數(shù)理方程第二版 課后習(xí)題答案

1、第一章 曲線論§1 向量函數(shù)1. 證明本節(jié)命題3、命題5中未加證明的結(jié)論。略2. 求證常向量的微商等于零向量。證：設(shè)r=c，tI為常向量，因?yàn)閘imt0rt+t-r(t)t=limt0c-ct=0所以 r'=0。 證畢3. 證明ddtr(t)(t)=r'tt-r(t)'(t)2(t)證：ddtr(t)(t)=ddt-1(t)r(t)=-2t'trt+-1tr't=r'tt-r(t)'(t)2(t)證畢4. 利用向量函數(shù)的泰勒公式證明：如果向量在某一區(qū)間內(nèi)所有的點(diǎn)其微商為零，則此向量在該區(qū)間上是常向量。證：設(shè)r=rt=x(t)y(

2、t)z(t)，tI為定義在區(qū)間I上的向量函數(shù)，因?yàn)閞t在區(qū)間I上可導(dǎo)當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)量函數(shù) x(t)，y(t)和z(t)在區(qū)間I上可導(dǎo)。所以，t0I，根據(jù)數(shù)量函數(shù)的Lagrange中值定理，有xt=xt0+x'(1)(t-t0)yt=yt0+y'(2)(t-t0)zt=zt0+z'(3)(t-t0)其中1，2，3介于t0與t之間。從而r=rt=x(t)y(t)z(t) =xt0+x'(1)(t-t0)yt0+y'(2)(t-t0)zt0+z'(3)(t-t0) =xt0yt0zt0+x'(1)y'(2)z'(3)(t-t0) =

3、r0+(t-t0)上式為向量函數(shù)的0階Taylor公式，其中=x'1y'2z'3。如果在區(qū)間I上處處有r't=x'(t)y'(t)z'(t)=0，則在區(qū)間I上處處有x't=y't=z't=0，從而=x'1y'2z'3=0，于是r=r0。 證畢5. 證明r=rt具有固定方向的充要條件是r×r'=0。證：必要性：設(shè)r=rt具有固定方向，則r=rt可表示為r=rt=(t)e，其中(t)為某個(gè)數(shù)量函數(shù)，e為單位常向量，于是r×r'= t'te×e

4、=0。充分性：如果r×r'=0，可設(shè)r0，令r=rt=(t)e(t)，其中(t)為某個(gè)數(shù)量函數(shù)，e(t)為單位向量，因?yàn)閞'='tet+(t)e'(t)，于是r×r'=0tet×'tet+te't=02te(t)×e'(t)=0因?yàn)閞0，故2t0，從而et×e't=0e(t)×e'(t)2=0e(t)e(t)e(t)e'(t)e'(t)e(t)e'(t)e'(t)=0100e'(t)2=e'(t)2=0e&#

5、39;t=0e(t)=e為常向量，于是，r=rt=(t)e，即r=rt具有固定方向。 證畢6. 證明r=rt平行于固定平面的充要條件是r,r',r"=0。證：必要性：設(shè)r=rt平行于固定平面，則存在一個(gè)常向量p，使得pr=0，對(duì)此式連續(xù)求導(dǎo)，依次可得 pr'=0和 pr"=0，從而r，r'，和r"共面，因此 r,r',r"=0。充分性：設(shè)r,r',r"=0，即r×r'r"=0，其中，如果r×r'=0，根據(jù)第5題的結(jié)論知，r=rt具有固定方向，則r=rt可表示為

6、r=rt=(t)e，其中(t)為某個(gè)數(shù)量函數(shù)，e為單位常向量，任取一個(gè)與e垂直的單位常向量c，于是作以n=e×c為法向量過原點(diǎn)的平面，則r平行于。如果r×r'0，則r與r'不共線，又由r,r',r"=0 可知，r，r'，和r"共面，于是 r"=(t)r+(t)r'，其中(t)，(t)為數(shù)量函數(shù)，令n=r×r'，那么n'=r×r"=(t)n，這說明n與n'共線，從而n×n'=0，根據(jù)第5題的結(jié)論知，n具有固定方向，則n=nt可表示為n=

