CH二重積分的概念與性質(zhì)PPT課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)一、問題的提出一、問題的提出二、二重積分的概念二、二重積分的概念三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題第1頁/共40頁柱體體積柱體體積=底面積底面積 高高特點(diǎn)：平頂特點(diǎn)：平頂.柱體體積柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂特點(diǎn)：曲頂.),(yxfz 一、問題的提出一、問題的提出第2頁/共40頁曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 設(shè) 一 立 體 的 底 是設(shè) 一 立 體 的 底 是xOy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D 它它的側(cè)面是以的側(cè)面是以D的邊界曲的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面軸的柱面 它的頂是曲它的頂是曲面

2、面z f(x y) 這里這里f(x y) 0且在且在D上連續(xù)上連續(xù) 這種立體這種立體叫 做 曲 頂 柱 體叫 做 曲 頂 柱 體 第3頁/共40頁解法解法: 類似定積分解決問題的思想類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體給定曲頂柱體:底：底： xOy 面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲面連續(xù)曲面?zhèn)让妫簜?cè)面：以以 D 的邊界為準(zhǔn)線的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于母線平行于 z 軸的柱面軸的柱面求其體積求其體積.“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求求 極限極限” 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積第4頁/共40頁1)“大化小大化小”用用任意任意曲線網(wǎng)分曲線網(wǎng)分D為為 n 個(gè)區(qū)域個(gè)區(qū)域

3、以它們?yōu)榈装亚斨w分為以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個(gè)個(gè)2)“常代變常代變”在每個(gè)在每個(gè)3)“近似和近似和”則則中中任取任取一點(diǎn)一點(diǎn)小曲頂柱體小曲頂柱體第5頁/共40頁4)“4)“取極限取極限”令令第6頁/共40頁步驟如下：步驟如下：xzyoD),(yxfz i),(kk .),(lim10kknkkfV 用小平頂柱體的體積近似用小平頂柱體的體積近似代替小曲頂柱體的體積代替小曲頂柱體的體積 Vk Vk f( k k) k 用小平頂柱體的體積之和用小平頂柱體的體積之和近似代替整個(gè)曲頂柱體體近似代替整個(gè)曲頂柱體體積積 將分割加細(xì)將分割加細(xì) 取極限取極限 求得求得曲頂柱體體積的精確值曲頂柱體體積的

4、精確值 用曲線網(wǎng)把用曲線網(wǎng)把D分成小區(qū)域分成小區(qū)域 1 2 n “大化小大化小, , 常代變常代變, , 近似和近似和, ,取極限取極限”第7頁/共40頁播放播放 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示第8頁/共40頁 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示第9頁/共40頁 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示第10頁/共40頁 求曲頂柱體的體

5、積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示第11頁/共40頁 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示第12頁/共40頁 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示第13頁/共40頁 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示第14頁/共40頁有一個(gè)平面薄片有一個(gè)平面薄片, 在在 xOy 平

6、面上占有區(qū)域平面上占有區(qū)域 D ,計(jì)算該薄片的質(zhì)量計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .度為度為設(shè)設(shè)D 的面積為的面積為 , 則則若若非常數(shù)非常數(shù) , 仍可用仍可用其面密其面密 “大化小大化小, 常代變常代變,近似和近似和, 求極限求極限” 解決解決.1)“大化小大化小”用用任意任意曲線網(wǎng)分曲線網(wǎng)分D 為為 n 個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小塊相應(yīng)把薄片也分為小塊 .求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量第15頁/共40頁2)“常代變常代變”中中任取任取一點(diǎn)一點(diǎn)3)“近似和近似和”4)“取極限取極限”則第則第 k 小塊的質(zhì)量小塊的質(zhì)量第16頁/共40頁兩個(gè)問題的兩個(gè)問題的共性共性：(1) 解決問題的步驟相同解

7、決問題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和,取極限取極限”曲頂柱體體積曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量: 第17頁/共40頁二、二重積分的概念二、二重積分的概念第18頁/共40頁第19頁/共40頁 積分號(hào)積分號(hào) v二重積分的定義二重積分的定義積分中各部分的名稱積分中各部分的名稱 f(x y) 被積函數(shù)被積函數(shù) f(x y)d 被積表達(dá)式被積表達(dá)式 d 面積元素面積元素 x y 積分變量積分變量 D 積分區(qū)域積分區(qū)域 iiiniDfdyxf),(lim),(10 積分和積分和 iiinif ),(1 第20頁/共40頁對(duì)

