2011國際建模A題

1、滑雪場的最優(yōu)設(shè)計摘要單板滑雪(Snowboard)(又稱滑板滑雪)源于20世紀(jì)60年代中期的美國，其產(chǎn)生與 沖浪運動有關(guān)。舍曼-波潘1965年把兩個滑雪板綁在一起，偶然中就創(chuàng)造了兩腳踩踏在 一整塊板上的新“滑雪板”，單板滑雪又稱冬季的沖浪運動，單板滑雪選手用一個滑雪 板而不是一雙滑雪板，利用身體和雙腳來控制方向。1994年國際滑聯(lián)(FIS)將滑板滑雪 定為冬奧會正式項目。比賽時，該項目選用U型池。溫哥華冬奧會比賽場地U形滑道 的尺寸為長16 0米，寬18米，深6.7米，平均坡度18度。場地的設(shè)計關(guān)系到運動員的安全，我們通過能量守恒定理，對運動員進行動力與運動的狀態(tài)進 行分析求解，得出騰空高度的

2、微分方程，設(shè)計滑雪場的形狀提供了理論支撐，并且同對運動即將騰 空時的運動做角速度轉(zhuǎn)化求得轉(zhuǎn)體最佳的曲率半徑。滿足了騰空最大化，身體扭曲最大化的設(shè)計要 求。我們設(shè)計的滑道模型為橢圓形截面，設(shè)定人體承受力為8mg時，初速度為15米每秒時，摩 擦力系數(shù)為0.0312，得出設(shè)計的滑道為寬9.39米，深3.67米，長124.18米傾角設(shè)定為 18度。此時求得的邊緣最佳曲率半徑為2.87米。騰空的最大高度為9米。橢圓方程可V 2X 2 ,為+ = 1為 22.02 13.47關(guān)鍵詞動能定理能量守恒圓周運動騰空高度 U型滑雪場問題重述試確定一個單板滑雪運動場地（現(xiàn)稱為“半管”，即U形場地）的形狀，使得熟練

3、的單板滑雪運動員能最大限度地產(chǎn)生“垂直騰空”.“垂直騰空“是指超出“半管”邊 緣以上的最大的垂直距離。調(diào)整場地形狀以優(yōu)化諸如能在空中產(chǎn)生最大的身體翻轉(zhuǎn)等其他可能的要求，在設(shè)計 一個“實際可行”的場地時需要權(quán)衡哪些因素？給出你的理由。問題分析由問題的提出可知，我們需要建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)計滑雪軌道來解決如何使單板滑雪 選于最大限度地產(chǎn)生垂直騰空，并且還要考慮其他因素對垂直騰空的影響。針對第一個 問題的解決：首先該問題涉及到軌道方向的選擇，我們所設(shè)計的滑雪場是U型，運動 員從場地的一端頂部開始下滑至對面另一端頂部飛出。其次，出現(xiàn)最大騰空時必須有足 夠大的速度，因此我們通過建立數(shù)學(xué)模型利用牛頓定律、功能

4、關(guān)系等物理學(xué)知識，使重 力勢能盡可能多的轉(zhuǎn)化為運動員出槽時的動能一一獲得最大速度。最終選取最優(yōu)結(jié)果分 析確定U型場地的長度、邊坡高度、斜坡角度設(shè)計滑雪場形狀。探究其他因素對運動員騰空的影響，此問題涉及到人體扭曲、空翻轉(zhuǎn)體動作、入 槽助滑、入槽后速度和用刃方向夾角以及速度損失率等。需要解決是如何確定最優(yōu)的方 式才最有利于運動員在比賽中獲得最優(yōu)成績。我們通過建立簡單的數(shù)學(xué)模型、查閱大量 的有關(guān)資料和數(shù)據(jù)并應(yīng)用統(tǒng)計的方法對這些問題進行分析解決。模型假設(shè)1、假設(shè)運動員技術(shù)精湛、技術(shù)熟練；2、忽略空氣阻力3、符號說明h騰空高度m運動員的質(zhì)量v00第一次進入滑道的初速度v01第二次進入滑道的初速度Es能量

5、損失g重力加速度FN正壓力R摩擦系數(shù)v速度a滑道深度b滑道寬度L滑道長度H人體身高W角速度a騰空后旋轉(zhuǎn)的角度r半徑C常數(shù)模型建立5.1求解垂直騰空邊緣以上的最大的垂直距離由物理學(xué)知識可知運動員在爭個過程中機械能守恒得出:1mv 22 01=mgh（1）（2）同樣機械能守恒得出：日1mv2 一 E = 2 mv2（3）求解能量損失Es，在圓弧上微小的圓弧rd 0上進行分析，如圖1所示:圖1dE = pF (9 )rd0sn兀在0到2內(nèi)積分可得:(4)E1 - i0：七（0 ）rd9兀2到兀積分得：E = E + E 日 2 E針對任意角度時，運動員在垂直于運動方向上的受力，進行分析得:F (9)

6、=山* + mg sin 9 n r(6)對運動員剛進入滑道時和在與滑道成9角時的狀態(tài)，運用動能定理求得:11日mv2 一 mv2 = mgr sin9 一 E（7）由（1）（2）（3）（5）（6）（7），得到Es偵）方程:9 = rp (m0o + 3mg sin 9)（8）針對此方程的求解，我們作如下簡化變形：設(shè)運動員從頂端滑到底端平均速度為v，則有:一 mv 2 , 一(9)(10)(11)F -+ mg sin o n r帶入(5)求得：E - j ；四r (m2 + mg sin0 )dO積分得到：E - m日(U + gr) TOC o 1-5 h z si2代入（2）得到:1mv

