D4_5 函數(shù)的極值與最值

1、4. 5. 2 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題4. 5. 1 函數(shù)的極值的判別函數(shù)的極值的判別 4 . 5 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 4 章 4. 5. 1 4. 5. 1 函函 數(shù)數(shù) 極極 值值 的的 判判 別別 0fx f x 3f xx1. 駐點駐點：定義域內(nèi)滿足方程定義域內(nèi)滿足方程函數(shù)函數(shù)說明說明：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 x 的的解解。 而言，而言，但對于但對于滿足滿足但但 0 不是其極值點；不是其極值點；又如又如 f xx0 x 是函數(shù)是函數(shù)的極小值點，的極小值點，但函數(shù)在此點不可導；但函數(shù)在此點不可導；函數(shù)函數(shù)不可導，不可

2、導，2. 奇點奇點： fx函數(shù)函數(shù)定義域內(nèi)定義域內(nèi)不可導的點不可導的點。分析：分析：如函數(shù)如函數(shù) 2,f xx 00;f 當當時取得極小值且時取得極小值且0 x 00,f 函數(shù)的函數(shù)的駐點駐點與與奇點奇點統(tǒng)稱為函數(shù)的統(tǒng)稱為函數(shù)的可疑極值點可疑極值點。一、可疑極值點一、可疑極值點2) 對常見函數(shù)，對常見函數(shù)， 極值點可能是函數(shù)的極值點可能是函數(shù)的駐點駐點 或函數(shù)的或函數(shù)的奇點奇點。1) 極值反映的只是函數(shù)的極值反映的只是函數(shù)的局部性質(zhì)局部性質(zhì)，極大值可能小于其極小值；極大值可能小于其極小值； 3f xx在在0 x 但函數(shù)在但函數(shù)在 卻不取得極值。卻不取得極值。0 x 二、極值的判別法則二、極值的

3、判別法則0 x f x 0,f xNCx）（）（法則法則）設(shè)設(shè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 00,Nx是函數(shù)是函數(shù)的可疑極值點，的可疑極值點，滿足：滿足：且在且在則則內(nèi)可導，內(nèi)可導， 00fxxx必是函數(shù)必是函數(shù)0 x的的極大極大 值點值點； f x0 ,00,Nxx （小）（?。? x f x f x）（）（法則法則）設(shè)設(shè)是函數(shù)是函數(shù)的駐點，的駐點，在點在點0 x處處二二階階可導，可導，若若00fx0 ,必是必是0 x的極大的極大 值點。值點。 f x（?。ㄐ。┳C明證明：）由條件）由條件 00fxxx0 xx fx與與異號異號00 xx 0fx且且00 xx 0fx且且0 xx f

4、x單調(diào)增，單調(diào)增，0 xx f x單調(diào)減，單調(diào)減，使得使得則則定定 理理 1： (充分條件充分條件)類似地可證明極小值的情形。類似地可證明極小值的情形。0fx）（）（法則法則）機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由極限的保號性得，由極限的保號性得，有有 000limxxffxxxx 00limxxfxxx000,Nxx 0,使得使得 0,ffxx0 xx 0,ffxx0 xx 0,ffxx00,Nxx即即是函數(shù)是函數(shù)0 x的極大值點；的極大值點； f x00 xx 0fx且且00 xx 0fx且且0 xx f x單調(diào)增，單調(diào)增，0 xx f x單調(diào)減，單調(diào)減，異號，異號，由由）的證明過程得知）

5、的證明過程得知必是函數(shù)必是函數(shù)0 x的極大值點；的極大值點； f x類似地可證明極小值的情形。類似地可證明極小值的情形。證畢證畢0 xx與與 00fxxx fx例例 1. 231f xxx 23fxx13231xx的極值。的極值。解解:1) 求導數(shù)：求導數(shù)：2) 求極值可疑點：求極值可疑點：令令 0,fx求得求得駐點駐點：125;x 而一階不可導的點（而一階不可導的點（奇點奇點）為：）為：,fDR顯然：顯然：20;x 3) 極值的判斷（作表如下）：極值的判斷（作表如下）：x fx f x0520033. 0)0,(),0(52),(520 x 是函數(shù)的極大點，是函數(shù)的極大點，其極大值為：其極大

