諧振動分析(三)兩個同方向同頻率簡諧運動的合成

1、諧運動分析諧運動分析( (三三) )1 1物理學物理學第五版第五版兩個同方向同頻率簡諧運動的合成兩個同方向同頻率簡諧運動的合成 設一質點同時參與設一質點同時參與兩獨立的同方向、同頻兩獨立的同方向、同頻率的簡諧振動：率的簡諧振動：11A1xxO2x2A2)cos(111tAx)cos(222tAx兩振動的位相差兩振動的位相差 =常數常數12諧運動分析諧運動分析( (三三) )2 2物理學物理學第五版第五版 兩個兩個同同方向方向同同頻率簡諧運動頻率簡諧運動合成合成后仍后仍為為同同頻率的頻率的簡諧簡諧運動運動)cos(212212221AAAAA)cos(tAx11A1xxOAx21xxx2x2A2

2、22112211coscossinsintanAAAA諧運動分析諧運動分析( (三三) )3 3物理學物理學第五版第五版too212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT（1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，kxx諧運動分析諧運動分析( (三三) )4 4物理學物理學第五版第五版xto)cos()(12tAAxT2A21AA（2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，k21AAA)12(12kox諧運動分析諧運動分析( (三三) )5 5物理學物理學第五版第五版（3）一般情況一般情況2121AAAAA21AAA21AAA加強加強減弱減弱小結小結（1）相位差相位差

3、212k) 1 0( ， k（2）相位差相位差) 12(12k) 1 0( ， k諧運動分析諧運動分析( (三三) )6 6物理學物理學第五版第五版 二二 兩個相互垂直的同頻率的簡諧兩個相互垂直的同頻率的簡諧運動的合成運動的合成質點運動軌跡質點運動軌跡 （橢圓方程）（橢圓方程）)cos(11tAx)cos(22tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx諧運動分析諧運動分析( (三三) )7 7物理學物理學第五版第五版（1） 或或2012xAAy12討討論論（2） 12xAAy12yxo1A2A1A2Aoxy)(sin)cos(21221221222212AAxyAy

4、Ax諧運動分析諧運動分析( (三三) )8 8物理學物理學第五版第五版tAxcos1)2cos(2tAy（3）2121222212AyAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx討討論論1A2Aoxy諧運動分析諧運動分析( (三三) )9 9物理學物理學第五版第五版 用旋轉矢量描繪振動合成圖用旋轉矢量描繪振動合成圖諧運動分析諧運動分析( (三三) )1010物理學物理學第五版第五版 兩相兩相互垂直同互垂直同頻率不同頻率不同相位差簡相位差簡諧運動的諧運動的合成圖合成圖諧運動分析諧運動分析( (三三) )1111物理學物理學第五版第五版11Axo * *三三 多個同方向同頻

5、率簡諧運動多個同方向同頻率簡諧運動的的合成合成2A23A3A 多多個個同同方向方向同同頻率簡諧運動頻率簡諧運動合成合成仍為仍為簡諧簡諧運動運動 )cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAx諧運動分析諧運動分析( (三三) )1212物理學物理學第五版第五版1A2A3A4Axo5AAxO1A2A3A4A5A6A討討論論tAxcos01)cos(02tAx) 1(cos0NtAxN)2cos(03tAx),2, 1,(kkNk( (2) )2kN( (1) )2 k),2, 1,0(k0NAAAii0A諧運動分析諧運動分析( (三三) )1313

6、物理學物理學第五版第五版 四四 兩個同方向不同頻率簡諧運動兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成的合成諧運動分析諧運動分析( (三三) )1414物理學物理學第五版第五版 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個的兩個同方同方向向簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現象叫加強時而減弱的現象叫拍拍. .tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx討論討論 , , 的情況的情況 21AA 2112諧運動分析諧運動分析( (三三) )1515物理學物理學第五版第五版合振動頻率合振動頻率振幅部分振幅部分 方法一方法一振

7、幅振幅 振動頻率振動頻率tAtAxxx2211212cos2costtAx22cos)22cos2(12121tAA22cos21212)(211max2AA0minA諧運動分析諧運動分析( (三三) )1616物理學物理學第五版第五版拍頻拍頻（振幅變化的頻率）（振幅變化的頻率）2212T121T12ttAx22cos)22cos2(12121諧運動分析諧運動分析( (三三) )1717物理學物理學第五版第五版 方法二：旋轉矢量合成法方法二：旋轉矢量合成法021t )( 212xo2A2x2xA1A1x111t)()(1212t22t12諧運動分析諧運動分析( (三三) )1818物理學物理學

8、第五版第五版振幅振幅 振動圓頻率振動圓頻率2A2x2xAxo1A1x112t1t )(12t2)2cos(2121tAAxxt21cos221拍頻拍頻12)cos1 (21 AA諧運動分析諧運動分析( (三三) )1919物理學物理學第五版第五版 一一 阻尼振動阻尼振動現象：現象：振幅隨時間減小振幅隨時間減小原因：原因：阻尼阻尼動力學分析：動力學分析：阻力系數阻力系數maCkxv0dddd22kxtxCtxm阻尼力阻尼力vCFr諧運動分析諧運動分析( (三三) )2020物理學物理學第五版第五版角頻率角頻率振幅振幅固有角頻率固有角頻率阻尼系數阻尼系數0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2