7、nt=(t)e，其中(t)為某個(gè)數(shù)量函數(shù)，e為單位常向量，作以e為法向量，過原點(diǎn)的平面，則r平行于。 證畢§2曲線的概念1. 求圓柱螺線r=cost,sint,t在點(diǎn)(1,0,0)的切線與法平面的方程。解：r'=-sint,cost,1，點(diǎn)(1,0,0)對(duì)應(yīng)于參數(shù)t=0，于是當(dāng)t=0時(shí)，r=1,0,0，r'=0,1,1，于是切線的方程為：x-10=y1=z1法平面的方程為y+z=02. 求三次曲線r=at,bt2,ct3在點(diǎn)t0處的切線和法平面的方程。解：r'=a,2bt,3ct2，當(dāng)t=t0時(shí)，r=at0,bt02,ct03，r'=a,2bt0,3c

8、t02，于是切線的方程為：x-aa=y-bt022bt0=z-ct033ct02法平面的方程為ax-a+2bt0y-bt02+3ct02z-ct03=03. 證明圓柱螺線r=a cost,a sint,bt的切線和z軸成固定角。證：r'=-a sint,a cost,b令為切線與z軸之間的夾角，因?yàn)榍芯€的方向向量為r'=-a sint,a cost,b，z軸的方向向量為k=0,0,1，則cos=r'k|r'|k|=ba2+b2=arccosba2+b2證畢4. 求懸鏈線r=at,a cosht (-<t<+)從t=0起計(jì)算的弧長。解：r'=a

9、,asinhts=0t|r'|dt=0ta2+(asinht)2dt=a0tcoshtdt=asinht5. 求拋物線y=bx2對(duì)應(yīng)于-axa的一段的弧長。解：y'=2bxs=-aa1+y'2dx =-aa1+4b2x2dx=20a1+4b2x2dx=1b0a1+(2bx)2d(2bx)=1bbx1+4b2x2+12ln2bx+1+4b2x20a=a1+4a2b2+12bln2ab+1+4a2b26. 求星形線x=acost3，y=asint3的全弧長。解：s=402x'2+y'2dt=12a02sintcost dt=6a7. 求旋輪線x=a(t-si

10、nt)，y=a(1-cost)對(duì)應(yīng)于0t2一段的弧長。解：s=02x'2+y'2dt=2a021-costdt=2a02sint2dt=8a8. 求圓柱螺線r=3a cost,3a sint,4at (-<t<+)從它與Oxy平面的交點(diǎn)到任意點(diǎn)M(t)的弧長。解：圓柱螺線r=3a cost,3a sint,4at與Oxy平面z=0的交點(diǎn)為(3a,0,0)，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=0，而r'=-3a sint,3a cost,4a， s=0t|r'|dt=0t32a2+42a2dt=5a0tdt=5at9. 求曲線x3=3a2y，2xz=a2在平面y=a3

11、與平面y=9a之間的弧長。解：取x為曲線參數(shù)，曲線的向量參數(shù)方程為：r=x,x33a2,a22xr'=1,x2a2,-a22x2r'=x2a2+a22x2平面y=a3對(duì)應(yīng)于參數(shù)x=a，平面y=9a對(duì)應(yīng)于參數(shù)x=3a，s=a3ar'dx=a3ax2a2+a22x2dx=9a10. 將圓柱螺線r=a cost,a sint,bt化為自然參數(shù)表示。解：r'=-a sint,a cost,b，因?yàn)樽匀粎?shù)s=st=0t|r'|dt=a2+b20tdt=a2+b2t 其中，t>0 或 t<0 均可。所以 ，t=sa2+b2 ，于是r=a cost,a

12、sint,bt=a cossa2+b2 , a sin sa2+b2 , b sa2+b211. 求極坐標(biāo)方程=()給定的曲線的弧長表達(dá)式。解：極坐標(biāo)方程=()給定的曲線的方程可化為向量參數(shù)形式：r=cossinr'='cos-sin'sin+coss=r'd=()2+'2d 其中，>§3 空間曲線1. 求圓柱螺線r=a cost,a sint,bt在任意點(diǎn)的密切平面的方程。解：密切平面的方程為X-a costY-a sintZ-bt-asintacostb-acost-asint0=0即 absint(X-a cost)-abcost(

