高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)教案：第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù)第5講　復(fù) 數(shù)

第5講復(fù)數(shù)【2013年高考會(huì)這樣考】復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是高考的熱點(diǎn)，并且一般在前三題的位置，主要考查對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解以及復(fù)數(shù)的加減乘除四則運(yùn)算，難度較?。緩?fù)習(xí)指導(dǎo)】1．復(fù)習(xí)時(shí)要理解復(fù)數(shù)的相關(guān)概念如實(shí)部、虛部、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)等，以及復(fù)數(shù)的幾何意義．2．要把復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算作為復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，尤其是復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)等．因考題較容易，所以重在練基礎(chǔ)．基礎(chǔ)梳理1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c；b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復(fù)數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)(c＋di≠0)．一條規(guī)律任意兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)能比較大小，其他情況不能比較大小．兩條性質(zhì)(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．(2)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.雙基自測(cè)1．(人教A版教材習(xí)題改編)復(fù)數(shù)eq\f(－i,1＋2i)(i是虛數(shù)單位)的實(shí)部是()．A.eq\f(1,5)B．－eq\f(1,5)C．－eq\f(1,5)iD．－eq\f(2,5)解析－eq\f(i,1＋2i)＝－eq\f(i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(－2－i,5)＝－eq\f(2,5)－eq\f(1,5)i.答案D2．(2011·天津)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(1－3i,1－i)＝()．A．2－iB．2＋iC．－1－2iD．－1＋2i解析eq\f(1－3i,1－i)＝eq\f(1,2)(1－3i)(1＋i)＝eq\f(1,2)(4－2i)＝2－i.答案A3．(2011·湖南)若a，b∈R，i為虛數(shù)單位，且(a＋i)i＝b＋i，則()．A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1解析由(a＋i)i＝b＋i，得：－1＋ai＝b＋i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得：a＝1，b＝－1.答案C4．(2011·廣東)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2，其中i為虛數(shù)單位，則z＝()．A．2－2iB．2＋2iC．1－iD．1＋i解析z＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝eq\f(21－i,2)＝1－i.答案C5．i2(1＋i)的實(shí)部是________．解析i2(1＋i)＝－1－i.答案－1考向一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念【例1】?(2011·安徽)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(1＋ai,2－i)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a為()．A．2B．－2C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)[審題視點(diǎn)]利用純虛數(shù)的概念可求．解析eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－a,5)＋eq\f(2a＋1,5)i，由純虛數(shù)的概念知：eq\f(2－a,5)＝0，eq\f(2a＋1,5)≠0，∴a＝2.答案A復(fù)數(shù)的分類(lèi)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部、虛部滿足的方程即可．【訓(xùn)練1】已知a∈R，復(fù)數(shù)z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若eq\f(z1,z2)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)eq\f(z1,z2)的虛部為_(kāi)_______．解析eq\f(z1,z2)＝eq\f(2＋ai,1－2i)＝eq\f(2＋ai1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(2－2a,5)＋eq\f(a＋4,5)i，∵eq\f(z1,z2)為純虛數(shù)，∴eq\f(2－2a,5)＝0，eq\f(a＋4,5)≠0，∴a＝1.故eq\f(z1,z2)的虛部為1.答案1考向二復(fù)數(shù)的幾何意義【例2】?在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()．A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i[審題視點(diǎn)]利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求．解析復(fù)數(shù)6＋5i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A(6,5)，復(fù)數(shù)－2＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B(－2,3)．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得線段AB的中點(diǎn)C(2,4)，故點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋4i.答案C復(fù)數(shù)的幾何意義可以讓我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想把復(fù)數(shù)、向量、解析幾何有機(jī)的結(jié)合在一起，能夠更加靈活的解決問(wèn)題．高考中對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的考查主要集中在復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置、加減法的幾何意義、模的意義等．【訓(xùn)練2】(2011·徐州一檢)復(fù)數(shù)eq\f(1＋i,1－i)＋i2012對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第________象限．解析eq\f(1＋i,1－i)＋i2012＝i＋1.故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1,1)位于復(fù)平面內(nèi)第一象限．答案一考向三復(fù)數(shù)的運(yùn)算【例3】?(2011·上海)已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實(shí)數(shù)，求z2.[審題視點(diǎn)]利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求z1，再設(shè)z2＝a＋2i(a∈R)，利用z1·z2是實(shí)數(shù)，求a.解由(z1－2)(1＋i)＝1－i，得z1－2＝eq\f(1－i,1＋i)＝－i，∴z1＝2－i.設(shè)z2＝a＋2i(a∈R)，∴z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a∵z1·z2∈R.∴a＝4.∴z2＝4＋2i.復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類(lèi)比多項(xiàng)式運(yùn)算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式．【訓(xùn)練3】(2011·湖北)i為虛數(shù)單位，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2011＝()．A．－iB．－1C．i解析因?yàn)閑q\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i1＋i,2)＝i，所以原式＝i2011＝i4×502＋3＝i3＝－i.答案A難點(diǎn)突破27——復(fù)數(shù)的幾何意義問(wèn)題復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)數(shù)中的難點(diǎn)，化解難點(diǎn)的關(guān)鍵是對(duì)復(fù)數(shù)的幾何意義的正確理解．對(duì)于復(fù)數(shù)的幾何意義的理解可以從以下兩個(gè)方面著手：(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2)，實(shí)際上就是指復(fù)平面上的點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離；|z1－z2|的幾何意義是復(fù)平面上的點(diǎn)Z1、Z2兩點(diǎn)間的距離．(2)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up6(→)).【示例1】?(2011·山東)復(fù)數(shù)z＝eq\f(2－i,2＋i)(