三角函數(shù)??誘導(dǎo)公式??教案

1、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教案教學(xué)目標(biāo) 1通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生掌握誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法和記憶方法 2會(huì)運(yùn)用這些公式求解任意角的三角函數(shù)的值，并會(huì)進(jìn)行一般的三角關(guān)系式的化簡(jiǎn)和證明 3培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、解決問(wèn)題、抽象概括問(wèn)題的能力，并注意完善學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)意識(shí) 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的推導(dǎo) 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 師：我們前面學(xué)習(xí)過(guò)誘導(dǎo)公式一，請(qǐng)說(shuō)出誘導(dǎo)公式一及其文字?jǐn)⑹鏊谵D(zhuǎn)化任意角的三角函數(shù)中所起的作用是什么？ 生：（學(xué)生口述的同時(shí)，教師板書(shū)誘導(dǎo)公式一） sin（k360+）=sin，cos（k360+）=cos， tan（k360+）=tan，cot（k360+）=cot （kZ） 文字?jǐn)⑹觯航K邊

2、相同的角的同一個(gè)三角函數(shù)的值相等 它在轉(zhuǎn)化任意角的三角函數(shù)中所起的作用是：把求任意角的三角函數(shù)值的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求0360（或02）之間角的三角函數(shù)值的問(wèn)題 師：（副板書(shū)）試求出sin2016的值 生：由公式一， sin2016=sin（5360216）=sin216 （至此，絕大多數(shù)同學(xué)已無(wú)法再演算下去了） （以舊知識(shí)的復(fù)習(xí)，導(dǎo)出新的問(wèn)題，使學(xué)生新的求知欲得到激發(fā)，渴望得到回答，以達(dá)到以舊帶新，以舊拓新的目的） 看這道具體問(wèn)題如何求解我們知道090之間的角的三角函數(shù)值可以通過(guò)查表求得那么，能否借助一個(gè)工具，在090之間找到一個(gè)角，把求sin216的值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求角的三角函數(shù)值問(wèn)題？（進(jìn)一步誘

3、導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)入憤悱狀態(tài)） 師：（投影圖1）216角的終邊OP在第三象限內(nèi)，將OP反向延長(zhǎng)，與單位圓交于P點(diǎn)，則在090之間找到一個(gè)角=216-180=36由于OPMOPM，所以有MP=MP又因?yàn)閟in216=MP，sin36=MP，而MP與MP的長(zhǎng)度相同、方向相反，所以有sin216=-sin36這樣便把求sin216的值的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為可查表的36角的三角函數(shù)求值問(wèn)題 你能把以上幾何變換的過(guò)程，用三角關(guān)系式表示出來(lái)嗎？（向“公式化”過(guò)渡實(shí)際上我們先經(jīng)過(guò)了一次將三角問(wèn)題幾何化利用正弦線） 生：sin216=sin（180+36）=-sin36 師：180270之間角的余弦函數(shù)問(wèn)題，是否也可以通過(guò)

4、這種變換，轉(zhuǎn)化為求角在090之間的三角函數(shù)問(wèn)題？（遷移作用） （師適當(dāng)提示：觀察余弦線的數(shù)量關(guān)系） 生： 師：180270之間角的正切、余切函數(shù)的求值問(wèn)題，是否也可以通過(guò)這樣的變換轉(zhuǎn)化求值？ （師適當(dāng)提示：方法1，仍通過(guò)三角函數(shù)線觀察出結(jié)果；方法2， 生： 師：可見(jiàn)180270之間角的三角函數(shù)求值問(wèn)題都可以通過(guò)類(lèi)似的變換求出三角函數(shù)的值能否把這種變換求值的方法，總結(jié)成公式形式？ （從具體問(wèn)題的求解，到公式的形成是一種質(zhì)的飛躍） 師：（適當(dāng)提示：先把180270之間的角用（是090之間的角）表示出來(lái)） 生：（板書(shū)） sin（180+）=-sin，cos（180+）=-cos， tan（180+）

5、=tan，cot（180+）=cot 師：這組公式通常稱(chēng)為誘導(dǎo)公式二觀察其結(jié)構(gòu)特征：同名函數(shù)關(guān)系；符號(hào)規(guī)律：右邊符號(hào)與180+角所在象限（第三象限）角的原三角函數(shù)值的符號(hào)相同（為總結(jié)公式的記憶方法打基礎(chǔ)） 師：任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題，可以由公式一化為0360之間角的三角函數(shù)值問(wèn)題；180270之間角的三角函數(shù)值，又可通過(guò)誘導(dǎo)公式二化為090之間角的三角函數(shù)值，從而得出函數(shù)值；那么90180、270360之間的角的三角函數(shù)值問(wèn)題，能否轉(zhuǎn)化為090之間角的三角函數(shù)值來(lái)求出解答？（橫向聯(lián)想，公式二的歸納過(guò)程，會(huì)對(duì)學(xué)生的思維產(chǎn)生正向的影響） 師提示：由對(duì)稱(chēng)性找出角的終邊間的關(guān)系，再證出三角函數(shù)線的數(shù)量

