2022屆福建省莆田市莆田高三第二次調(diào)研數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知復(fù)數(shù)滿足（其中為的共軛復(fù)數(shù)），則的值為( )A1B2CD2等差數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的公差為（ ）A-2B2C4D73要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度4

2、不等式的解集記為，有下面四個命題：；.其中的真命題是（ ）ABCD5已知雙曲線的左、右頂點分別是，雙曲線的右焦點為，點在過且垂直于軸的直線上，當?shù)耐饨訄A面積達到最小時，點恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為（ ）ABCD6設(shè)，則、的大小關(guān)系為（ ）ABCD7設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件8已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，則（ ）A7B14C28D849已知命題p：“”是“”的充要條件；，則（ ）A為真命題B為真命題C為真命題D為假命題10窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風格

3、獨特，神獸人們喜愛下圖即是一副窗花，是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形若在這個窗花內(nèi)部隨機取一個點，則該點不落在任何一個小正方形內(nèi)的概率是（ ）ABCD11已知，為圓上的動點，過點作與垂直的直線交直線于點，若點的橫坐標為，則的取值范圍是（ ）ABCD12M、N是曲線y=sinx與曲線y=cosx的兩個不同的交點,則|MN|的最小值為()ABCD2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)的最大值為3，的圖象與y軸的交點坐標為，其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則14的展開式中，常數(shù)項

4、為_；系數(shù)最大的項是_.15在中，角的對邊分別為，且，若外接圓的半徑為，則面積的最大值是_.16已知兩圓相交于兩點,，若兩圓圓心都在直線上，則的值是_ .三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，且，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.18（12分）為貫徹十九大報告中“要提供更多優(yōu)質(zhì)生態(tài)產(chǎn)品以滿足人民日益增長的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的

5、要求，某生物小組通過抽樣檢測植物高度的方法來監(jiān)測培育的某種植物的生長情況現(xiàn)分別從、三塊試驗田中各隨機抽取株植物測量高度，數(shù)據(jù)如下表（單位：厘米）： 組組組假設(shè)所有植株的生長情況相互獨立從、三組各隨機選株，組選出的植株記為甲，組選出的植株記為乙，組選出的植株記為丙（1）求丙的高度小于厘米的概率；（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；（3）表格中所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為從、三塊試驗田中分別再隨機抽取株該種植物，它們的高度依次是、（單位：厘米）這個新數(shù)據(jù)與表格中的所有數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為，試比較和的大?。ńY(jié)論不要求證明）19（12分）如圖，正方體的棱長為2，為棱的中點.（1）面出過點且與直線垂直的

6、平面，標出該平面與正方體各個面的交線（不必說明畫法及理由）；（2）求與該平面所成角的正弦值.20（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求和的普通方程；（2）過坐標原點作直線交曲線于點（異于），交曲線于點，求的最小值.21（12分）已知函數(shù).（）當時，求不等式的解集；（）若存在滿足不等式，求實數(shù)的取值范圍.22（10分）已知函數(shù)，（1）證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（2）證明：對任意的有參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】按照復(fù)數(shù)的運算法則先求出，再寫出，進而求出.【詳解】，.故選

7、：D【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模，考查基本運算能力，屬于基礎(chǔ)題.2B【解析】在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標和的性質(zhì)求得，再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項和為，則則故選：B【點睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差，屬于基礎(chǔ)題.3D【解析】先將化為，根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以只需將的圖象向右平移個單位.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移，熟記函數(shù)平移原則即可，屬于基礎(chǔ)題型.4A【解析】作出不等式組表示的可行域，然后對四個選項一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示，當時，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假

8、命題.故選：A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.5A【解析】點的坐標為，展開利用均值不等式得到最值，將點代入雙曲線計算得到答案.【詳解】不妨設(shè)點的坐標為，由于為定值，由正弦定理可知當取得最大值時，的外接圓面積取得最小值，也等價于取得最大值，因為，所以，當且僅當，即當時，等號成立，此時最大，此時的外接圓面積取最小值，點的坐標為，代入可得，所以雙曲線的方程為故選：【點睛】本題考查了求雙曲線方程，意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力.6D【解析】因為，所以且在上單調(diào)遞減，且 所以，所以，又因為，所以，所以.故選：D.【點睛】本題考查利用指對數(shù)函

9、數(shù)的單調(diào)性比較指對數(shù)的大小，難度一般.除了可以直接利用單調(diào)性比較大小，還可以根據(jù)中間值“”比較大小.7C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式，判斷出正確選項.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以，由于，所以，故“”是“”的充分必要條件.故選：C【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查等比數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.8D【解析】利用等差數(shù)列的通項公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項的性質(zhì)，即得解【詳解】，解得故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式和等差中項，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.9B【解析】由的單調(diào)性，可判斷p是真命題；分類討論打開絕對值，