13、Y-a sin t)+a2Z-bt=02. 求曲線r=t sint,t cost,t et在原點(diǎn)的密切平面、法平面、從切平面、切線、主法線、副法線的方程。解：r=t sint,t cost,t etr'=sint+tcost,cost-tsint,1+tetr"=2cos t-t sint,-2sint-t cost,(2+t) et原點(diǎn)(0,0,0)對(duì)應(yīng)于參數(shù) t=0,于是在t=0處，r=0,0,0r'=0,1,1r"=21,0,1=r'|r'|=120,1,1=r'×r"|r'×r"

14、|=131,1,-1=×=162,-1,1密切平面的方程為X+Y-Z=0副法線的方程為X1=Y1=Z-1法平面的方程為：Y+Z=0切線的方程為X0=Y1=Z1從切平面的方程為2X-Y+Z=0主法線的方程為X2=Y-1=Z13. 證明圓柱螺線r=a cost,a sint,bt的主法線和z軸垂直相交。證：r=a cost,a sint,btr'=-a sint,a cost,br"=-a cost,-a sint,0=r'|r'|=1a2+b2-a sint,a cost,b=r'×r"|r'×r"

15、;|=1a2+b2b sint,-b cost,a=×=- cost,- sint,0一方面，主法線的方程為X-acostcost=Y-bsintsint=Z-bt0另一方面，過圓柱螺線r=a cost,a sint,bt上任意一點(diǎn)M(a cost,a sint,bt)作平面與z軸垂直，的方程為Z-bt=0，與z軸的交點(diǎn)為N(0,0,bt)，過M與N的直線顯然與z軸垂直相交，而其方程為X-acostcost=Y-bsintsint=Z-bt0這正是主法線的方程，故主法線和z軸垂直相交。 證畢4在曲線r=cos cost,cos sint,tsin的副法線的正向取單位長，求其端點(diǎn)組成的

16、新曲線的密切平面。解：令a=cos , b=sin，則曲線的方程可表示為：C1: r=a cost,a sint,bt, a2+b2=1 設(shè)C1的副法線向量為，則有=r'×r"|r'×r"|=1a2+b2b sint,-b cost,a=b sint,-b cost,a根據(jù)題意，新曲線的方程可表示為C2: =r+=a cost+b sint,a sint-b cost,a+bt將a=cos , b=sin代入上式，整理后，得C2: =cost-, sint-,(sin)t+cos'=-sint-,cost-,sin"=-

17、cost-, -sint-,0'×"=sin sint-,-sincost-,1于是新曲線C2的密切平面為：sin sint-X-cos(t-)-sincost-Y-sin+Z-(sin)t -cos=0即：sin sint-X-sincost-Y+Z=(sin)t+cos5. 證明球面曲線的法平面通過球的中心。證：設(shè)曲線(C): r=r(s)為球心在原點(diǎn)，半徑為a的球面上的曲線,其中s為自然參數(shù)。曲線(C)上任意一點(diǎn)P（P點(diǎn)的向徑為r）處的基本向量為，。則有1 r2=a2上式兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，得2 r=0設(shè)為法平面上的點(diǎn)的向徑，則曲線(C)上任意一點(diǎn)P處的法平面的向

18、量方程為3 - r=0根據(jù)(2)式 =0 滿足方程(3)，故法平面過原點(diǎn)。 證畢6. 證明過原點(diǎn)平行于圓柱螺線r=a cost,a sint,bt的副法線的直線的軌跡是錐面a2x2+y2=b2z2。證：r=a cost,a sint,btr'=-a sint,a cost,br"=-a cost,-a sint,0=r'|r'|=1a2+b2-a sint,a cost,b=r'×r"|r'×r"|=1a2+b2b sint,-b cost,a設(shè)過原點(diǎn)(0,0,0)且與平行的直線上的點(diǎn)為(X,Y,Z),則

