2022屆甘肅省慶陽市長慶高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設(shè)是虛數(shù)單位，則（ ）ABCD2某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單位去年的水費開支占總開支的百分比為（ ）ABCD3

2、已知集合，則等于（ ）ABCD4下列命題是真命題的是（ ）A若平面，滿足，則；B命題：，則：，；C“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件；D命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”.5已知空間兩不同直線、，兩不同平面，下列命題正確的是（ ）A若且，則B若且，則C若且，則D若不垂直于，且，則不垂直于6已知 若在定義域上恒成立，則的取值范圍是（ ）ABCD7已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓：與圓：交于，兩點，若，則實數(shù)的值為（ ）A1B2C-1D-28一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體，小圓柱底面半徑為，大圓柱底面半徑為，如圖1放置容器時，液面以上空余部分的高為，如圖2放置容器時，液面以上

3、空余部分的高為，則（ ）ABCD9已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍（ ）ABCD10已知直線和平面，若，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D不充分不必要11定義在上的偶函數(shù)，對，且，有成立，已知，則，的大小關(guān)系為（ ）ABCD12已知全集，集合，則陰影部分表示的集合是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知均為非負(fù)實數(shù)，且，則的取值范圍為_14已知集合，則_15若，則_.16某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有1，2，3，4，5的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，

4、將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金若隨機(jī)變量1和2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則D（1）_，E（1）E（2）_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上各點縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到曲線，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線上是否存在不同的兩點，（以上兩點坐標(biāo)均為極坐標(biāo)，），使點、到的距離都為3？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.18（12分）對于正整數(shù)，如果個整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)

5、組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.()寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;()對于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;()對所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)19（12分）在中，角的對邊分別為.已知，.（1）若，求；（2）求的面積的最大值.20（12分）數(shù)列的前項和為，且.數(shù)列滿足，其前項和為.（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.21（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；比較與的大小; （2

6、）當(dāng)時，若對時，且有唯一零點，證明：22（10分）()證明： ；()證明：()；()證明：.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2A【解析】由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計算出水費開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費開支占總開支的百分比.【詳解】水費開支占總開支的百分比為.故選：A【點睛】本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.3A【解析】進(jìn)行交集的運算即可【詳解

7、】，1，2，1，故選：【點睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題4D【解析】根據(jù)面面關(guān)系判斷A；根據(jù)否定的定義判斷B；根據(jù)充分條件，必要條件的定義判斷C；根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面，滿足，則可能相交，故A錯誤；命題“：，”的否定為：，故B錯誤；為真，說明至少一個為真命題，則不能推出為真；為真，說明都為真命題，則為真，所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件，故C錯誤；命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”，故D正確；故選D【點睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件，寫出命題的逆否命題等，屬于中檔題.5C【解析】因答案A中的直

8、線可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線也成立，故不正確；答案C中的直線可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直，是正確的；答案D中直線也有可能垂直于直線，故不正確應(yīng)選答案C6C【解析】先解不等式，可得出，求出函數(shù)的值域，由題意可知，不等式在定義域上恒成立，可得出關(guān)于的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】，先解不等式.當(dāng)時，由，得，解得，此時；當(dāng)時，由，得.所以，不等式的解集為.下面來求函數(shù)的值域.當(dāng)時，則，此時；當(dāng)時，此時.綜上所述，函數(shù)的值域為，由于在定義域上恒成立，則不等式在定義域上恒成立，所以，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)不

9、等式恒成立求參數(shù)，同時也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.7D【解析】由可得，O在AB的中垂線上，結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個圓心的連線上，從而可求.【詳解】因為，所以O(shè)在AB的中垂線上，即O在兩個圓心的連線上，三點共線，所以，得，故選D.【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用，幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.8B【解析】根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中，液面以上空余部分的體積為；在圖2中，液面以上空余部分的體積為.因為，所以.故選：B【點睛】本題考查圓柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.9B【解析】根據(jù)條件可知方程有且只有一個實根等價于函數(shù)的圖象與直線只有一個交點，

10、作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可【詳解】解：因為條件等價于函數(shù)的圖象與直線只有一個交點，作出圖象如圖，由圖可知，故選：B【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題10B【解析】由線面關(guān)系可知，不能確定與平面的關(guān)系，若一定可得，即可求出答案.【詳解】,不能確定還是，當(dāng)時，存在，由又可得，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B【點睛】本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.11A【解析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對，且，有在上遞增因為定義在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因為，所以故選：A【點睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用，基

11、礎(chǔ)題.12D【解析】先求出集合N的補集，再求出集合M與的交集，即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由，可得或，又所以.故選：D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補集的運算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設(shè),可得的取值范圍,分別利用基本不等式和，把用代換,結(jié)合的取值范圍求關(guān)于的二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因為,，令，則 ,因為,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以 ,即,令則函數(shù)的對稱軸為,所以當(dāng)時函數(shù)有最大值為,即當(dāng)且，即，或，時取等號；因為,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,令,則函數(shù)的對稱軸為,所以當(dāng)時,函數(shù)有最小值為,即，當(dāng),且時取等號，所以.故答

