《曲洋開題報告》word版

1、 濱 州 學(xué) 院畢業(yè)設(shè)計（論文）開題報告題 目 判定數(shù)項級數(shù)斂散性方法的探討 系 （院）數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系年級 2009 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級 1班 學(xué)生姓名 曲洋 學(xué)號 2009010477 指導(dǎo)教師 竇慧 職稱 濱州學(xué)院教務(wù)處二一三年三月 課題的目的意義：數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)專業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課程，對學(xué)習(xí)好其他科目具有重要作用.數(shù)項級數(shù)是數(shù)學(xué)分析的一個重要組成部分，是全部級數(shù)理論的基礎(chǔ)，是研究“無窮項相加”的理論，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計算的一種工具.數(shù)項級數(shù)主要包括正項級數(shù)和交錯級數(shù)，而研究數(shù)項級數(shù)的首要問題就是判別級數(shù)的斂散性問題.級數(shù)的收斂問題是級數(shù)理論的基本問題

2、，是當(dāng)今數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容，判別數(shù)項級數(shù)的收斂或發(fā)散，是級數(shù)的重點.在18世紀(jì)，甚至到今天，級數(shù)一直被認(rèn)為是微積分的一個不可缺少的部分.如今，級數(shù)已經(jīng)滲透到科學(xué)技術(shù)的很多領(lǐng)域，成為數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用中不可缺少的有力工具.除了用于微積分之外，級數(shù)的主要應(yīng)用之一在于計算一些特殊的量，如e，以及對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)值.級數(shù)也是進(jìn)一步研究函數(shù)的有力工具：一方面能借助級數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù)，微分方程的解就常用級數(shù)表示；另一方面又可將函數(shù)表為級數(shù)，從而借助級數(shù)去研究函數(shù)，例如初等函數(shù)的展開，以及借助級數(shù)進(jìn)行近似計算等.隨著研究領(lǐng)域的逐漸擴展，數(shù)學(xué)家們運用級數(shù)所取得的成功變得越來越多.本文將寫出判別級數(shù)斂散

3、性的若干種方法，及其若干應(yīng)用.二、文獻(xiàn)綜述：歷史上，人們曾把無窮個實數(shù)相加看成無窮個數(shù)的和.恰如有限個數(shù)的和一樣，這在直觀上容易被人接受.在莊子天下篇中提到“一尺之捶，日取半截，萬世不竭”，把每天截下的那一部分的長度加起來：，從直觀上看，它的和是1，但是下面“無限個實數(shù)相加”的和是多少？如果寫成其結(jié)果是0.如果寫成其結(jié)果是1.兩個結(jié)果完全不同.因此提出這樣的問題：“無限個數(shù)相加”是否存在“和”？如果存在,“和”是多少？十七八世紀(jì)的一些著名的數(shù)學(xué)家曾對此感到迷惑，并有許多爭論，并給出了這個級數(shù)“和”的不同結(jié)果.例如萊布尼茲認(rèn)為這個“和”是0到1之間的一個數(shù).他論證說，這個級數(shù)前項和形成一個數(shù)列，

4、其中0和1出現(xiàn)的機會相同，因此取它的平均數(shù)為這個級數(shù)的和.這一說法得到了著名數(shù)學(xué)家伯努利(Bernouli)兄弟的首肯.有人做過如下論證：既然是一個數(shù)，記為，由于，即為，得.大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)也主張用等比公式：，把代入得到，他用同樣的討論得到其他的一些結(jié)果.例如把代入得，而這些結(jié)果現(xiàn)在看起來都是荒謬的.后來人們認(rèn)識到“無窮多個數(shù)相加”，這是一個根本無法操作的過程，人們不知道怎樣把無窮多個數(shù)相加.經(jīng)過很長一段時間，數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)給出了無窮級數(shù)的嚴(yán)格定義，之后級數(shù)理論得到了充分地發(fā)展.無窮級數(shù)是表示函數(shù)、研究函數(shù)和數(shù)值計算的重要工具，我國古代數(shù)學(xué)家劉徵創(chuàng)立的“割圓術(shù)”對圓面積的

5、近似計算已具有了初步的無窮級數(shù)的概念，無窮級數(shù)在自然科學(xué)與工程技術(shù)中具有廣泛的應(yīng)用.級數(shù)是否存在和，即為判斷級數(shù)是否收斂的問題.級數(shù)的收斂性是級數(shù)首要的重要性質(zhì).因此對于一個給定的級數(shù)，首先應(yīng)判斷它是否收斂.若數(shù)項級數(shù)各項符號都相同稱為同號級數(shù).對于同號級數(shù)，只須研究各項是正數(shù)組成的級數(shù)-正項級數(shù).定義在區(qū)間的函數(shù)項級數(shù)，當(dāng)在內(nèi)任意取定一點時, 便得到一個數(shù)項級數(shù).自然, 對函數(shù)項級數(shù)的研究極大地依賴于對數(shù)項級數(shù)的研究，而正項級數(shù)是數(shù)項級數(shù)中最基礎(chǔ)的級數(shù)，研究數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)如絕對收斂、條件收斂，需要用到正項級數(shù)斂散性判別法，在函數(shù)項級數(shù)如冪級數(shù)收斂半徑求解，函數(shù)項級數(shù)一致收斂Weierstra

