概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用課后答案

1、-PAGE . z. 第1章 隨機(jī)變量及其概率1，寫(xiě)出以下試驗(yàn)的樣本空間：連續(xù)投擲一顆骰子直至6個(gè)結(jié)果中有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。連續(xù)投擲一顆骰子直至6個(gè)結(jié)果中有一個(gè)結(jié)果接連出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。連續(xù)投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn)，觀察正反面出現(xiàn)的情況。拋一枚硬幣，假設(shè)出現(xiàn)H則再拋一次；假設(shè)出現(xiàn)T，則再拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的各種結(jié)果。解：1；2；3；4。2，設(shè)是兩個(gè)事件，求。解：，3，在100，101，999這900個(gè)3位數(shù)中，任取一個(gè)3位數(shù)，求不包含數(shù)字1個(gè)概率。解：在100，101，999這900個(gè)3位數(shù)中不包含數(shù)字1的3位數(shù)的個(gè)數(shù)為，所以所求得概率為4，在僅由數(shù)字0，1，2，3，

2、4，5組成且每個(gè)數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)中，任取一個(gè)三位數(shù)。1求該數(shù)是奇數(shù)的概率；2求該數(shù)大于330的概率。解：僅由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且每個(gè)數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè)。1該數(shù)是奇數(shù)的可能個(gè)數(shù)為個(gè)，所以出現(xiàn)奇數(shù)的概率為2該數(shù)大于330的可能個(gè)數(shù)為，所以該數(shù)大于330的概率為5，袋中有5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求以下事件的概率。14只中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球。24只中至少有2只紅球。34只中沒(méi)有白球。解: 1所求概率為；2 所求概率為；3所求概率為。6，一公司向個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)分發(fā)*提貨單，設(shè)每*提貨單分發(fā)給每一銷(xiāo)售點(diǎn)是等可能的，每一銷(xiāo)售點(diǎn)得到的提

3、貨單不限，求其中*一特定的銷(xiāo)售點(diǎn)得到*提貨單的概率。解：根據(jù)題意，*提貨單分發(fā)給個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)的總的可能分法有種，*一特定的銷(xiāo)售點(diǎn)得到*提貨單的可能分法有種，所以*一特定的銷(xiāo)售點(diǎn)得到*提貨單的概率為。7，將3只球13號(hào)隨機(jī)地放入3只盒子13號(hào)中，一只盒子裝一只球。假設(shè)一只球裝入與球同號(hào)的盒子，稱(chēng)為一個(gè)配對(duì)。1求3只球至少有1只配對(duì)的概率。2求沒(méi)有配對(duì)的概率。解：根據(jù)題意，將3只球隨機(jī)地放入3只盒子的總的放法有3！=6種：123，132，213，231，312，321；沒(méi)有1只配對(duì)的放法有2種：312，231。至少有1只配對(duì)的放法當(dāng)然就有6-2=4種。所以2沒(méi)有配對(duì)的概率為；1至少有1只配對(duì)的概率為。

4、8，1設(shè)，求,.2袋中有6只白球，5只紅球，每次在袋中任取1只球，假設(shè)取到白球，放回，并放入1只白球；假設(shè)取到紅球不放回也不放入另外的球。連續(xù)取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。解：1由題意可得，所以， ，。2設(shè)表示“第次取到白球這一事件，而取到紅球可以用它的補(bǔ)來(lái)表示。則第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球可以表示為，它的概率為根據(jù)乘法公式。9，一只盒子裝有2只白球，2只紅球，在盒中取球兩次，每次任取一只，做不放回抽樣，得到的兩只球中至少有一只是紅球，求另一只也是紅球的概率。解：設(shè)“得到的兩只球中至少有一只是紅球記為事件，“另一只也是紅球記為事件。則事件的概率為先紅后白

5、，先白后紅，先紅后紅所求概率為10，一醫(yī)生根據(jù)以往的資料得到下面的訊息，他的病人中有5%的人以為自己患癌癥，且確實(shí)患癌癥；有45%的人以為自己患癌癥，但實(shí)際上未患癌癥；有10%的人以為自己未患癌癥，但確實(shí)患了癌癥；最后40%的人以為自己未患癌癥，且確實(shí)未患癌癥。以表示事件“一病人以為自己患癌癥，以表示事件“病人確實(shí)患了癌癥，求以下概率。1；2；3；4；5。解：1根據(jù)題意可得；2根據(jù)條件概率公式：；3；4；5。11，在11*卡片上分別寫(xiě)上engineering這11個(gè)字母，從中任意連抽6*，求依次排列結(jié)果為ginger的概率。解：根據(jù)題意，這11個(gè)字母中共有2個(gè)g，2個(gè)i，3個(gè)n，3個(gè)e，1個(gè)r

6、。從中任意連抽6*，由獨(dú)立性，第一次必須從這11*中抽出2個(gè)g中的任意一*來(lái)，概率為2/11；第二次必須從剩余的10*中抽出2個(gè)i中的任意一*來(lái)，概率為2/10；類(lèi)似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率為；或者。12，據(jù)統(tǒng)計(jì)，對(duì)于*一種疾病的兩種病癥：病癥A、病癥B，有20%的人只有病癥A，有30%的人只有病癥B，有10%的人兩種病癥都有，其他的人兩種病癥都沒(méi)有。在患這種病的人群中隨機(jī)地選一人，求1該人兩種病癥都沒(méi)有的概率；2該人至少有一種病癥的概率；3該人有病癥B，求該人有兩種病癥的概率。解：1根據(jù)題意，有40%的人兩種病癥都沒(méi)有，所以該人兩種病癥都沒(méi)有的概率為；2至少有一種病癥的概率

7、為；3該人有病癥B，說(shuō)明該人屬于由只有病癥B的30%人群或者兩種病癥都有的10%的人群，總的概率為30%+10%=40%，所以在該人有病癥B的條件下該人有兩種病癥的概率為。13，一在線計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，有4條輸入通訊線，其性質(zhì)如下表，求一隨機(jī)選擇的進(jìn)入訊號(hào)無(wú)誤差地被承受的概率。通訊線通訊量的份額無(wú)誤差的訊息的份額10.40.999820.30.999930.10.999740.20.9996解：設(shè)“訊號(hào)通過(guò)通訊線進(jìn)入計(jì)算機(jī)系統(tǒng)記為事件，“進(jìn)入訊號(hào)被無(wú)誤差地承受記為事件。則根據(jù)全概率公式有 =0.9997814，一種用來(lái)檢驗(yàn)50歲以上的人是否患有關(guān)節(jié)炎的檢驗(yàn)法，對(duì)于確實(shí)患關(guān)節(jié)炎的病人有85%的給出了正

