第6章線性系統(tǒng)綜合

1、Ch.6 線性系統(tǒng)綜合線性系統(tǒng)綜合本本 章章 簡簡 介介(1/1)(1/1)本本 章章 簡簡 介介q 本章章討論線性系統(tǒng)的系統(tǒng)綜合問題。 主要介紹狀態(tài)空間分析方法在系統(tǒng)控制與綜合中的應(yīng)用,主要內(nèi)容為 狀態(tài)反饋與極點(diǎn)配置、 系統(tǒng)鎮(zhèn)定、 系統(tǒng)解耦、 狀態(tài)觀測器， 以及帶觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)。 最后介紹基于Matlab的線性系統(tǒng)的系統(tǒng)綜合問題求解及閉環(huán)控制系統(tǒng)的運(yùn)動仿真問題的程序設(shè)計與仿真計算。目錄目錄(1/1)(1/1)目目 錄錄q 概述概述q 6.1 狀態(tài)反饋與輸出反饋狀態(tài)反饋與輸出反饋q 6.2 反饋控制與極點(diǎn)配置反饋控制與極點(diǎn)配置q 6.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)定系統(tǒng)鎮(zhèn)定q 6.4 系統(tǒng)解耦系統(tǒng)解耦q

2、 6.5 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器q 6.6 帶狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統(tǒng)帶狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統(tǒng)q 6.7 Matlab問題問題q 本章小結(jié)本章小結(jié)概述概述(1/12)(1/12)概述概述q 系統(tǒng)綜合是系統(tǒng)分析的逆問題。 系統(tǒng)分析問題即為對已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù),以及確定好系統(tǒng)的外部輸入(系統(tǒng)激勵)下,對系統(tǒng)運(yùn)動進(jìn)行定性分析 如能控性、能觀性、穩(wěn)定性等和定量運(yùn)動規(guī)律分析 如系統(tǒng)運(yùn)動軌跡、系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)等。的探討。 而系統(tǒng)綜合問題為已知系統(tǒng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù),以及所期望的系統(tǒng)運(yùn)動形式或關(guān)于系統(tǒng)運(yùn)動動態(tài)過程和目標(biāo)的某些特征,所需要確定的是則需要施加于系統(tǒng)的外部輸入的大小或規(guī)律。概述概述(2/12)(2/

3、12) 一般情況下,控制理論發(fā)展與控制系統(tǒng)設(shè)計的追求目標(biāo)為解析的反饋控制作用規(guī)律(反饋控制律)。 對復(fù)雜的動力學(xué)被控系統(tǒng),在解析反饋控制規(guī)律難于求解的情形下,需要求系統(tǒng)的數(shù)值反饋控制規(guī)律或外部輸入函數(shù)的數(shù)值解序列(開環(huán)控制輸入)。q 系統(tǒng)綜合首先需要確定關(guān)于系統(tǒng)運(yùn)動形式，或關(guān)于系統(tǒng)運(yùn)動動態(tài)過程和目標(biāo)的某些特征的性能指標(biāo)函數(shù),然后據(jù)此確定控制規(guī)律。 綜合問題的性能指標(biāo)函數(shù)可分為優(yōu)化型和非優(yōu)化型性能指標(biāo), 兩者差別在于:概述概述(3/12)(3/12)v 優(yōu)化性能指標(biāo)是一類極值型指標(biāo),綜合的目的是使該性能指標(biāo)函數(shù)取極小(極大)；v 而非優(yōu)化型性能指標(biāo)是一類由不等式及等式約束的性能指標(biāo)凸空間,一般只

4、要求解的控制規(guī)律對應(yīng)的性能指標(biāo)到達(dá)該凸空間即可。 對優(yōu)化型性能指標(biāo)，需要函數(shù)優(yōu)化理論和泛函理論求解控制規(guī)律； 而對非優(yōu)化型性能指標(biāo)一般存在解析方法求解控制規(guī)律,如極點(diǎn)配置方法。概述概述(4/12)(4/12)q 對于非優(yōu)化型性能指標(biāo),按照對閉環(huán)系統(tǒng)期望的運(yùn)動形式從不同的角度去規(guī)定性能,可以有多種提法和形式。 常用的非優(yōu)化型性能指標(biāo)提法有以下幾種。 以系統(tǒng)漸近穩(wěn)定作為性能指標(biāo),相應(yīng)的綜合問題為鎮(zhèn)定問題。 以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置或極點(diǎn)凸約束區(qū)域(空間)為性能指標(biāo),相應(yīng)的綜合問題為極點(diǎn)配置問題。v 對線性定常系統(tǒng),系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各種性能的品質(zhì)指標(biāo)(如過渡過程的快速性、超調(diào)量、周期性),在很大程

5、度上是由閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位置所決定的。概述概述(5/12)(5/12)v 因此,在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計時,設(shè)法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于s平面上的一組合理的、具有所期望的性能品質(zhì)指標(biāo)的期望極點(diǎn)上,可以有效地改善系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)。 將一個MIMO系統(tǒng)通過反饋控制實現(xiàn)一個輸入只控制一個輸出的系統(tǒng)綜合問題稱為系統(tǒng)解耦問題。v 系統(tǒng)解耦對于高維復(fù)雜系統(tǒng)尤為重要。 以使系統(tǒng)的輸出y(t)無靜差地跟蹤一個外部信號y0(t)作為性能指標(biāo),相應(yīng)得綜合問題稱為跟蹤問題。概述概述(6/12)(6/12)q 優(yōu)化型性能指標(biāo)一般定義為關(guān)于狀態(tài)x(t)和輸入u(t)的積分型性能指標(biāo)函數(shù)或關(guān)于末態(tài)x(tf)的末值型性能指標(biāo)函數(shù)。 而綜

6、合的任務(wù),就是要確定使性能指標(biāo)函數(shù)取極值的控制規(guī)律,即最優(yōu)控制律。 相應(yīng)地性能指標(biāo)函數(shù)值則稱為最優(yōu)性能。概述概述(7/12)(7/12)q 系統(tǒng)綜合問題,無論是對優(yōu)化型還是非優(yōu)化型性能指標(biāo)函數(shù),首先存在2個主要問題。 一個是控制的存在性問題,即所謂可綜合條件、控制規(guī)律存在條件。 顯然,只有對可綜合的問題,控制命題才成立,才有必要去求解控制規(guī)律。 對不可綜合的問題,可以考慮修正性能指標(biāo)函數(shù),或改變被控系統(tǒng)的機(jī)理、結(jié)構(gòu)或參數(shù),以使系統(tǒng)可綜合條件成立。概述概述(8/12)(8/12) 另一個是如何求解控制規(guī)律,即構(gòu)造求解控制律的解析求解方法或計算機(jī)數(shù)值算法。 利用這些算法,對滿足可綜合條件的系統(tǒng),可

