結(jié)構(gòu)力學(xué)——第6章結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

1、第六章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算6-1 概述6-2 變形體系的虛功原理6-3 位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算6-5 圖乘法6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時(shí)的位移計(jì)算6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理6-9 空間剛架的位移計(jì)算公式6-1 概述變形：變形：結(jié)構(gòu)形狀的改變。結(jié)構(gòu)形狀的改變。位移：位移：結(jié)構(gòu)各處位置的移動。結(jié)構(gòu)各處位置的移動。線段線段AAA點(diǎn)的線位移，計(jì)為點(diǎn)的線位移，計(jì)為A。截面截面A轉(zhuǎn)動的角度轉(zhuǎn)動的角度截面截面A的角位移，的角位移， 計(jì)為計(jì)為A。A可用水平分量可用水平分量Ax和豎向分量和豎向分量 Ay 表示。6-1 概述截面截面A的角

2、位移（順時(shí)針方向）的角位移（順時(shí)針方向）AB截面截面B的角位移（逆時(shí)針方向）的角位移（逆時(shí)針方向）BAAB截面截面A、B的相對角位移的相對角位移C點(diǎn)水平線位移（向右）點(diǎn)水平線位移（向右）CD點(diǎn)水平線位移（向左）點(diǎn)水平線位移（向左）DDCCDC、D兩點(diǎn)的水平相對線位移兩點(diǎn)的水平相對線位移產(chǎn)生位移的原因：荷載產(chǎn)生位移的原因：荷載 溫度改變溫度改變 支座移動支座移動 材料收縮材料收縮 制造誤差制造誤差6-1 概述計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的目的計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的目的（1）為了校核結(jié)構(gòu)的剛度。）為了校核結(jié)構(gòu)的剛度。（2）結(jié)構(gòu)的施工中，也需要結(jié)構(gòu)的位移。）結(jié)構(gòu)的施工中，也需要結(jié)構(gòu)的位移。（3）為分析靜定結(jié)構(gòu)打下基礎(chǔ)。）為

3、分析靜定結(jié)構(gòu)打下基礎(chǔ)。（4）結(jié)構(gòu)的動力計(jì)算和穩(wěn)定計(jì)算中，需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。）結(jié)構(gòu)的動力計(jì)算和穩(wěn)定計(jì)算中，需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。圖示結(jié)構(gòu)進(jìn)行懸臂拼裝時(shí)，由于自重及吊車等荷載作用，產(chǎn)生位移圖示結(jié)構(gòu)進(jìn)行懸臂拼裝時(shí)，由于自重及吊車等荷載作用，產(chǎn)生位移f fA A。必須先計(jì)算。必須先計(jì)算f fA A，以便采用相應(yīng)措施，確保施工安全和拼裝就位。，以便采用相應(yīng)措施，確保施工安全和拼裝就位。6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理：變形體系的虛功原理：變形體系處于平衡的必要和充分條件是，對于任何虛位移，外力所變形體系處于平衡的必要和充分條件是，對于任何虛位移，外力所做虛功總和等于各微段上的內(nèi)力在其變形上所

4、作的虛功總和，簡單做虛功總和等于各微段上的內(nèi)力在其變形上所作的虛功總和，簡單地說，地說，外力虛功等于變形虛功外力虛功等于變形虛功。位移狀態(tài)與位移狀態(tài)與力狀態(tài)無關(guān)力狀態(tài)無關(guān)虛位移必須虛位移必須是微小的是微小的6-2 變形體系的虛功原理外力虛功外力虛功W：整個(gè)結(jié)構(gòu)所有外力（荷載與支座反力）在其：整個(gè)結(jié)構(gòu)所有外力（荷載與支座反力）在其 相應(yīng)的虛位移上所作虛功的總和。相應(yīng)的虛位移上所作虛功的總和。變形虛功變形虛功WV：所有微段兩側(cè)截面上的內(nèi)力在微段的變形上：所有微段兩側(cè)截面上的內(nèi)力在微段的變形上 所作虛功的總和，也稱為內(nèi)力虛功或虛應(yīng)變能。所作虛功的總和，也稱為內(nèi)力虛功或虛應(yīng)變能。略去高階微量，微段上各

