面積問題的解法探究和思考

1、面積問題的解法探究和思考一、提出問題1.中考試題 如圖1，拋物線y = ax2 + bx + 4與x軸的兩個交點(diǎn)分別為A（4，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為DE（1，2）為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動，當(dāng)K運(yùn)動到什么位置時(shí)，EFK的面積最大？并求出最大面積2.參考答案（1）解析式為，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）（2）探求得直線EF的解析式為y =x +設(shè)K（t，），xFtxE過K作x軸的垂線交EF于N則 KN = yKyN =（t +）=SEFK = SKFN + SKNE =K

2、N（t + 3）+KN（1t）= 2KN = t23t + 5 =（t +）2 +即當(dāng)t =時(shí)，EFK的面積最大，最大面積為，此時(shí)K（，）3.質(zhì)疑思考 本題條件是“點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上”，但參考答案只對“xFtxE”作了解答，那么 “xAtxF”、 “xEtxB”會怎么樣呢？筆者認(rèn)為這是一個名副其實(shí)的“參考答案”，不夠嚴(yán)謹(jǐn)如果要完整地解答此題就必須分類討論，分類表示SEFK又是一個復(fù)雜的問題像這樣的面積問題是近幾年中考的熱點(diǎn)之一，常結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)、四邊形、相似形等知識而命題，具有一定的綜合性.筆者研讀了09年和10年部分中考試題及解答，一般都通過分割，建立面積函數(shù)，用函數(shù)知識解決問

3、題這些分割方法通常比較麻煩，有時(shí)還回避不了分類討論筆者進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，這些問題通?？梢苑譃閮深悾伎梢杂煤唵蔚钠揭品▉斫鉀Q二、解法來源1.書本習(xí)題：人教版教科書91頁習(xí)題19.1第8題：如圖2，直線l1l2,ABC和DBC面積相等嗎？你還能畫出一些與ABC面積相等的三角形嗎？2.習(xí)題解答：顯然，ABC和DBC面積相等，原因是這兩個三角形同底等高直線l1上任意一點(diǎn)P與B、C兩點(diǎn)構(gòu)成的PBC與ABC面積總相等3.習(xí)題啟示：可以通過平行線，把三角形等積變形為其他更有利于解決問題的三角形三、解法探究1、動點(diǎn)在直線上，利用平行線，通過等積變形建立函數(shù)模型例1.（2009濟(jì)南）已知：如圖3，拋物線的對稱軸

4、為與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)其中、（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）若點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)過點(diǎn)D作交軸于點(diǎn)設(shè)的長為，的面積為求與之間的函數(shù)關(guān)系式試探討是否存在最大值，說明理由解：（1）拋物線的解析式為（2）連接AD， ，即， =當(dāng)=1時(shí)，評：本題的動點(diǎn)D在直線上運(yùn)動，沒有采用分割的方法也沒有分類討論，而是利用題目先天的條件，把等積變形為一邊在坐標(biāo)軸上的，便于表示的面積，建立函數(shù)模型解決問題例2. （2010 三明）如圖4，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（2，0）和點(diǎn)C（0，8），且它的對稱軸是直線（1）求拋物線與軸的另一交點(diǎn)A坐標(biāo)；（2）求此拋物線的解析式；（3）連結(jié)AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個動

5、點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B）不重合，過點(diǎn)E作EFAC交BC于點(diǎn)F，連結(jié)CE，設(shè)AE的長為m，CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）在（3）的基礎(chǔ)上探討S是否存在最大值，說明理由解：（1）A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6，0）（2解析式為（3）過點(diǎn)F作FGAB，垂足為G，EF/AC ， ，又AE=m，BE=8-m ，（4）由（3）得當(dāng)=4時(shí)，解題策略：以上兩例都是動點(diǎn)在直線上運(yùn)動，利用天然的平行條件，通過等積變形，把三角形轉(zhuǎn)化為有一邊在坐標(biāo)軸上的三角形，從而比較簡潔地建立函數(shù)模型，應(yīng)用函數(shù)知識解決問題不必分割，不必分類2、動點(diǎn)在拋物線上動，構(gòu)建平行線，通過等積變形建立方程模型例3（2010恩施）如圖5，二次

6、函數(shù)的圖象與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動點(diǎn)（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形 ABPC的面積最大并求出最大面積.解：（1）函數(shù)表達(dá)式為 （2）因SABC=6，當(dāng)BPC的面積最大時(shí)，四邊形 ABPC的面積最大作PQBC交y軸于點(diǎn)Q，則SBPC=SBQC ，BQC高OB為定值，所以當(dāng)PQ平移到使得CQ取得最大值時(shí)，BQC的面積最大，此時(shí)直線PQ和拋物線恰好一個公共點(diǎn)設(shè)直線PQ：，得方程，當(dāng)=時(shí)， m=，SBQC=評：本例是動點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，沒有天然的平行條件，采用構(gòu)造平行線的方法，等積變形為有一邊在坐標(biāo)軸

