中南大學(xué)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)課件

1、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)電子教案第一章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念與抽樣分布 數(shù)學(xué)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系 2005年8月數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念與抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念與抽樣分布 例:某鋼筋廠每天可以生產(chǎn)某型號(hào)鋼筋10000根，鋼筋廠每天需要對(duì)生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行控制，對(duì)產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。如果把鋼筋的強(qiáng)度作為鋼筋質(zhì)量的重有指標(biāo)，于是質(zhì)量管理人員需要做如下方面的工作 第一，對(duì)生產(chǎn)出來(lái)的鋼筋的強(qiáng)度進(jìn)行檢測(cè)，獲得必要的數(shù)據(jù)。 第二，對(duì)通過(guò)抽樣獲取的部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析并推斷出這10000根鋼筋的質(zhì)量是否合乎要求。1.2 總體、個(gè)體、樣本總體、個(gè)體、樣本 1.2.1 總體與個(gè)體 我們把所研究對(duì)象的全體稱為總體或母體。組成總體的每個(gè)單元稱為

2、個(gè)體 總體X可看作一個(gè)隨機(jī)變量 ,稱X的概率分布為總體分布，稱X的數(shù)字特征為總體的數(shù)字特征 ,對(duì)總體進(jìn)行研究就是對(duì)總體的分布或?qū)傮w的數(shù)字特征進(jìn)行研究 .1.2.2 樣本 從總體中抽取的一部分個(gè)體稱為樣本或者子樣，其中所含個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量 . 樣本具有二重性：隨機(jī)性和確定性 定義1.1 設(shè)總體X的樣本滿足 獨(dú)立性：每次觀測(cè)結(jié)果既不影響其它結(jié)果，也不受其它結(jié)果的影響；即相互獨(dú)立； 代表性：樣本中每一個(gè)個(gè)體都與總體X有相同分布。則稱此樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。 進(jìn)行有放回抽樣就是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ,無(wú)放回抽樣就不是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。但N很大，n相對(duì)較小時(shí)無(wú)放回抽樣得到的樣本可以近似看作簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本. 稱樣

3、本的分布為樣本分布。如果 為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， 為總體X的分布函數(shù)，則樣本分布有比較簡(jiǎn)單的形式 它完全由總體X的分布函數(shù)確定 12(,)nXXX( )F x 它完全由總體X的分布函數(shù)確定 ),(),221121nnnxXxXxXPxxxF（1122() ()()nnP Xx P XxP Xx1( )niiF x )(),(121ininxfxxxfininnpxXxXxXP12211),(兩種形式例1.1 設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為p，如果記“ ”表示抽取一件產(chǎn)品是次品；“ ” 表示抽取一件產(chǎn)品是正品；那么，產(chǎn)品的質(zhì)量就可以用X的分布來(lái)衡量。X服從0-1分布，參數(shù)就是次品率p。如果為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求

4、樣本分布. 解：總體X的概率分布為 ,)1 ()(1 xxppxXP0X1X 12(,)nXXX所以的概率分布為iixxninnppxXxXxXP112211)1 (),(niiniixnxpp11)1 ( 例1.2 設(shè)總體X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，求樣本 的分布密度。 解：總體X的分布密度為所以 的概率分布為 2, 12(,)nXXX22)(21,21)(xexfx12(,)nXXX212211( ,)() exp() )22nnif x xxx 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 統(tǒng)計(jì)量的定義 定義1.2 設(shè) 為總體X的一個(gè)樣本， 為 的連續(xù)函數(shù)，且不含有任何未知參數(shù)，則稱T為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。 注:1.統(tǒng)計(jì)量是完全