6、關(guān)系，正切、余切函數(shù)的誘導(dǎo)公式可由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式推出） 生：（討論的同時(shí)，完成圖2） 師：（板書(shū)） sin（-）= ， cos（-）= tan（-）= ， cot（-）= 生：（板書(shū)完成） sin（-）=-sin，cos（-）=cos， tan（-）=-tan，cot（-）=-cot （及時(shí)評(píng)價(jià)、反饋） 為誘導(dǎo)公式三觀察其結(jié)構(gòu)特征：同名函數(shù)關(guān)系；符號(hào)規(guī)律是：右邊符號(hào)與-所在的第四象限角的原三角函數(shù)值的符號(hào)相同 師：（板書(shū)） sin（180-）= ， cos（180-）= ， tan（180-）= ， cot（180-）= 生：（完成板書(shū)） sin（180-）=sin，cos（180-

7、）=-cos， tan（180-）=-tan，cot（180-）=-cot （師及時(shí)評(píng)價(jià)、反饋） 師：這組公式通常稱(chēng)為誘導(dǎo)公式四觀察其結(jié)構(gòu)特征：同名函數(shù)關(guān)系；符號(hào)規(guī)律：右邊符號(hào)與180-所在的第二象限角的原三角函數(shù)值的符號(hào)相同 師：由于360-角與-角的終邊相同，它們的同一三角函數(shù)值相等，所以有（板書(shū)） sin（360-）=-sin，cos（360-）=cos， tan（360-）=-tan，cot（360-）=-cot 師：目前，連同公式一，我們一共得到了五組誘導(dǎo)公式，利用它們，可以求出任意角的三角函數(shù)值為使公式更具一般性，不妨大膽猜測(cè)：若公式中的角為任意角，公式是否仍能成立？（推廣到一般性

8、） 生： 師：大膽猜測(cè)，還要小心求證沒(méi)有大膽猜測(cè)，就沒(méi)有事物的發(fā)展和進(jìn)步；（鼓勵(lì)猜想），沒(méi)有經(jīng)過(guò)證明的結(jié)論總是危險(xiǎn)的我們可先以公式二為例，證明究竟誰(shuí)猜的對(duì)（要證明猜測(cè)的結(jié)論，學(xué)生情緒進(jìn)一步高漲） 師：（投影圖3） 生： （師提示：可先由三角函數(shù)線或由三角函數(shù)定義，推出sin（180+）與sin，cos（180+）與cos的數(shù)量關(guān)系，再用同角三角 師：由此可見(jiàn)，為任意角時(shí)，公式二仍然成立類(lèi)似于公式二的推證方法，可以證明公式三也成立而180-可以寫(xiě)成180+（-），360-又與-角終邊相同，容易推出，對(duì)任意角，公式三、四、五也都成立驗(yàn)證過(guò)程由同學(xué)們?cè)谡n下完成 （給學(xué)生留有細(xì)心體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的空間） （到

9、此完成了又一次的升華） 師：本節(jié)課推得的公式較多，如何記憶這些公式呢？（機(jī)械記憶顯然不可行）由推證公式的過(guò)程可知，其結(jié)構(gòu)具有一定的規(guī)律性：等號(hào)兩邊的函數(shù)名稱(chēng)相同；符號(hào)規(guī)律：把看作銳角時(shí)，等號(hào)右邊的符號(hào)與k360+（kZ）（第一象限角）、-（第四象限角）、180+（第三象限角）、180-（第二象限角）、360-（第四象限角）所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)相同（可回顧圖2） 綜上所述，這些公式可以概括如下：k360+（kZ），-，180，360-的三角函數(shù)值，等于的同名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào) 師：（投影圖4，用紅色標(biāo)出x軸）由于把看作銳角時(shí)，k360+，180，-，360

10、-均可看作由x軸出發(fā)加或減得到的，所以這五組誘導(dǎo)公式又可稱(chēng)為“水平誘導(dǎo)”公式按如下方法記憶： 水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限 師：下面給大家半分鐘，體會(huì)上述記憶方法并考慮用弧度制如何表示上述公式？ 生： （師個(gè)別提問(wèn)及時(shí)反饋這樣可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)效率） 師：用誘導(dǎo)公式都可以解決哪些問(wèn)題？（自問(wèn)自答） 作用1：求值一般可按如下步驟進(jìn)行：以上步驟可簡(jiǎn)化為： 負(fù)化正；正化主；主化銳角可查表 （0360之間的角叫做主值或主角） 例1 求下列各三角函數(shù)值 解： 再由誘導(dǎo)公式一“正化主”，注意去掉的是2k即12，而不能去掉 （2）tan2025=tan（5360+225）=tan225=tan（18