7、上的圖形，建立方程模型解決問題例4（2010宜賓）如圖6，將直角邊長為6的等腰RtAOC放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C及點(diǎn)B(3，0)(1) 求該拋物線的解析式；(2) 若點(diǎn)P是線段BC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E，連接AP，當(dāng)APE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3) 在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)G，使AGC的面積與（2）中APE的最大面積相等?請說明理由簡析：本題的第（2）是動點(diǎn)P在直線上運(yùn)動類型，利用天然的PEAB條件，把SAPE轉(zhuǎn)化為一邊在x軸上的SBPE，建立函數(shù)模型解決問題第（3）題是動點(diǎn)在拋物線上運(yùn)

8、動類型，直接求出直線HG的解析式，更顯此法的優(yōu)越性再來看看四川綿陽的那道中考題該怎樣完整地解決？解：圖7，探求得F點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,0），直線EF為y =x +過K點(diǎn)作EF的平行線，交y軸于M點(diǎn)，設(shè)直線KM的解析式為y =x +b，EFK的邊EF為定值，又CE=EB，平移直線KM可知，當(dāng)KM與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)時(shí)，EFK的高取得最大值，從而面積最大由方程得=0，得， ， K點(diǎn)坐標(biāo)（，），SEFK =SEFM=評：動點(diǎn)K在拋物線上運(yùn)動，構(gòu)建平行線后，雖然不能轉(zhuǎn)化為有一邊在坐標(biāo)軸上的三角形，但是依然可以通過平移直線的方法建立方程模型解決問題K點(diǎn)和M點(diǎn)雖然都是動點(diǎn)，但卻有本質(zhì)的區(qū)別，M點(diǎn)只能在y

9、軸上上下移動，但一定在E、F之間，所以不必分類，但K點(diǎn)卻是上下左右都移動，完全可能不在E、F之間，那就必須分類討論以上解法簡單地說就是利用平行線或構(gòu)造平行線，實(shí)際是平移思想的具體運(yùn)用用平移的觀點(diǎn)看待問題，會使問題顯得簡單、易理解，許多問題可以通過平移直線來解決。四、再思考1.命題啟示 為什么學(xué)生采用了分割法建立面積函數(shù)解決問題？筆者研究發(fā)現(xiàn)，一些中考試題要求學(xué)生建立面積函數(shù)再求最值，這些試題試圖給學(xué)生思考的臺階，實(shí)際卻束縛了學(xué)生的思維作為一道好的中考題，應(yīng)該給學(xué)生充分發(fā)揮個人才智、展現(xiàn)獨(dú)特個性、彰顯創(chuàng)新成果的空間，中考題是教學(xué)的指揮棒，是學(xué)生學(xué)和教師教的參照標(biāo)準(zhǔn)，中考怎么考，教師就怎么教，學(xué)生

10、就怎么學(xué)，因此作為命題者一定要慎重！不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鸢?，都會影響學(xué)生的思維，形成學(xué)生思維的不嚴(yán)謹(jǐn)性，教師在教學(xué)中一定要培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，否則會影響學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)，甚至造成學(xué)生為人的不嚴(yán)謹(jǐn)、工作的不嚴(yán)謹(jǐn)，教師是學(xué)生的楷模，應(yīng)該做好“嚴(yán)謹(jǐn)”的示范，中考題是教師教學(xué)的風(fēng)向標(biāo)，更應(yīng)做好教師“嚴(yán)謹(jǐn)”的標(biāo)桿2.教學(xué)啟示為什么命題者也給出分割法建立函數(shù)求最值？難道這些教育專家不知道這種解法嗎？筆者研究發(fā)現(xiàn)，課改后，教材新增了平移章節(jié)，這是新教材的一大亮點(diǎn)，實(shí)際上是提前滲透了平移的思想，各級教學(xué)教研人員也要轉(zhuǎn)變觀念、研究教材、領(lǐng)會教材的思想，培養(yǎng)學(xué)生平移的思想觀念，這樣才能讓學(xué)生領(lǐng)悟教材，探索到更好的解題方法平移直線的解法來源于對書本簡單習(xí)題的思考，書本習(xí)題是經(jīng)過教育專家的研究而設(shè)立的，其內(nèi)涵豐富，對強(qiáng)化基礎(chǔ)知識和基本技能，開發(fā)智力、培養(yǎng)能力以及對后續(xù)學(xué)習(xí)有著不同尋