8、確的結(jié)果；而對(duì)于未患關(guān)節(jié)炎的人有4%會(huì)認(rèn)為他患關(guān)節(jié)炎。人群中有10%的人患有關(guān)節(jié)炎，問(wèn)一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)，認(rèn)為他沒(méi)有關(guān)節(jié)炎，而他卻有關(guān)節(jié)炎的概率。解：設(shè)“一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為患有關(guān)節(jié)炎記為事件，“一名被檢驗(yàn)者確實(shí)患有關(guān)節(jié)炎記為事件。根據(jù)全概率公式有，所以，根據(jù)條件概率得到所要求的概率為即一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為沒(méi)有關(guān)節(jié)炎而實(shí)際卻有關(guān)節(jié)炎的概率為17.06%.15，計(jì)算機(jī)中心有三臺(tái)打字機(jī)A,B,C，程序交與各打字機(jī)打字的概率依次為0.6, 0.3, 0.1，打字機(jī)發(fā)生故障的概率依次為0.01, 0.05, 0.04。一程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞了，求該程序是在A,B,C上打字的概率分別為多少？

9、解：設(shè)“程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞記為事件，“程序在A,B,C三臺(tái)打字機(jī)上打字分別記為事件。則根據(jù)全概率公式有，根據(jù)Bayes公式，該程序是在A,B,C上打字的概率分別為，。16，在通訊網(wǎng)絡(luò)中裝有密碼鑰匙，設(shè)全部收到的訊息中有95%是可信的。又設(shè)全部不可信的訊息中只有0.1%是使用密碼鑰匙傳送的，而全部可信訊息是使用密碼鑰匙傳送的。求由密碼鑰匙傳送的一訊息是可信訊息的概率。解：設(shè)“一訊息是由密碼鑰匙傳送的記為事件，“一訊息是可信的記為事件。根據(jù)Bayes公式，所要求的概率為17，將一枚硬幣拋兩次，以A,B,C分別記事件“第一次得H，“第二次得H，“兩次得同一面。試驗(yàn)證A和B，B和C，C和A分

10、別相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立，但A,B,C不是相互獨(dú)立。解：根據(jù)題意，求出以下概率為， ；， ，。所以有，。即說(shuō)明A和B，B和C，C和A兩兩獨(dú)立。但是所以A,B,C不是相互獨(dú)立。18，設(shè)A,B,C三個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)自離球門(mén)25碼處踢進(jìn)球的概率依次為0.5, 0.7, 0.6，設(shè)A,B,C各在離球門(mén)25碼處踢一球，設(shè)各人進(jìn)球與否相互獨(dú)立，求1恰有一人進(jìn)球的概率；2恰有二人進(jìn)球的概率；3至少有一人進(jìn)球的概率。解：設(shè)“A,B,C進(jìn)球分別記為事件。1設(shè)恰有一人進(jìn)球的概率為，則 由獨(dú)立性2設(shè)恰有二人進(jìn)球的概率為，則 由獨(dú)立性3設(shè)至少有一人進(jìn)球的概率為，則。19，有一危重病人，僅當(dāng)在10分鐘之內(nèi)能有一供血者供應(yīng)足量的A-R

11、H+血才能得救。設(shè)化驗(yàn)一位供血者的血型需要2分鐘，將所需的血全部輸入病人體內(nèi)需要2分鐘，醫(yī)院只有一套驗(yàn)血型的設(shè)備，且供血者僅有40%的人具有該型血，各人具有什么血型相互獨(dú)立。求病人能得救的概率。解：根據(jù)題意，醫(yī)院最多可以驗(yàn)血型4次，也就是說(shuō)最遲可以第4個(gè)人才驗(yàn)出是A-RH+型血。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最遲第4個(gè)人才驗(yàn)出是A-RH+型血的概率是多少？因?yàn)榈谝淮尉蜋z驗(yàn)出該型血的概率為0.4；第二次才檢驗(yàn)出該型血的概率為0.60.4=0.24；第三次才檢驗(yàn)出該型血的概率為0.620.4=0.144；第四次才檢驗(yàn)出該型血的概率為0.630.4=0.0864；所以病人得救的概率為0.4+0.24+0.144+0.0

12、864=0.8704220，一元件或系統(tǒng)能正常工作的概率稱(chēng)為元件或系統(tǒng)的可靠性。如圖設(shè)有5個(gè)獨(dú)立工作的元件1，2，3，4，5按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式連接，設(shè)元件的可靠性均為，試求系統(tǒng)的可靠性。1第20題543解：設(shè)“元件能夠正常工作記為事件。則系統(tǒng)的可靠性為21，用一種檢驗(yàn)法檢測(cè)產(chǎn)品中是否含有*種雜質(zhì)的效果如下。假設(shè)真含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為含有的概率為0.8；假設(shè)真不含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為不含有的概率為0.9，據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4，0.6。今獨(dú)立地對(duì)一產(chǎn)品進(jìn)展了3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而一次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率。注：此題較難，

13、靈活應(yīng)用全概率公式和Bayes公式解：設(shè)“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)記為事件，“對(duì)一產(chǎn)品進(jìn)展3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而1次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)記為事件。則要求的概率為，根據(jù)Bayes公式可得又設(shè)“產(chǎn)品被檢出含有雜質(zhì)記為事件，根據(jù)題意有，而且，所以；故，第1章習(xí)題解答完畢 隨機(jī)變量及其分布1，設(shè)在*一人群中有40%的人血型是A型，現(xiàn)在在人群中隨機(jī)地選人來(lái)驗(yàn)血，直至發(fā)現(xiàn)血型是A型的人為止，以Y記進(jìn)展驗(yàn)血的次數(shù)，求Y的分布律。解：顯然，Y是一個(gè)離散型的隨機(jī)變量，Y取說(shuō)明第個(gè)人是A型血而前個(gè)人都不是A型血，因此有， 上式就是隨機(jī)變量Y的分布律這是一個(gè)幾何分布。2，水自A處流至B處有3個(gè)閥門(mén)1，2，3

14、，閥門(mén)聯(lián)接方式如下圖。當(dāng)信號(hào)發(fā)出時(shí)各閥門(mén)以0.8的概率翻開(kāi)，以*表示當(dāng)信號(hào)發(fā)出時(shí)水自A流至B的通路條數(shù)，求*的分布律。設(shè)各閥門(mén)的工作相互獨(dú)立。解：*只能取值0，1，2。設(shè)以記第個(gè)閥門(mén)沒(méi)有翻開(kāi)這一事件。則，類(lèi)似有，AB213,綜上所述，可得分布律為 *0120.0720.5120.4163,據(jù)信有20%的美國(guó)人沒(méi)有任何安康保險(xiǎn)，現(xiàn)任意抽查15個(gè)美國(guó)人，以*表示15個(gè)人中無(wú)任何安康保險(xiǎn)的人數(shù)設(shè)各人是否有安康保險(xiǎn)相互獨(dú)立。問(wèn)*服從什么分布？寫(xiě)出分布律。并求以下情況下無(wú)任何安康保險(xiǎn)的概率：1恰有3人；2至少有2人；3不少于1人且不多于3人；4多于5人。解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量*服從二項(xiàng)分布B(15, 0