7、確定控制規(guī)律,如確定相應(yīng)的狀態(tài)反饋或輸出反饋矩陣。 以現(xiàn)代技術(shù)的觀點(diǎn),這些方法應(yīng)方便地使用計算機(jī)實現(xiàn),其相應(yīng)的數(shù)值計算方法具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性,即在計算過程中可能出現(xiàn)的計算誤差是否被不斷放大、傳播,還是被抑制在一個小的范圍,其影響逐漸減弱。概述概述(9/12)(9/12)q 在綜合問題中,不僅存在可綜合問題和算法求解問題,還存在控制系統(tǒng)在工程實現(xiàn)上所涌現(xiàn)的一些理論問題。如:狀態(tài)獲取問題狀態(tài)獲取問題 對狀態(tài)反饋控制系統(tǒng),要實現(xiàn)已求解的狀態(tài)反饋規(guī)律,需要獲取被控系統(tǒng)的狀態(tài)信息,以構(gòu)成反饋。 但對許多實際系統(tǒng),所考慮的狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部信息的一組變量,可能并不完全能直接測量或以經(jīng)濟(jì)的方式測量。

8、這就需要基于狀態(tài)觀測理論,根據(jù)系統(tǒng)模型,利用直接測量到的輸入輸出信息來構(gòu)造或重構(gòu)狀態(tài)變量信息。 相應(yīng)的理論問題稱為狀態(tài)重構(gòu)問題,即觀測器問題。概述概述(10/12)(10/12)建模誤差和參數(shù)攝動問題建模誤差和參數(shù)攝動問題 對系統(tǒng)綜合問題,首先需建立一個描述系統(tǒng)動力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型。 并且,系統(tǒng)分析與綜合都是建立在模型基礎(chǔ)上的。 正如在第2章概述中指出的,系統(tǒng)模型是理想與現(xiàn)實,精確描述與簡化描述的折中,任何模型都會有建模誤差。 此外,由于系統(tǒng)本身的復(fù)雜性及其所處環(huán)境的復(fù)雜性,系統(tǒng)的動力學(xué)特性會產(chǎn)生緩慢變化。 這種變化在一定程度上可視為系統(tǒng)模型的參數(shù)攝動。概述概述(11/12)(11/12) 這

9、樣,基于理想模型綜合得到的控制器,運(yùn)用于實際系統(tǒng)中所構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，對這些建模誤差和參數(shù)攝動是否具有良好的抗干擾性(不敏感性),是否使系統(tǒng)保持穩(wěn)定,是否使系統(tǒng)達(dá)到或接近預(yù)期的性能指標(biāo)成為控制系統(tǒng)實現(xiàn)的關(guān)鍵問題。v 該問題稱為系統(tǒng)魯棒性問題。v 基于提高系統(tǒng)魯棒性的控制綜合方法也稱為魯棒控制方法。概述概述(12/12)(12/12)q 下面,本章將就這些系統(tǒng)綜合的主要問題,如 極點(diǎn)配置、 鎮(zhèn)定、 解耦與 觀測器問題,基于狀態(tài)反饋理論作細(xì)致討論。狀態(tài)反饋與輸出反饋狀態(tài)反饋與輸出反饋(1/3)(1/3)6.1 狀態(tài)反饋與輸出反饋狀態(tài)反饋與輸出反饋q 控制理論最基本的任務(wù)是,對給定的被控系統(tǒng)設(shè)計能

10、滿足所期望的性能指標(biāo)的閉環(huán)控制系統(tǒng),即尋找反饋控制律。 狀態(tài)反饋和輸出反饋是控制系統(tǒng)設(shè)計中兩種主要的反饋策略,其意義分別為將觀測到的狀態(tài)和輸出取作反饋量以構(gòu)成反饋律,實現(xiàn)對系統(tǒng)的閉環(huán)控制,以達(dá)到期望的對系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求。 在經(jīng)典控制理論中,一般只考慮由系統(tǒng)的輸出變量來構(gòu)成反饋律,即輸出反饋。 在現(xiàn)代控制理論的狀態(tài)空間分析方法中,多考慮采用狀態(tài)變量來構(gòu)成反饋律,即狀態(tài)反饋。狀態(tài)反饋與輸出反饋狀態(tài)反饋與輸出反饋(2/3)(2/3) 之所以采用狀態(tài)變量來構(gòu)成反饋律,是因為狀態(tài)空間分析中所采用的模型為狀態(tài)空間模型,其狀態(tài)變量可完全描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性。 由于由狀態(tài)變量所得到的關(guān)于系統(tǒng)動靜態(tài)的信息比輸

11、出變量提供的信息更豐富、更全面, 因此，若用狀態(tài)來構(gòu)成反饋控制律,與用輸出反饋構(gòu)成的反饋控制律相比,則設(shè)計反饋律有更大的可選擇的范圍,而閉環(huán)系統(tǒng)能達(dá)到更佳的性能。 另一方面,從狀態(tài)空間模型輸出方程可以看出,輸出反饋可視為狀態(tài)反饋的一個特例。 因此,采用狀態(tài)反饋應(yīng)能達(dá)到更高的性能指標(biāo)。q 本節(jié)討論的主要問題： 基本概念: 狀態(tài)反饋、輸出反饋 基本性質(zhì): 反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性/能觀性q 本節(jié)的講授順序為: 狀態(tài)反饋的描述式狀態(tài)反饋的描述式 輸出反饋的描述式輸出反饋的描述式 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性q 由于線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型以及能控性判據(jù)的類同性,因此本節(jié)討

12、論的概念和方法也可推廣到線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和輸出反饋系統(tǒng)的分析和設(shè)計問題。狀態(tài)反饋與輸出反饋狀態(tài)反饋與輸出反饋(3/3)(3/3)重點(diǎn)喔！狀態(tài)反饋的描述式狀態(tài)反饋的描述式(1/3)(1/3)6.1.1 狀態(tài)反饋的描述式狀態(tài)反饋的描述式q 對線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C),若取系統(tǒng)的狀態(tài)變量來構(gòu)成反饋,則所得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱為狀態(tài)反饋系統(tǒng)。 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可如圖6-1所示 B A C K u y + v x + - + x 開環(huán)系統(tǒng) 圖6-1 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖其中K為rn維的實矩陣,稱為狀態(tài)反饋矩陣;v為r維的輸入向量,亦稱為伺服輸入。 將狀態(tài)反饋律代入開環(huán)系統(tǒng)方程,q

