4 連續(xù)時(shí)間Fourier變換

1、第4章 連續(xù)時(shí)間Fourier變換 上一章，我們研究了如何把周期信號分解為指數(shù)信號的線形疊加，這樣對于我們的信號處理是非常方便的。同時(shí)，也看到這一表示是如何用來描述LTI系統(tǒng)對這些信號的作用效果的。那么，能否對非周期信號進(jìn)行類似的處理？本章便是研究由周期信號推導(dǎo)到非周期信號的擴(kuò)展。 2 而對于非周期信號，它們則是在頻率上無限小地靠近的。 將會(huì)看到，相當(dāng)廣泛的一類信號，其中包括全部有限能量的信號，也能夠經(jīng)由復(fù)指數(shù)信號的線性組合來表示。 1 對周期信號而言，這些復(fù)指數(shù)根本信號構(gòu)造單元全是成諧波關(guān)系的； 4.0 引言 因此，作為線性組合表示所取的形式是一個(gè)積分，而不是求和。 處理原則：一個(gè)非周期信號

2、能夠看成是周期無限長的周期信號。 在這種表示中所得到的系數(shù)譜稱為Fourier變換；而利用這些系數(shù)將信號表示為復(fù)指數(shù)信號線性組合的綜合積分本身則稱之為Fourier反變換。 更加確切些就是，在一個(gè)周期信號的Fourier級數(shù)表示中，當(dāng)周期增加時(shí)，基波頻率就減少，成諧波關(guān)系的各分量在頻率上愈趨靠近。當(dāng)周期變成無窮大時(shí)，這些頻率分量就形成一個(gè)連續(xù)域，從而Fourier級數(shù)的求和也就變成了一個(gè)積分。傅立葉的兩個(gè)最主要的奉獻(xiàn)“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)4.1 非周期信號的表示：連續(xù)時(shí)間傅立葉變換 為了

3、對Fourier變換表示的實(shí)質(zhì)求得更深入地了解，我們先由研究過的連續(xù)時(shí)間方波的Fourier級數(shù)表示入手。 該信號的基波周期是T，基波頻率就為 . 該方波信號的Fourier級數(shù)為：圖4.2 周期方波的Fourier級數(shù)系數(shù)及其包絡(luò)，T1固定。T=8T1T=4T1T=16T1-T/2T/2T/2-T/2頻譜演變的定性觀察 -T 0 T.對非周期信號建立Fourier表示的根本思想當(dāng)周期信號的周期T趨于時(shí), 就演變成了非周期信號頻率也變成連續(xù)變量。對周期信號當(dāng)周期信號的周期T趨于時(shí), 就演變成了非周期信號傅立葉變換傅立葉逆變換（4月14日）與 之間的關(guān)系： 周期信號的頻譜是非周期信號頻譜的抽樣；

4、而非周期信號的頻譜是周期信號頻譜的包絡(luò)。其中綜合公式4-8是由一個(gè)連續(xù)信號的頻域表達(dá)式X(j)求得其時(shí)域表達(dá)式x(t)的公式，稱為傅立葉反變換式。分析公式49是由一個(gè)信號的時(shí)域表達(dá)式x(t)求得其頻域表達(dá)式X(j)的公式，稱為傅立葉變換或傅立葉積分。由此得到非周期信號的傅立葉變換公式：當(dāng)時(shí)：Fourier變換對 這種一個(gè)信號的時(shí)域表達(dá)式x(t)和頻域表達(dá)式X(j)之間通過傅立葉變換與反變換建立聯(lián)系x(t)X(j)，稱之為一個(gè)傅立葉變換對. 注意： 1 時(shí)域表達(dá)式x(t)是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，表達(dá)的是在不同時(shí)間點(diǎn)函數(shù)幅度值的不同，自變量為時(shí)間t； 2 頻域表達(dá)式X(j)表達(dá)的是把信號分解為不同頻

