)成三角形的是（ ） A.2 cm，3 cm，5 cm B.7 cm，4 cm，2 cm C.3 cm，4 cm，8 cm D.3 cm，3 cm，4 cmD 解析：A中因?yàn)?+3=5，所以不能構(gòu)成三角形，故A不滿足題意；B中因?yàn)?+47，所以不能構(gòu)成三角形，故B不滿足題意；C中因?yàn)?+48，所以不能構(gòu)成三角形，故C

13、不滿足題意；D中因?yàn)?+34，所以能構(gòu)成三角形，故D滿足題意.故選D.考點(diǎn)二 三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用 例18 （湖南長(zhǎng)沙中考）若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，則第三邊長(zhǎng)可能是（ ） A.6 B.3 C.2 D.11A 解析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得|7-3|第三邊長(zhǎng)3+7，所以符合條件的整數(shù)為6.故選A.核心素養(yǎng) 例20 如圖11-1-8,有四個(gè)村莊A,B,C,D，現(xiàn)在要修建一個(gè)物流中心P，物流中心P應(yīng)建在什么位置，才能使它到四個(gè)村莊的距離之和最小，說明最節(jié)省材料的辦法和理由.圖11-1-8 分析：顯然，物流中心P應(yīng)該選在四邊形ABCD內(nèi)部.要使物流中心P到村莊D與B的距離之和最短，那么點(diǎn)P應(yīng)該在線段DB上，同理，點(diǎn)P也應(yīng)該在線段AC上，則由此推斷，點(diǎn)P應(yīng)該在AC與BD的交點(diǎn)上. 解：如圖11-