13、 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可描述如下: 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型和狀態(tài)反饋律分別記為狀態(tài)反饋的描述式狀態(tài)反饋的描述式(2/3)(2/3)ABCK xxuyxuxv()ABKBC xxvyxu=-Kx+v 則可得如下狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型:狀態(tài)反饋的描述式狀態(tài)反饋的描述式(3/3)(3/3) 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)可簡記為K(A-BK,B,C),其傳遞函數(shù)陣為:GK(s)=C(sI-A+BK)-1B輸出反饋的描述式輸出反饋的描述式(1/3)(1/3)6.1.2 輸出反饋的描述式輸出反饋的描述式q 對線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C),若取系統(tǒng)的輸出變量來構(gòu)成反饋,則所得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱為

14、輸出反饋控制系統(tǒng)。 輸出反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖6-2所示。 B A C H y - x u v + + + x 開環(huán)系統(tǒng) 與狀態(tài)反饋有何不同?圖6-2 輸出反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖q 輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可描述如下: 開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型和輸出反饋律分別為輸出反饋的描述式輸出反饋的描述式(2/3)(2/3)ABCH xxuyxuyv其中H為rm維的實矩陣,稱為輸出反饋矩陣。 將輸出反饋律代入開環(huán)系統(tǒng)方程,()ABHCBC xxvyxu=-Hy+vy=Cx 則可得如下輸出反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型:輸出反饋的描述式輸出反饋的描述式(3/3)(3/3) 輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)可簡記為H(A-BH

15、C,B,C),其傳遞函數(shù)陣為:GH(s)=C(sI-A+BHC)-1Bq 由狀態(tài)反饋和輸出反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)空間模型可知,輸出反饋其實可以視為當(dāng)K=HC時的狀態(tài)反饋。 因此,在進(jìn)行系統(tǒng)分析時,輸出反饋可看作狀態(tài)反饋的一種特例。 反之,則不然。 由此也可知,狀態(tài)反饋可以達(dá)到比輸出反饋更好的控制品質(zhì),更佳的性能。Understand?閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(1/1)6.1.3 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性q 對于由狀態(tài)反饋和輸出反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng),其狀態(tài)能控/能觀性是進(jìn)行反饋律設(shè)計和閉環(huán)系統(tǒng)分析時所關(guān)注的問題。 下面分別討論兩種閉環(huán)系統(tǒng)的 狀態(tài)能控性狀態(tài)能控性 狀態(tài)能觀性狀態(tài)能觀性閉環(huán)系

16、統(tǒng)的狀態(tài)能控性(1/1)1. 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性q 由狀態(tài)能控性模態(tài)判據(jù)狀態(tài)能控性模態(tài)判據(jù)(定理定理3-3),被控系統(tǒng)(A,B,C)采用狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK,B,C)的能控性可由條件rankI-A+BK B=n 來判定,而0r-r -r-II ABK BI A BI A BKI上式即表明狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。q 由于輸出反饋可視為狀態(tài)反饋在K=HC時的特例,故輸出反饋亦不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性(1/7)2. 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性q 對被控系統(tǒng)(A,B,C)有如下結(jié)論: 采用輸出反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)H(A-BHC,

17、B,C)后狀態(tài)能觀性不變,即 輸出反饋不改變狀態(tài)能觀性輸出反饋不改變狀態(tài)能觀性。q 根據(jù)對偶性原理和輸出反饋不改變狀態(tài)能控性的結(jié)論,可對上述結(jié)論證明如下:閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性(2/7)證明過程圖解證明過程圖解輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)H(A-BHC,B,C)的狀態(tài)能觀性對偶原理經(jīng)輸出反饋H(A,C,B)的狀態(tài)能控性對偶原理(A,B,C)的狀態(tài)能觀性對偶系統(tǒng) 的狀態(tài)能控性),BCBHCAH(需證明的結(jié)論?閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性(3/7)證明過程證明過程: 輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)H(A-BHC,B,C)的狀態(tài)能觀性等價于其對偶系統(tǒng) (A-CHB,C,B)的狀態(tài)能控性;H 而該對偶系統(tǒng)可以視為是系統(tǒng)(A,C,B)經(jīng)輸

18、出反饋陣為H構(gòu)成的閉環(huán)反饋系統(tǒng); 由于輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性,因此閉環(huán)系統(tǒng)H(A-BHC,B,C)的狀態(tài)能觀性等價于系統(tǒng)(A,C,B)的狀態(tài)能控性; 又由對偶性原理有,系統(tǒng)(A,C,B)的狀態(tài)能控性等價于其對偶系統(tǒng)(A,B,C)的狀態(tài)能觀性。 因此,證明得閉環(huán)系統(tǒng)H(A-BHC,B,C)的狀態(tài)能觀性等價于系統(tǒng)(A,B,C)的狀態(tài)能觀性。 故輸出反饋不改變狀態(tài)能觀性輸出反饋不改變狀態(tài)能觀性。閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性(4/7)例例1 1q 對于采用狀態(tài)反饋構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)K(A-BK,B,C),狀態(tài)反饋可能改變狀態(tài)能觀性。 該結(jié)論可先由下面的例子來說明,在后述的極點(diǎn)配置部分再詳細(xì)討論。q 例6-

19、1 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為12031112 xxuyx并設(shè)狀態(tài)反饋陣K=3 1和輸出反饋H=2。試分析該系統(tǒng)的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)和輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控/能觀性。閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性(5/7)q 解解 1： 因為開環(huán)系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣的秩分別為nCACnABB24721rankrank21120rankrank所以開環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控又能觀的。2. 經(jīng)狀態(tài)反饋u=-Kx+v后的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為120()001ABKB xxvxv其能控性矩陣和能觀性矩陣的秩分別為閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性(6/7)所以狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控但不能觀的,即狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。3.