15、.2)，分布律為。12；3；44，設(shè)有一由個(gè)元件組成的系統(tǒng)，記為，這一系統(tǒng)的運(yùn)行方式是當(dāng)且僅當(dāng)個(gè)元件中至少有個(gè)元件正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作?，F(xiàn)有一系統(tǒng)，它由相互獨(dú)立的元件組成，設(shè)每個(gè)元件的可靠性均為0.9，求這一系統(tǒng)的可靠性。解：對(duì)于系統(tǒng)，當(dāng)至少有3個(gè)元件正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作。而系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布B(5, 0.9)，所以系統(tǒng)正常工作的概率為5，*生產(chǎn)線生產(chǎn)玻璃制品，生產(chǎn)過(guò)程中玻璃制品常出現(xiàn)氣泡，以至產(chǎn)品成為次品，設(shè)次品率為0.001，現(xiàn)取8000件產(chǎn)品，用泊松近似，求其中次品數(shù)小于7的概率。設(shè)各產(chǎn)品是否為次品相互獨(dú)立解：根據(jù)題意，次品數(shù)*服從二項(xiàng)分布B(8000, 0.0

16、01)，所以查表得。6，1設(shè)一天內(nèi)到達(dá)*港口城市的油船的只數(shù)*，求2隨機(jī)變量*，且有，求。解：1；2根據(jù)，得到。所以。7，一公司有5名訊息員，各人在t分鐘內(nèi)收到訊息的次數(shù)設(shè)各人收到訊息與否相互獨(dú)立。1求在一給定的一分鐘內(nèi)第一個(gè)訊息員未收到訊息的概率。2求在給定的一分鐘內(nèi)5個(gè)訊息員恰有4人未收到訊息的概率。3寫(xiě)出在一給定的一分鐘內(nèi)，所有5個(gè)訊息員收到一樣次數(shù)的訊息的概率。解：在給定的一分鐘內(nèi)，任意一個(gè)訊息員收到訊息的次數(shù)。1；2設(shè)在給定的一分鐘內(nèi)5個(gè)訊息員中沒(méi)有收到訊息的訊息員人數(shù)用Y表示，則Y B(5, 0.1353)，所以。3每個(gè)人收到的訊息次數(shù)一樣的概率為8，一教授當(dāng)下課鈴打響時(shí)，他還不完

17、畢講解。他常完畢他的講解在鈴響后的一分鐘以?xún)?nèi)，以*表示鈴響至完畢講解的時(shí)間。設(shè)*的概率密度為， 1確定；2求；3求；4求。解：1根據(jù)，得到；2；3；4。9，設(shè)隨機(jī)變量*的概率密度為，求t的方程有實(shí)根的概率。解：方程有實(shí)根說(shuō)明，即，從而要求或者。因?yàn)椋?所以方程有實(shí)根的概率為0.001+0.936=0.937.10，設(shè)產(chǎn)品的壽命*以周計(jì)服從瑞利分布，其概率密度為求壽命不到一周的概率；求壽命超過(guò)一年的概率；它的壽命超過(guò)20周，求壽命超過(guò)26周的條件概率。解：1；2；3。11，設(shè)實(shí)驗(yàn)室的溫度*以計(jì)為隨機(jī)變量，其概率密度為*種化學(xué)反響在溫度* 1時(shí)才能發(fā)生，求在實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反響發(fā)生的概率。在10個(gè)

18、不同的實(shí)驗(yàn)室中，各實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反響是否會(huì)發(fā)生時(shí)相互獨(dú)立的，以Y表示10個(gè)實(shí)驗(yàn)室中有這種化學(xué)反響的實(shí)驗(yàn)室的個(gè)數(shù)，求Y的分布律。求，。解：1；2根據(jù)題意，所以其分布律為3 ，。12，1設(shè)隨機(jī)變量Y的概率密度為試確定常數(shù)C，求分布函數(shù)，并求，。2設(shè)隨機(jī)變量*的概率密度為求分布函數(shù)，并求，。解：1根據(jù)，得到。；2；。13，在集合A=1,2,3,.,n中取數(shù)兩次，每次任取一數(shù)，作不放回抽樣，以*表示第一次取到的數(shù)，以Y表示第二次取到的數(shù)，求*和Y的聯(lián)合分布律。并用表格形式寫(xiě)出當(dāng)n=3時(shí)*和Y的聯(lián)合分布律。解：根據(jù)題意，取兩次且不放回抽樣的總可能數(shù)為n(n-1)，因此，且當(dāng)n取3時(shí)， ,，且,表格形式

19、為Y*123101/61/621/601/631/61/6014,設(shè)一加油站有兩套用來(lái)加油的設(shè)備，設(shè)備A是加油站的工作人員操作的，設(shè)備B是有顧客自己操作的。A，B均有兩個(gè)加油管。隨機(jī)取一時(shí)刻，A，B正在使用的軟管根數(shù)分別記為*，Y，它們的聯(lián)合分布律為Y*01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30求，；求至少有一根軟管在使用的概率；求，。解：1由表直接可得=0.2，=0.1+0.08+0.04+0.2=0.422至少有一根軟管在使用的概率為3=0.1+0.2+0.3=0.615,設(shè)隨機(jī)變量*，Y的聯(lián)合概率密度為試確定常數(shù)，并求，。解：根據(jù)，可得，所以。；

20、。16，設(shè)隨機(jī)變量*，Y在由曲線所圍成的區(qū)域均勻分布。求*，Y的概率密度；求邊緣概率密度。解：1根據(jù)題意，*，Y的概率密度必定是一常數(shù)，故由，得到。2；18，設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，它們的聯(lián)合概率密度為，求關(guān)于的邊緣概率密度；求條件概率密度，寫(xiě)出當(dāng)時(shí)的條件概率密度；求條件概率。解：1。2當(dāng)時(shí)，。特別地，當(dāng)時(shí)。3。19，1在第14題中求在的條件下的條件分布律；在的條件下的條件分布律。2在16題中求條件概率密度，。解：1根據(jù)公式，得到在的條件下的條件分布律為0125/121/31/4類(lèi)似地，在的條件下的條件分布律為0124/1710/173/172因?yàn)椤?；。所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。20，設(shè)