5、率的指數(shù)信號的組合（只不過這些指數(shù)信號的頻率變化是連續(xù)的），這些不同頻率的指數(shù)信號在總信號中所占分量的大小,自變量為頻率。 3 兩者都是同一信號的不同表達(dá)方式，而不是不同的信號。兩者之間的轉(zhuǎn)換（即傅立葉變換與反變換）也是同一信號的由時(shí)域表達(dá)式推導(dǎo)頻域表達(dá)式或由頻域表達(dá)式推導(dǎo)時(shí)域表達(dá)式的過程。 (a) X()是一個(gè)密度函數(shù)的概念 (b) X()是一個(gè)連續(xù)譜 (c) X()包含了從零到無限高 頻的所有頻率分量 (d) 各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系。注意： 綜合公式(4.8)對非周期信號所起的作用與(3.38)式對周期信號的作用相同，因?yàn)閮烧叨枷喈?dāng)于把一個(gè)信號表示為一組復(fù)指數(shù)信號的線性組合。 如果某

6、非周期信號的總能量（即時(shí)域絕對值平方積分)有限,即 則該信號傅立葉變換收斂。 或者，同時(shí)滿足以下三個(gè)條件的信號傅立葉變換也收斂： 1 在整個(gè)定義域絕對可積: 2 任何有限區(qū)間只有有限個(gè)起伏; 3 任何有限區(qū)間只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，且每個(gè)不連續(xù)點(diǎn)都是有限值。4.1 2 Fourier變換的收斂 盡管這兩組條件都給出了一個(gè)信號存在Fourier變換的充分條件，但是下一節(jié)將會(huì)看到，倘若在變換過程中可以使用沖激函數(shù)，那么，在一個(gè)無限區(qū)間內(nèi)，既不絕對可積，又不具備平方可積的周期信號也可以認(rèn)為具有Fourier變換。 這樣，就有可能把Fourier級數(shù)和Fourier變換納入到統(tǒng)一的框架內(nèi)。4.1.3 連續(xù)

7、時(shí)間Fourier變換舉例一矩形脈沖信號幅度頻譜：相位頻譜：頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：二單邊指數(shù)信號頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：三直流信號不滿足絕對可積條件，不能直接用定義求時(shí)域無限寬，頻帶無限窄證明wO四符號函數(shù)處理方法：tea-tea-做一個(gè)雙邊函數(shù)不滿足絕對可積條件頻譜圖五升余弦脈沖信號頻譜圖其頻譜比矩形脈沖更集中。 六沖激函數(shù)沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不滿足絕對可積條件，不能用定義求。 雖然在上一節(jié)我們的注意力主要是集中在非周期信號上，其實(shí)對于周期信號也能夠建立Fourier變換表示。這樣一來，就可以在統(tǒng)一框架內(nèi)考慮周期和非周期信號。事實(shí)上將會(huì)看到：4.2 周期信號

8、的傅立葉變換 1 可以直接由周期信號的Fourier級數(shù)表示構(gòu)造出一個(gè)周期信號的Fourier變換； 2 所得到的變換在頻域是由一串沖激所組成，各沖激的面積正比于Fourier系數(shù)。 顯然，周期信號是不滿足上面的收斂判斷式的，而且把周期信號x(t)代入傅立葉變換公式，得到的積分結(jié)果也是無窮大。那么如何求它的傅立葉變換？ 教材上通過傅立葉反變換來求的。由于周期信號的傅立葉變換應(yīng)當(dāng)正比于其傅立葉級數(shù)系數(shù)，且根據(jù)計(jì)算又是無窮大，我們猜測是一個(gè)沖激。因此通過求頻域沖激信號的傅立葉反變換。 考慮一個(gè)信號x(t)，其Fourier變換X(jw)是一個(gè)面積 為出現(xiàn)在 處的單獨(dú)的一個(gè)沖激，即 由(4.8)式的