5、由樣本確定的一個(gè)量，即樣本有一個(gè)觀測(cè)值時(shí),統(tǒng)計(jì)量就有一個(gè)唯一確定的值 ; 2.統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量，它將高維隨機(jī)變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維隨機(jī)變量來(lái)處理 ,但不會(huì)損失所討論問(wèn)題的信息量.12(,)nXXX12(,)nTT XXXnXXX,21常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量 1.樣本均值 2.樣本方差 3.k 階原點(diǎn)矩4.k 階中心矩 5.順序統(tǒng)計(jì)量6.樣本極差 與中位數(shù)(1)(n)(k)最大順序統(tǒng)計(jì)量:X最小順序統(tǒng)計(jì)量:X第K順序統(tǒng)計(jì)量:X 例1.3 設(shè)總體X為連續(xù)型的,求最大順序統(tǒng)計(jì)量與最小順序統(tǒng)計(jì)量的分布密度 . 解: 最大順序統(tǒng)計(jì)量 的分布函數(shù)為 )(nX),()()(21)()(xXxXxXPxXPxFnnnn

6、inixFxXP)()(1 最小順序統(tǒng)計(jì)量 的分布函數(shù)為)(1)()()1()1()1(xXPxXPxF121(,)nP Xx XxXx ninixFxXP)(1 1)(11 如果總體中服從均勻分布則( )00( )01nnnxxFxxx(1)00()( )101nnxxFxxx 其分布密度為其它00)(1)(xnxxfnnn其它00)()(1)1(xxnxfnn充分統(tǒng)計(jì)量例：某廠要了解其產(chǎn)品的不合格率p，檢驗(yàn)員檢查了10件產(chǎn)品，檢查結(jié)果是，除前二件是不合格品（記為 ）外，其它都是合格品（記為 ）。當(dāng)廠長(zhǎng)問(wèn)及檢查結(jié)果時(shí)檢驗(yàn)員可作如下兩種回答： (1) 10件中有兩件不合格； (2) 前兩件不合

7、格。 這兩種回答反映了檢驗(yàn)員對(duì)樣本的兩種不同的加工方法。其所用的統(tǒng)計(jì)量分別為1, 121XXniXi, 4 , 3, 0 顯然，第二種回答是不能令人滿意的，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量不包含樣本中有關(guān)p的全部信息。而第一種回答是綜合了樣本中有關(guān)p的全部信息。因?yàn)闃颖?提供了兩種信息： (1) 10次檢驗(yàn)中不合格品出現(xiàn)了幾次； (2) 不合格品出現(xiàn)在哪幾次試驗(yàn)上。1011;IiXT212XXT),(1021XXX 第二種信息（試驗(yàn)編號(hào)信息）對(duì)了解不合格品率p是沒(méi)有什么幫助的 . 充分統(tǒng)計(jì)量就是能把含在樣本中有關(guān)總體或者參數(shù)的信息一點(diǎn)都不損失地提取出來(lái)。或者說(shuō)充分統(tǒng)計(jì)量包含了有關(guān)總體或有關(guān)參數(shù)的全部信息. 考慮樣本

8、 的分布 ),(1021XXX111122101010101111010(,)()(1)(1)(1)iiiixxiiiixxTTP Xx XxXxP Xxpppppp 由于 且 是服從二項(xiàng)分布故11112210101110101111010(,)()(1)(1)(1)iiiixxiiiixxttP Xx XxXxTtP Xxpppppp1T111101110()(1)tttP TtC pp 它與 無(wú)關(guān)p111111111112210101110101010101010(,|)(1)/(1)(1)/(1)1iixxtttttttttP Xx XxXxTtppC ppppC ppC定義1.3 設(shè)總

9、體X的分布為一個(gè)含未知參數(shù)的分布族 ， 是X的一個(gè)樣本。 是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,對(duì)給定的t ，樣本 在的條件 下的條件分布與參數(shù) 無(wú)關(guān)，則稱統(tǒng)計(jì)量T是參數(shù) 的充分統(tǒng)計(jì)量。:F),(21nXXX),(21nXXXTT),(21nXXXtT 上例的一般情況是 設(shè) 是來(lái)自0-1分布 的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中 ，則 是 參數(shù)的充分統(tǒng)計(jì)量。 12(,)nXXXxxxXP1)1 ()(1 , 0 x01niiXT1 由定義可得定理1.1 設(shè) 是參數(shù) 的充分統(tǒng)計(jì)量， 是單值可逆函數(shù)，則 也是參數(shù) 的充分統(tǒng)計(jì)量。),(21nXXXTT)(ts)(Ts 當(dāng)總體為連續(xù)型總體時(shí)，充分統(tǒng)計(jì)量要用條件分布密度來(lái)描述。奈曼（J.