21、隨機(jī)變量*，Y在由曲線所圍成的區(qū)域均勻分布。寫(xiě)出*，Y的概率密度；求邊緣概率密度；求條件概率密度，并寫(xiě)出當(dāng)時(shí)的條件概率密度。解：1根據(jù)題意，*，Y的概率密度必定是一常數(shù)，故由，得到。2；。3當(dāng)時(shí)，。特別地，當(dāng)時(shí)的條件概率密度為。21，設(shè)是二維隨機(jī)變量，的概率密度為且當(dāng)時(shí)的條件概率密度為，求聯(lián)合概率密度；求關(guān)于的邊緣概率密度；求在的條件下的條件概率密度。解：1；2；3當(dāng)時(shí)，。22，1設(shè)一離散型隨機(jī)變量的分布律為-1 0 1又設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都與有一樣的分布律。求的聯(lián)合分布律。并求。2問(wèn)在14題中是否相互獨(dú)立？解：1由相互獨(dú)立性，可得的聯(lián)合分布律為，結(jié)果寫(xiě)成表格為Y1 Y2-101-

22、101。214題中，求出邊緣分布律為Y*01200.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.380.160.340.501很顯然，所以不是相互獨(dú)立。23，設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，的概率密度為試寫(xiě)出的聯(lián)合概率密度，并求。解：根據(jù)題意，的概率密度為所以根據(jù)獨(dú)立定，的聯(lián)合概率密度為。24，設(shè)隨機(jī)變量具有分布律-2 -1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求的分布律。解：根據(jù)定義立刻得到分布律為1 2 5 10 1/5 7/30 1/5 11/30 25，設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。解：設(shè)的概率密度分別為，的分布函數(shù)為。則當(dāng)

23、時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以，。26，1設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度。2設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。3設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。解：設(shè)的概率密度分別為，分布函數(shù)分別為。則1當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以，。2此時(shí)。因?yàn)椋?故， ，所以，。3當(dāng)時(shí)，故， 。所以，。27，設(shè)一圓的半徑*是隨機(jī)變量，其概率密度為求圓面積A的概率密度。解：圓面積，設(shè)其概率密度和分布函數(shù)分別為。則， 故 所以，。28，設(shè)隨機(jī)變量*,Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，驗(yàn)證的概率密度為。解：因?yàn)殡S機(jī)變量*,Y相互獨(dú)立，所以它們的聯(lián)合概率密度為。先求分布函數(shù)，當(dāng)時(shí)，故， 。29，設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量Y具有概率密度，設(shè)*,Y相互獨(dú)立，求的概率密度。

24、解：因?yàn)?，所以的概率密度為?0隨機(jī)變量*和Y的概率密度分別為，*,Y相互獨(dú)立。求的概率密度。解： 根據(jù)卷積公式，得，。所以的概率密度為。31，設(shè)隨機(jī)變量*,Y都在(0,1)上服從均勻分布，且*,Y相互獨(dú)立，求的概率密度。解：因?yàn)?,Y都在(0,1)上服從均勻分布，所以，根據(jù)卷積公式，得 。32，設(shè)隨機(jī)變量*,Y相互獨(dú)立，它們的聯(lián)合概率密度為求邊緣概率密度。求的分布函數(shù)。求概率。解：1；。2的分布函數(shù)為因?yàn)?； ，所以，。3。33，1一條繩子長(zhǎng)為，將它隨機(jī)地分為兩段，以表示短的一段的長(zhǎng)度，寫(xiě)出的概率密度。2兩條繩子長(zhǎng)度均為，將它們獨(dú)立地各自分成兩段，以表示四段繩子中最短的一段的長(zhǎng)度，驗(yàn)證的概率

25、密度為。解：1根據(jù)題意，隨機(jī)變量，所以概率密度為。2設(shè)這兩條繩子被分成兩段以后較短的那一段分別記為，則它們都在上服從均勻分布。，其分布函數(shù)為，所以密度函數(shù)為。34，設(shè)隨機(jī)變量*和Y的聯(lián)合分布律為求的分布律。求的分布律。求的分布律。Y*01201/121/61/2411/41/41/4021/81/20031/12000解：1的分布律為如，其余類(lèi)似。結(jié)果寫(xiě)成表格形式為0 1 2 3 1/12 2/3 29/120 1/120 2的分布律為如，其余類(lèi)似。結(jié)果寫(xiě)成表格形式為0 1 27/40 13/40 3的分布律為如，其余類(lèi)似。結(jié)果寫(xiě)成表格形式為0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/1

26、2 第2章習(xí)題解答完畢隨機(jī)變量的數(shù)字特征1，解：根據(jù)題意，有1/5的可能性取到5個(gè)單詞中的任意一個(gè)。它們的字母數(shù)分別為4，5，6，7，7。所以分布律為4 5 6 7 1/5 1/5 1/5 2/5 .2，解：個(gè)單詞字母數(shù)還是，。這時(shí)，字母數(shù)更多的單詞更有可能被取到。分布律為4 5 6 7 4/29 5/29 6/29 14/29 .3，解：根據(jù)古典概率公式，取到的電視機(jī)中包含的次品數(shù)分別為0，1，2臺(tái)的概率分別為， ， 。所以取到的電視機(jī)中包含的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。4，解：根據(jù)題意，有1/6的概率得分超過(guò)6，而且得分為7的概率為兩個(gè)1/6的乘積第一次6點(diǎn)，第2次1點(diǎn)，其余類(lèi)似；有5/6的概率得

27、分小于6。分布律為1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 得分的數(shù)學(xué)期望為 。5，解：1根據(jù)，可得，因此計(jì)算得到，即。所以=6。2根據(jù)題意，按照數(shù)學(xué)期望的公式可得，因此期望存在。利用了不符書(shū)上答案6，解：1一天的平均耗水量為百萬(wàn)升。2這種動(dòng)物的平均壽命為年。7，解：=1/4。8，解：。9，解：。對(duì)第一個(gè)積分進(jìn)展變量代換10， 解： 。不符書(shū)上答案11，解：R的概率密度函數(shù)為，所以。12，解：不符書(shū)上答案13，解：因?yàn)榈姆植己瘮?shù)為，所以可以求出的分布函數(shù)為， 。的密度函數(shù)為，。所以的數(shù)學(xué)期望為，。14，解：求出邊緣分布律如下Y*01203/289/283/2815/2813/143/1

28、4012/2821/28001/2810/2815/283/281， ，。15，解：，。16，解：，。17，解：根據(jù)題意，可得利潤(rùn)的分布律為2000 1000 0 -1000 -2000 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1因此，元。18解，。此題積分利用了，這個(gè)結(jié)果可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)中得到19，解：，所以，。此題利用了冪級(jí)數(shù)求和中先積分再求導(dǎo)的方法。設(shè)，則，所以。類(lèi)似的，設(shè)，則經(jīng)過(guò)兩次積分以后可得到，在經(jīng)過(guò)兩次求導(dǎo)得到。20，解：1當(dāng)時(shí)，。2當(dāng)時(shí)，即不存在。3，當(dāng)時(shí)，所以，。4當(dāng)時(shí)，所以不存在。21，解：1根據(jù)14題中結(jié)果，得到；因?yàn)椋?，所以，。2根據(jù)16題結(jié)果可得：；因?yàn)?，所

