材料力學II課件：10 非對稱彎曲與特殊梁

1、第 12 章 非對稱彎曲與特殊梁 本章主要研究： 一般非對稱彎曲正應力 一般薄壁梁的彎曲切應力 薄壁梁的截面剪心 復合梁與曲梁彎曲應力 1 慣性積與主慣性矩2 非對稱彎曲正應力 3 薄壁梁的彎曲切應力4 薄壁梁的截面剪心5 復合梁的彎曲應力6 曲梁彎曲應力簡介1 慣性積與主慣性矩 截面慣性積 慣性積平行軸定理 轉軸公式與主慣性矩 截面慣性積慣性積截面對 y, z 軸的慣性積當 y 或 z 軸為截面對稱軸時試計算圖示截面的慣性積 Iyz算例 慣性積平行軸定理平行軸定理Cy0z0形心直角坐標系Oyz任意直角坐標系注意：二者平行算例試計算慣性積 Iyz 轉軸公式與主慣性矩轉軸公式a：始邊-y軸，為正

2、主軸與主慣性矩滿足慣性積為零的坐標軸 主軸記為對主軸的慣性矩 主慣性矩記為通過形心的主軸主形心軸相應慣性矩主形心慣性矩主形心軸主形心軸算例確定主形心軸與主形心慣性矩，h=2b2 非對稱彎曲正應力 平面彎曲正應力分析 非對稱彎曲正應力一般公式 例題 平面彎曲正應力分析 平面假設 單向受力假設假設綜合考慮三方面r中性層曲率半徑聯(lián)立求解式(a)(d)詳見聯(lián)立求解式(a)(d)結論 變形與應力：詳見中性軸與主形心軸 z 重合中性軸垂直于彎矩作用面的變形形式平面彎曲 中性軸： 非對稱彎曲正應力一般公式非對稱彎曲正應力位于離中性軸最遠點 a, b 處 應力一般公式 中性軸方位 最大應力位置斜彎曲中性軸不垂

3、直于彎矩作用面的變形形式斜彎曲幾個概念及其間關系對 稱 彎 曲非對稱彎曲彎曲平面彎曲（彎矩 矢量 / 主形心軸時）斜 彎 曲（彎矩矢量不 / 主形心軸時）平面彎曲斜彎曲兩個互垂平面彎曲的組合 中性軸不垂直于彎矩作用面的變形形式斜彎曲 中性軸垂直于彎矩作用面的變形形式平面彎曲 幾個概念間的關系非對稱彎曲分析計算步驟 確定截面形心、主形心軸與主形心慣性矩 內(nèi)力分析，求出 My 與 Mz 確定中性軸方位，以確定最大正應力點位置 計算最大彎曲正應力3 薄壁梁的彎曲切應力 薄壁梁彎曲切應力公式 例題 薄壁梁彎曲切應力公式y(tǒng)、z 軸主形心軸假設 切應力平行與中心線切線 沿壁厚均勻分布切應力公式切取單元體

4、abcd 研究其平衡Iz- 整個截面對 z 軸的慣性矩Sz-截面 w 對 z 軸的靜矩例 3-1 確定工字形截面梁的剪流分布 例 題解：1. 翼緣剪流計算 2. 腹板剪流計算3. 剪流方向判斷tf 指向腹板tw 與 FS 同向4. 剪流分布圖 下翼緣的剪流均指向腹板；上翼緣的剪流 均背離腹板 腹板上的剪流與剪力 FS 同向 “視”截面如管道， “視”剪流如管流，連續(xù)流動；由qw推及其他解：1. 問題分析切應力分布對稱于 y 軸，A 處切應力為零,等價于開口薄壁截面例 3-2 確定閉口薄壁圓截面梁的切應力分布2. 切應力分析4 薄壁梁的截面剪心 剪心概念 剪心位置的確定 剪心概念現(xiàn)象與問題要使梁

5、僅彎不扭，橫向載荷 ( F, q ) 必須滿足何種條件？平面彎曲的外力條件 梁 z 軸發(fā)生平面彎曲Fsy位置： ez=?要使梁 z 軸發(fā)生平面彎曲，外力(F,q) 作用線 y 軸，并距其 ez 處根據(jù)合力矩定理： 梁 y 軸發(fā)生平面彎曲Fsz位置：ey=?根據(jù)合力矩定理:要使梁 y 軸發(fā)生平面彎曲，外力( F, q )作用線 z 軸，并距其 ey 處 剪心定義 剪心位置僅與截面的形狀及尺寸有關，與外力無關，屬于截面幾何性質剪心概念 剪心性質 當橫向外力作用線通過剪心時，梁將只彎不扭，故剪心又稱彎心剪力 Fsy, Fsz 作用線的交點E (ey, ez) 問題回顧何以伴隨扭轉？存在附加扭矩對稱截

6、面的剪心剪心位于對稱軸上剪心與形心重合單對稱截面雙對稱截面 剪心位置的確定槽形截面剪心 剪心位于z軸 確定 ez設梁繞 z 軸發(fā)生平面彎曲根據(jù)合力矩定理： 剪心位于z 軸 確定 ez設梁繞 z 軸發(fā)生平面彎曲圓弧形薄壁截面剪心根據(jù)合力矩定理：剪心位于z 軸， ez=？圓弧形薄壁截面剪心剪心位于z 軸， ez=？圓弧形薄壁截面剪心5 復合梁的彎曲應力 復合梁彎曲正應力 轉換截面法 例題 復合梁彎曲正應力復合梁由兩種或兩種以上材料所構成的整體梁復合梁復合梁彎曲基本方程平面假設與單向受力假設成立z 軸位于中性軸平面假設中性層(軸)確定中性軸位置確定中性層曲率I1 ,I2截面A1, A1對中性軸 z

7、的慣性矩式中：n=E2 / E1彈性模量比正應變沿截面高度線性分布，但正應力分布出現(xiàn)非連續(xù)，呈現(xiàn)分區(qū)線性分布彎曲正應力公式或寫作 轉換截面法中性軸通過等效截面的形心 C截面轉換 靜矩等效 慣性矩等效 當 n = E2/E1 時，將截面 2 的橫向尺寸乘以 n，得 “等效截面”結論：通過等效截面確定中性軸位置與彎曲剛度 計算彈性模量比 n 畫等效截面圖 由等效截面的形心，確定中性軸位置 計算彎曲正應力 按等效截面計算慣性矩復合梁彎曲應力分析計算步驟 例題例 5-1 圖示截面復合梁，M=30kN.m，Ew=10GPa，Es=200GPa，求木與鋼橫截面上的彎曲正應力解： 1. 模量比計算選鋼為基本材料2. 等效截面幾何性質3. 橫截面上的應力6 曲梁彎曲應力簡介 曲梁彎曲應力 大曲率梁與小曲率梁 曲梁彎曲應力未變形時軸線即為曲線的桿件曲桿 以彎曲為主要變形的曲桿曲梁曲梁曲梁彎曲正應力 根據(jù)平面與單向受力假設，并綜合考慮幾何、物理與靜力學三方面，進行分析 分析原理與方法 應力分布特點 中性軸不通過橫截面形心 s 沿截面高度按雙曲線規(guī)律分布 橫截面內(nèi)、外側邊緣處的正應力最大 應力計算 Sz截面對中性軸 z 的靜矩