隨機(jī)數(shù)學(xué)：2-4 幾種常用的分布

1、如果隨機(jī)變量 X 只可能取0與1兩個(gè)值 , 它的分布律為則稱 X 服從 (01) 分布或兩點(diǎn)分布.1.兩點(diǎn)分布（0-1）分布） 第四節(jié) 幾種常用的分布一、幾種常用的離散型隨機(jī)變量例1 200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變量 X 服從(0 1)分布.例2 “拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況. 隨機(jī)變量 X 服從 (01) 分布.其分布律為 兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點(diǎn)分布.說(shuō)明2.等可能分布（離散型均勻分布）如果隨

2、機(jī)變量 X 的分布律為例3 拋擲骰子并記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量 X,則有3.二項(xiàng)分布稱這樣的分布為二項(xiàng)分布.記為二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布的圖形例4 在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行 5 次射擊,每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為 0.6 ,則擊中目標(biāo)的次數(shù) X 服從 b (5,0.6) 的二項(xiàng)分布.分析 這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大, 且抽查元件的數(shù)量相對(duì)于元件的總數(shù)來(lái)說(shuō)又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來(lái)處理.例5解圖示概率分布解因此例6 有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過(guò),設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi),出事故的概率為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000 輛汽車通過(guò), 問(wèn)出事故的次數(shù)不

3、小于2的概率是多少? 設(shè) 1000 輛車通過(guò),出事故的次數(shù)為 X , 則解例7故所求概率為二項(xiàng)分布 泊松分布4. 泊松分布 泊松分布的圖形電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水上面我們提到單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出二項(xiàng)分布 泊松分布可利用泊松定理計(jì)算所求概率為解例7 有一繁忙的汽車站, 每天有大量汽車通過(guò),設(shè)每輛汽車,在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000 輛汽車通過(guò),問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少? 設(shè) 1000 輛車通過(guò),出事故的次數(shù)為 X , 則例8 為了保證設(shè)備正常工作, 需配備適量的維修工人 (工人配備多了就浪費(fèi) ,

4、配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺(tái),各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來(lái)處理(我們也只考慮這種情況) ,問(wèn)至少需配備多少工人 ,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01?解所需解決的問(wèn)題使得合理配備維修工人問(wèn)題由泊松定理得故有即個(gè)工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01.故至少需配備8例9 設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備,各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的發(fā)生故障的概率都是 0.01,且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理. 考慮兩種配備維修工人的方法 , 其一是由四人維護(hù),每人負(fù)責(zé)20臺(tái); 其二是由3人共同維護(hù)臺(tái)80.試比較這兩種

5、方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.解按第一種方法發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”,而不能及時(shí)維修的概率為則知80臺(tái)中發(fā)生故障故有即有 按第二種方法故 80 臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為5. 幾何分布 若隨機(jī)變量 X 的分布律為則稱 X 服從幾何分布.實(shí)例 設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為 p,對(duì)該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查 , 直到第一次抽到一只次品為止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的產(chǎn)品數(shù) X 是一個(gè)隨機(jī)變量 , 求X 的分布律.所以 X 服從幾何分布.說(shuō)明 幾何分布可作為描述某個(gè)試驗(yàn) “首次成功”的概率模型.解1. 均勻分布概率密度函數(shù)圖形二、均勻分布與指數(shù)分布均勻分布的意義分

6、布函數(shù)解由題意,R 的概率密度為故有例10 設(shè)電阻值 R 是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在 1100 求 R 的概率密度及 R 落在950 1050 的概率例11 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 2, 5 上服從均勻分布, 現(xiàn)對(duì) X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè) ,試求至少有兩次觀測(cè)值大于3 的概率. X 的分布密度函數(shù)為設(shè) A 表示“對(duì) X 的觀測(cè)值大于 3”,解即 A= X 3 .因而有設(shè)Y 表示3次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù),則2. 指數(shù)分布 某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無(wú)線電元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、動(dòng)物的壽命等都服從指數(shù)分布.應(yīng)用與背景分布函數(shù)例12 設(shè)某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為=20

7、00的指數(shù)分布(單位:小時(shí)).(1)任取一只這種燈管, 求能正常使用1000小時(shí)以上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時(shí)以上,求還能使用1000小時(shí)以上的概率. X 的分布函數(shù)為解指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無(wú)記憶性”.（二）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（一）正態(tài)分布三、正態(tài)分布（三）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn)（一）正態(tài)分布（或高斯分布）正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)分布的分布函數(shù) 正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布,例如測(cè)量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長(zhǎng)度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 正態(tài)分布下的概率計(jì)算原函數(shù)不是初等函數(shù)方法一:利用MATLAB軟件包計(jì)算方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分