7、 22 oi(12)兀V 2 一、_mv2 一 2m(+ gr)2 oo2再代入(1)可以得到：v2 - 2四(Kv2 + 2gr)V2(1 - 2 呻)h oo oo 2rR2 g2 g(13)根據(jù)上式得到如下結(jié)論：使運動員能最大限度地產(chǎn)生“垂直騰空”的條件是：減小過渡半徑或增大初速度。根據(jù)運動員在U型槽中作變速圓周運動，運動員承受的力在圓周底部達到最大，求 得最大支持力為：v 2mv 2 m 口兀一F （一） -si + 3mg oo2 + mg （3 日）2 rr（14）為使運動員受力在其承受范圍內(nèi)，減小Fn的方法有：減小初速度或增大過渡 半徑。根據(jù)（13） （14）得，當(dāng)初速度一定時，

8、應(yīng)在運動員承受范圍內(nèi)盡量減小過度半徑以使其高度增加，可以 求得得最佳的過度半徑并且此時的初速度也是最佳。Fn 一定時，最佳過渡半徑是關(guān)于 最佳初速度的函數(shù)。當(dāng)時，V 2“ 日兀、mv2 - mp兀 一mv2 (1 -) vr =0000= 00F - (3 -p)mg F - (3 - p)mgCNN(15)由上式可以得出：最佳過渡半徑與初速度的平方成正比關(guān)系。5.2求解滑雪運動員在空中產(chǎn)生最大的身體扭曲當(dāng)運動員離開滑道的那一刻由于身高H不能忽略，所以頭部和腳步的速度不一樣， 運動的速度是由于運動員在空中發(fā)生身體扭曲產(chǎn)生的，其扭曲的程度我們以身體旋轉(zhuǎn)過 的角度a來衡量。假設(shè)人的重心在身高的一半

9、的位置，則運動員重心的角速度：Vw=7-HH-2（16）式中：v01是運動員騰空時本身的平均速度。頭部速度：v 頭=w *（r-H）腳部速度：（17）腳=Wr（18）騰空后腳部速度快于頭部速度，設(shè)頭部靜止時，腳部相對于頭部的速度為:2vAv = v -七=w * H = -2 H-1（19）相對于頭部的角速度為:,Avw =H騰空時間近似為：vt = -01g（20）（21）那么在騰空后人為不做功的情況下，旋轉(zhuǎn)的角度為:a = ” t =一(2r - H) g(22)對于特定的滑道而言，即r為常量時，為了產(chǎn)生較大的身體扭曲，運動員可以采取 屈膝或彎腰等動作來減小H增大身體旋轉(zhuǎn)角度成。運動員的身

10、高為常量，對于H 一定 時，為增加扭曲程度可以減小騰空時滑道的曲率半徑。但是半徑的減小又會使得承受的 力增加，在承受力范圍內(nèi)來減小r從而保證口的值最大。假設(shè)邊緣處曲率半徑為尸，則有:mv 200(23)r可知當(dāng)N承受力確定時只要初速度只有就可以求得此點的最佳曲率半徑r 。由以上分析可以知道底部時半徑較大可保證承受力的合理，而滑道的邊緣處半徑較 小時利于空中的旋體。由于橢圓符合這一性質(zhì)現(xiàn)已橢圓滑道進行分析，假設(shè)該模型的 橫截面為橢圓形半橢圓的深度與半圓形深度一樣為r，即橢圓的=r。設(shè)橢圓方程為：(24)建立直角坐標(biāo)系如下圖所示:求A點的曲率半徑：其中A點時的向心力為mv 2 F =_向r r則曲

11、率半徑：,=（1+y）%（25）（26）求得A點時的曲率半徑:，b2r = a則有：b 2 r 2a = 一 = 一r r即可求得最佳的橢圓別的方程為:r2 y2 x2,+ = 1r 4r 25.3設(shè)定常數(shù)求解的最終結(jié)果（27）（28）（29）由于人之間的差別承受力和初速度是動態(tài)變化的，現(xiàn)設(shè)定人體承受力為8mg，初速 度為15米每秒時，摩擦力系數(shù)為0.0312,求得最最佳半徑為3.67米。此時求得的邊緣最 佳曲率半徑為2.87米。因為橢圓長半軸與短半軸之比為1.27。近似等于1。求騰空高度 時仍可按之前求出的公式進行求解。騰空的最大高度為9米。那么橢圓方程可表示為 TOC o 1-5 h z y 2x 2,+= 122.02 13.47（30）由于長期訓(xùn)練和自身承受力的增加，只要有最大承受力和進入滑道的初速度即可求 出最佳的軌道寬度和深度。即橢圓方程。為了保證每次騰空時的高度至少保持最大騰空高度9米，需要米不掉損失的能量， 此處假設(shè)重力勢能的減少全部轉(zhuǎn)化為彌補摩擦力做的功，摩擦力做功為m 2+ gr) = mgh(31)E (v = 15, r = 3.67) = 2mp(