9、反變換公式得到： 將上面結(jié)果再加以推廣，如果X(jw)是在頻率上等間隔的一組沖激函數(shù)的線性組合，即那么利用(4.8)式，可得： 因此，一個(gè)Fourier級數(shù)系數(shù)為 的周期信號的Fourier交換，可以看成是出現(xiàn)在成諧波關(guān)系的頻率上的一串沖激函數(shù)，發(fā)生于第k次諧波頻率 上的沖激函數(shù)的面積是第k個(gè)Fourier級數(shù)系統(tǒng)的 倍。例4.6 再次考慮圖4.1的方波信號，其Fourier級數(shù)系數(shù)為：因此，該信號的Fourier變換X(jw)是：不同的僅僅是比例因子以及用的是沖激函數(shù)而不是條線圖4.3 連續(xù)時(shí)間Fourier變換性質(zhì) 本節(jié)主要介紹了連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)。這些性質(zhì)都可以由兩大公式本身的運(yùn)算

10、推導(dǎo)出來。熟練掌握不但有利于我們進(jìn)行變換與反變換，更有利于我們運(yùn)用傅立葉變換，解決以后的一些實(shí)際問題。 主要內(nèi)容對稱性質(zhì) 線性性質(zhì)奇偶虛實(shí)性尺度變換性質(zhì)時(shí)移特性頻移特性 微分性質(zhì)時(shí)域積分性質(zhì)意義 傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號的時(shí)域特性和頻域特性之間確實(shí)定的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；利用性質(zhì)求X()；了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用。一對稱性質(zhì)1性質(zhì)2 意義 例3-7-1例3-7-2相移全通網(wǎng)絡(luò)二線性性質(zhì)1性質(zhì)2例3-7-3三奇偶虛實(shí)性在“傅里葉變換的表示中曾介紹過。由定義可以得到證明：設(shè)f(t)是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略） 顯然四尺度

11、變換性質(zhì)意義(1)0a1 時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。 時(shí)移加尺度變換證明(1) 0a1 時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。 尺度變換性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因?yàn)槲鍟r(shí)移特性幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，時(shí)移加尺度變換 時(shí)移加尺度變換證明 例3-7-4（時(shí)移性質(zhì)）求圖(a)所示三脈沖信號的頻譜。解：因?yàn)槊}沖個(gè)數(shù)增多，頻譜包絡(luò)不變，帶寬不變。 例3-7-5方法一：先標(biāo)度變換，再時(shí)延方法二：先時(shí)延再標(biāo)度變換 相同2證明 1性質(zhì) 六頻移特性 3說明4應(yīng)用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復(fù)用。 例3-7-6矩形調(diào)幅信號解：因?yàn)?頻譜圖七微分性質(zhì)時(shí)域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì)或1時(shí)域微分注意 注意如果f(t)中有確定的直流分量，應(yīng)先

12、取出單獨(dú)求傅里葉變換，余下局部再用微分性質(zhì)。 時(shí)域微分性質(zhì)證明即求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù) 例3-7-7 分析X第 64 頁 解X2頻域微分性質(zhì)或推廣 例3-7-8解： 例3-7-9解：八時(shí)域積分性質(zhì)也可以記作： 時(shí)域積分性質(zhì)證明變上限積分用帶時(shí)移的單位階躍的無限積分表示，成為交換積分順序 ，即先求時(shí)移的單位階躍信號的傅里葉變換九、帕斯瓦爾定理改變一下積分次序，有 帕斯瓦爾定理說明了時(shí)域和頻域總能量的積分在數(shù)值上的關(guān)系。有時(shí)候可以用來解決一些問題。 該式稱為帕斯瓦爾定理?，F(xiàn)證明如下:設(shè)x(t)和X(jw)是一對Fourier變換，則得:4.4 卷積性質(zhì)在第3章已經(jīng)知道，如果一個(gè)周期信號用一個(gè)Fo