19、直線的方程為Xbsint=Y-bcost=Za化為參數(shù)方程，得XYZ=(bsint)u-(bsint)uau則有a2X2+Y2=b2Z2這說明直線上的點(diǎn)(X,Y,Z)都在錐面a2x2+y2=b2z2上。 證畢7. 求下列曲線的曲率和撓率。 1 r=a cosht,a sinht,at， 2 r=a3t-t3,3at2,a3t+t3解: 對(duì)于曲線(1)r'=asinht,acosht,ar''=acosht,asinht,0r'''=asinht,acosht,0k=|r'×r''|r'|3 = 12a(c

20、osht)2=(r',r'',r''')|r'×r''|2 = 12a(cosht)2對(duì)于曲線(2)r'=3a1-t2,2t1+t2r''=6a-t,1,tr'''=6a-1,0,1k=|r'×r''|r'|3 = 13a(t2+1)2=(r',r'',r''')|r'×r''|2 = 13a(t2+1)28. 給定曲線r=(cost)3,si

21、nt3,cos2t，求（1）基本單位向量，；（2）曲率和撓率；（3）驗(yàn)證伏雷內(nèi)公式。解: 對(duì)于給定曲線，有1 r'=-32sin2tcost,-sint,432 dr=-32sin2tcost,-sint,43dt3 ds=(dr)2 = 52|sin2t|dt 4 =drds=35cost,-sint,43其中，=±15 =dds=ddtdtds=625|sin2t|-sint,-cost,06 =| = -sint,-cost,0 7 =× =45cost,-sint,348 k=| = 625|sin2t|9 =dds=ddtdtds=825|sin2t|-s

22、int,-cost,010 =- =-825|sin2t|根據(jù)(5)(6)(8)式可得=k，根據(jù)(6)(9)(10)式，可得=-，又根據(jù)(6)式，得 =dds=ddtdtds=25|sin2t|-cost,sint,0另一方面，根據(jù)(4)(7)(8)(10)式，可得-k+=25|sin2t|-cost,sint,0從而，=-k+。9. 證明：如果曲線的所有切線都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則此曲線是直線。證1：設(shè)曲線(C)的向量參數(shù)方程為：r= r(s)，其中s為自然參數(shù)。(C)上任意一點(diǎn)P（P點(diǎn)的向徑為r）處的基本向量為，。因?yàn)?C)在P點(diǎn)處的切線都經(jīng)過一定點(diǎn)Q（Q點(diǎn)的向徑設(shè)為r0），所以r-r0與共線，

23、進(jìn)而有(1) r-r0×=0上式兩端關(guān)于s求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：(2) kr-r0×=0(2)式中的k為(C)在P點(diǎn)處的曲率。又(2)式中r-r0×0，這是因?yàn)槿绻鹯-r0×=0，則r-r0同時(shí)與和共線，但這是不可能的，因?yàn)楹褪窍嗷フ坏膯挝幌蛄俊亩鶕?jù)(2)式有k=0，即(C)是直線。 證畢證2：設(shè)曲線的方程為，因?yàn)榍€上任一點(diǎn)的切線經(jīng)過一定點(diǎn)，則與共線，但，于是與共線，從而=0,由此可知具有固定的方向，即與一個(gè)常向量平行，于是=,或，這說明曲線上的點(diǎn)都在以為方向向量，過點(diǎn)的直線上，所以曲線為直線。 證畢10. 證明：如果曲線的所有密切平面

24、都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則此曲線是平面曲線。證：設(shè)曲線(C)的向量參數(shù)方程為：r= r(s)，其中s為自然參數(shù)。曲線(C)上任意一點(diǎn)P（P點(diǎn)的向徑為r）處的基本向量為，。因?yàn)槲覀冎谎芯坎缓毫酎c(diǎn)的曲線（參見教科書P.31的腳注），即 r×r0，而r×r0k=r×rr30即(C)上任何點(diǎn)的曲率k0。設(shè)(C)在P點(diǎn)處的密切平面都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)Q （Q點(diǎn)的向徑設(shè)為r0），則r-r0為(C)在P點(diǎn)處的密切平面上的一個(gè)向量，從而有(1) r-r0=0(1) 式兩端關(guān)于s求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：(2) r-r0=0(2)式中的為(C)在P點(diǎn)處的撓率。由(2)式可知，=0 或者r