5、力在其變形上所作虛功為：略去高階微量，微段上各力在其變形上所作虛功為：sFMuFWddddSNV對整個(gè)結(jié)構(gòu)有：對整個(gè)結(jié)構(gòu)有：sFMuFWWddddSNVV虛功方程為：虛功方程為：VWW sFMuFWdddSN6-2 變形體系的虛功原理虛功原理的應(yīng)用虛功原理的應(yīng)用虛位移原理：虛位移原理： 對于給定的力狀態(tài)，虛設(shè)一個(gè)位移狀態(tài)，利對于給定的力狀態(tài)，虛設(shè)一個(gè)位移狀態(tài)，利 用虛功方程求解力狀態(tài)中的未知力。用虛功方程求解力狀態(tài)中的未知力。虛力原理：虛力原理： 對于給定的位移狀態(tài)，虛設(shè)一個(gè)力狀態(tài)，利用對于給定的位移狀態(tài)，虛設(shè)一個(gè)力狀態(tài)，利用 虛功方程求解位移狀態(tài)中的位移。虛功方程求解位移狀態(tài)中的位移。6-3

6、 位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法 圖圖a所示結(jié)構(gòu)由于荷載、溫度變化及支座移動引起了變形，所示結(jié)構(gòu)由于荷載、溫度變化及支座移動引起了變形，求求K點(diǎn)沿任一指定方向點(diǎn)沿任一指定方向kk的位移的位移K。 虛設(shè)力狀態(tài)如圖虛設(shè)力狀態(tài)如圖b，使力狀態(tài)的外力能在位移狀態(tài)的，使力狀態(tài)的外力能在位移狀態(tài)的K 上作虛功。上作虛功。外力虛功為外力虛功為cFcFcFcFFWKKKR33R22R11R1變形虛功為變形虛功為dsddSNVFMuFW由虛功原理由虛功原理VWW dsddSNRFMuFcFK平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式設(shè)設(shè) FK=1單位荷載法單位荷載法6-3 位移計(jì)算的一般公式 單位

7、荷載法 圖圖a為求為求A點(diǎn)水平位移時(shí)的虛擬狀態(tài)點(diǎn)水平位移時(shí)的虛擬狀態(tài)圖圖b為求為求A截面轉(zhuǎn)角時(shí)的虛擬狀態(tài)截面轉(zhuǎn)角時(shí)的虛擬狀態(tài)圖圖c為求為求A、B兩點(diǎn)在其連線上相對線位移時(shí)的虛擬狀態(tài)兩點(diǎn)在其連線上相對線位移時(shí)的虛擬狀態(tài)圖圖d為求為求A、B兩個(gè)截面相對轉(zhuǎn)角時(shí)的虛擬狀態(tài)兩個(gè)截面相對轉(zhuǎn)角時(shí)的虛擬狀態(tài)廣義位移廣義位移：線位移、角位移、相對線位移、相對角位移、某一組位移的統(tǒng)稱。線位移、角位移、相對線位移、相對角位移、某一組位移的統(tǒng)稱。廣義力廣義力：集中力、力偶、一對集中力、一對力偶、某一力系的統(tǒng)稱。集中力、力偶、一對集中力、一對力偶、某一力系的統(tǒng)稱。6-3 位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法 求圖求圖a所示桁

8、架所示桁架AB桿的角位移。桿的角位移。 在位移微小的前提下，桁架桿件的在位移微小的前提下，桁架桿件的角位移角位移=其兩端在垂直于桿軸方向上的其兩端在垂直于桿軸方向上的相對線位移除以桿長，如圖相對線位移除以桿長，如圖b。dBAABAB桿的角位移桿的角位移荷載所做的虛功荷載所做的虛功ABBABAddd116-3 位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法 6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算計(jì)算對象：線彈性結(jié)構(gòu)，位移與荷載成正比，應(yīng)力與應(yīng)變符合計(jì)算對象：線彈性結(jié)構(gòu)，位移與荷載成正比，應(yīng)力與應(yīng)變符合 胡克定律。胡克定律。 求圖求圖a所示結(jié)構(gòu)所示結(jié)構(gòu)K點(diǎn)的豎向位點(diǎn)的豎向位移移KP。位移計(jì)算公式為。位移計(jì)算公式為