10、Neyman）和哈爾斯（P.R.Halmos）在20世紀(jì)40年代提出并嚴(yán)格證明了一個(gè)判別充分統(tǒng)計(jì)量的方法：因子分解定理。 定理1.2 （因子分解定理）設(shè)樣本的聯(lián)合分布為一個(gè)含未知參數(shù)的分布族 ,則 是一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量當(dāng)且僅當(dāng)存在這樣的兩個(gè)函數(shù)： (1)與 無(wú)關(guān)的非負(fù)函數(shù) ； (2)與 有關(guān)，且僅與統(tǒng)計(jì)量T的值有關(guān)的非負(fù)函數(shù) 使得 其中 在離散總體的情況下表示樣本的分布列，在連續(xù)總體的情況下表示樣本的分布密度。:),(,21nxxxf),(21nXXXTT),(21nxxxh),(21nxxxTg),(),(),(212121nnnxxxTgxxxhxxxf),(21nxxxf 例 設(shè) 是來(lái)自 分

11、布,即它的分布密度為 的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中 則 分別是參數(shù) 的充分統(tǒng)計(jì)量),(21nXXX),(2N221()2,1( )2xfxe ,0 x ,0 21211,()nniiiiTX TXX2, 解:樣本 的聯(lián)合分布密度為如果令由因子分解定理知 是 的充分統(tǒng)計(jì)量。),(21nXXX222221222,()( ,)(2)exp()22nnTn Xfx xx 1),(21nxxxh12( ( ,)ng T x xx222222()(2)exp()22nTn X),(21TT),(2 例 設(shè)總體X的分布密度為 是X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試證明最小順序統(tǒng)計(jì)量 的充分統(tǒng)計(jì)量。),(21nXXX2);(

12、xxfx0(1)X是證:樣本 的聯(lián)合分布密度為如果令由因子分解定理知 是 的充分統(tǒng)計(jì)量。12(,)nXXX1212212( ,),0,()nnnnfx xxx xxx xx 122121( ,)( ,)nnh x xxx xx12( ( ,)ng T x xx(1),0nx (1)X1.4抽樣分布 我們稱統(tǒng)計(jì)量的分布為抽樣分布 ,不同的統(tǒng)計(jì)量其分布不一定相同.常見(jiàn)的分布類型有: 正態(tài)分布正態(tài)分布 伽瑪分布伽瑪分布 卡方分布卡方分布 t 分布分布 F分布分布 伽瑪分布伽瑪分布定義1.4 如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為其中 為 函數(shù)，則稱X為服從參數(shù)是 的伽瑪分布，記為 ,0, 00,)()(1

13、xxexxfx0, 001)(dxexx,),(X 伽瑪分布的性質(zhì)伽瑪分布的性質(zhì)(1)由此可得10()()( )( )kkxkxkE Xxedx2(),()E XD X (2) 如果 ，并且X和Y相互獨(dú)立，容易求得 這個(gè)性質(zhì)稱為可加性,即伽瑪分布具有可加性.12(, ),(, )XY ),(21YX 卡方分布卡方分布用構(gòu)造性的方式定義是用構(gòu)造性的方式定義是 定義定義1.5 設(shè)設(shè) 為相互獨(dú)立的隨機(jī)變?yōu)橄嗷オ?dú)立的隨機(jī)變量，且均服從量，且均服從 ，則它們的平方和，則它們的平方和 也是一個(gè)隨機(jī)變量，它所服從的分布稱為自由度也是一個(gè)隨機(jī)變量，它所服從的分布稱為自由度為為n的的 分布，記為分布，記為 12

