高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課件教案 第八章 第5節(jié) 第2課時(shí) 直線與橢圓

1、回4W當(dāng)考點(diǎn)聚焦突破分類講練:搭以例求法謬澧考點(diǎn)一 中點(diǎn)弦及弦長(zhǎng)問(wèn)題 A多維探究 角度1中點(diǎn)弦問(wèn)題【例1 1】己知橢圓|+/=L.(1)過(guò)力(2, 1)的直線/與橢圓相交，求/被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程;(2)求過(guò)點(diǎn)電,1)勺且被F點(diǎn)平分的弦所在直線的方程.解 設(shè)弦的端點(diǎn)為P(x1, yj, Q(x2, y2),其中點(diǎn)是M(x, y),則x2+xx = 2x, y2+兀_尹2尹 x2化簡(jiǎn)得x22x+2y22y=0(包含在橢圓y+y2= 1內(nèi)部的部分).因此所求直線方程是y-|=化簡(jiǎn)得 2x+4y3 = 0.由(1)可得弦所在直線的斜率為k=規(guī)律方法弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題的解決方法根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢

2、圓方程聯(lián)立、消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn)；點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率.角度2弦長(zhǎng)問(wèn)題2 2【例1一2】（2019北京朝陽(yáng)區(qū)模擬）已知橢圓C： |z+*=l（Qb0）的左、右焦點(diǎn)分別 為尺，F(xiàn)2,且點(diǎn)冃到橢圓C上任意一點(diǎn)的最大距離為3,橢圓C的離心率為*.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在斜率為一1的直線/與以線段F02為直徑的圓相交于力，B兩點(diǎn)，與橢圓 相交于C, D,且謐二宇？若存在，求出直線/的方程；若不存在，說(shuō)明理由.解 根據(jù)題意，設(shè)F，尸2的坐標(biāo)分別為L(zhǎng)C，0）， （C, 0）, ac=3,由題意可得v、廠刁解得a=2, c=1,則b2 = a2 c2 =

3、3,2 2故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為予+等=1（2）假設(shè)存在斜率為一1的直線/,設(shè)y=x+m,由（1）知F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為（1，0），（1，0），所以以線段F1F2為直徑的圓為x2+y2= 1，由題意知圓心（0, 0）到直線/的距離得|m|0，解得 m21x1+兀2=帀，兀 1兀2=y ，CD =邊|兀1 一兀2=邊X17丿匸心4叮2卡乂33648m2 4749XyJjm2=X2XaJ277?,解得加 2=g0),( 2 2 4+務(wù)=ib h 消去,得(10+4)/14(圧+4)尹一9於+13+196 = 0, y=3x+7設(shè)直線y=3x + 7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為A(x1, y1),

4、B(x2, y2),由題意知:乃=1 ,尹1+尹2=：篇2：)=2, 解得 F = &2 2所求橢圓方程為令+臺(tái)=1法二橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0, 2),2 2I設(shè)橢圓的方程為24 + p= 1 (&0).一得仙尹2）帥 +尹2）圧+4（XX2）（X+X2）門(mén)P即叮X X2 X十兀2圧+4b2又/弦AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,故橫坐標(biāo)為-2,解得方2 = 8,7 yi - J2存入十仆2X1 _b +4kx.-x239 代入上式I2廠_ b2，22故所求的橢圓方程為+臺(tái)=1答案（1）考點(diǎn)二最值與范圍問(wèn)題A易錯(cuò)警示一x求橢圓E的方程； 設(shè)過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線/與E相交于M, N兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)0位

5、于以7W為直徑的 圓外時(shí)，求直線/斜率的取值范圍.【例2】(2019天津和平區(qū)質(zhì)檢)已知F點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 2),點(diǎn)力，B分別為橢圓2 +解 由是等腰直角三角形，得a=2, B(2, 0).廠k3設(shè)0血，為)，則由陀=蠶,得b兀0 5，4為=飛，代入橢圓方程得b2=1,.所以橢圓E的方程為予+于=1.(2)依題意得，直線/的斜率存在，方程設(shè)%y=kx2.聯(lián)立y kx L,X2 , 2,消去 7 并整理得(1+4A;2)x2-16Ax +12 = 0.(*)16k1+4 涇121+40因直線/與E有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程（*）有不等的兩實(shí)根,c3故/ = （ 16砂一48（1 +4用）0,解得斥才設(shè)側(cè)；