9、 dsddPSPPNPFMuFK 虛擬狀態(tài)如圖虛擬狀態(tài)如圖b所示。由材料力學(xué)所示。由材料力學(xué)EIsM ddPPEAsFuddNPPGAskFsddSPP k剪切變形的剪切變形的 改正系數(shù)改正系數(shù)平面桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式為：平面桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式為：GAsFFkEAsFFEIsMMKdddSPSNPNPP梁和剛架（受彎桿件）的位移計(jì)算公式為：梁和剛架（受彎桿件）的位移計(jì)算公式為：EIsMMKdPP桁架（只有軸力）的位移計(jì)算公式為：桁架（只有軸力）的位移計(jì)算公式為：EAlFFEAsFFKNPNNPNPd組合結(jié)構(gòu)（受彎桿件組合結(jié)構(gòu)（受彎桿件+鏈桿）的位移計(jì)算公式為：鏈桿

10、）的位移計(jì)算公式為：EAlFFEIsMMKNPNPPd6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算例例6-1 試求圖試求圖a所示剛架所示剛架A點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移Ay。各桿的材料相。各桿的材料相 同，截面的同，截面的I、A均為常數(shù)。均為常數(shù)。解：解：（1）虛擬狀態(tài)如圖）虛擬狀態(tài)如圖b，各桿內(nèi)力為，各桿內(nèi)力為AB段：段：1, 0,SNFFxMBC段：段：0, 1,SNFFlM（2）實(shí)際狀態(tài)中，各桿內(nèi)力為）實(shí)際狀態(tài)中，各桿內(nèi)力為AB段：段：qxFFqxMSPNP2P, 0,20,2SPNP2PFqlFqlMBC段：段：（3）代入位移計(jì)算公式）代入位移計(jì)算公式)54581 (85285224224GA

11、lkEIAlIEIqlGAkqlEAqlEIqlAy6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算)54581 (85224GAlkEIAlIEIqlAy（4）討論）討論上式中：第一項(xiàng)為彎矩的影響，第二、三項(xiàng)分別為軸力、剪力的影響。上式中：第一項(xiàng)為彎矩的影響，第二、三項(xiàng)分別為軸力、剪力的影響。設(shè)：桿件截面為矩形，寬度為設(shè)：桿件截面為矩形，寬度為b、高度為、高度為h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5)(252)(1521 85224lhGElhEIqlAy截面高度與桿長之比截面高度與桿長之比h/l愈大，軸力和剪力影響所占比重愈大。愈大，軸力和剪力影響所占比重愈大。當(dāng)當(dāng)h/l=1/10，G=0.4E

12、時(shí)，計(jì)算得時(shí)，計(jì)算得500175011 854EIqlAy此時(shí)軸力和剪力的影響不大，可以略去。此時(shí)軸力和剪力的影響不大，可以略去。6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算例例6-2 試求圖試求圖a所示等截面圓弧曲梁所示等截面圓弧曲梁B點(diǎn)的水平位移點(diǎn)的水平位移Bx。設(shè)。設(shè) 梁的截面厚度遠(yuǎn)小于其半徑梁的截面厚度遠(yuǎn)小于其半徑R。解：近似采用直桿的位移計(jì)算公式，只考慮彎解：近似采用直桿的位移計(jì)算公式，只考慮彎 矩影響。實(shí)際狀態(tài)中的截面彎矩為矩影響。實(shí)際狀態(tài)中的截面彎矩為虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)sinPFRM虛擬狀態(tài)如圖虛擬狀態(tài)如圖b，截面彎矩為，截面彎矩為)cos1 ()cos(1RRRM代入位移計(jì)算公式，可得

13、代入位移計(jì)算公式，可得)(2)cos1 (d32PEIFREIsMMBx6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算例例6-3 試求圖試求圖a所示對稱桁架結(jié)點(diǎn)所示對稱桁架結(jié)點(diǎn)D的豎向位移的豎向位移D。圖中右半。圖中右半 部各括號內(nèi)數(shù)值為桿件的截面面積部各括號內(nèi)數(shù)值為桿件的截面面積A（10-4m2），）， E=210GPa。解：實(shí)際狀態(tài)各桿內(nèi)力解：實(shí)際狀態(tài)各桿內(nèi)力 如圖如圖a（左半部）。（左半部）。虛擬狀態(tài)各桿內(nèi)力如圖虛擬狀態(tài)各桿內(nèi)力如圖b（左半部）。（左半部）。注意桁架桿件軸力是正對稱的注意桁架桿件軸力是正對稱的)mm(8NPNEAlFFD6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算6-5 圖乘法梁和剛架

