空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系研究

1、空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系研究主要內(nèi)容空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系2.1.1 平面平 面構(gòu)成圖形的基本元素ABCDABCD點(diǎn)、線(xiàn)、面點(diǎn)無(wú)大小線(xiàn)無(wú)粗細(xì)面無(wú)厚薄點(diǎn)直線(xiàn)平面可無(wú)限延伸的平面是可無(wú)限延展的平面的表示平面的畫(huà)法 一般來(lái)說(shuō)，常用正方形或長(zhǎng)方形表示平面，如圖一, 在畫(huà)立體圖時(shí)，為了增強(qiáng)立體感， 常常把平面畫(huà)成平行四邊形，如圖二是按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面的水平直觀(guān)圖.圖一圖二平面的符號(hào)表示1. 希臘字母： 平面， 平面，平面2. 一個(gè)或幾個(gè)拉丁字母： 平面M， 平面AC， 平面ABCD等ABCD平面的表示平面的表示兩個(gè)相交平面的畫(huà)法和表示平面和平面相交于一

2、條直線(xiàn)a被遮住的部分畫(huà)虛線(xiàn)aa平面平面=直線(xiàn)a平面的表示直線(xiàn)和平面都可以看成點(diǎn)的集合“點(diǎn)P在直線(xiàn)l上”,“點(diǎn)A在平面內(nèi)” 用集合符號(hào)表示 點(diǎn)與直線(xiàn)、點(diǎn)與平面、直線(xiàn)與平面的關(guān)系“點(diǎn)P在直線(xiàn)l 外”,“點(diǎn)A在平面外”直線(xiàn) l 在平面內(nèi)，或者說(shuō)平面經(jīng)過(guò)直線(xiàn) l直線(xiàn) l 在平面外.平面的基本性質(zhì)AB 公理1 如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi).思考1：如何讓一條直線(xiàn)在一個(gè)平面內(nèi)？作用：為判斷直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系提供依據(jù)集合符號(hào)表示平面經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)平面的基本性質(zhì) 公理2 過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面. 思考2：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可以確定一條直線(xiàn)，那么經(jīng)過(guò)幾個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面呢？

3、作用：判斷幾個(gè)點(diǎn)共面或直線(xiàn)在同一個(gè)平面內(nèi)集合符號(hào)表示ABC“不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面” 已知A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)，則存在惟一平面，使得A、B、C平面的基本性質(zhì) 思考3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么還會(huì)有其它公共點(diǎn)嗎？如果有這些公共點(diǎn)有什么特征？ 公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn). P 作用：判斷兩個(gè)平面位置關(guān)系的基本依據(jù)例題 例1 如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系.A B a l (1)a b P l (2)解：1） A，B，=l，a=A，a=B2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P 例2：已知直線(xiàn)a，和點(diǎn)P，

4、Pa，求證經(jīng)過(guò)點(diǎn)P和直線(xiàn)a有且只有一個(gè)平面.Pa探究問(wèn)題根據(jù)公理1探究直線(xiàn)與平面的各種位置關(guān)系.根據(jù)公理2探究?jī)蓷l相交直線(xiàn)或平行直線(xiàn)確定一個(gè)平面的合理性.根據(jù)公理3探究平面與平面的各種位置關(guān)系.小結(jié) 1.平面的表示：概念、圖形、符號(hào)等 2.平面的基本性質(zhì) 公理1 公理2 公理3 3.判斷共面的方法兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系思考1：同一平面內(nèi)兩條直線(xiàn)有幾種位置關(guān)系？空間中的兩條直線(xiàn)呢？C 1）教室內(nèi)日光燈管所在直線(xiàn)與黑板左右兩側(cè)所在直線(xiàn)的位置關(guān)系如何？2）天安門(mén)廣場(chǎng)上，旗桿所在直線(xiàn)與長(zhǎng)安街所在直線(xiàn)的位置關(guān)系如何？?jī)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系 如圖, 長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)分別與線(xiàn)段CD所在直