6、兀1，yj, N（x2，y2），X +兀2由根與系數(shù)的關(guān)系得v兀1兀2 =因坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MN為直徑的圓外, 所以O(shè)M0,即旳比+刃尹20,又由兀兀2 +尹 1力=兀1兀2+(kxi2)(kx22) = (1 + k2)XX22k(X +x?)+4 =(卄懸-2加忌+40,解得涇4,綜上可得&涇4,(則滿足條件的斜率k的取值范圍為一2,則 k2 或一2vv,2 .規(guī)律方法最值與范圍問(wèn)題的解題思路構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的值域來(lái)獲得問(wèn)題的解.構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，通過(guò)解不等式來(lái)獲得問(wèn)題的解.在解題過(guò)程中，一定要 深刻挖掘題目中的隱含條件，如判別式大于零等.易錯(cuò)警示(1)設(shè)直線方程時(shí)，

7、應(yīng)注意討論斜率不存在的情況.(2)利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略 判別式.【訓(xùn)練2】已知戶血，為）是橢圓C： ：+y2=l上的一點(diǎn)，F(xiàn)1?月是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若解析由題意可知円（一書(shū)，0）,月（書(shū)，0）,則PF,-PF2 = （x0+3）（xo-3） +yl =xl +yl30.因?yàn)辄c(diǎn)F在橢圓上，所以y= 1 芋.所以瑋+ 1 第一30,解得一片兀00, b0)的右支與焦點(diǎn)為尸的拋物線x2 = 2py(p0)交于力，B兩點(diǎn)，若AF + BF=4OF,則該雙曲線的漸近線方程為解析 法一 設(shè) A(xa, yA), B(xb,由拋物線定義可得AF + BF =yA

8、 +yB+= 2 -4X號(hào)=形+為=p,由02【例3】人教A版教材選修21第62頁(yè)習(xí)題2.3 E組第4題：已知雙曲線若=1,過(guò)點(diǎn)尸（1，1）能否作一條直線/與雙曲線交于力，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)？解 假設(shè)存在直線/與雙曲線交于B兩點(diǎn)，且點(diǎn)F是線段的中點(diǎn).2_X=1X 21，設(shè)A（xi，yi）, E（X2,尹2），易知兀1工兀2，由 2兩式相減得（兀1+兀2）（兀1一兀2） =0,：又兀1丁2=,刃F?=, 所以 2(X1 x2) (y 1 yi)=0, 所以 也=J_；=2,故直線/的方程為y1 =2(x1),即y=2x1. y=2x 一 1,2 y2消去尹得 2x2-4x+3 = 0?x

9、 2 = 1，因?yàn)? = 1624=80,方程無(wú)解，故不存在一條直線/與雙曲線交于B兩點(diǎn), 且點(diǎn) P是段AB的中點(diǎn).類型4求解直線與圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，若兩條直線互相垂直或兩直線斜率有明確 等量關(guān)系，可用“替代法”，“替代法”的實(shí)質(zhì)是設(shè)而不求【例4】（2017全國(guó)I卷改編）已知F為拋物線C：護(hù)=2兀的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的 直線厶,12,直線li與C交于B兩點(diǎn)，直線12與C交于Q, E兩點(diǎn)，貝fJ|AB| + DE|的最小 值為J1 ）解析 法一 由題意知，直線厶，的斜率都存在且不為0,屯，0J,設(shè)厶：x=ty1y2=2x,+刁 則直線厶的斜率為：，聯(lián)立方程得v1消去兀得y22tyl=0.1x=ty+y設(shè)A（xi，y） B（x2，尹2），貝1歹1+歹2 = 2，歹必=一1 所以 151=/?+lyi y2=Jt2+lyJ（yi+y2）24yiy2=t2+l4t2+4=2t2+2,i0同理得，用：替換f可得|QE|=#+2,所以|力3| + |加| = 2卩+菱+4三4+4 = 8,當(dāng)且 僅當(dāng)?=p,即/=1時(shí)等號(hào)成立，故|/B| + |DE|的最小值為8.法二由題意知，直線厶，厶的斜率都存在且不為o, Fo,不妨設(shè)厶的斜率為乩則 /i： y=ky2=2x, 、x q ,消去尹得lx2 伙2+2）兀+豪=0,設(shè) A（xi,尹 1）, B（x2,