14、在荷載作用下的位移計(jì)算公式為梁和剛架在荷載作用下的位移計(jì)算公式為EIsMMKdPP公式中的積分運(yùn)算比較麻煩，當(dāng)結(jié)構(gòu)中各桿段滿足下列條件時(shí)：公式中的積分運(yùn)算比較麻煩，當(dāng)結(jié)構(gòu)中各桿段滿足下列條件時(shí)：（1）桿軸為直線；）桿軸為直線；（2）EI=常數(shù)；常數(shù)；（3）M 和和MP兩個(gè)彎矩圖中至少有一個(gè)是直線圖形。兩個(gè)彎矩圖中至少有一個(gè)是直線圖形。計(jì)算可以簡化計(jì)算可以簡化如圖：如圖：ds用用dx代替，代替， EI可提到積分號外?？商岬椒e分號外。tanxM tan為常數(shù)為常數(shù)6-5 圖乘法AxEIxxMEIEIsMMdtandtandPPxMAddPMP圖中陰影的微分面積圖中陰影的微分面積Axd微分面積對微分

15、面積對y軸的靜矩軸的靜矩CxAAxdAMP圖的面積；圖的面積；xC形心形心C到到y(tǒng)軸的距離。軸的距離。EIyAxAEIEIsMMCCtandPyC是是MP圖的形心圖的形心C所對應(yīng)的所對應(yīng)的M圖的豎標(biāo)圖的豎標(biāo)圖乘法圖乘法6-5 圖乘法如結(jié)構(gòu)上所有各桿段均可圖乘，則位移計(jì)算公式可寫為如結(jié)構(gòu)上所有各桿段均可圖乘，則位移計(jì)算公式可寫為EIyAEIsMMCKdPP 應(yīng)用圖乘法時(shí)，應(yīng)注意下列各點(diǎn)：應(yīng)用圖乘法時(shí)，應(yīng)注意下列各點(diǎn)：（1）必須符合上述前提條件。）必須符合上述前提條件。（2）豎標(biāo)）豎標(biāo)yC只能取自直線圖形。只能取自直線圖形。（3）A與與yC若在桿件的同側(cè)則乘積取正號，異側(cè)則取負(fù)號。若在桿件的同側(cè)則

16、乘積取正號，異側(cè)則取負(fù)號。6-5 圖乘法常用簡單圖形的面積和形心常用簡單圖形的面積和形心6-5 圖乘法兩個(gè)梯形相乘時(shí)：兩個(gè)梯形相乘時(shí)：將將MP圖分解為兩個(gè)三角形（或一個(gè)圖分解為兩個(gè)三角形（或一個(gè)矩形和一個(gè)三角形）。矩形和一個(gè)三角形）。dcya3132dcyb3231兩個(gè)圖的豎標(biāo)兩個(gè)圖的豎標(biāo)a、b或或c、d不在基線同不在基線同一測時(shí)：可分解為位于基線兩側(cè)的兩一測時(shí)：可分解為位于基線兩側(cè)的兩個(gè)三角形，在進(jìn)行圖乘。個(gè)三角形，在進(jìn)行圖乘。6-5 圖乘法均布荷載作用下的任何一段直桿：均布荷載作用下的任何一段直桿：彎矩圖彎矩圖=一個(gè)梯形一個(gè)梯形+一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)拋物一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形如圖線圖形如圖a。 圖圖a的彎

