第 01章 2 次課 -- 速度例題 加速度

1、上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)1位置矢量位置矢量kzj yi xr運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程ktzjtyitxtr)()()()(位移位移ABrrr1.1 xyoBArBrAr一、質(zhì)點(diǎn)一、質(zhì)點(diǎn) 參考系參考系二、位矢二、位矢 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 位移位移/16yxyxtjijdtdyidtdxtrtrddlim0三、速度三、速度zyxzyxtkjikdtdzjdtdyidtdxtrtrddlim0四、例題分析四、例題分析上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)例例3 如圖所示，如圖所示，A、B 兩物體由一長(zhǎng)為兩物體由一長(zhǎng)為 的剛性細(xì)桿相連，的剛性細(xì)桿相連，A、B 兩物體可在兩物體可在 光滑軌道上滑行光滑軌道上滑行. 如物體如物體

2、A以恒定的速率以恒定的速率 向左滑行，當(dāng)向左滑行，當(dāng) 時(shí)，物體時(shí)，物體 B的速率為多少？的速率為多少？l60得得, 物體物體A 的速度的速度iitxixAvvdd物體物體B 的速度的速度jtyjyBdd v解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖, 設(shè)設(shè)A、B兩物體的兩物體的 坐標(biāo)分別為坐標(biāo)分別為:), 0(, )0 ,(yBxAjdtdyidtdxjiyx由由tyBdd即即1.1 2/16y222x= l即即因因OAB為一直角三角形，且剛性細(xì)桿的長(zhǎng)度為一直角三角形，且剛性細(xì)桿的長(zhǎng)度 l 為一常量為一常量.兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得0dd2dd2tyytxx即即txyxtyddddxyoA(x,0)B(0

3、,y)lv上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)txyxtyddddyxtgtx,ddvjtgBvvxyoA(x,0)B(0,y)lvjtxyxBddv由此可得由此可得,73.13600tgtgBvvv可見可見, 當(dāng)當(dāng)A沿沿x軸向左運(yùn)動(dòng)時(shí)軸向左運(yùn)動(dòng)時(shí), B沿沿y軸的正向運(yùn)動(dòng)軸的正向運(yùn)動(dòng). 速度的大小為速度的大小為1.1 3/16加速度加速度是反應(yīng)物體運(yùn)動(dòng)是反應(yīng)物體運(yùn)動(dòng)速度變化快慢速度變化快慢的物理量的物理量.通常物體在運(yùn)動(dòng)時(shí)通常物體在運(yùn)動(dòng)時(shí), 速度是變化的速度是變化的. 包括大小或方向的變化包括大小或方向的變化.要完整描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)要完整描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài), 除知道位移和速度外除知道位移和速度外, 還應(yīng)

4、該知道速度的變化情況還應(yīng)該知道速度的變化情況.為此為此, 物理上引入物理上引入加速度加速度的概念的概念.上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)41. 平均加速度平均加速度平均加速度等于單位時(shí)間內(nèi)的速度增量平均加速度等于單位時(shí)間內(nèi)的速度增量四、加速度四、加速度xyOAA1.1 設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng), 如圖所示如圖所示. BB在在t時(shí)刻時(shí)刻, 質(zhì)點(diǎn)位于質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)點(diǎn), 速度為速度為AAB在在t+ t時(shí)刻時(shí)刻, 質(zhì)點(diǎn)位于質(zhì)點(diǎn)位于B點(diǎn)點(diǎn), 速度為速度為B因此因此, 在在 t時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi), 速度的增量速度的增量為為BA加速度是矢量加速度是矢量, 其方向與速度的增量相同其方向與速度的增量相同.ttaAB(1

5、)即即 與與 同方向同方向.a/16上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)52.（瞬時(shí)）加速度（瞬時(shí)）加速度1.1 xyOAABB當(dāng)當(dāng) t0, B點(diǎn)趨近于點(diǎn)趨近于A點(diǎn)點(diǎn), 這時(shí)這時(shí)AB段的平均加段的平均加速度就是速度就是A點(diǎn)的瞬時(shí)加速度點(diǎn)的瞬時(shí)加速度. 即即dtdtat0lim(2)jtitdtrddtdayxdddd22vvjidtrdyx因?yàn)橐驗(yàn)?, 所以所以(2)式可以寫為式可以寫為tatayyxxdd;ddvv式中式中是加速度在是加速度在 x 軸和軸和 y 軸上的分量軸上的分量.加速度大小加速度大小2222)()(yxyxaadtddtda(4)(3)jaiayx加速度方向加速度方向是速度增量的極限