10、可得q是假命題，依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù)，知命題p是真命題對于命題q，當，即時，；當，即時，由，得，無解，因此命題q是假命題所以為假命題，A錯誤；為真命題，B正確；為假命題，C錯誤；為真命題，D錯誤故選：B【點睛】本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學生邏輯推理，分類討論，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.10D【解析】由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點睛】本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11A【解析】由題意得，即可得點M的軌跡為以A，B為左、右焦點，的雙曲線，根據(jù)

11、雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖，連接OP，AM，由題意得，點M的軌跡為以A，B為左、右焦點，的雙曲線，.故選：A.【點睛】本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.12C【解析】兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=,|x1-x2|=,|y1-y2|=|sinx1-cosx2|=+=,|MN|=.故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】，由題意，得,解得，則的周期為4，且，所以.考點：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).14 【解析】求出二項展開式的通項，令指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入可得出展開式中的

12、常數(shù)項；求出項的系數(shù)，利用作商法可求出系數(shù)最大的項.【詳解】的展開式的通項為，令，得，所以，展開式中的常數(shù)項為；令，令，即，解得，因此，展開式中系數(shù)最大的項為.故答案為：；.【點睛】本題考查二項展開式中常數(shù)項的求解，同時也考查了系數(shù)最大項的求解，涉及展開式通項的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15【解析】由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式，結(jié)合范圍可求的值，利用正弦定理可求的值，進而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求的最大值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：，由正弦定理可得：，又，即，可得：，外接圓的半徑為，解得，由余弦定理，可得，又，（當且僅當時取等號），

13、即最大值為4，面積的最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題16【解析】根據(jù)題意，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線垂直，且的中點在這條直線上，列出方程解得即可得到結(jié)論.【詳解】由,，設(shè)的中點為，根據(jù)題意，可得,且，解得，,，故.故答案為：.【點睛】本題考查相交弦的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用相交弦的性質(zhì)，即兩圓的連心線垂直平分相交弦，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）不存在；詳見解析【解析】（1）設(shè)，通過，即為的

14、中點，轉(zhuǎn)化求解，點的軌跡的方程（2）設(shè)直線的方程為，先根據(jù)，可得，再根據(jù)韋達定理，點在橢圓上可得，將代入可得，該方程無解，問題得以解決【詳解】（1）設(shè)，則，由題意知，所以為中點，由中點坐標公式得，即，又點在圓：上，故滿足，得.曲線的方程.（2）由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，因為，故，即，聯(lián)立，消去得：，設(shè)，因為四邊形為平行四邊形，故，點在橢圓上，故，整理得，將代入，得，該方程無解，故這樣的直線不存在.【點睛】本題考查點的軌跡方程的求法、滿足條件的點是否存在的判斷與直線方程的求法，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題18（1）；（2）；（3）【解析】設(shè)事件為“甲是組的第株植物”，事件

15、為“乙是組的第株植物”，事件為“丙是組的第株植物”，、，可得出.（1）設(shè)事件為“丙的高度小于厘米”，可得，且、互斥，利用互斥事件的概率公式可求得結(jié)果；（2）設(shè)事件為“甲的高度大于乙的高度”，列舉出符合題意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（3）根據(jù)題意直接判斷和的大小即可.【詳解】設(shè)事件為“甲是組的第株植物”，事件為“乙是組的第株植物”，事件為“丙是組的第株植物”，、由題意可知，、（1）設(shè)事件為“丙的高度小于厘米”，由題意知，又與互斥，所以事件的概率；（2）設(shè)事件為“甲的高度大于乙的高度”由題意知所以事件的概率；（3）.【點睛】本題考查概率的求法，考查互斥事件加法公式

16、、相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中等題19（1）見解析（2）.【解析】（1）與平面垂直，過點作與平面平行的平面即可（2）建立空間直角坐標系求線面角正弦值【詳解】解：（1）截面如下圖所示：其中，分別為邊，的中點，則垂直于平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，.設(shè)平面的一個法向量為，則.不妨取，則，所以與該平面所成角的正弦值為.（若將作為該平面法向量，需證明與該平面垂直）【點睛】考查確定平面的方法以及線面角的求法，中檔題.20（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：（2）【解析】（1）消去曲線參數(shù)方程中的參數(shù)，求得和的普通方程.（2）設(shè)出過原點的直線的極

17、坐標方程，代入曲線的極坐標方程，求得的表達式，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法，求得的最小值.【詳解】（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：.（2）設(shè)過原點的直線的極坐標方程為；由得，所以曲線的極坐標方程為在曲線中，.由得曲線的極坐標方程為，所以而到直線與曲線的交點的距離為，因此，即的最小值為.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直角坐標方程化為極坐標方程，考查極坐標系下距離的有關(guān)計算，屬于中檔題.21（）或.（）【解析】（）分類討論解絕對值不等式得到答案.（）討論和兩種情況，得到函數(shù)單調(diào)性，得到只需，代入計算得到答案.【詳解】（）當時，不等式為，變形為或或，解集為或. （）當時，由此可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， 當時，同樣得到在單調(diào)遞減，在單