17、矩圖與圖的彎矩圖與圖b所示相所示相應(yīng)簡支梁的彎矩圖是相同的，應(yīng)簡支梁的彎矩圖是相同的，由此可以很方便地進(jìn)行圖乘。由此可以很方便地進(jìn)行圖乘。6-5 圖乘法 yC所在圖形是折線圖形時(shí)，所在圖形是折線圖形時(shí)，應(yīng)分段圖乘。如圖所示。應(yīng)分段圖乘。如圖所示。)(1332211yAyAyAEI 桿件為變截面直桿時(shí)，應(yīng)分桿件為變截面直桿時(shí)，應(yīng)分段圖乘。如圖所示。段圖乘。如圖所示。333222111EIyAEIyAEIyA6-5 圖乘法例例6-4 試求圖試求圖a所示剛架所示剛架C、D兩點(diǎn)的距離改變。設(shè)兩點(diǎn)的距離改變。設(shè)EI=常數(shù)。常數(shù)。解：實(shí)際狀態(tài)彎矩圖如圖解：實(shí)際狀態(tài)彎矩圖如圖b所示。所示。 虛擬狀態(tài)如圖虛擬

18、狀態(tài)如圖c所示。所示。 由圖乘法，可得由圖乘法，可得)(12)832(132EIqhlhlqlEIEIyACCD6-5 圖乘法例例6-5 試求圖試求圖a所示剛架所示剛架A點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移Ay，并勾繪剛架的，并勾繪剛架的 變形曲線。變形曲線。解：實(shí)際狀態(tài)彎矩圖如圖解：實(shí)際狀態(tài)彎矩圖如圖b所示。所示。 虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖c所示。所示。)(164)32(212)2(13EIFlFlllEIFlllEIEIyACAy 根據(jù)根據(jù)實(shí)際狀態(tài)實(shí)際狀態(tài)彎矩圖，彎矩圖，判定桿件判定桿件變形后的變形后的凸凹方向。凸凹方向。6-5 圖乘法例例6-6 試求圖試求圖a所示外伸梁所示外伸梁C點(diǎn)的豎

19、向位移點(diǎn)的豎向位移Cy，梁的，梁的EI=常數(shù)。常數(shù)。解：實(shí)際狀態(tài)彎矩圖如圖解：實(shí)際狀態(tài)彎矩圖如圖b所示。所示。 虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖c所示。所示。 將將AB段的彎矩圖分解為一個(gè)三角段的彎矩圖分解為一個(gè)三角形和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形。形和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形。 由圖乘法得由圖乘法得)(1284)832(3)821(83)2831(14222EIqlllqlllqlllqlEICy6-5 圖乘法例例6-7 圖圖a為一組合結(jié)構(gòu)，試求為一組合結(jié)構(gòu)，試求D點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移Dy。解：實(shí)際狀態(tài)解：實(shí)際狀態(tài)FNP、MP如圖如圖b所示。所示。 虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)FN、M如圖如圖c所示。所

20、示。)(34)221 (221122113NPNIEFaAEFaIEyAAElFFCDy6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算 試求圖試求圖a所示結(jié)構(gòu)由于溫度變所示結(jié)構(gòu)由于溫度變化產(chǎn)生的化產(chǎn)生的K點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移Kt。為材料的線膨脹系數(shù)。為材料的線膨脹系數(shù)。dsddSNtttKtFMuF桿軸線處的溫度變化為桿軸線處的溫度變化為stutdd2112thhthhthsthststtdddd1212ttt對于桿件結(jié)構(gòu)溫度變化不引起剪切變形，對于桿件結(jié)構(gòu)溫度變化不引起剪切變形，t=0。桿件截面對稱于形心軸桿件截面對稱于形心軸221ttt將溫度變化引起的微段變形代入位移計(jì)算公式可得將溫度變化引起的

21、微段變形代入位移計(jì)算公式可得 hsMtsFhstMsFKtddtdtdNN若各桿為等截面桿若各桿為等截面桿MFKthtAtAN圖的面積圖的面積MFMFAANN，符號的確定：溫度變化以升溫為正，軸力以拉力為正；符號的確定：溫度變化以升溫為正，軸力以拉力為正； 彎矩彎矩M以使以使t2邊受拉為正。邊受拉為正。對于桁架對于桁架tlFKtN對于桁架由于桿件制造誤差對于桁架由于桿件制造誤差lFKtN6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算例例6-8 圖圖a所示剛架施工時(shí)溫度為所示剛架施工時(shí)溫度為20，試求冬季當(dāng)外側(cè)溫度為，試求冬季當(dāng)外側(cè)溫度為 -10 ，內(nèi)側(cè)溫度為，內(nèi)側(cè)溫度為0 時(shí)時(shí)A點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移