12、案為:【點睛】本題考查基本不等式與二次函數(shù)求最值相結(jié)合求代數(shù)式的取值范圍;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;基本不等式:和的靈活運用是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型、難度大型試題.14【解析】由于，則1513【解析】由導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用得：設(shè)，所以，又，所以，即，由二項式定理：令得：，再由，求出，從而得到的值；【詳解】解：設(shè)，所以，又，所以，即，取得：，又，所以，故，故答案為：13【點睛】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、二項式定理，屬于中檔題162 0.2 【解析】分別求出隨機(jī)變量1和2的分布列，根據(jù)期望和方差公式計算得解.【詳解】設(shè)a，b1，2，1，4，5，則p（1a），其1分布列為：1 1 2 1 4

13、5 P E（1）（1+2+1+4+5）1D（1）（11）2+（21）2+（11）2+（41）2+（51）2221.4|ab|的可能取值分別為：1.4，2.3，4.2，5.6，P（21.4），P（22.3），P（24.2），P（25.6），可得分布列2 1.4 2.3 4.2 5.6 P E（2）1.42.34.25.62.3E（1）E（2）0.2故答案為：2，0.2【點睛】此題考查隨機(jī)變量及其分布，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出隨機(jī)變量取值的概率，根據(jù)公式準(zhǔn)確計算期望和方差.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1），（2）存在，【解析】（1）先求得曲線的普通方程，利用伸縮變換

14、的知識求得曲線的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式，求得直線的直角坐標(biāo)方程.（2）求得曲線的圓心和半徑，計算出圓心到直線的距離，結(jié)合圖像判斷出存在符合題意，并求得的值.【詳解】（1）曲線的普通方程為，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到曲線的直角坐標(biāo)方程為，其極坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線是以為圓心，為半徑的圓，圓心到直線的距離.由圖像可知，存在這樣的點，則，且點到直線的距離，.【點睛】本小題主要考查坐標(biāo)變換，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程化為普通方程，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.18 () ，；()

15、為偶數(shù)時，為奇數(shù)時，；()證明見解析，【解析】()根據(jù)題意直接寫出答案.()討論當(dāng)為偶數(shù)時，最大為，當(dāng)為奇數(shù)時，最大為，得到答案.() 討論當(dāng)為奇數(shù)時，至少存在一個全為1的拆分，故，當(dāng)為偶數(shù)時， 根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得到，再計算，得到答案.【詳解】()整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，.()當(dāng)為偶數(shù)時，時，最大為；當(dāng)為奇數(shù)時，時，最大為；綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時，最大為.()當(dāng)為奇數(shù)時，至少存在一個全為1的拆分，故；當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)是每個數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，則它至少對應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：.當(dāng)時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；當(dāng)時，偶數(shù)“正整數(shù)分

16、拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，故；當(dāng)時，對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項不全為的奇數(shù)拆分外，至少多出一項各項均為的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：使成立的為：或.【點睛】本土考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.19（1）；（2）4【解析】（1）根據(jù)已知用二倍角余弦求出，進(jìn)而求出，利用正弦定理，即可求解；（2）由邊角，利用余弦定理結(jié)合基本不等式，求出的最大值，即可求出結(jié)論.【詳解】（1），由正弦定理得.（2）由（1）知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積有最大值4.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換解三角形，應(yīng)用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.20（1），；（2）.【解

17、析】（1）令可求得的值，令，由得出，兩式相減可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得出數(shù)列的通項公式；（2）運用等差數(shù)列的求和公式，運用數(shù)列的分組求和和裂項相消求和，化簡可得.【詳解】（1）當(dāng)時，所以；當(dāng)時，得，即，所以，數(shù)列是首項為，公比為 的等比數(shù)列，.；（2）由（1）知數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，.，.所以.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運用，注意結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式，考查數(shù)列的求和方法：分組求和法和裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題21（1）見解析，見解析；（2）見解析【解析】（1）把代入函數(shù)解析式，

18、求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到，再求出，利用直線方程的點斜式求函數(shù)在點處的切線方程；令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，（2）由題意，在上有唯一零點利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時，在，上單調(diào)遞增，得到由在恒成立，且有唯一解，可得，得，即令，則，再由在上恒成立，得在上單調(diào)遞減，進(jìn)一步得到在上單調(diào)遞增，由此可得【詳解】解：（1）當(dāng)時，又，切線方程為，即；令，則，在上單調(diào)遞減又，當(dāng)時，即；當(dāng)時，即；當(dāng)時，即證明：（2）由題意，而，令，解得，在上有唯一零點當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時，在，上單調(diào)遞增在恒成立，且有唯一解，即，消去，得，即令，則，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，又， ，在上單調(diào)遞