20、 經(jīng)輸出反饋u=-Hy+v后的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為02rank() rank21012rankrank1()12BABK BnCnC ABK 120()131ABHCB xxvxv其能控性矩陣和能觀性矩陣的秩分別為閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性(7/7)所以輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控又能觀的。02rank()rank21-312rankrank2()3-4BABHC BnCnC ABHC反饋控制與極點(diǎn)配置(1/5)6.2 反饋控制與極點(diǎn)配置反饋控制與極點(diǎn)配置q 本節(jié)討論如何利用狀態(tài)反饋與輸出反饋來進(jìn)行線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置,即使反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)具有所指定的閉環(huán)極點(diǎn)。 對線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設(shè)計

21、問題,有完全平行的結(jié)論和方法。反饋控制與極點(diǎn)配置(2/5)q 對線性定常系統(tǒng),系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各種性能的品質(zhì)指標(biāo),在很大程度上是由閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位置所決定的。 因此在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計時,設(shè)法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于s平面上的一組合理的、具有所期望的性能品質(zhì)指標(biāo)的極點(diǎn),是可以有效地改善系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)的。 這樣的控制系統(tǒng)設(shè)計方法稱為極點(diǎn)配置。 在經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中,無論采用頻率域法還是根軌跡法,都是通過改變極點(diǎn)的位置來改善性能指標(biāo),本質(zhì)上均屬于極點(diǎn)配置方法。 本節(jié)所討論得極點(diǎn)配置問題,則是指如何通過狀態(tài)反饋陣K的選擇,使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好處于預(yù)先選擇的一組期望極點(diǎn)上。反饋控制與極點(diǎn)配置(

22、3/5)q 由于線性定常系統(tǒng)的特征多項式為實系數(shù)多項式,因此考慮到問題的可解性,對期望的極點(diǎn)的選擇應(yīng)注意下列問題:1) 對于n階系統(tǒng),可以而且必須給出n個期望的極點(diǎn);2) 期望的極點(diǎn)必須是實數(shù)或成對出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù);3) 期望的極點(diǎn)必須體現(xiàn)對閉環(huán)系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)等的要求。 p2 p1 p3 反饋控制與極點(diǎn)配置(4/5)q 基于指定的期望閉環(huán)極點(diǎn),線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置問題可描述為: 給定線性定常連續(xù)系統(tǒng) 確定反饋控制律uxxBA 使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在指定的n個期望的閉環(huán)極點(diǎn)也就是成立vxuKnisBKAii,.,2 , 1,)(*反饋控制與極點(diǎn)配置(5/5)q 下面

23、分別討論: 狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理 SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法 MIMO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法 輸出反饋極點(diǎn)配置輸出反饋極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(1/11)6.2.1 狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理q 在進(jìn)行極點(diǎn)配置時,存在如下問題: 被控系統(tǒng)和所選擇的期望極點(diǎn)滿足哪些條件,則是可以進(jìn)行極點(diǎn)配置的。 下面的定理就回答了該問題。狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(2/11)q 定理3-22 對線性定常系統(tǒng)(A,B,C)利用線性狀態(tài)反饋陣K,能使閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK,B,C)的極點(diǎn)任意

24、配置的充分必要條件為被控系統(tǒng)(A,B,C)狀態(tài)完全能控。 q 證明證明 (1) 先證充分性先證充分性(條件條件結(jié)論結(jié)論)。 即證明,若被控系統(tǒng)(A,B,C)狀態(tài)完全能控,則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK,B,C)必能任意配置極點(diǎn)。 由于線性變換和狀態(tài)反饋都不改變狀態(tài)能控性,而開環(huán)被控系統(tǒng)(A,B,C)狀態(tài)能控,因此一定存在線性變換能將其變換成能控規(guī)范II形。 不失一般性,下面僅對能控規(guī)范II形證明充分性。狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(3/11) 下面僅對SISO系統(tǒng)進(jìn)行充分性的證明,對MIMO系統(tǒng)可完全類似于SISO的情況完成證明過程。 證明過程的思路為:分別求出開環(huán)與閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞

25、函數(shù)陣比較兩傳遞函數(shù)陣的特征多項式建立可極點(diǎn)配置的條件狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(4/11)證明過程證明過程: 設(shè)SISO被控系統(tǒng)(A,B,C)為能控規(guī)范II形,則其各矩陣分別為1.00.0.10bbbCBaaaAnnnn且其傳遞函數(shù)為nnnnnasasbsbsG.)(1111狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(5/11) 若SISO被控系統(tǒng)(A,B,C)的狀態(tài)反饋陣K為K=k1 k2 kn則閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK,B,C)的系統(tǒng)矩陣A-BK為nnnkakakaBKA-.-1.00.0.10-1211 相應(yīng)的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和特征多項式分別為

26、)(.)()()(.)(.)(11111111kaskassfkaskasbsbsGnnnnknnnnnnk狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(6/11) 如果由期望的閉環(huán)極點(diǎn)所確定的特征多項式為f*(s)=sn+a1*sn-1+an*那么,只需令fK(s)=f*(s),即取a1+kn=a1* an+k1=an*則可將狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK,B,C)的極點(diǎn)配置在特征多項式f*(s)所規(guī)定的極點(diǎn)上。 即證明了充分性。 同時,我們還可得到相應(yīng)的狀態(tài)反饋陣為K=k1 k2 kn 其中*11in in ikaa 狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(7/11)(2) 再證必要性再證必要

27、性(結(jié)論結(jié)論條件條件)。 即證明,若被控系統(tǒng)(A,B,C)可進(jìn)行任意極點(diǎn)配置,則該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。 采用反證法。采用反證法。 即證明即證明,假設(shè)系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的,但可以進(jìn)行任意的極點(diǎn)配置。證明過程的思路為證明過程的思路為:對狀態(tài)不完全能控開環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行能控分解對能控分解后的系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋其完全不能控子系統(tǒng)不能進(jìn)行極點(diǎn)配置與假設(shè)矛盾,必要性得證狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(8/11)證明過程證明過程:1111121222200AABAxxuxx其中狀態(tài)變量 是完全能控的;狀態(tài)變量 是完全不能控的。1 x2 x 對狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK,B,C)作同樣的線性變換,有1

28、1111112121222200AB KAB KBA xxvxx其中12cKKKP 被控系統(tǒng)(A,B,C)狀態(tài)不完全能控,則一定存在線性變換x=Pc ,對其可進(jìn)行能控分解,得到如下狀態(tài)空間模型: x狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(9/11) 由上式可知,狀態(tài)完全不能控子系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 的特征值不能通過狀態(tài)反饋改變,即該部分的極點(diǎn)不能配置。22A 雖然狀態(tài)完全能控子系統(tǒng)的 的特征值可以任意配置,但其特征值個數(shù)少于整個系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 的特征值個數(shù)。11AA 因此,系統(tǒng) 的所有極點(diǎn)并不是都能任意配置。( , ,)A B C 由于線性變換不改變系統(tǒng)特征值,因此系統(tǒng)(A,B,C)的極點(diǎn)并不是都