11、0+45）=tan45=1 師：新學(xué)公式，不得跳步（3）、（4）小題請(qǐng)同學(xué)完成（各請(qǐng)一位同學(xué)板演，同時(shí)教師巡視） （3）cos（-519）=cos519=cos（360+159）=cos159 =cos（180-21）=-cos21=-0.9336 （及時(shí)反饋） 師：運(yùn)用熟練后，還可以總結(jié)出簡(jiǎn)煉快捷的求值方法（提出更高的目標(biāo)由公式指導(dǎo)實(shí)踐是質(zhì)的又一次升華） 作用2：化簡(jiǎn)或證明可把復(fù)雜問(wèn)題化簡(jiǎn)單，直到解決問(wèn)題 例2 tan（-） 分析：本題既要看代數(shù)結(jié)構(gòu)，三角結(jié)構(gòu)，還要觀察角的結(jié)構(gòu)請(qǐng)同學(xué)觀察： （1）各項(xiàng)均與角有關(guān)，所以先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)為同角的三角函數(shù)； （2）需求sin，cos，tan的值；

12、（3）求和可得到解答 解：（說(shuō)明：以上過(guò)程可由學(xué)生先解，然后老師及時(shí)反饋） 例3 求證： 師：請(qǐng)同學(xué)注意觀察此題的代數(shù)結(jié)構(gòu)、三角結(jié)構(gòu)和角的結(jié)構(gòu)，然后獨(dú)立完成（一名同學(xué)板演，同時(shí)老師巡視） 證： =1 （師及時(shí)反饋） 師：（小結(jié)）誘導(dǎo)公式（二）（五）的推導(dǎo)方法類(lèi)似，應(yīng)抓住角的終邊位置對(duì)稱(chēng)（關(guān)于原點(diǎn)、y軸、x軸對(duì)稱(chēng)）的特點(diǎn)及三角函數(shù)的數(shù)量關(guān)系、同角三角函數(shù)的關(guān)系 記憶公式，要把握五組公式的結(jié)構(gòu)特征： （1）函數(shù)名稱(chēng)關(guān)系：函數(shù)名相同； （2）符號(hào)規(guī)律：公式右邊的符號(hào)為把視為銳角時(shí)，角k360+（kZ），-、180，360-所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)（回顧圖2-7） 記憶：水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限

13、 應(yīng)用：（1）計(jì)算求值步驟可簡(jiǎn)單記為：負(fù)化正，正化主，主化銳角可查表（2）化簡(jiǎn)證明要分析題目的三個(gè)結(jié)構(gòu)代數(shù)結(jié)構(gòu)、三角結(jié)構(gòu)和角的結(jié)構(gòu) 希望同學(xué)們今后在不斷的應(yīng)用實(shí)踐中，總結(jié)出更簡(jiǎn)捷的方法和解題步驟（鼓勵(lì)學(xué)生不斷實(shí)踐和總結(jié)，以達(dá)到更好地使公式內(nèi)化的目的） 課堂練習(xí)：課本P158練習(xí)第3題 課外題：課本P163習(xí)題十三第4（1）（4），第5題 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 一、本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程： 1復(fù)習(xí)舊知識(shí)，引出新課； 2由sin216的求值過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)推證公式的方法和途徑； 3將解題過(guò)程抽象化、概括化，推出公式sin（180+）=-sin（其中為090之間的角） 4類(lèi)比推出公式二，從而推出公式三、四、五； 5推廣到任意角并加以證明； 6找規(guī)律，談?dòng)洃洠?7講應(yīng)用，說(shuō)方法； 8例題、小結(jié)、練習(xí)、作業(yè) 二、本節(jié)課的指導(dǎo)思想： 課本上采用的是直接給出90180，180270，270360之間的角，可以用180-，180+，360-（090）來(lái)表示，然后加以證明出結(jié)論其簡(jiǎn)捷、節(jié)約時(shí)間的特點(diǎn)是顯而易見(jiàn)的但總有一種把知識(shí)作為“結(jié)果”傳授給學(xué)生的感覺(jué)，學(xué)生只要接受、反復(fù)練習(xí)就算完成了“內(nèi)化”的過(guò)程而利用環(huán)節(jié)15，把從實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)（解題）上升到理論高度（公式），再由理論（公式）去指導(dǎo)實(shí)踐（解題）的過(guò)程，展現(xiàn)給學(xué)生；也使學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)意識(shí)得到了提高；培養(yǎng)了學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”問(wèn)題“解決”