5、線(xiàn)，線(xiàn)段BC所在直線(xiàn)，線(xiàn)段CD所在直線(xiàn)的位置關(guān)系如何?CBCADBAD觀(guān)察兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系 定義 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)叫做異面直線(xiàn).baab異面直線(xiàn)的圖示兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系A(chǔ). 空間中既不平行又不相交的兩條直線(xiàn)；B. 平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和這平面外的一條直線(xiàn)；C. 分別在不同平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)；D. 不在同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)；E. 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn). 關(guān)于異面直線(xiàn)的定義，你認(rèn)為下列哪個(gè)說(shuō)法最合適？問(wèn)題兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系空間中的直線(xiàn)與直線(xiàn)之間有三種位置關(guān)系：相交直線(xiàn):平行直線(xiàn):共面直線(xiàn)異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn) 同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 同一平面內(nèi)，

6、沒(méi)有公共點(diǎn)； 如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖,如果將它還原為正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線(xiàn)段所在直線(xiàn)是異面直線(xiàn)的有多少對(duì)?探究FAHGEDCBCDBAEFGH直線(xiàn)EF 和直線(xiàn)HG直線(xiàn)AB 和直線(xiàn)CD直線(xiàn)AB 和直線(xiàn)HG答：3對(duì)平行直線(xiàn) 如圖, 在長(zhǎng)方體ABCDABCD中, BBAA，DDAA，那么BB與DD平行嗎 ?CBCADBAD觀(guān)察答：平行平行直線(xiàn) 公理4 平行于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.空間中的平行線(xiàn)具有傳遞性如果a/b，b/c，那么a/cAFEDCBABCDEF三條平行線(xiàn)共面三條平行線(xiàn)不共面平行直線(xiàn) 已知三條直線(xiàn)兩兩平行，任取兩條直線(xiàn)能確定一個(gè)平面，問(wèn)這三條直線(xiàn)能確定幾個(gè)平

7、面？AFEDCBABCDEF三條平行線(xiàn)共面三條平行線(xiàn)不共面問(wèn)題平行直線(xiàn) 例2 如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn). 求證：四邊形EFGH是平行四邊形.FGDAEBCH所以 ，且同理 ，且因?yàn)?，且所以 四邊形EFGH 是平行四邊形證明：連接BD，因?yàn)?EH是 的中位線(xiàn)， 在上例中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH 是什么圖形？探究答：四邊形EFGH是菱形FGDAEBCH等角定理 在平面上，我們?nèi)菀鬃C明“如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行， 那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”空間中，結(jié)論是否仍然成立？思考1 如圖,四棱柱ABCD-ABCD的底面是

8、平行四邊形，ADC與ADC, ADC與BAD的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何 ?思考2:BADCABDCBADCABDCADC=ADCADC+BAD=1800 如圖，在空間中AB/ AB，AC/ AC，你能證明BAC與BAC 相等嗎？ 思考3BCABCAEEDD等角定理 定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ). 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.異面直線(xiàn)所成的角ab思考 在同一平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)形成四個(gè)角，常取較小的一組角來(lái)度量這兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系，這個(gè)角叫做兩條直線(xiàn)的夾角.在空間中怎樣度量?jī)蓷l異面直線(xiàn)的位置關(guān)系呢？a

9、b平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)空間中兩條異面直線(xiàn)O異面直線(xiàn)所成的角 已知兩條異面直線(xiàn)a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線(xiàn) ，把 與 所成的銳角（或直角）叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角O異面直線(xiàn)所成的角 我們規(guī)定兩條平行直線(xiàn)的夾角為0，那么兩條異面直線(xiàn)所成的角的取值范圍是什么？ 如果兩條異面直線(xiàn)所成角為900，那么這兩條直線(xiàn)垂直.探究記直線(xiàn)a垂直于b為：ab異面直線(xiàn)所成的角探究 （1）在長(zhǎng)方體 中，有沒(méi)有兩條棱所在的直線(xiàn)是相互垂直的異面直線(xiàn)？ （2）如果兩條平行直線(xiàn)中的一條與某一條直線(xiàn)垂直，那么，另一條直線(xiàn)是否也與這條直線(xiàn)垂直？（3）垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)是否平行？如：等垂直不一定，如上圖的立方體中直線(xiàn)AB與B