25、-r0=0但r-r00，因?yàn)槿绻鹯-r0=0 結(jié)合(1)式,可知r-r0與共線，于是 (3) r-r0×=0(3)式兩端關(guān)于s求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：(4) kr-r0×=0(4)式中的k為(C)在P點(diǎn)處的曲率。因?yàn)閗0，所以r-r0×=0 ，結(jié)合(3)知r-r0同時(shí)與和共線，但這是不可能的，因?yàn)楹褪窍嗷フ坏膯挝幌蛄?。這個(gè)矛盾說明r-r00，于是由(2)式可知，只能=0，曲線(C) 是平面曲線。 證畢11. 證明：如果曲線的所有法平面都包含常向量e，則此曲線是平面曲線。證1： 設(shè)曲線(C)的向量參數(shù)方程為：r= r(s)，其中s為自然參數(shù)。(C)上任意一

26、點(diǎn)P（P點(diǎn)的向徑為r）處的基本向量為，。因?yàn)?C)在P點(diǎn)處的法平面都包含常向量e，則有(1) e=0注意到=r ，(1)式兩端關(guān)于s從s0到s求積分，得：(2) ers-rs0=0（2）式說明曲線(C)在以常向量e為法向量且過點(diǎn)rs0的平面上。 證畢證2：設(shè)曲線(C)的向量參數(shù)方程為：r= r(s)，其中s為自然參數(shù)。(C)上任意一點(diǎn)P（P點(diǎn)的向徑為r）處的基本向量為，。因?yàn)槲覀冎谎芯坎缓毫酎c(diǎn)的曲線（參見教科書P.31的腳注），即 r×r0，而r×r0k=r×rr30即(C)上任何點(diǎn)的曲率k0。因?yàn)?C)在P點(diǎn)處的法平面都包含常向量e，則(1) e=0上式兩端關(guān)

27、于s求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：(2) ke=0因?yàn)閗0，所以(3) e=0，結(jié)合(1)式可知e與共線，從而(4) e×=0(4)式兩端關(guān)于s求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：(5) e×=0(5)式中e×0，否則，根據(jù)(3)式，e×=0 和 e=0將同時(shí)成立，即既與e平行，又與e垂直，這是矛盾。于是只能是=0，所以曲線(C) 是平面曲線。 證畢 12. 證明曲率為常數(shù)的空間曲線的曲率中心的軌跡仍是曲率等于常數(shù)的曲線。證：設(shè)曲率為常數(shù)k的空間曲線(C)的向量參數(shù)方程為：r= r(s)，其中s為自然參數(shù)。(C)上任意一點(diǎn)P處的基本向量為，曲率半徑為R=1

28、/k，又設(shè)(C)的曲率中心的軌跡為，的曲率記為k，根據(jù)題意，的方程為1 =r+R(1)式兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，得2 '=R3 "=R(-2+)4 k=|'× "|'|3=1R(4)式說明的曲率k也是常數(shù)且k=k。 證畢13. 證明曲線(C)：r=1+3t+2t2,2-2t+5t2,1-t2為平面曲線，并求出它所在平面的方程。解：r'=3+4t,-2+10t,-2tr''=4,10,-2r'''=0,0,0=(r',r'',r''')(r'

29、15;r")2=0由上式可知，(C)為平面曲線。令t=0，則有r=1,2,1r'=3,-2,0r''=4,10,-2r'''=0,0,0r'×r"=22,3,19(C)所在平面的方程為2x-1+3y-2+19z-1=0。14. 設(shè)在兩條曲線C1和C2的點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的切線平行， 證明它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線以及副法線也分別平行。證：設(shè)曲線C1的方程為r1=r1(s)，sI1，其中s為C1的自然參數(shù)，曲線C2的方程為r2=r2(s)，sI2，其中s為曲線C2的自然參數(shù)。因?yàn)樗懻摰那€都是