29、能任意配置的。 這與前面假設(shè)矛盾,即證明被控系統(tǒng)可任意極點(diǎn)配置,則是狀態(tài)完全能控的。 故必要性得證。 狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(10/11)q 由能控規(guī)范II形的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表明,狀態(tài)反饋雖然可以改變系統(tǒng)的極點(diǎn),但不能改變系統(tǒng)的零點(diǎn)。 當(dāng)被控系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控時,其極點(diǎn)可以進(jìn)行任意配置。 因此,當(dāng)狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)恰好配置與開環(huán)的零點(diǎn)重合時,則閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中將存在零極點(diǎn)相消現(xiàn)象。 根據(jù)零極點(diǎn)相消定理可知,閉環(huán)系統(tǒng)或狀態(tài)不能控或狀態(tài)不能觀。)(.)(.)(11111kaskasbsbsGnnnnnnk狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(11/11) 由

30、于狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)保持其開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控特性,故該閉環(huán)系統(tǒng)只能是狀態(tài)不完全能觀的。 這說明了狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。 從以上說明亦可得知,若SISO系統(tǒng)沒有零點(diǎn),則狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(1/10)6.2.2 SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法q 上述定理及其證明不僅說明了被控系統(tǒng)能進(jìn)行任意極點(diǎn)配置的充分必要條件,而且給出了求反饋矩陣K的一種方法。對此,有如下討論:1. 由上述定理的充分性證明中可知,對于SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題,若其狀態(tài)空間模型為能控規(guī)范II形,則相應(yīng)反饋矩陣

31、為K=k1 kn=an*-an a1*-a1其中ai和ai*(i=1,2,n)分別為開環(huán)系統(tǒng)特征多項式和所期望的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式的系數(shù)。SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(2/10)11222cccATATBT B對能控規(guī)范II形進(jìn)行極點(diǎn)配置,求得相應(yīng)的狀態(tài)反饋陣如下因此,原系統(tǒng)的相應(yīng)狀態(tài)反饋陣K為*1111nnnnKaaaaaa2cKKT2. 若SISO被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型不為能控規(guī)范II形,則由4.6節(jié)討論的求能控規(guī)范II形的方法,利用線性變換x=Tc2 ,將系統(tǒng)(A,B)變換成能控規(guī)范II形 ,即有x ( ,) A BSISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋

32、極點(diǎn)配置方法(3/10)例2q 下面通過兩個例子來說明計算狀態(tài)反饋陣K的方法。q 例6-2 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為122131 xxu求狀態(tài)反饋陣K使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為-1j2。SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(4/10)q 解解 1： 判斷系統(tǒng)的能控性。判斷系統(tǒng)的能控性。 開環(huán)系統(tǒng)的能控性矩陣為114-2ABB則開環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控,可以進(jìn)行任意極點(diǎn)配置。2. 求能控規(guī)范求能控規(guī)范II形形:1025108121613/16/11012212111211BTBATTAATTTABBTccccSISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(5/10)3. 求反饋

33、律求反饋律: 因此開環(huán)特征多項式f(s)=s2-2s-5,而由期望的閉環(huán)極點(diǎn)-1j2所確定的期望閉環(huán)特征多項式f*(s)=s2+2s+5,則得狀態(tài)反饋陣K為3/263/7-81-21-61)2- ( -2)5- ( -5-121*12*212ccTaaaaTKK則在反饋律u=-Kx+v下的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(6/10)11582141713 xxu通過驗算可知,該閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為-1j2,達(dá)到設(shè)計要求。SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(7/10)例3q 例6-3 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為)2)(1(10)(ssssG

34、試選擇一種狀態(tài)空間實現(xiàn)并求狀態(tài)反饋陣K,使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在-2和-1j上。q 解解 1：要實現(xiàn)極點(diǎn)任意配置,則系統(tǒng)實現(xiàn)需狀態(tài)完全能控。 因此,可選擇能控規(guī)范II形來建立被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 故有SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(8/10)0100001002311000 xxuyx2. 系統(tǒng)的開環(huán)特征多項式f(s)和由期望的閉環(huán)極點(diǎn)所確定的閉環(huán)特征多項式f*(s)分別為f(s)=s3+3s2+2sf*(s)=s3+4s2+6s+4則相應(yīng)的反饋矩陣K為K=a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(9/10)q

35、 因此,在反饋律u=-Kx+v下,閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為0100001046411000 xxuyxq 在例6-3中,由給定的傳遞函數(shù)通過狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置時需先求系統(tǒng)實現(xiàn),即需選擇狀態(tài)變量和建立狀態(tài)空間模型。 這里就存在一個所選擇的狀態(tài)變量是否可以直接測量、可以直接作反饋量的問題。SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(10/10) 由于狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)運(yùn)動和特性的,因此對實際控制系統(tǒng),它可能不能直接測量,更甚者是抽象的數(shù)學(xué)變量,實際中不存在物理量與之直接對應(yīng)。 若狀態(tài)變量不能直接測量,則在狀態(tài)反饋中需要引入所謂的狀態(tài)觀測器來估計系統(tǒng)的狀態(tài)變量的值,再用此估計值來構(gòu)

36、成狀態(tài)反饋律。這將在下節(jié)中詳述。MIMO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(1/2)6.2.3 MIMO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法q MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)極點(diǎn)配置問題的提法為:nisBKAii,.,2 , 1,)(* 對給定的狀態(tài)完全能控的MIMO被控系統(tǒng)(A,B)和一組所期望的閉環(huán)極點(diǎn) ,要確定rn的反饋矩陣K,使成立nisi,.,2 , 1,*MIMO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(2/2)q 對SISO系統(tǒng),由極點(diǎn)配置方法求得的狀態(tài)反饋陣K是唯一的,而由MIMO系統(tǒng)的極點(diǎn)配置所求得的狀態(tài)反饋陣K不唯一。 這也導(dǎo)致了求取MIMO系統(tǒng)