6、ss判別法(M判別法或優(yōu)級數(shù)判別法)中也用到了正項級數(shù)斂散性.近年來新的有效的判別法不斷被提出，比如高斯判別法、對數(shù)判別法、比值判別法的推廣等，這些新的判別法克服了經(jīng)典判別法的一些缺點，判別范圍更廣、更有效.本文介紹了正項級數(shù)斂散性判斷的多種方法.文章分為四部分內(nèi)容：比較判別法及其推廣，積分判別法，導(dǎo)數(shù)判別法及兩種一般項級數(shù)的判斷方法.比較判別法是正項級數(shù)斂散性重要的判斷方法，分別以等比級數(shù)、級數(shù)及為比較對象，得到了達(dá)朗貝爾判別法、柯西判別法、拉貝判別法、高斯判別法等，上述三級數(shù)通項級數(shù)通項收斂于零的速度依次變慢，因此所得判斷方法范圍更廣泛.參考文獻(xiàn)：1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)

7、M.北京：高等教育出版社，2006:6-16.2 李鐵烽.正項級數(shù)判斂的一種新的比值判別法J.北京：數(shù)學(xué)通報,1990, (1) :46 - 47.3 龍艷.關(guān)于正項級數(shù)收斂性判斷的一個推廣J.長春師范學(xué)院學(xué)報, 2009,28(6):1-3.4 馮江浪.關(guān)于一些特殊正項級數(shù)斂散性的判別法J.中國科技信息,2009,(1):25.5 唐翠娥 級數(shù)斂散性的拉阿貝判別法的推廣J,大學(xué)數(shù)學(xué)，2005,21(2):132-134.6 宋文青，滕厚山.基于級數(shù)判斂的正項級數(shù)斂散性判別方法J.高等數(shù)學(xué)研究,2005,8 (3):18-19.7馬愛華.正項級數(shù)斂散性Raabe判別法的幾種等價形式J,臨沂師范

8、學(xué)院學(xué)報2006,24(3)83-84.8 曾亮，兩類正項級數(shù)斂散性判別法的改進(jìn)及推廣J.河北北方學(xué)報,2010,26(5):14-17.9姬小龍,王銳利.正項級數(shù)的Gauss指標(biāo)判別法J,數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識.2008,38(11):207-20910 潘紅,儲亞偉.正項級數(shù)收斂性的集中新方法J.科技信息,2008,(6):4-7.11 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M.北京：高等教育出版社，2006:448-452.12 劉玉璞.導(dǎo)數(shù)在正項級數(shù)斂散性判定中的應(yīng)用J. 高等數(shù)學(xué)研究，1994,(2)：13-14.13 譚寶軍.關(guān)于正項級數(shù)收斂的一個命題J.遼寧師專報,2007,9(1): 2

9、8-29.14 菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程M.北京：高等教育出版社，2006,1.15 B.A卓里奇編著，蔣鋒等譯. 數(shù)學(xué)分析 M .北京：高等教育出版社，2006，12.三、課題研究的內(nèi)容、方法和預(yù)期目標(biāo)： 課題研究的內(nèi)容：首先探討數(shù)項級數(shù)斂散性的含義及其幾種常用判別法，特別是它們的應(yīng)用；然后探討正項級數(shù)斂散性判別法對數(shù)項級數(shù)散性判別的作用，特別是比較判別法和柯西判別法在判斷級數(shù)斂散性中的重要作用；最后研究數(shù)項級數(shù)斂散性判別法在整個數(shù)學(xué)分析的作用，以及在實際生活中的作用. 課題研究的方法：本文主要通過對級數(shù)的各種斂散性判別法關(guān)于它們的證明過程及應(yīng)用其解決相關(guān)的例題的探討.以及簡單介紹它們之間

10、的關(guān)系,如強弱性的比較,可以清楚的知道不同形式的適合用哪種方法來證明其斂散性更為簡單.即通過明確有關(guān)概念，收集相關(guān)資料，找出求解問題的方法，得出正項級數(shù)斂散性判別法在判別級數(shù)斂散性中的作用.課題研究的預(yù)期目標(biāo)：熟悉數(shù)項級數(shù)斂散性判別方法的使用條件及特點，在做數(shù)項級數(shù)斂散性綜合判別時，不再束手無策，或者帶有盲目性的選擇判別方法，不再拿判別方法進(jìn)行實驗性解題，即只求得結(jié)果，不問方法的簡單與繁瑣，而是可以用一種簡單的足夠恰當(dāng)?shù)姆椒ň涂梢暂p松解題，得出正確答案.四、所需儀器設(shè)備、材料情況：計算機、打印機、打印紙、圖書資料等五、課題分階段的進(jìn)度計劃序號起止日期工作內(nèi)容階段成果1查閱搜集相關(guān)資料確定論文題目2查閱、搜集資料，了解評教問題的主要因素完成開題報告3對搜集的文獻(xiàn)資料進(jìn)行分析、歸納、整理完成論文基本框架4力求理解