29、以，。3在第2章14題中，由以下結(jié)果Y*01200.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.380.160.340.501得到，所以，；，,.22，解：根據(jù)題意有 。23，解：1因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以。2根據(jù)題意，可得，。24，解：因?yàn)?，所以，即，驗(yàn)證了*,Y不相關(guān)。又因?yàn)?，；，顯然，所以驗(yàn)證了*,Y不是相互獨(dú)立的。25，解：引入隨機(jī)變量定義如下則總的配對(duì)數(shù)，而且因?yàn)?，所以，。故所以，。正態(tài)分布1，1設(shè)，求，；2設(shè)，且，求。解：1，2，所以；，所以，即。2，設(shè)，求，。解：因?yàn)?，所以?，1設(shè)，試確定，使得。2設(shè)，試確定，使得。解：1因?yàn)樗缘玫?/p>

30、,即，。2因?yàn)椋?，即，從而，?，美國(guó)新生兒的體重以g計(jì)。求；在新生兒中獨(dú)立地選25個(gè)，以Y表示25個(gè)新生兒的體重小于2719的個(gè)數(shù)，求。解：根據(jù)題意可得。1或0.8673 2，根據(jù)題意，所以。5，設(shè)洗衣機(jī)的壽命以年計(jì)，一洗衣機(jī)已使用了5年，求其壽命至少為8年的條件概率。解：所要求的概率為6，一電路要求裝兩只設(shè)計(jì)值為12歐的電阻器，而實(shí)際上裝的電阻器的電阻值以歐計(jì)服從均值為11.9歐，標(biāo)準(zhǔn)差為0.2歐的正態(tài)分布。求1兩只電阻器的電阻值都在11.7歐和12.3歐之間的概率；2至少有一只電阻器大于12.4歐的概率設(shè)兩電阻器的電阻值相互獨(dú)立解：設(shè)兩個(gè)電阻器的電阻值分別記為隨機(jī)變量則，1；2至少有

31、一只電阻器大于12.4歐的概率為。7，一工廠生產(chǎn)的*種元件的壽命以小時(shí)計(jì)服從均值，均方差為的正態(tài)分布，假設(shè)要求，允許最大為多少？解：根據(jù)題意，。所以有，即，從而。故允許最大不超過(guò)31.25。8，將一溫度調(diào)節(jié)器放置在儲(chǔ)存著*種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在，液體的溫度以計(jì)是一個(gè)隨機(jī)變量，且，假設(shè)，求小于89的概率；假設(shè)要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問(wèn)至少為多少？解：因?yàn)椋浴?；2假設(shè)要求，則就有，即或者，從而，最后得到，即至少應(yīng)為81.163。9，設(shè)相互獨(dú)立，且服從數(shù)學(xué)期望為150，方差為9的正態(tài)分布，服從數(shù)學(xué)期望為100，方差為16的正態(tài)分布。求，的分布；求，。解：根據(jù)題意

32、。根據(jù)正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布本書(shū)101頁(yè)定理2的性質(zhì)，立刻得到， ， 因?yàn)?，所以，。因此，10，1*工廠生產(chǎn)螺栓和墊圈。螺栓直徑以mm計(jì)，墊圈直徑以mm計(jì)，相互獨(dú)立。隨機(jī)地取一只螺栓，一只墊圈，求螺栓能裝入墊圈的概率。2在1中假設(shè)，問(wèn)控制至多為多少才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于0.90。解：1根據(jù)題意可得。螺栓能裝入墊圈的概率為。2，所以假設(shè)要控制，即要求，計(jì)算可得。說(shuō)明至多為0.3348才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于0.90。11,設(shè)*地區(qū)女子的身高以m計(jì)，男子身高以m計(jì)。設(shè)各人身高相互獨(dú)立。1在這一地區(qū)隨機(jī)選一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；2在這一地區(qū)隨機(jī)選5名女子

33、，求至少有4名的身高大于1.60的概率；3在這一地區(qū)隨機(jī)選50名女子，求這50名女子的平均身高達(dá)于1.60的概率。解：1因?yàn)?，所以?隨機(jī)選擇的女子身高達(dá)于1.60的概率為，隨機(jī)選擇的5名女子，身高大于1.60的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，所以至少有4名的身高大于1.60的概率為3設(shè)這50名女子的身高分別記為隨機(jī)變量，。則，所以這50名女子的平均身高達(dá)于1.60的概率為12，1設(shè)隨機(jī)變量，求和；2相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求。解：1由，得到；，得到；聯(lián)立和，計(jì)算得到。2由相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得到。故所以13，一食品廠用紙質(zhì)容器灌裝飲料，容器的重量為30g，灌裝時(shí)將容器放在臺(tái)秤上，將飲料注入

34、直到秤上刻度指到時(shí)完畢。以記容器中飲料的重量。設(shè)臺(tái)秤的誤差為，以g計(jì)。此處約定臺(tái)秤顯示值大于真值時(shí)誤差為正1寫(xiě)出的關(guān)系式；2求的分布；3確定使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.95。解：1根據(jù)題意有關(guān)系式或者；2因?yàn)?，所以?要使得，即要，所以要求，即，。所以，要使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.95，至少為492.4g。14,在上題中假設(shè)容器的重量也是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)相互獨(dú)立。1求的分布；2確定使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.90。解：1此時(shí)，根據(jù)，可得。2，可得 ，即 。15，*種電子元件的壽命以年計(jì)服從數(shù)學(xué)期望為2的指數(shù)分布，各元件的壽命相互獨(dú)立。隨機(jī)

35、取100只元件，求這100只元件的壽命之和大于180的概率。解：設(shè)這100只元件的壽命分別記為隨機(jī)變量，。則，。根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理可得16，以記100袋額定重量為25kg的袋裝肥料的真實(shí)的凈重，服從同一分布，且相互獨(dú)立。，求的近似值。解：根據(jù)題意可得。由獨(dú)立同分布的中心極限定理可得17，有400個(gè)數(shù)據(jù)相加，在相加之前，每個(gè)數(shù)據(jù)被舍入到最接近它的數(shù)，其末位為10-7。設(shè)舍入誤差相互獨(dú)立，且在區(qū)間服從均勻分布。求誤差總和的絕對(duì)值小于的概率。例如45.345678419舍入到45.3456784解：以記這400個(gè)數(shù)據(jù)的舍入誤差，。則。利用獨(dú)立同分布的中心極限定理可得18，據(jù)調(diào)查*一地區(qū)的居

