2021版數(shù)學（新教材）必修 第一冊人教A版：第一章 1-4-2

1、14.2充要條件學習目標1.理解充要條件的意義.2.會判斷一些簡單的充要條件問題.3.能對充要條件進行證明知識點充要條件一般地，如果pq，且qp，那么稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件，記作pq.1“x0”是“(2x1)x0”的充分不必要條件()2q是p的必要條件時，p是q的充分條件()3若p是q的充要條件，則條件p和q是兩個相互等價的條件()4q不是p的必要條件時，“pq”成立()一、充分、必要、充要條件的判斷例1指出下列各組命題中，p是q的什么條件(充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分又不必要條件)(1)p：數(shù)a能被6整除，q：數(shù)a能被3整除；(2)p：x1，q：x21；(

2、3)p：ABC有兩個角相等，q：ABC是正三角形；(4)p：|ab|ab，q：ab0.解(1)pq，q不能推出p，p是q的充分不必要條件(2)pq，q不能推出p，p是q的充分不必要條件(3)p不能推出q，qp，p是q的必要不充分條件(4)ab0時，|ab|ab，“|ab|ab”不能推出“ab0”，即p不能推出q.而當ab0時，有|ab|ab，即qp.p是q的必要不充分條件反思感悟判斷充分條件、必要條件及充要條件的三種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假(2)集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷(3)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1p2pn，可得p1pn；充

3、要條件也有傳遞性跟蹤訓練1已知a，b是實數(shù)，則“a0且b0”是“ab0，且ab0”的_條件答案充要解析因為a0，b0，所以ab0，ab0，充分性成立；因為ab0，所以a與b同號，又ab0，所以a0且b0，必要性成立故“a0且b0”是“ab0且ab0”的充要條件二、充要條件的證明例2求證：關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個根為1的充要條件是abc0.證明充分性：因為abc0，所以cab，代入方程ax2bxc0，得ax2bxab0，即(x1)(axab)0.所以方程ax2bxc0有一個根為1.必要性：因為方程ax2bxc0有一個根為1，所以x1滿足方程ax2bxc0.所以a12b1c0，即abc0.

4、故關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個根為1的充要條件是abc0.延伸探究求證：關(guān)于x的方程ax2bxc0(a0)，有一正根和一負根的充要條件是ac0，x1x2eq f(c,a)0，所以ac0.充分性：由ac0及x1x2eq f(c,a)0)，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍解p：2x10，q：1mx1m(m0)因為p是q的必要不充分條件，所以q是p的充分不必要條件，即x|1mx1mx|2x10，故有eq blcrc (avs4alco1(1m2，,1m2，,1m10，)解得m3.又m0，所以實數(shù)m的取值范圍為m|00)因為p是q的充分不必要條件，設p代表的集合為A，q代表的集合為B，

5、所以AB.所以eq blcrc (avs4alco1(1m2，,1m10)或eq blcrc (avs4alco1(1m9或m9，所以m9，即實數(shù)m的取值范圍是m9.2本例中p，q不變，是否存在實數(shù)m使p是q的充要條件？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由解因為p：2x10，q：1mx1m(m0)若p是q的充要條件，則eq blcrc (avs4alco1(21m，,101m，)m不存在故不存在實數(shù)m，使得p是q的充要條件反思感悟應用充分不必要、必要不充分及充要條件求參數(shù)值(范圍)的一般步驟(1)根據(jù)已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系(2)根據(jù)集合間的關(guān)系構(gòu)建關(guān)

6、于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解跟蹤訓練3已知p：x3，q：4xm0，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍解設Ax|x3，Beq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(x0”是“x0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件答案A解析由“x0”“x0”，反之不一定成立因此“x0”是“x0”的充分不必要條件2已知xR，則“eq f(1,x)1”是“x1”0 x1”是“x1”的充分不必要條件3設條件甲為0 x5；條件乙為|x|5，則條件甲是乙的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件答案A解析

7、甲對應集合Ax|0 x5，乙對應集合Bx|5x5，且AB，故選A.4若命題p：兩直線平行，命題q：內(nèi)錯角相等，則p是q的_條件答案充要5從“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分又不必要條件”中選一個合適的填空(1)“x210”是“|x|10”的_；(2)“x5”是“x3”的_答案(1)充要條件(2)必要不充分條件解析(1)設Ax|x2101,1，Bx|x|101,1，所以AB，即“x210”是“|x|10”的充要條件(2)設Ax|x5，Bx|x3，因為AB，所以“x5”是“x3”的必要不充分條件1知識清單：(1)充要條件概念的理解(2)充要條件的證明(3)根據(jù)條件求參數(shù)范圍

8、2方法歸納：等價轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系3常見誤區(qū)：條件和結(jié)論辨別不清1設xR，則“x1”是“x3x”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件答案A解析當x1時，x3x成立若x3x，x(x21)0，得x1,0,1；不一定得到x1.2設a，bR，則“(ab)a20”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件答案A解析因為a，bR，(ab)a20，可得ab，由ab，即ab0，可得(ab)a20，所以根據(jù)充分必要條件的定義可以判斷，若a，bR，則“(ab)a20”是“a0”是“ab0”的_條件答案既不充分又不必要解析若ab0，取a3，

9、b2，則ab0不成立；反之，若ab0，取a2，b3，則ab0也不成立，因此“ab0”是“ab0”的既不充分又不必要條件7若“x1，或x1”是“xa”的必要不充分條件，則實數(shù)a的最大值為_答案1解析“x1，或x1”是“xa”的必要不充分條件，則由“xa”可以推出“x1，或x1”，但由“x1，或x1”推不出“x0兩種情況當xy0時，不妨設x0，則|xy|y|，|x|y|y|，等式成立同理，當y0，或x0且y0時，|xy|x|y|，當xy0時，等式成立，當xy0時，即x0，y0或x0，y0，y0時，|xy|xy，|x|y|xy，等式成立當x0，y1)或eq blcrc (avs4alco1(af(1

10、,2)，,a11，)解得0aeq f(1,2)，故所求實數(shù)a的取值范圍是0aeq f(1,2).11“函數(shù)yx22axa的圖象在x軸的上方”是“0a1”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件答案A解析函數(shù)yx22axa的圖象在x軸的上方，則4a24a0，解得0a4，b4時，k40，b5時，b50，直線y(k4)xb5交y軸于負半軸，交x軸于正半軸；y(k4)x(b5)與y軸交于(0，b5)與x軸交于eq blc(rc)(avs4alco1(f(5b,k4)，0)，由交y軸于負半軸，交x軸于正半軸可知eq blcrc (avs4alco1(b50，)eq blcrc (avs4alco1(b4.)15設mN*，一元二次方程x24xm0有整數(shù)根的充要條件是m_.答案3或4解析xeq f(4r(164m),2)2eq r(4m)，因為x是整數(shù)，即2eq r(4m)為整數(shù)，所以eq r(4m)為整數(shù)，且m4，又mN*，取m1,2,3,4.驗證可得m3,4符合題意，所以