6、方向是速度增量的極限方向.在曲線運(yùn)動(dòng)中在曲線運(yùn)動(dòng)中, 加速度的方向指向曲線的加速度的方向指向曲線的凹側(cè)凹側(cè)./16上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)6加速度大小加速度大小222xyzaaaa質(zhì)點(diǎn)作質(zhì)點(diǎn)作三維運(yùn)動(dòng)三維運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度為時(shí)加速度為1.1 上述加速度的式子上述加速度的式子, 可以推廣至三維運(yùn)動(dòng)的情況可以推廣至三維運(yùn)動(dòng)的情況:kajaiaazyxjtitdtrddtdayxdddd22vv(3)jaiayx加速度的單位加速度的單位: 由由(3)式可知式可知, 加速度的單位是加速度的單位是 m s-2; 即米每二次方秒即米每二次方秒./16加速度大小加速度大小2222)()(yxyxaadtddtda

7、(4)加速度的方向加速度的方向: 與與x軸的夾角軸的夾角 為為xyaatg222222ddddddddddddxxyyxattyattattzzvvvzxyoayaxa 上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)7討論討論oaoc在在Ob上截取上截取則有則有cbv 1.1 (i) 嗎？嗎？ cb) t(tOa)(tv)()(ttt)()(ttt因此因此, 答案是答案是 (ii) 嗎？嗎？ dtdaa例如例如 勻速率圓周運(yùn)動(dòng)勻速率圓周運(yùn)動(dòng)答案答案:dtdaaO)(td)(tt( )(d )tttvv因?yàn)橐驗(yàn)閐0d tv所以所以因此因此taddv而而0 aa/16上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)8解：解：如圖建立坐標(biāo)系如圖

8、建立坐標(biāo)系.0vyo1.1 由加速度定義得由加速度定義得即即dtd0 . 1t0d0 . 1d0tvvvv兩邊積分兩邊積分, 得得t 0 . 10ln-lnv即即t0 . 10e vv化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得tty0 . 10eddvv由速度的定義得由速度的定義得即即dtedyt 0 . 10tyttyded01.0-00 v兩邊積分兩邊積分, 得得e1 -1.00ty v即即e1 100 . 1ty代入初速度代入初速度, 得得（2）此球體在停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)歷的路程有多長(zhǎng)？此球體在停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)歷的路程有多長(zhǎng)？0 . 1dtda/16例例3 有有 一個(gè)球體在某液體中豎直下落，其初速度為一個(gè)球體在某液體中豎直下落

9、，其初速度為 , 它的加速度它的加速度 為為 , 式中式中 的單位為的單位為ms-2. 問問:（1）經(jīng)過多少時(shí)間后可以認(rèn)經(jīng)過多少時(shí)間后可以認(rèn) 為小球已停止運(yùn)動(dòng)為小球已停止運(yùn)動(dòng);ja0 . 1j100a上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)90/my/st10-1/m s v0v0/st 2.3 4.6 6.9 9.2 8.9974 9.8995 9.9899 9.9990 v0/10v/st/my0/100v0/1000v0/10000vt0 . 10e vve1 100 . 1ty1.1 (i) 根據(jù)述計(jì)算結(jié)果根據(jù)述計(jì)算結(jié)果, 可以認(rèn)為經(jīng)過可以認(rèn)為經(jīng)過9.2秒鐘后小球已停止秒鐘后小球已停止.(ii) 小球