36、民有20%喜歡白顏色的機(jī)，1假設(shè)在該地區(qū)安裝1000部機(jī)，記需要安裝白色機(jī)的部數(shù)為，求，；2問(wèn)至少需要安裝多少部，才能使其中含有白色機(jī)的部數(shù)不少于50部的概率大于0.95。解：1根據(jù)題意，且。由De Moivre-Laplace定理，計(jì)算得；。2設(shè)要安裝部。則要使得就要求，即，從而，解出或者舍去。所以最少要安裝305部。19，一射手射擊一次的得分是一個(gè)隨機(jī)變量，具有分布律8 9 100.01 0.29 0.70求獨(dú)立射擊10次總得分小于等于96的概率。求在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)大于等于6的概率。解：根據(jù)題意，。1以分別記10次射擊的得分，則2設(shè)在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)為

37、隨機(jī)變量，則。由De Moivre-Laplace定理，計(jì)算得。第4章習(xí)題解答完畢第5章 樣本及抽樣分布1,設(shè)總體*服從均值為1/2的指數(shù)分布，是來(lái)自總體的容量為4的樣本，求1的聯(lián)合概率密度；2；3；4，；5。解：因?yàn)?的概率密度為，所以聯(lián)合概率密度為，2的聯(lián)合概率密度為，所以3；4，由獨(dú)立性；5。2，設(shè)總體，是來(lái)自的容量為3的樣本，求1，2，3，4，5。解：1；2此題與答案不符3；4；5因?yàn)?，所以?，設(shè)總體，是來(lái)自的容量為3的樣本，求1；2。解：1因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以；2。4，1設(shè)總體，是來(lái)自的容量為36的樣本，求；2設(shè)總體，是來(lái)自的容量為5的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于1的概

38、率。解：1根據(jù)題意得，所以；因?yàn)椋浴?，求總體的容量分別為10和15的兩獨(dú)立樣本均值差的絕對(duì)值大于0.3的概率。解：設(shè)容量分別為10和15的兩獨(dú)立樣本的樣本均值分別記為和，則，所以，。6，下面給出了50個(gè)學(xué)生概率論課程的一次考試成績(jī)，試求樣本均值和樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，并作出頻率直方圖將區(qū)間35.5，105.5分為7等份。解：易得，處理數(shù)據(jù)得到以下表格組 限頻數(shù)頻率35.545.520.0445.555.530.0655.565.560.1265.575.5140.2875.585.5110.2285.595.5120.2495.5105.520.04根據(jù)以上數(shù)據(jù)，畫(huà)出直方圖略7，設(shè)總體，

39、是來(lái)自的容量為4的樣本，是樣本方差。1問(wèn)，分別服從什么分布，并求。2求，解：1因?yàn)椋?，而根?jù)定理2 ，因?yàn)?，所以?=0.85第二步查表8，求證。證明：因?yàn)?，所以存在隨機(jī)變量使得 ， 也即 ，而根據(jù)定義所以，證畢。第5章習(xí)題解答完畢參數(shù)估計(jì)1，設(shè)總體未知，是來(lái)自的樣本。求的矩估計(jì)量。今測(cè)得一個(gè)樣本值0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求的矩估計(jì)值。解：因?yàn)榭傮w，所以總體矩。根據(jù)容量為9的樣本得到的樣本矩。令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：，得到的矩估計(jì)量為。把樣本值代入得到的矩估計(jì)值為。2，設(shè)總體具有概率密度，參數(shù)未知，是來(lái)自的樣本，求的矩估計(jì)量。解：總體的數(shù)學(xué)

40、期望為，令可得的矩估計(jì)量為。3，設(shè)總體參數(shù)未知，是來(lái)自的樣本，求的矩估計(jì)量對(duì)于具體樣本值，假設(shè)求得的不是整數(shù)，則取與最接近的整數(shù)作為的估計(jì)值。解：總體的數(shù)學(xué)期望為 ， 二階原點(diǎn)矩為。令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：，得到，。4，1設(shè)總體未知，是來(lái)自的樣本，是相應(yīng)的樣本值。求的矩估計(jì)量，求的最大似然估計(jì)值。2元素碳-14在半分鐘內(nèi)放射出到達(dá)計(jì)數(shù)器的粒子數(shù)，下面是的一個(gè)樣本：6 4 9 6 10 11 6 3 7 10求的最大似然估計(jì)值。解：1因?yàn)榭傮w的數(shù)學(xué)期望為，所以矩估計(jì)量為。似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。2根據(jù)1中結(jié)論，的最大似然估計(jì)值

41、為。5，1設(shè)服從參數(shù)為的幾何分布，其分布律為。參數(shù)未知。設(shè)是一個(gè)樣本值，求的最大似然估計(jì)值。2一個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)，投籃的命中率為，以表示他投籃直至投中為止所需的次數(shù)。他共投籃5次得到的觀察值為5 1 7 4 9求的最大似然估計(jì)值。解：1似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。2根據(jù)1中結(jié)論，的最大似然估計(jì)值為。6，1設(shè)總體，參數(shù)， 未知，是來(lái)自一個(gè)樣本值。求的最大似然估計(jì)值。2設(shè)總體，參數(shù)，0未知，為一相應(yīng)的樣本值。求的最大似然估計(jì)值。解：1似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。2似然函數(shù)為 ，相

42、應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。7，設(shè)是總體的一個(gè)樣本，為一相應(yīng)的樣本值?？傮w的概率密度函數(shù)為，求參數(shù)的最大似然估計(jì)量和估計(jì)值?？傮w的概率密度函數(shù)為，求參數(shù)的最大似然估計(jì)值。設(shè)，未知，求的最大似然估計(jì)值。解：1似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。相應(yīng)的最大似然估計(jì)量為。2似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。3因?yàn)槠浞植悸蔀樗裕迫缓瘮?shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。8，設(shè)總體具有分布律1

43、 2 3其中參數(shù)未知。取得樣本值，試求的最大似然估計(jì)值。解：根據(jù)題意，可寫(xiě)出似然函數(shù)為，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。9，設(shè)總體，未知，和分別是總體和的樣本，設(shè)兩樣本獨(dú)立。試求最大似然估計(jì)量。解：根據(jù)題意，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)于總體和的似然函數(shù)分別為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為，令對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別對(duì)和的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到，算出最大似然估計(jì)量分別為，。10，1驗(yàn)證均勻分布中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量是無(wú)偏估計(jì)量。2設(shè)*種小型計(jì)算機(jī)一星期中的故障次數(shù)，設(shè)是來(lái)自總體的樣本。驗(yàn)證是的無(wú)偏估計(jì)量。設(shè)一星期中故障維修費(fèi)用為，求。3驗(yàn)證是的無(wú)偏估計(jì)量。解：1均勻分布中的未知參數(shù)的矩