37、極點(diǎn)配置問題的狀態(tài)反饋矩陣的方法多樣性。 MIMO系統(tǒng)極點(diǎn)配置主要方法有:(1) 化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法(2) 基于基于MIMO能控規(guī)范形的極點(diǎn)配置方法能控規(guī)范形的極點(diǎn)配置方法(3) 魯棒特征結(jié)構(gòu)配置的極點(diǎn)配置方法。 下面分別介紹前2種方法。 化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法(1/8)1. 化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法q 對能控的多輸入系統(tǒng),若能先通過狀態(tài)反饋化為單輸入系統(tǒng),則可以利用前面介紹的SISO系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法來求解MIMO系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題的狀態(tài)反饋矩陣。q 為此,有如下MIMO系統(tǒng)極點(diǎn)配置矩陣求

38、解算法步驟。第第1步步: 判斷系統(tǒng)矩陣A是否為循環(huán)矩陣(即每個特征值僅有一個約旦塊或其幾何重數(shù)等于1)。 若否,則先選取一個rn維的反饋矩陣K1,使A-BK1為循環(huán)矩陣,并令 ;若是,則直接令 。1AABKAA化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法(2/8)第第3步步: 對于等價的單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題,利用單輸入極點(diǎn)配置方法,求出狀態(tài)反饋矩陣K2,使極點(diǎn)配置在期望的閉環(huán)極點(diǎn) 。nisi,.,2 , 1,*第第2步步: 對循環(huán)矩陣,適當(dāng)選取r維實列向量p,令b=Bp且為能控的。第第4步步: 當(dāng)A為循環(huán)矩陣時,MIMO系統(tǒng)的極點(diǎn)配置反饋矩陣解K=pK2;當(dāng)A不為循環(huán)矩陣時,M

39、IMO系統(tǒng)的極點(diǎn)配置反饋矩陣解K=pK2+K1。化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法(3/8)例4q 在上述算法中,之所以需要判斷系統(tǒng)矩陣A是否為循環(huán)矩陣是因為對單輸入系統(tǒng), 若A不為循環(huán)矩陣(其某個特征值對應(yīng)約旦塊多于一個),則根據(jù)推論3-1,系統(tǒng)直接轉(zhuǎn)化成的單輸入系統(tǒng)不能控,不能進(jìn)行極點(diǎn)配置。q 例例6-4 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為uxx110110100010011求狀態(tài)反饋陣K使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為-2,-1j2。 化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法(4/8)例4q 解解 (1) 判斷系統(tǒng)的能控性。 由于被控系統(tǒng)狀態(tài)空間模型恰為約旦規(guī)范形,由定理

40、3-2可知,該開環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控,可以進(jìn)行任意極點(diǎn)配置。(2) 由于系統(tǒng)矩陣A不為循環(huán)矩陣,需求取rn維的反饋矩陣K1,使為循環(huán)矩陣。 試選反饋矩陣K1為:100000化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法(5/8)例4 可以驗證為循環(huán)矩陣。2000101111BKAA(3) 對循環(huán)矩陣 ,選取r維實列向量p=1 1為,可以驗證A211,200010111),(),(BpAbA為能控的?；癁閱屋斎胂到y(tǒng)的極點(diǎn)配置方法化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法(6/8)例4(4) 對于等價的能控的單輸入系統(tǒng) 的極點(diǎn)配置問題,利用單輸入極點(diǎn)配置方法,求出將閉環(huán)極點(diǎn)配置在-2,-1j2的狀態(tài)反饋矩

41、陣K2為),(bA211112121300112224312642286cTBABA BTTT AT A K2=-24 -68 50計算過程為化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法(7/8)例4 因此系統(tǒng)開環(huán)特征多項式f(s)=|sI-A|=s3-4s2+5s-2,而由期望的閉環(huán)極點(diǎn)-3,-1j2所確定的期望的閉環(huán)特征多項式f(s)=s3+4s2+9s+10,則得系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K2為1*1223322112- 243110-(-2) 9-54-(-4)2642286246850ccKKTa aa aa a T 化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法(8/8

42、)例4(5) 對MIMO系統(tǒng)的極點(diǎn)配置反饋矩陣解為4968245068241000005068241112KpKK則在反饋律u=-Kx+v下的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為vxx1101109813648506924496925通過驗算可知,該閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為-2,-1j2,達(dá)到設(shè)計要求。 基于基于MIMO能控規(guī)范能控規(guī)范II形的極點(diǎn)配置方法形的極點(diǎn)配置方法(1/1)2. 基于基于MIMO能控規(guī)范形的極點(diǎn)配置方法能控規(guī)范形的極點(diǎn)配置方法 q 類似于前面介紹的SISO系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法,對能控的MIMO系統(tǒng),也可以通過線性變換將其變換成旺納姆能控規(guī)范II形或龍伯格能控規(guī)范II形,然后再進(jìn)行相應(yīng)的極點(diǎn)配置。

43、 這種基于能控規(guī)范形的極點(diǎn)配置方法,計算簡便,易于求解。 下面分別介紹。 基于旺納姆能控規(guī)范基于旺納姆能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計 基于龍貝格能控規(guī)范基于龍貝格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計 基于旺納姆能控規(guī)范基于旺納姆能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(1/4)(1) 基于旺納姆能控規(guī)范基于旺納姆能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計 q 下面結(jié)合一個3個輸入變量,5個狀態(tài)變量的MIMO系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題求解來介紹基于旺納姆能控規(guī)范II形的極點(diǎn)配置算法。第一步第一步: 先將能控的MIMO系統(tǒng)化為旺納姆能控規(guī)范II形，變換方法如4.6節(jié)所介紹的。 不失一般性,設(shè)變換矩陣為，所變換成的旺納姆能控規(guī)范II形的系統(tǒng)矩

44、陣和輸入矩陣分別為:第二步第二步: 對給定的期望閉環(huán)極點(diǎn) ,按旺納姆能控規(guī)范II形 的對角線的維數(shù),相應(yīng)地計算基于旺納姆能控規(guī)范基于旺納姆能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(2/4)1113121121222322210100000*0010000*0010*0000100*01*wwwwwATATBTB *22*212*5*4*2*13*122*113*3*2*1*1)()()()()(sssssssfassssssssssfnisi,.,2 , 1,*wA基于旺納姆能控規(guī)范基于旺納姆能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(3/4)第三步第三步: 取旺納姆能控規(guī)范II形下的反饋矩陣 為*1313121211