9、022xtxtxmk0mC 2)cos(etAxt22022022T諧運動分析諧運動分析( (三三) )2121物理學物理學第五版第五版阻尼振動位移時間曲線阻尼振動位移時間曲線tOxAA)0(TtAtcose220)cos(etAxttAe諧運動分析諧運動分析( (三三) )2222物理學物理學第五版第五版otxabc三種阻尼的比較三種阻尼的比較 ( (c) )臨界阻尼臨界阻尼220 ( (b) )過阻尼過阻尼 220 ( (a) )欠阻尼欠阻尼220諧運動分析諧運動分析( (三三) )2323物理學物理學第五版第五版 例例 有一單擺在空氣（室溫為有一單擺在空氣（室溫為 ）中）中來回擺動來回擺

10、動. 擺線長擺線長 ，擺錘是半徑，擺錘是半徑 的鉛球的鉛球.求求（1）擺動周期；擺動周期；（2）振幅減小振幅減小10所需的時間；所需的時間；（3）能量減小能量減小10所需所需的時間；的時間；（4）從以上所得結果說明空氣的從以上所得結果說明空氣的粘性對單擺周期、振幅和能量的影響粘性對單擺周期、振幅和能量的影響. （已知鉛球密度為（已知鉛球密度為 ， 時空氣的粘度時空氣的粘度 ）C20m 0 . 1lm 100 . 53r33mkg 1065. 2sPa 1078. 15C20諧運動分析諧運動分析( (三三) )2424物理學物理學第五版第五版解解（1）10s 13. 3lgvvCrF6r142s

11、 1004. 6492rmC0s 2220220Tm, 0 . 1lm, 100 . 53r33mkg 1065. 2sPa 1078. 15C,20已知已知求（求（1）T諧運動分析諧運動分析( (三三) )2525物理學物理學第五版第五版（3）tAAe1e9.0tAAmin 3s 174)9 . 01ln(1ttAAEE22e)(22e9.0tmin 5 . 1s 872)9 . 01ln(2t已知已知求（求（2）?,9 . 0tAA （3）?,9 . 0tEE （2） 有阻尼時有阻尼時解解m, 0 . 1lm, 100 . 53r33mkg 1065. 2sPa 1078. 15C,20諧

12、運動分析諧運動分析( (三三) )2626物理學物理學第五版第五版驅動力驅動力二二 受迫振動受迫振動tFkxtxCtxmp22cosddddmk0mC2mFf tfxtxtxp2022cosdd2dd諧運動分析諧運動分析( (三三) )2727物理學物理學第五版第五版驅動力的驅動力的角頻率角頻率 tfxtxtxp2022cosdd2dd)cos()cos(ep0tAtAxt2p22p204)(fA2p20p2tan諧運動分析諧運動分析( (三三) )2828物理學物理學第五版第五版三三 共振共振)cos(ptAx22 2220pp()4fA 0ddpAtfxtxtxp2022cosdd2dd)

13、cos()cos(ep0tAtAxt諧運動分析諧運動分析( (三三) )2929物理學物理學第五版第五版PAo共振頻率共振頻率0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼共振頻率共振頻率阻尼阻尼0共共 振振 現現 象象 及及 應應 用用22r0|2|共振振幅共振振幅r2202|fA諧運動分析諧運動分析( (三三) )3030物理學物理學第五版第五版振蕩電路振蕩電路 無阻尼自由電磁振蕩無阻尼自由電磁振蕩LCSLC 電磁振蕩電路電磁振蕩電路L0Q+0QCEAL0Q+0QCECLCBBLCBD諧運動分析諧運動分析( (三三) )3131物理學物理學第五版第五版二二 無阻尼電磁振蕩的振蕩方程無阻尼電磁振蕩的振蕩方程SA

14、BLC 電磁振蕩電路電磁振蕩電路)2cos()sin(dd00tItQtqiCqVVtiLBAddtqiddqLCtq1dd22LC12qtq222dd)cos(0tQqLCT2LC諧運動分析諧運動分析( (三三) )3232物理學物理學第五版第五版iq2 無阻尼自由振蕩中的電荷和電流隨時無阻尼自由振蕩中的電荷和電流隨時間的變化間的變化 )(tO0I20Q)cos(0tQq)2cos(0tIi諧運動分析諧運動分析( (三三) )3333物理學物理學第五版第五版三三 無阻尼電磁振蕩的能量無阻尼電磁振蕩的能量 在無阻尼自由電磁振蕩過程中，電場能在無阻尼自由電磁振蕩過程中，電場能量和磁場能量不斷的相互轉化，其總和保持量和磁場能量不斷的相互轉化，其總和保持不變不變. .)(cos222202etCQCqE)(sin2)(sin2121220