44、估計(jì)量為。由于，所以是的無(wú)偏估計(jì)量。2因?yàn)椋允堑臒o(wú)偏估計(jì)量。3因?yàn)椋?，是的無(wú)偏估計(jì)量。11，是來(lái)自均值為的指數(shù)分布總體的樣本，其中未知。設(shè)有估計(jì)量，。 指出中哪幾個(gè)是的無(wú)偏估計(jì)量。在上述的無(wú)偏估計(jì)量中哪一個(gè)較為有效？解：1因?yàn)椋?。所以，是的無(wú)偏估計(jì)量。2根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的獨(dú)立同分布性質(zhì)，可以計(jì)算出，所以，是比更有效的無(wú)偏估計(jì)量。12，以*表示*一工廠制造的*種器件的壽命以小時(shí)計(jì)，設(shè)，今取得一容量為的樣本，測(cè)得其樣本均值為，求1的置信水平為0.95的置信區(qū)間，2的置信水平為0.90的置信區(qū)間。解：這是一個(gè)方差的正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)論，的置信水平為的置信區(qū)間為。1的置信

45、水平為0.95的置信區(qū)間為。2的置信水平為0.90的置信區(qū)間為。13，以*表示*種小包裝糖果的重量以g計(jì)，設(shè)，今取得樣本容量為：55.95, 56.54, 57.58, 55.13, 57.48, 56.06, 59.93, 58.30, 52.57, 58.46求的最大似然估計(jì)值。求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：1根據(jù)結(jié)論，正態(tài)分布均值的最大似然估計(jì)量和矩估計(jì)量一樣：。所以的最大似然估計(jì)值為。2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。14，一農(nóng)場(chǎng)種植生產(chǎn)果凍的葡萄，以下數(shù)據(jù)是從30車(chē)葡萄中采樣測(cè)得的糖含量以*種單位計(jì)16.0, 15.2, 12.0, 16.9, 14.4, 16.3, 15

46、.6, 12.9, 15.3, 15.115.8, 15.5, 12.5, 14.5, 14.9, 15.1, 16.0, 12.5, 14.3, 15.415.4, 13.0, 12.6, 14.9, 15.1, 15.3, 12.4, 17.2, 14.7, 14.8設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體，均未知。求的無(wú)偏估計(jì)值。求的置信水平為90%的置信區(qū)間。解：1的無(wú)偏估計(jì)值為， 。2的置信水平為90%的置信區(qū)間為15，一油漆商希望知道*種新的內(nèi)墻油漆的枯燥時(shí)間。在面積一樣的12塊內(nèi)墻上做試驗(yàn)，記錄枯燥時(shí)間以分計(jì)，得樣本均值分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分。設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體，均未知。求枯燥時(shí)間的數(shù)學(xué)期望的置信水平為0.

47、95的置信區(qū)間。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。根據(jù)結(jié)論，枯燥時(shí)間的數(shù)學(xué)期望的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。16，Macatawa湖位于密歇根湖的東側(cè)分為東、西兩個(gè)區(qū)域。下面的數(shù)據(jù)是取自西區(qū)的水的樣本，測(cè)得其中的鈉含量以ppm計(jì)如下：13.0, 18.5, 16.4, 14.8, 19.4, 17.3, 23.2, 24.9, 20.8, 19.3, 18.8, 23.1, 15.2, 19.9, 19.1, 18.1, 25.1, 16.8, 20.4, 17.4, 25.2, 23.1, 15.3, 19.4, 16.0, 21.7, 15.2, 21.3, 21.5,

48、 16.8, 15.6, 17.6設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體，均未知。求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)，計(jì)算可得樣本均值，樣本方差。的置信水平為0.95的置信區(qū)間為17，設(shè)*是春天捕到的*種魚(yú)的長(zhǎng)度以cm計(jì)，設(shè)，均未知。下面是*的一個(gè)容量為13的樣本：13.1, 5.1, 18.0, 8.7, 16.5, 9.8, 6.8, 12.0, 17.8, 25.4, 19.2, 15.8, 23.0求的無(wú)偏估計(jì)；求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算可得。方差的無(wú)偏估計(jì)即為樣本方差。的置信水平為0.95的置信區(qū)間為，所以的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。18，為比擬兩個(gè)學(xué)校

49、同一年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)課程的成績(jī)，隨機(jī)地抽取學(xué)校A的9個(gè)學(xué)生，得分?jǐn)?shù)的平均值為，方差為；隨機(jī)地抽取學(xué)校B的15個(gè)學(xué)生，得分?jǐn)?shù)的平均值為，方差為。設(shè)樣本均來(lái)自正態(tài)總體且方差相等，參數(shù)均未知，兩樣本獨(dú)立。求均值差的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論，均值差的置信水平為0.95的置信區(qū)間為19，設(shè)以*,Y分別表示有過(guò)濾嘴和無(wú)過(guò)濾嘴的香煙含煤焦油的量以mg計(jì)，設(shè)，均未知。下面是兩個(gè)樣本*: 0.9, 1.1, 0.1, 0.7, 0.3, 0.9, 0.8, 1.0, 0.4Y: 1.5, 0.9, 1.6, 0.5, 1.4, 1.9, 1.0, 1.2, 1.3

50、, 1.6, 2.1兩樣本獨(dú)立。求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算可得，。未完根據(jù)兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論，的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。20，設(shè)以*,Y分別表示安康人與疑心有病的人的血液中鉻的含量以10億份中的份數(shù)計(jì)，設(shè)，均未知。下面是分別來(lái)自*和Y的兩個(gè)獨(dú)立樣本：*: 15, 23, 12, 18, 9, 28, 11, 10Y: 25, 20, 35, 15, 40, 16, 10, 22, 18, 32求的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限，以及的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算得到，。的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限為。的置

51、信水平為0.95的單側(cè)置信上限為，所以，的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限為。21，在第17題中求魚(yú)長(zhǎng)度的均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限。解：根據(jù)單側(cè)區(qū)間估計(jì)的結(jié)論，正態(tài)總體均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限為。22，在第18題中求的置信水平為0.90的單側(cè)置信上限。解：兩個(gè)正態(tài)總體的均值差的置信水平為0.90的單側(cè)置信上限為。第6章習(xí)題解答完畢假設(shè)檢驗(yàn)1，一車(chē)床工人需要加工各種規(guī)格的工件，加工一工件所需的時(shí)間服從正態(tài)分布，均值為18分，標(biāo)準(zhǔn)差為4.62分?，F(xiàn)希望測(cè)定，是否由于對(duì)工作的厭煩影響了他的工作效率。今測(cè)得以下數(shù)據(jù)：21.01, 19.32, 18.76, 22.42, 2