10、停止前小球停止前, 下落了約下落了約 10米的距離米的距離./16上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)10作為運(yùn)動(dòng)學(xué)的一個(gè)實(shí)際例子作為運(yùn)動(dòng)學(xué)的一個(gè)實(shí)際例子, 下面分析斜拋運(yùn)動(dòng)下面分析斜拋運(yùn)動(dòng). 書上例書上例 4 的的擴(kuò)充擴(kuò)充.從地面上某點(diǎn)以一定初速度向空中拋出一物體從地面上某點(diǎn)以一定初速度向空中拋出一物體,它在空中的運(yùn)動(dòng)就稱它在空中的運(yùn)動(dòng)就稱拋體運(yùn)動(dòng)拋體運(yùn)動(dòng).注意注意: 物體被拋出后物體被拋出后, 忽略風(fēng)的作用忽略風(fēng)的作用,它的運(yùn)動(dòng)軌道總是被限制在通過拋射點(diǎn)的它的運(yùn)動(dòng)軌道總是被限制在通過拋射點(diǎn)的由拋出速度方向和豎直方向所確定的平面內(nèi)由拋出速度方向和豎直方向所確定的平面內(nèi), 因而因而拋體運(yùn)動(dòng)一般是二維運(yùn)動(dòng)拋

11、體運(yùn)動(dòng)一般是二維運(yùn)動(dòng).不計(jì)空氣阻力和風(fēng)的作用等因素不計(jì)空氣阻力和風(fēng)的作用等因素.即即 t=0時(shí)時(shí), x0=0, y0=0;則物體在運(yùn)動(dòng)過程的加速度是恒定的則物體在運(yùn)動(dòng)過程的加速度是恒定的.如圖所示如圖所示, t=0 時(shí)刻物體以初速度時(shí)刻物體以初速度 Vo ,拋拋射角射角 從坐標(biāo)原點(diǎn)拋出從坐標(biāo)原點(diǎn)拋出.sin;cos0000yx即即 ax=0, ay= -g 或或j ga1. 在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下,任意一任意一 t 時(shí)刻物體的速度函數(shù)和位置函數(shù)時(shí)刻物體的速度函數(shù)和位置函數(shù);根據(jù)上述條件討論如下幾個(gè)問題根據(jù)上述條件討論如下幾個(gè)問題:2. 物體從拋出到回落到與拋出點(diǎn)等高度所用的時(shí)間物體從拋出

12、到回落到與拋出點(diǎn)等高度所用的時(shí)間 T;3.飛行中的最大高度飛行中的最大高度 Ymax 為為;4.飛行的射程飛行的射程 X; 5.飛行的軌跡方程飛行的軌跡方程 xyo0g1.1 /16上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)112. 物體從拋出到回落到與拋出點(diǎn)等高度所用的時(shí)間物體從拋出到回落到與拋出點(diǎn)等高度所用的時(shí)間 T;1. 運(yùn)動(dòng)函數(shù)和速度函數(shù)運(yùn)動(dòng)函數(shù)和速度函數(shù)20021tatyyyyv20021tatxxxxv由運(yùn)動(dòng)方程由運(yùn)動(dòng)方程的分量式的分量式和初位矢和初位矢 x0=0, y0=0物體落地時(shí)物體落地時(shí), y=0; 由由(6)式得式得,得得速度函數(shù)速度函數(shù)為為gtyxsincos00(5)20021sinc

13、osgttytx得得運(yùn)動(dòng)函數(shù)運(yùn)動(dòng)函數(shù)為為(6)0)21sin(021sin020gttgtt解得解得, t1=0(物體拋出前物體拋出前); gTtsin202由速度分量式由速度分量式tayyy0vvtaxxx0vvsincos0000yx和初速度和初速度xyo0g1.1 /16上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)123.飛行中的最大高度飛行中的最大高度 Ymax 4.飛行的射程飛行的射程X5.飛行的軌跡方程飛行的軌跡方程物體在最高點(diǎn)時(shí)物體在最高點(diǎn)時(shí)Vy=0 ; gtHsin0由由0sin0gty得得2021singtty將將tH代入代入ggggHY2sin)sin(21sinsin2022000max得得

14、, txcos0將將T代入代入 得得ggXcossin2sin2cos2000g2sin20由上式可見由上式可見, 當(dāng)初速度大小一定時(shí)當(dāng)初速度大小一定時(shí), 拋射角為拋射角為450時(shí)時(shí), 射程達(dá)到最大值射程達(dá)到最大值.20021sincosgttytx由由運(yùn)動(dòng)函數(shù)運(yùn)動(dòng)函數(shù)消去參數(shù)消去參數(shù)t, 得得軌跡方程軌跡方程為為22022000cos2)cos(21cossingxxtgxgxyHy0yxo0上述結(jié)果是在忽略空氣阻力等因素的條件得到上述結(jié)果是在忽略空氣阻力等因素的條件得到.考慮空氣阻力后考慮空氣阻力后, 射程和高度比上面的射程和高度比上面的計(jì)算結(jié)果小計(jì)算結(jié)果小, 軌跡方程也不是對(duì)稱的曲線軌跡