30、正則曲線，于是曲線C1上的點(diǎn)P和區(qū)間I1內(nèi)的參數(shù)s一一對(duì)應(yīng)，曲線C2上的點(diǎn)Q和區(qū)間I2內(nèi)的參數(shù)s一一對(duì)應(yīng)，如果兩條曲線的點(diǎn)P與Q之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則對(duì)應(yīng)的參數(shù)s與s之間也建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而1 s=s(s)設(shè)1，1，和1為曲線C1在點(diǎn)P處的基本向量， 2，2，和2為曲線C2在點(diǎn)Q處的基本向量，曲線C1在點(diǎn)P處的曲率和撓率分別記為k和，曲線C2在點(diǎn)Q處的曲率和撓率分別記k為和。如果兩條曲線總保持在對(duì)應(yīng)點(diǎn)P與Q處的切線平行，則有2 2=1，其中=±1(2)式兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，得3 k2dsds=k1從而，4 2=kkdsds1(4)式說明C1和C2在對(duì)應(yīng)點(diǎn)P與Q處的主法線平行。又

31、因?yàn)?= 2×2，由(2)式和(4)式，得5 2= 2×2=kkdsds1(5) 式說明C1和C2在對(duì)應(yīng)點(diǎn)P與Q處的副法線平行。 證畢15. 設(shè)在兩條曲線C1和C2的點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線總是相互平行，證明它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的切線成固定角。證：設(shè)曲線C1的方程為r1=r1(s)，sI1，其中s為C1的自然參數(shù)，曲線C2的方程為r2=r2(s)，sI2，其中s為曲線C2的自然參數(shù)。因?yàn)樗懻摰那€都是正則曲線，于是曲線C1上的點(diǎn)P和區(qū)間I1內(nèi)的參數(shù)s一一對(duì)應(yīng)，曲線C2上的點(diǎn)Q和區(qū)間I2內(nèi)的參數(shù)s一一對(duì)應(yīng)，如果兩條曲線的點(diǎn)P與Q之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則對(duì)應(yīng)

32、的參數(shù)s與s之間也建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而1 s=s(s)設(shè)1，1，和1為曲線C1在點(diǎn)P處的基本向量， 2，2，和2為曲線C2在點(diǎn)Q處的基本向量，曲線C1在點(diǎn)P處的曲率和撓率分別記為k和，曲線C2在點(diǎn)Q處的曲率和撓率分別記k為和，如果兩條曲線總保持在對(duì)應(yīng)點(diǎn)P與Q處的主法線平行，則有2 2=1，其中=±1根據(jù)(2)式，可得3 dds12=k12+1k2dsds=k22+1k1dsds=0設(shè)1與2之間的夾角為，則根據(jù)(3)式，4 cos=12=const(4)式說明C1和C2在對(duì)應(yīng)點(diǎn)P與Q處的切線成固定角。 證畢16. 如果曲線C1的主法線是曲線C2的副法線，C1的曲率和撓率分別為k和，

33、求證k=a(k2+2)其中a是常數(shù)。證：設(shè)曲線C1的方程為r1=r1(s)，sI1，其中s為C1的自然參數(shù)，曲線C2的方程為r2=r2(s)，sI2，其中s為曲線C2的自然參數(shù)。因?yàn)樗懻摰那€都是正則曲線，于是曲線C1上的點(diǎn)P和區(qū)間I1內(nèi)的參數(shù)s一一對(duì)應(yīng)，曲線C2上的點(diǎn)Q和區(qū)間I2內(nèi)的參數(shù)s一一對(duì)應(yīng)，如果兩條曲線的點(diǎn)P與Q之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則對(duì)應(yīng)的參數(shù)s與s之間也建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而1 s=s(s)設(shè)1，1，和1為曲線C1在點(diǎn)P處的基本向量， 2，2，和2為曲線C2在點(diǎn)Q處的基本向量，曲線C1在點(diǎn)P處的曲率和撓率分別記為k和，曲線C2在點(diǎn)Q處的曲率和撓率分別記k為和。如果曲線C1的