8、二重積分定義的說明：對(duì)二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值負(fù)值第21頁/共40頁 在直角坐標(biāo)系下用平行于在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo則面積元素為則面積元素為引例引例1中曲頂柱體體積中曲頂柱體體積:引例引例2中平面薄板的質(zhì)量中平面薄板的質(zhì)量:第22頁/共40頁二重積分存在定理二重積分存在定理:若函數(shù)若函數(shù)定理定理2.(證明略證明

9、略)定理定理1.在在D上可積上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限條光滑曲線外都連續(xù)限個(gè)點(diǎn)或有限條光滑曲線外都連續(xù) ,積積.在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)上連續(xù), 則則若有界函數(shù)若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上除去有上除去有 例如例如, 在在 D :上二重積分存在上二重積分存在 ;在在D 上上 二重積分不存在二重積分不存在 . 第23頁/共40頁性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)當(dāng)K為常數(shù)時(shí)，被積函數(shù)中的常數(shù)因子為常數(shù)時(shí)，被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面，即可以提到積分號(hào)前面，即.),(),( DDdyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì) Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重積分與定積分

10、有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)第24頁/共40頁.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 性質(zhì)性質(zhì)3 (對(duì)積分區(qū)域的可加性對(duì)積分區(qū)域的可加性) 如果閉區(qū)域如果閉區(qū)域D被有限條曲線分被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域?yàn)橛邢迋€(gè)部分閉區(qū)域, 則則D上的上的二重積分等于各部分閉區(qū)域上二重積分等于各部分閉區(qū)域上二重積分的和二重積分的和. 例如例如D可分為兩可分為兩個(gè)閉區(qū)域個(gè)閉區(qū)域D和和D，則，則第25頁/共40頁性質(zhì)性質(zhì) 若若 為為D的面積，的面積，.1 DDdd 性質(zhì)性質(zhì) 若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(

11、),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 則有則有第26頁/共40頁性質(zhì)性質(zhì) DMdyxfm),(（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）第27頁/共40頁性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） ),(),(fdyxfD證證: 由性質(zhì)由性質(zhì)6 可知可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn)使使因此因此第28頁/共40頁例例1 比較下列積分的大?。罕容^下列積分的大?。?）Ddyx2)(與與Ddyx3)(其中其中D:2) 1()2(22yx0yx(3,0)(1,0)(0,1)1yx.D解：在區(qū)域解：在區(qū)域 D內(nèi)，顯然有內(nèi)，

12、顯然有, 1 yx故在故在D內(nèi)內(nèi)32)()(yxyx DDdyxdyx32)()(第29頁/共40頁解解2 yxoxy121D第30頁/共40頁例例3 設(shè)設(shè)D 是第二象限的一個(gè)有界閉域是第二象限的一個(gè)有界閉域 , 且且 0 y 1, 則則的大小順序?yàn)榈拇笮№樞驗(yàn)?( )提示提示: 因因 0 y 1, 故故故在故在D上有上有第31頁/共40頁,12220ayxeee ,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab ab 區(qū)域區(qū)域D的面積的面積 x第32頁/共40頁,16)(1),(2 yxyxf)0(41 yxM5143122 m)2, 1( yx. 5 . 04 . 0

13、 I解解第33頁/共40頁練習(xí)練習(xí) 估計(jì)下列積分之估計(jì)下列積分之值值解解: D 的面積為的面積為由于由于積分性質(zhì)積分性質(zhì)6即即: 1.96 I 2D第34頁/共40頁例例6 判判斷斷的正負(fù)的正負(fù).解：當(dāng)解：當(dāng)時(shí)，時(shí)，故故又當(dāng)又當(dāng)時(shí)，時(shí)，于是于是第35頁/共40頁二重積分的定義二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（曲頂柱體的體積）（和式的極限）（和式的極限）四、小結(jié)四、小結(jié)第36頁/共40頁思考題思考題1 將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處與不同之處找出它們的相同之處與不同之處.第37頁/共40頁 定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不值，且此值只與