10、C相交，異面直線(xiàn)所成的角 例3 已知正方體 （1）哪些棱所在直線(xiàn)與直線(xiàn) 是異面直線(xiàn)？（2）直線(xiàn) 和 的夾角是多少？（3）哪些棱所在的直線(xiàn)與直線(xiàn) 垂直？解:（1）由異面直線(xiàn)的定義可知，棱 所在的直線(xiàn)分別與直線(xiàn) 是異面直線(xiàn)（3）直線(xiàn)分別與直線(xiàn) 垂直 （2）由 可知，為異面直線(xiàn) 與 的夾角， ，所以 與 的夾角為 在如圖所示的長(zhǎng)方體中，AB= ，且AA1=1，求直線(xiàn)BA1和CD所成角的度數(shù).30O練習(xí)1 如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC上的點(diǎn),且 ，已知AB=CD=3， , 求異面直線(xiàn)AB和CD所成的角.AFEDCB練習(xí)2 n直線(xiàn)相交最多有幾個(gè)交點(diǎn)？練習(xí)3本節(jié)小結(jié)（1）空間直線(xiàn)的三

11、種位置關(guān)系（2）平行線(xiàn)的傳遞性（3）等角定理（4）異面直線(xiàn)所成的角基本知識(shí)基本方法 把空間中問(wèn)題通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系主要內(nèi)容 直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系 直線(xiàn)在平面內(nèi) 直線(xiàn)與平面相交 直線(xiàn)與平面平行直線(xiàn)與平面思考？ 1）一支鉛筆所在的直線(xiàn)與一個(gè)作業(yè)本所在的平面，可能有幾種關(guān)系？ 2）如圖，線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)與長(zhǎng)方體ABCD-ABCD的六個(gè)面所在平面有幾種位置關(guān)系？CBCADBAD直線(xiàn)與平面直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系有且只有三種(1)直線(xiàn)在平面內(nèi) 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)a記為：a直線(xiàn)與平面(2)直線(xiàn)與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)a記為：a=AA直線(xiàn)與平面（3）直線(xiàn)與平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)a

12、記為：a/直線(xiàn)與平面直線(xiàn)與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平面外記為：aaa/aa=AA或直線(xiàn)與平面 例1. 下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 ( )1）若直線(xiàn) l 上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則 l/2) 若直線(xiàn) l 與平面平行，則 l 與平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都平行3）如果兩條平行直線(xiàn)中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行4）若直線(xiàn) l與平面平行，則 l與平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都沒(méi)有公共點(diǎn).(A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3B主要內(nèi)容 直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系 直線(xiàn)在平面內(nèi) 直線(xiàn)與平面相交 直線(xiàn)與平面平行作業(yè)P49 練習(xí)P51-53 習(xí)題組 4(4)(5) B 2，3 平面與平面之間的位置關(guān)系平面與平面之間的位置關(guān)系思考 （1）拿出兩本書(shū)，看作兩個(gè)平面，上下、左右移動(dòng)和翻轉(zhuǎn)，它們之間的位置關(guān)系有幾種？ （2）如圖，圍成長(zhǎng)方體ABCD-ABCD的六個(gè)面，兩兩之間的位置關(guān)系有幾種？CBCADBAD兩個(gè)平面的位置關(guān)系兩個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有兩種 兩個(gè)平面平行沒(méi)有公共點(diǎn) 兩個(gè)平面相交有一條公共直線(xiàn)分類(lèi)的依據(jù)是什么？ 公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn). 兩個(gè)平面平行或相