45、11*222221210000000000wK將上述反饋矩陣 代入旺納姆能空規(guī)范II形驗算,可得wK*131211*212223222101000001000000001wwwAB K wK基于旺納姆能控規(guī)范基于旺納姆能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(4/4)第四步第四步: 原系統(tǒng)的反饋矩陣為1wwKK T1wwKK T基于龍伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(1/14)(2) 基于龍伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計 q 下面結(jié)合一個3個輸入變量,6個狀態(tài)變量的MIMO系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題求解來介紹基于龍伯格能控規(guī)范II形的極點(diǎn)配置算法。第一步第一步: 先將能控的M

46、IMO系統(tǒng)化為龍伯格能控規(guī)范II形變換，方法如4.6節(jié)所介紹的。 不失一般性,設(shè)變換矩陣為,所變換成的龍伯格能控規(guī)范II形的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣分別為:基于龍伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(2/14)1312111415161212223222126313233343531121312301000000100000001000000010011LLLLLATATBTB 基于龍伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(3/14)第二步第二步: 對給定的期望閉環(huán)極點(diǎn) ,按龍伯格能控規(guī)范II形 的對角線的維數(shù),相應(yīng)地計算nisi,.,2 , 1,*LA*3*2*11231

47、11213*2*2452122*3631( )()()()( )()()( )()fssssssssssafsssssssfssss基于龍伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(4/14)第三步第三步: 對龍伯格能控規(guī)范II形,一定存在狀態(tài)反饋陣 使得閉環(huán)反饋矩陣為 LK*131211*2221*3101000101LLLAB K 其中 為期望閉環(huán)特征多項式的系數(shù)。*ij 因此,將開環(huán)的 帶入代數(shù)上述方程,由該方程的第3,5,6行(即每個分塊的最后一行)可得如下關(guān)于狀態(tài)反饋陣 的方程LLAB和LK基于龍伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(5/14) 由代數(shù)方程論知識

48、可知,上述代數(shù)方程組有唯一解。 由于該方程為下三角代數(shù)方程組,可以快捷地求解出狀態(tài)反饋矩陣。第四步第四步: 原系統(tǒng)的反饋矩陣為1wwKK T*1213131312121111141516*232122232222212126*31323334353131111LK1LLKK T基于龍伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(6/14)例5q 例例6-5 試將線性連續(xù)定常系統(tǒng) 1wwKK T01000000010000310121100001004311401 xxu的閉環(huán)極點(diǎn)配置在和-1, -2j,-12j上。 基于龍伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(7/14)例5

49、q 解解 (1) 采用旺納姆能控規(guī)范II形求解。第一步第一步: 按照4.5節(jié)求解旺納姆能控規(guī)范II形的算法步驟求得如下旺納姆能控規(guī)范II形1wwKK T其中變換矩陣 0100001/220010003/2200010013/2200001049/2272414241161/22xxu1410001410 001414310004310wT基于龍伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(8/14)例5第二步第二步: 對給定的期望閉環(huán)極點(diǎn) ,按旺納姆能控規(guī)范II形的對角線的維數(shù),相應(yīng)地計算1wwKK T第三步第三步: 取旺納姆能控規(guī)范II形下的反饋矩陣為nisi,.,2 , 1,*5*5

50、43211( )()+7+24+48+55 +25iifssssssss32796226300000wK則閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為:基于龍伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(9/14)例51wwKK T01000001000001000001255548247wwwAB K 基于龍伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(10/14)例5第四步第四步: 原系統(tǒng)的反饋矩陣和閉環(huán)系統(tǒng)矩陣分別為 1wwKK T110412066150188100000220100000100-38/22-98/22-3-128/22-144/2200001431-1-4wwKK TABK基于龍

51、伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(11/14)例5(2) 采用龍貝格能控規(guī)范II形求解。第一步第一步: 按照4.5節(jié)求解龍貝格能控規(guī)范II形的算法步驟求得如下龍貝格能控規(guī)范II形1wwKK T其中變換矩陣 01000000010000430121100001003101401xxu1000001000 001001001001001LT基于龍伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(12/14)例5第二步第二步: 對給定的期望閉環(huán)極點(diǎn) ,按龍貝格能控規(guī)范II形的對角線的維數(shù),相應(yīng)地計算1wwKK T第三步第三步: 期望的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為 nisi,.,2 , 1,*3

52、21*22( )(1)(2)(2)595( )(12 )(12 )25fsssj sjsssfssj sjss 0100015950152LLLAB K 基于龍伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(13/14)例5 因此狀態(tài)反饋陣滿足的方程為即 *121313121211111415*2122232222212111LK119125120131042LK因此可以解得61353431042LK基于龍伯格能控規(guī)范基于龍伯格能控規(guī)范II形的設(shè)計形的設(shè)計(14/14)例5第四步第四步: 原系統(tǒng)的反饋矩陣和閉環(huán)系統(tǒng)矩陣分別為 19953411042010000010059500000015

53、2152LLKK TABK 輸出反饋極點(diǎn)配置輸出反饋極點(diǎn)配置(1/6)6.2.4 輸出反饋極點(diǎn)配置輸出反饋極點(diǎn)配置q 由于輸出變量空間可視為狀態(tài)變量空間的子空間,因此輸出反饋也稱之為部分狀態(tài)反饋。 由于輸出反饋包含的信息較狀態(tài)反饋所包含的信息少,因此輸出反饋的控制與鎮(zhèn)定能力必然要比狀態(tài)反饋弱。q 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出反饋極點(diǎn)配置問題可描述為: 給定線性定常連續(xù)系統(tǒng)ABCxxuyx輸出反饋極點(diǎn)配置輸出反饋極點(diǎn)配置(2/6)確定反饋控制律使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在指定的n個期望的閉環(huán)極點(diǎn)也就是成立nisBKAii,.,2 , 1,)(*vxu Hq 下面,先通過一輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)

54、變化,考察輸出反饋能否像狀態(tài)反饋那樣對能控系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置,然后給出相關(guān)結(jié)論。輸出反饋極點(diǎn)配置輸出反饋極點(diǎn)配置(3/6)q例例 考察下述能控能觀的系統(tǒng)它在輸出反饋下u=-hy下的閉環(huán)系統(tǒng)為其閉環(huán)特征多項式為s2+h。xxx01100010yu0100110uhy xxx輸出反饋極點(diǎn)配置輸出反饋極點(diǎn)配置(4/6)從而當(dāng)h的值變化時,閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)從2重的開環(huán)極點(diǎn)s=0配置到或,而不能任意配置。 而不能任意配置。 shsj h 或輸出反饋極點(diǎn)配置輸出反饋極點(diǎn)配置(5/6)q 上例說明,輸出反饋對能控能觀系統(tǒng)可以改變極點(diǎn)位置,但不能進(jìn)行任意的極點(diǎn)配置。 因此,對某些系統(tǒng),采取輸出反饋可能不能配置閉環(huán)