52、0.49, 25.89, 20.11, 18.97, 20.90試依據(jù)這些數(shù)據(jù)取顯著性水平，檢驗(yàn)假設(shè)：。解：這是一個(gè)方差的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于右邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題具體數(shù)據(jù)，得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)椋詷颖局德淙刖芙^域中，故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為該工人加工一工件所需時(shí)間顯著地大于18分鐘。2，美國(guó)公共安康雜志1994年3月描述涉及20143個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)大規(guī)模研究。文章說(shuō)從脂肪中攝取熱量的平均百分比是38.4%*圍是6%到71.6%，在*一大學(xué)醫(yī)院進(jìn)展一項(xiàng)研究以判定在該醫(yī)院中病人的平均攝取量是否不同于38.4%，抽取了15個(gè)病人測(cè)得平均攝取量為40.5%，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為7.5%。

53、設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體，均未知。試取顯著性水平檢驗(yàn)假設(shè)：。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題具體數(shù)據(jù)，得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域中，故承受原假設(shè)，即認(rèn)為平均攝取量顯著地為38.4%。3，自*種銅溶液測(cè)得9個(gè)銅含量的百分比的觀察值為8.3，標(biāo)準(zhǔn)差為0.025。設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體，均未知。試依據(jù)這一樣本取顯著性水平檢驗(yàn)假設(shè)：。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于左邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題具體數(shù)據(jù)，得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)榛蛘哒f(shuō)，所以樣本值落入拒絕域中，故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為銅含量顯著地小于8.42%。4，測(cè)得

54、*地區(qū)16個(gè)成年男子的體重以公斤計(jì)為77.18, 80.81, 65.83, 66.28, 71.28, 79.45, 78.54, 62.2069.01, 77.63, 74.00, 77.18, 61.29, 72.19, 90.35, 59.47設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體，均未知，試取檢驗(yàn)假設(shè)：。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題具體數(shù)據(jù)，得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域中，故承受原假設(shè)，即認(rèn)為該地區(qū)成年男子的平均體重為72.64公斤。5，一工廠的經(jīng)理主*一新來(lái)的雇員在參加*項(xiàng)工作之前至少需要培訓(xùn)200小時(shí)才能成為獨(dú)立工作者，為

55、了檢驗(yàn)這一主*的合理性，隨機(jī)選取10個(gè)雇員詢(xún)問(wèn)他們獨(dú)立工作之前所經(jīng)歷的培訓(xùn)時(shí)間小時(shí)記錄如下208， 180，232，168，212，208，254，229，230，181設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體，均未知。試取檢驗(yàn)假設(shè)：。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于右邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題具體數(shù)據(jù)，得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)椋詷颖局禌](méi)有落入拒絕域中，故承受原假設(shè)，即認(rèn)為培訓(xùn)時(shí)間不超過(guò)200小時(shí)。6，一制造商聲稱(chēng)他的工廠生產(chǎn)的*種牌號(hào)的電池的壽命的方差為5000小時(shí)2，為了檢驗(yàn)這一主*，隨機(jī)地取26只電池測(cè)得樣本方差為7200小時(shí)2，有理由認(rèn)為樣本來(lái)自正態(tài)總體?，F(xiàn)需取檢驗(yàn)假設(shè)。解：這是

56、一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。 因?yàn)?，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此承受原假設(shè)，即認(rèn)為電池壽命的方差為5000小時(shí)2。7，*種標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型電池的容量以安-時(shí)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差，隨機(jī)地取10只新類(lèi)型的電池測(cè)得它們的容量如下146，141，135，142，140，143，138，137，142，136設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體，均未知，問(wèn)標(biāo)準(zhǔn)差是否有變動(dòng)，即需檢驗(yàn)假設(shè)?。骸＝猓哼@是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。 因?yàn)?，所以樣本值落入拒絕域，因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為電池容量的標(biāo)準(zhǔn)差發(fā)

57、生了顯著的變化，不再為1.66。8，設(shè)*是一頭母牛生了小牛之后的305天產(chǎn)奶期內(nèi)產(chǎn)出的白脫油磅數(shù)。又設(shè)*，均未知。今測(cè)得以下數(shù)據(jù)： 425，710，661，664，732，714，934，761，744， 653，725，657，421，573，535，602，537，405，874，791，721，849，567，468，975試取顯著性水平檢驗(yàn)假設(shè)。解：題中所要求檢驗(yàn)的假設(shè)實(shí)際上等價(jià)于要求檢驗(yàn)假設(shè)這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。 因?yàn)?，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此承受原假設(shè)，即認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差不大于140。9，由*種鐵的比熱

58、的9個(gè)觀察值得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差。設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體，均未知。試檢驗(yàn)假設(shè)。解：題中所要求檢驗(yàn)的假設(shè)實(shí)際上等價(jià)于要求檢驗(yàn)假設(shè)這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于左邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。 因?yàn)?，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此承受原假設(shè)，即認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差不小于0.0100。10，以*表示耶路撒冷新生兒的體重以克計(jì)，設(shè)*，均未知。現(xiàn)測(cè)得一容量為30的樣本，得樣本均值為3189，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為488。試檢驗(yàn)假設(shè)：1。2。解：1這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于左邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題具體數(shù)據(jù)，得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值落入拒絕域中，故拒絕原假

59、設(shè)，即認(rèn)為。2題中所要求檢驗(yàn)的假設(shè)實(shí)際上等價(jià)于要求檢驗(yàn)假設(shè)這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。 因?yàn)?，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此承受原假設(shè)，即認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差不大于525。11，兩個(gè)班級(jí)A和B，參加數(shù)學(xué)課的同一期終考試。分別在兩個(gè)班級(jí)中隨機(jī)地取9個(gè)，4個(gè)學(xué)生，他們的得分如下：A班65 68 72 75 82 85 87 91 95B班50 59 71 80設(shè)A班、B班考試成績(jī)的總體分別為，均未知，兩樣本獨(dú)立。試取檢驗(yàn)假設(shè)。解：這是兩個(gè)正態(tài)總體方差相等但未知均值之差的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)

60、的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值落入了拒絕域，因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為A班的考試成績(jī)顯著地大于B班的成績(jī)。12，溪流混濁是由于水中有懸浮固體，對(duì)一溪流的水觀察了26天，一半是在晴天，一半是在下過(guò)中到大雨之后，分別以*,Y表示晴天和雨*的混濁度以NTU單位計(jì)的總體，設(shè)，均未知。今取到*和Y的樣本分別為*: 2.9, 14.9, 1.0, 12.6, 9.4, 7.6, 3.6, 3.1, 2.7, 4.8, 3.4, 7.1, 7.2Y: 7.8, 4.2, 2.4, 12.9, 17.3, 10.4, 5.9, 4.9, 5.1, 8.4, 10.8, 23.4, 9.7設(shè)兩樣本獨(dú)立。試取檢驗(yàn)假設(shè)。