14、,nXXX) 1 , 0(N222212nXXX)(22n2 它的密度函數(shù)為 其密度函數(shù)與參數(shù)n有關(guān)，它的圖形也有一定差異0, 00,)21)(2122(2xxexxfxnnn 卡方分布的性質(zhì)卡方分布的性質(zhì)若，則若，則即卡方分布是一種伽瑪分布，因此具有伽瑪即卡方分布是一種伽瑪分布，因此具有伽瑪分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)（）（）（）（） 如果，并且如果，并且X和和Y相互獨(dú)立，有相互獨(dú)立，有 卡方分布也具有可加性卡方分布也具有可加性)(22n)21,2(2n2()EnnD2)(22212(),()XnYn)(212nnYX 例是來(lái)自參數(shù)為的指數(shù)分布總體，試證明： 12(,)nXXX)2(22nXn 總體

15、的密度為當(dāng)時(shí)，我們有密度為說(shuō)明,0( ),00,0 xexf xx2021)2()2(xxtedtexXPxXP0 x ,0, 00,21)(2xxexfx2 X)2(22X 假定子樣是簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣,則且它們之間相互獨(dú)立，故有22(2)iX2122(2 )niin XXn t 分布分布構(gòu)造性的方式定義定義1.6 設(shè)，且X與Y相互獨(dú)立，記 則也是一個(gè)隨機(jī)變量，它所服從的分布稱為自由度為n的t分布，記為 ) 1 , 0( NX)(2nYnYXT )(ntT 它的密度函數(shù)為與參數(shù)n有關(guān)，不同的n其圖形也有差異1221()2( )(1),( )2nnxf xxnnn 性質(zhì)若則（）當(dāng)時(shí)，t分布是柯西分布

16、，柯西分布不存在數(shù)學(xué)期望和方差參數(shù)為2的t分布也不存在數(shù)學(xué)期望和方差（）時(shí)，)(ntT1n2n ( )0,( )2nTD Tn （）可以證明這是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布密度，即當(dāng)n充分大時(shí)，T近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 221lim( )2xnf xe 分布分布構(gòu)造性的方式定義定義1. 設(shè)，且X與Y相互獨(dú)立，記 則也是一個(gè)隨機(jī)變量，它所服從的分布稱為自由度為(m,n)的F分布，記為 2( )Xm)(2nYX mFY n( , )FF m n 它的密度函數(shù)為它與m,n有關(guān)，其圖形也有一定差異0, 00,)1 ()()2()2()2()(2122xxxnmxnmnmnmxfnmmm 容易得到若，則),(nmF

17、F1( ,)F n mF 例設(shè)試證明：證明：由t分布的構(gòu)造性定義知，存在相互獨(dú)立的變量和，使得于是，仍相互獨(dú)立，由分布的定義知結(jié)論成立 ( ),Tt n2(1, )TFnnYXT 2221XXTY nY n2XY與 分位數(shù)：定義1.6 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為 ，對(duì)，如果存在數(shù) 滿足 則稱為此分布的分位數(shù)分位數(shù)的幾何意義 可用圖形表示，它的值可查表得到，不同的分布有不同的分位數(shù)，有不同的表可查)(xf10 xdxxfxXP)()(xx 常見(jiàn)的分位數(shù)有它們的值可以通過(guò)附表1、附表2、附表3、附表4 查得 2,( ),( ),( , )Zn tn Fm n 分位數(shù)具有性質(zhì)(1)(2)(3

18、)當(dāng)n 足夠大時(shí)（一般n 45）有近似公式 )()(,11ntntZZ),(1),(1mnFnmF2( ),2tnZnnZ例:查表求下列分位數(shù)的值0.050.9752220.050.990.050.050.990.050.050.99,(10),(10),(50)(10),(10),(100)(9,10),(9,10),ZZtttFF 抽樣分布定理 定理1.1 設(shè)總體 ， 為X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， 為樣本均值與樣本方差，則有： (1) (2),(2NX12(,)nXXX2,SX),(2nNX);1() 1(222nsn (3) 相互獨(dú)立； (4) 2XS與) 1(ntnSX 定理1.2 設(shè)有兩個(gè)總體與，從兩個(gè)總體與中分別獨(dú)立抽取容量為m，n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本記為樣本的樣本均值與方差，為樣本的樣本均值與方差，則（） ),(211NX),(222NY),(21mXXX),(21nYYY2,XSX),(21mXXX),(21nYYY2,YSY) 1 , 0()()(222121NnmYX（）（）若則其中) 1, 1(222212nmFS