55、系統(tǒng)的所有極點(diǎn),使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定或具有所期望的閉環(huán)極點(diǎn)。 故,欲使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定或具有所期望的閉環(huán)極點(diǎn),要盡可能采取狀態(tài)反饋控制或動態(tài)輸出反饋控制(動態(tài)補(bǔ)償器)。q 關(guān)于輸出反饋可以任意配置極點(diǎn)數(shù)目p的問題,有如下定理(證明略)。q 定理定理6-2 對能控能觀的線性定常系統(tǒng)(A,B,C),可采用靜態(tài)輸出反饋進(jìn)行“幾乎”任意接近地配置p=minn,m+r-1個極點(diǎn)。輸出反饋極點(diǎn)配置輸出反饋極點(diǎn)配置(6/6)q 定理6-2中的n,m,r分別為狀態(tài)空間、輸出空間和輸入空間的維數(shù),“幾乎”任意接近地配置極點(diǎn)的意義為可以任意地接近于指定的期望極點(diǎn)位置,但并不意味著能確定配置在指定的期望極點(diǎn)位置上。 如,對

56、例6-6的輸出反饋問題,由于minn,m+r-1=1,則該系統(tǒng)可以通過輸出反饋“幾乎”任意接近地配置的極點(diǎn)數(shù)為1。 如期望的閉環(huán)極點(diǎn)為-1與-2,則輸出反饋矩陣可以取k=-1或-4,則可以將一個極點(diǎn)配置在-1或-2,但另一個閉環(huán)極點(diǎn)不能配置。 再如期望的閉環(huán)極點(diǎn)為-12j,則輸出反饋矩陣可以取k=1,則可以將一個極點(diǎn)配置在與期望極點(diǎn)-12j 最接近的-1上,但未能配置在期望的-12j上。系統(tǒng)鎮(zhèn)定(1/3)6.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)定系統(tǒng)鎮(zhèn)定q 受控系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋(或者輸出反饋),使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,這樣的問題稱為鎮(zhèn)定問題。 能通過反饋控制而達(dá)到漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)是可鎮(zhèn)定的。 鎮(zhèn)定只要求閉環(huán)極點(diǎn)位于復(fù)平面的

57、左半開平面之內(nèi)。 鎮(zhèn)定問題的重要性主要體現(xiàn)在3個方面: 首先,穩(wěn)定性往往是控制系統(tǒng)能夠正常工作的必要條件,是對控制系統(tǒng)的最基本的要求; 其次,許多實際的控制系統(tǒng)是以漸近穩(wěn)定作為最終設(shè)計目標(biāo);系統(tǒng)鎮(zhèn)定(2/3) 最后,穩(wěn)定性往往還是確?？刂葡到y(tǒng)具有其它性能和條件,如漸近跟蹤控制問題等。q 鎮(zhèn)定問題是系統(tǒng)極點(diǎn)配置問題的一種特殊情況,它只要求把閉環(huán)極點(diǎn)配置在s平面的左側(cè),而并不要求將極點(diǎn)嚴(yán)格配置在期望的極點(diǎn)上。 為了使系統(tǒng)穩(wěn)定,只需將那些不穩(wěn)定因子,即具有非負(fù)實部的極點(diǎn),配置到s平面的左半開平面即可。 因此,通過狀態(tài)(輸出)反饋矩陣使系統(tǒng)的特征值得到相應(yīng)配置,把系統(tǒng)的特征值(即的特征值)配置在平面的

58、左半開平面就可以實現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定。系統(tǒng)鎮(zhèn)定(3/3)q 下面分別介紹基于 狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋 輸出反饋輸出反饋的2種鎮(zhèn)定方法。狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定(1/12)6.3.1 狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定 q 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題可以描述為: 對于給定的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C),找到一個狀態(tài)反饋控制律:vxu KuxxBBKA)( 使得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程是鎮(zhèn)定的,其中K為狀態(tài)反饋矩陣,v為參考輸入。狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定(2/12)q 對是否可經(jīng)狀態(tài)反饋進(jìn)行系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題,有如下2個定理。q 定理定理6-3 狀態(tài)完全能控的系統(tǒng)(A,B,C)可經(jīng)狀態(tài)反饋矩陣鎮(zhèn)定。 q 證明證明根據(jù)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理6-1,對狀態(tài)

59、完全能控的系統(tǒng),可以進(jìn)行任意極點(diǎn)配置。 因此,也就肯定可以通過狀態(tài)反饋矩陣K將系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在s平面的左半開平面之內(nèi),即閉環(huán)系統(tǒng)是鎮(zhèn)定的。 故證明了,完全能控的系統(tǒng),必定是可鎮(zhèn)定的。狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定(3/12)q 定理定理6-4 若系統(tǒng)(A,B,C)是不完全能控的,則線性狀態(tài)反饋使系統(tǒng)鎮(zhèn)定的充要條件是系統(tǒng)的完全不能控部分是漸近穩(wěn)定的, 即系統(tǒng)(A,B,C)不穩(wěn)定的極點(diǎn)只分布在系統(tǒng)的能控部分。q 證明證明 (1) 若系統(tǒng)(A,B,C)不完全能控,可以通過線性變換將其按能控性分解為: 22121110AAAAPPAcc011BBPBc21CCCPCc其中, 為完全能控子系統(tǒng); 為完全不能控子系統(tǒng)。

60、1111(,)cAB C 222(,0,)ncAC狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定(4/12)(2) 由于線性變換不改變系統(tǒng)的特征值,故有:11112111222222| | |0sIAAsIAsIAsIAsIAsIA(3) 由于原系統(tǒng)(A,B,C)與結(jié)構(gòu)分解后的系統(tǒng) 在穩(wěn)定性和能控性上等價,假設(shè)K為系統(tǒng)的任意狀態(tài)反饋矩陣,對 引入狀態(tài)反饋陣 ,可得閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為( ,) A B C21KKKPKc1112111112121122222000AAAB KAB KBABKKKAA 狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定(5/12) 進(jìn)而可得閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為: 11111222|()| |()| |(620)sIABKsIAB Ks