34、主法線是曲線C2的副法線，依題意，有下面兩式成立：2 2= 1，其中=±1。3 r2=r1(s)+t(s)1(s)(3)式兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，得4 2dsds=1+t1+t-k1+1整理(4)式，可得5 2=1-ktdsds1+tdsds1+tdsds1利用(2)式，在(5)式兩邊與1作內(nèi)積，得6 tdsds=0(6)式中由于dsds0故 t=0，從而t=a為常數(shù)，(5)式化為7 2=1-akdsds1+adsds1=A1+B1(7)式兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，得8 k2dsds=A1+kA-B1+B1因?yàn)?2= 1，上式兩邊同時(shí)與1作內(nèi)積，得9 kA-B=0根據(jù)(7)式，(9)式等價(jià)于k1-ak

35、dsds-adsds=0即k1-ak-a2=0從而，k=a(k2+2)。 證畢17. 曲線r=at-sint,a1-cost,4acost2在哪些點(diǎn)的曲率半徑最大？解：解: 對(duì)于給定曲線，有1 r'=a1-cost,sint,-2 sint2=a2sint22,2sint2cost2,-2 sint2 =2a sint2sint2,cost2,-12 dr=2a sint2sint2,cost2,-1dt3 ds=(dr)2 = 22a|sint2|dt 4 =drds=2sint2,cost2,-1其中，=±15 =dds=ddtdtds=8a|sint2|cost2,-s

36、int2,06 k=| = 18a|sint2|7 R=1k=8a|sint2|根據(jù)(7)式，當(dāng) t=(2k±1)，k=0,±1,±2,時(shí)，R=8a最大。18. 已知曲線(C)：r=r(s)C3上一點(diǎn)r(s)的鄰近一點(diǎn)r(s+s)，求點(diǎn)r(s+s)到點(diǎn)r(s)的密切平面、法平面的距離（設(shè)(C)在點(diǎn)r(s)的曲率和撓率分別為k和。）解：設(shè)曲線(C)在點(diǎn)r(s)的基本向量分別為，和，則點(diǎn)r(s+s) 到點(diǎn)r(s)的密切平面和法平面的距離分別為1 d1=rs+s-rs=|rss+12rss2+13!r(s)+s3|2 d2=rs+s-rs=|rss+12rss2+13!

37、r(s)+s3|其中，lims0=0因?yàn)閞s= ，rs=s=k，rs=ddsk=k+k-k+=-k2+k+k將它們代入(1)式和(2)式中，得3 d1=|13!ks3+13!s3|13!k|s|33 d2=|s-13!k2s3+13!s3|s-13!k2s3|19. 如果曲線C1：r= r(s) 為一般螺線，其中s為C1的自然參數(shù)。， 為C1上任意一點(diǎn)P處的基本向量，R為C1在P處曲率半徑，證明：曲線C2：=R-ds也是一般螺線。證：曲線C2的方程兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，得1 '=R2 "=R-kR3 '×"=-kR2根據(jù)(1)式和(3)式，得5 2=&#

38、39;|'|=其中=±16 2='×"|'×"|=-7 2=2× 2=-因?yàn)榍€C1：r= r(s) 為一般螺線，故存在一個(gè)常向量p 使得p=0 從而，8 p2=-p=0(8)式說明曲線C2也是一般螺線。 證畢20. 證明：一條曲線(C)：r= r(s)為一般螺線的充要條件是r,r,r(4)=0。證：充分性：如果r,r,r(4)=0，則曲線(C')： r=r(s)的撓率為零，(C')為平面曲線，于是存在一個(gè)常向量p，使得pr=0，但r=k，故kp=0，因?yàn)槲覀冎谎芯坎缓毫酎c(diǎn)的曲線（參見教科書P.31的腳注），從而k0，于是p=0，即(C) 為一般螺線。必要性： 如果(C)為一般螺線，存在一個(gè)常向量p 使得p=0，但=k-1=k-1r,從而，pr=0，繼續(xù)關(guān)于s求導(dǎo)，可得：pr=0 ， pr(4)=0，于是r，r，r(4)共面，由此，r,r,r(4)=0。 證畢21. 證明：一條曲線的所有切線不可能同