13、urier級數(shù)來表示，也就是按(3.38)式： 作為成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號的線性組合來表示，那么，一個(gè)LTI系統(tǒng)對這個(gè)輸入的響應(yīng)也能夠用一個(gè)Fourier級數(shù)來表示。因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，所以輸出的Fourier級數(shù)系數(shù)是輸入的那些系數(shù)乘以對應(yīng)諧波頻率上的系統(tǒng)頻率響應(yīng)的值?，F(xiàn)將這一結(jié)論推廣到非周期信號去。卷積定理時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積對應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。卷積定理揭示了時(shí)間域與頻率域的運(yùn)算關(guān)系，在通信系統(tǒng)和信號處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。例如：在頻繁選擇性濾波中，可以對限制相關(guān)頻率的過濾通過。H(jw)=0消除或衰減掉H(jw)=1通過4.4.1 舉例例4.184.5 相乘性

14、質(zhì)頻域卷積定理卷積定理揭示了時(shí)間域與頻率域的運(yùn)算關(guān)系，在通信系統(tǒng)和信號處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。時(shí)域卷積定理的證明因此所以卷積定義交換積分次序時(shí)移性質(zhì)一個(gè)信號去乘另外一個(gè)信號可以理解為用一個(gè)信號去調(diào)制,另一個(gè)信號的振幅，因此兩個(gè)信號相乘又稱幅度調(diào)制，故相乘性質(zhì)又稱調(diào)制性質(zhì)S(t)的變換P(t)=cosw0tr(t)=s(t)p(t)設(shè)信號s(t)的頻譜S(jw)如圖4.23(a) 所示，信號p(t)那么4.5.1 具有可變中心頻率的頻率選擇性濾波相乘性質(zhì)應(yīng)用：（1）在通信系統(tǒng)中的幅度調(diào)制；（2）在中心頻率可調(diào)的頻率選擇性帶通濾波器的實(shí)現(xiàn)上，其中心頻率可以很簡單地用一個(gè)調(diào)諧旋鈕來調(diào)節(jié)。利用一個(gè)

15、固定特性的頻率選擇濾波器，然后恰當(dāng)?shù)匾苿?dòng)信號頻譜的方法來改變?yōu)V波器的中心頻率，其中就要用到正弦幅度調(diào)制的原理。求系統(tǒng)的響應(yīng)。將時(shí)域求響應(yīng)，轉(zhuǎn)化為頻域求響應(yīng)。二應(yīng)用用時(shí)域卷積定理求頻譜密度函數(shù)。 例3-8-1X4.6 傅立葉變換性質(zhì)和根本傅立葉變換對一覽表 本節(jié)采用列表方式給出了連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的一些根本特性，和一些常見的重要的信號的傅立葉變換對，應(yīng)該牢記掌握 4.7 用線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng) 如第二章所說，線性常系數(shù)微分方程可以表征系統(tǒng)的特征。但從時(shí)域計(jì)算的方法要解出這個(gè)方程，或者要由輸入求輸出，輸出求輸入都是很麻煩的計(jì)算。但引入頻域的傅立葉變換后，大大簡化了我們的工作。* 頻率響應(yīng)的

16、求法：1. 用微分方程表征的系統(tǒng)例： 由微分方程所描述的系統(tǒng)通過求頻率響應(yīng)可直接求出其單位沖激響應(yīng)。例4.24一穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)由以下微分方程所表征：利用公式：得：例4.25一穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)由以下微分方程所表征：利用公式：得：例4.26設(shè)例4.25系統(tǒng)的輸入為：于是得：例：2. 以方框圖表征的系統(tǒng)* 級聯(lián) * 并聯(lián)H1(j)H2(j)H3(j)H1(j)H2(j)H3(j)3. 互聯(lián)系統(tǒng)的H(jw)4 反應(yīng)聯(lián)結(jié)本章小結(jié) 本章完成的主要任務(wù)是，首先，在上一章周期信號“分解成用指數(shù)信號線形疊加表示的基礎(chǔ)上，通過周期趨向無窮大的極端推導(dǎo)，得出非周期信號的分解傅立葉變換。從而引入了信號的頻域表達(dá)式的概念。時(shí)域表達(dá)與頻域表達(dá)是同一信號