22、Ay。已知。已知 l=4m，=10-5 -1-1，各桿均為矩形截面，高度，各桿均為矩形截面，高度h=0.4=0.4m。解：虛擬狀態(tài)如圖解：虛擬狀態(tài)如圖b，軸力圖、彎矩圖如圖，軸力圖、彎矩圖如圖c、d。外側(cè)溫度變化為。外側(cè)溫度變化為t1， t1=-30 ，內(nèi)側(cè)溫度變化為內(nèi)側(cè)溫度變化為t2=-20 。25221ttt10t)(mm5AtANMFAyht6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時(shí)的位移計(jì)算 圖圖a所示靜定結(jié)構(gòu)，其支座發(fā)生了水平位移所示靜定結(jié)構(gòu)，其支座發(fā)生了水平位移c1、豎向沉陷、豎向沉陷c2和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角c3，現(xiàn)要求由此引起的任一點(diǎn)沿任一方向的位移，如現(xiàn)要求由此引起

23、的任一點(diǎn)沿任一方向的位移，如K點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移Kc。 對于靜定結(jié)構(gòu)，支座發(fā)生移動并不引起內(nèi)力，材料不發(fā)生變形，此對于靜定結(jié)構(gòu)，支座發(fā)生移動并不引起內(nèi)力，材料不發(fā)生變形，此時(shí)結(jié)構(gòu)的位移屬剛體位移。位移計(jì)算一般公式簡化為時(shí)結(jié)構(gòu)的位移屬剛體位移。位移計(jì)算一般公式簡化為cFKcRRF為虛擬狀態(tài)的支座反力為虛擬狀態(tài)的支座反力RF與與c方向一致時(shí)其乘積取正方向一致時(shí)其乘積取正例例6-9 圖圖a所示三角剛架右邊支座的豎向位移所示三角剛架右邊支座的豎向位移By=0.06m, 水水 平位移為平位移為Bx=0.06m, 已知已知l=12m，h=8m。試求由此引。試求由此引 起的起的A段轉(zhuǎn)角段轉(zhuǎn)角 。A解：

24、虛擬狀態(tài)及支座反力計(jì)算結(jié)果如圖解：虛擬狀態(tài)及支座反力計(jì)算結(jié)果如圖b。) rad(0075. 0RcFA6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時(shí)的位移計(jì)算6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理（1）功的互等定理）功的互等定理W12第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)相應(yīng)的位移上作的虛功第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)相應(yīng)的位移上作的虛功Wi12第一狀態(tài)的內(nèi)力在第二狀態(tài)相應(yīng)的變形上作的虛功第一狀態(tài)的內(nèi)力在第二狀態(tài)相應(yīng)的變形上作的虛功12i12WWGAsFFkEAsFFEIsMMFdddS2S1N2N121121同理同理GAsFFkEAsFFEIsMMFdddS1S2N1N212212可得可得212121FF或或2112WW功的互等定理：功的

25、互等定理：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，等于等于 第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。（2）位移互等定理）位移互等定理設(shè)：設(shè)：F1=1，F(xiàn)2=1，由功的互等定理，由功的互等定理211211可得可得2112 單位力引起的位移用小寫字母單位力引起的位移用小寫字母12和和21表示表示上式改寫為上式改寫為2112 位移互等定理：位移互等定理： 第二個(gè)單位力所引起的第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移，第二個(gè)單位力所引起的第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移，等等 于于第一個(gè)單位力所引起的第二個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移第一個(gè)單位力所引起的第二個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移 。6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理單位力可以是廣義單位力，位移即是相應(yīng)的廣義位移。單位力可以是廣義單位力，位移即是相應(yīng)的廣義位移。如圖如圖a、b。根據(jù)位移互等定理，應(yīng)有根據(jù)位移互等定理，應(yīng)有CAf由材料力學(xué)由材料力學(xué)EIMlfEIFlCA16,1622注意：注意：F=1、M=1的量綱為的量綱為1， 含義不同，但此時(shí)二者在含義不同，但此時(shí)二者在數(shù)值上是相等的，量綱也相同。數(shù)值上是相等的，量綱也相同。CAf、6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理