15、方程也不是對(duì)稱的曲線.1.1 /16上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)13)(tr)(ta( ) tv質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的核心小結(jié)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的核心小結(jié)4. 由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以求得質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的速度和加速度由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以求得質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的速度和加速度.3. 已知質(zhì)點(diǎn)的加速度以及初始速度和初始位置已知質(zhì)點(diǎn)的加速度以及初始速度和初始位置, 可求質(zhì)點(diǎn)速度及其運(yùn)動(dòng)方程可求質(zhì)點(diǎn)速度及其運(yùn)動(dòng)方程 .1.1 1. 位矢、位移、速度、加速度是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量位矢、位移、速度、加速度是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量.5. 運(yùn)動(dòng)函數(shù)、速度、加速度之間的關(guān)系運(yùn)動(dòng)函數(shù)、速度、加速度之間的關(guān)系:求導(dǎo)求導(dǎo)dtrd求導(dǎo)求導(dǎo)dtd

16、a積分積分dta積分積分dtr/162. 運(yùn)動(dòng)函數(shù)運(yùn)動(dòng)函數(shù) 反映物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律反映物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律, 是運(yùn)動(dòng)學(xué)的核心是運(yùn)動(dòng)學(xué)的核心.)(tr上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)141.2 /16一、平面極坐標(biāo)和自然坐標(biāo)系一、平面極坐標(biāo)和自然坐標(biāo)系 xyo以以 為坐標(biāo)的參考系稱為為坐標(biāo)的參考系稱為平面平面極極坐標(biāo)系坐標(biāo)系 .),(r極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)之間的變換關(guān)系為極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)之間的變換關(guān)系為圓周運(yùn)動(dòng)是一種特殊的曲線運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)是一種特殊的曲線運(yùn)動(dòng). 對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng), 在極坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)下描述更簡(jiǎn)單在極坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)下描述更簡(jiǎn)單.A(x,y) 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻它

17、位于點(diǎn)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻它位于點(diǎn) A . A點(diǎn)的位置可以用位矢點(diǎn)的位置可以用位矢 表示表示.j yi xr也可用位矢的大小也可用位矢的大小 r和位矢與和位矢與 x 軸之間的夾角為軸之間的夾角為 表示表示. 即質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)即質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn) A 的位置可由的位置可由A(r, ) 來確定來確定.rxysin,cosryrx(1)2. 2. 自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系A(chǔ)(x,y)切線切線法線法線tene質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí), 任意一點(diǎn)處以切線和法線為任意一點(diǎn)處以切線和法線為坐標(biāo)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為自然坐標(biāo)系坐標(biāo)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為自然坐標(biāo)系.如圖所示如圖所示, 和和 是是切線方向切線方向和和法線方向法線方向的

18、的單位矢量單位矢量.tene1. 1. 平面極坐標(biāo)系平面極坐標(biāo)系上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)15二、圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度二、圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度xyor1.2 如圖所示如圖所示, 質(zhì)點(diǎn)在平面上作半徑為質(zhì)點(diǎn)在平面上作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng).AB在某一在某一t時(shí)刻時(shí)刻, 質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在A位置位置, 其坐標(biāo)為其坐標(biāo)為A(r, ).顯然顯然, 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí), 角角 將隨時(shí)間變化將隨時(shí)間變化.因此因此, 角角 是時(shí)間的函數(shù)是時(shí)間的函數(shù) (t). (t) 稱為稱為角坐標(biāo)角坐標(biāo). 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢怎么表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢怎么表示 ?因半徑因半徑 r 不變不變, 因此如果角坐標(biāo)隨時(shí)間變化越快因此如果角坐標(biāo)隨時(shí)間變化越快, 則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)越快則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)越快.為了描述角坐標(biāo)為了描述角坐標(biāo) (t)隨時(shí)間變化的快慢隨時(shí)間變化的快慢, 引入引入角速度角速度.2. 角速度角速度tttd)(d)(即角速度即角速度(2)角坐標(biāo)角坐標(biāo) (t)隨時(shí)間的變化率隨時(shí)間的變化率, 即即 d /dt 叫做