6、值為：是函數(shù)的極小點，是函數(shù)的極小點，其極小值為：其極小值為：52x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 25335xx從而得：從而得：求函數(shù)求函數(shù)即即 (;,)f xC 00;f 250.33;f例例 2. 3211f xx 221,6fxx x 2261 51fxxx的極值的極值 。解解:2 ) 求可疑極值點：求可疑極值點：令令得駐點得駐點1,0, 1321xxx3 ) 極值的判斷：極值的判斷：故需用第一判別法判斷，故需用第一判別法判斷，1x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0,fx求函數(shù)求函數(shù)1）求導數(shù)：）求導數(shù)： 600,f 00f為其極小值；為其極小值；01f 又因又因 1 ,f由

7、于一階導函數(shù)由于一階導函數(shù) fx在點在點的左右鄰域內(nèi)不變號，的左右鄰域內(nèi)不變號，在點在點處不取得極值。處不取得極值。故函數(shù)故函數(shù) f x1x 顯然顯然,fDR即即 ,;f xC 1xy1定理定理 2 (判別法推廣判別法推廣) f xn0 x( )00,nfx則則: :且且機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證: :0()00100,nffffxxxx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)階的導數(shù)，階的導數(shù)，處有直到處有直到在點在點1）當）當 n 為為偶數(shù)偶數(shù)時，時，且當且當必為函數(shù)的極值點，必為函數(shù)的極值點，0 x而當而當0( )0nfx0( )0nfx時，時，是函數(shù)的極是函數(shù)的極小小值點；值點；時，時，將函數(shù)將函數(shù)

8、0 x0 x是函數(shù)的極是函數(shù)的極大大值點；值點；2）當）當 n 為為奇數(shù)奇數(shù)時，時，一定不是函數(shù)的極值點。一定不是函數(shù)的極值點。0 x展開成展開成 n 階帶階帶Peano余項的余項的Taylor公式：公式： f x (000000)!nnnf xffofxxxxxxxxnx ( )0000!nnnf xoffxxxxxnx也就是說：也就是說：0( )nfx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 必有必有 0ffxx00,Nxx ( )0,0nfx0( )0nfx同號，同號，即當即當 n 為為偶數(shù)偶數(shù)時，時，與與使得使得 0(0)01!nnfof xfxxxnx由極限的保號性知，由極限的保號性知，

9、00nf xfxxx0( )!nfxn同號，同號，與與0,00,Nxx 00ffxx0fx0,Nxx 從而證得從而證得若若0必為其函數(shù)的極小必為其函數(shù)的極小 值；值；,0（大大） 00nf xfxxx0( )nfx同號，同號，與與當當 n 為為奇數(shù)奇數(shù)時，時，若若則則0 xx 0ffxx同號，同號，與與 ( )0000!nnnf xoffxxxxxnx 0,ffxx即當即當0 xx時，時， 0,ffxx而當而當0 xx時，時，即函數(shù)即函數(shù) f x在在0 x不是函數(shù)的極值點；不是函數(shù)的極值點；從而知從而知類似可證，當類似可證，當 0( )0nfx0 x同樣也不是函數(shù)的極值點。同樣也不是函數(shù)的極值

10、點。0 x的鄰域內(nèi)單調(diào)增，的鄰域內(nèi)單調(diào)增，時，時，例如例如， 3211f xx 22453 ,fxxx10;f 1x 函數(shù)極值的判別法（定理函數(shù)極值的判別法（定理1 、定理定理2 ）的條件）的條件都是充分的都是充分的；說明說明: :當函數(shù)不滿足定理中的條件時，當函數(shù)不滿足定理中的條件時， 其極值仍可能存在。其極值仍可能存在。例如例如: :2122sin,xx,20 x0 x 20f為函數(shù)的極大值為函數(shù)的極大值 ,但不滿足定理但不滿足定理1 、定理定理2 的條件的條件.xy11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在例在例2中，中，3n 為奇數(shù)，為奇數(shù)，由定理由定理 2 知，知，不是函數(shù)的極值點。

11、不是函數(shù)的極值點。 f x 4. 5. 2 最最 值值 問問 題題 ,f xC a b f x, a b則其最值只能在極值點或區(qū)間的則其最值只能在極值點或區(qū)間的端點端點取得。取得。1. 1. 求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法: :12,mxxx（2）求函數(shù)的最值：求函數(shù)的最值：最小值：最小值：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 M 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)）求函數(shù)在開區(qū)間在開區(qū)間內(nèi)的可疑極值點：內(nèi)的可疑極值點：最大值：最大值：m ,f a f b1,fx2,fx,mfxmax； ,f a f b1,fx2,fx,mfxmin；2. 2. 關(guān)于最值的注明關(guān)于最值的注明: : f x f x, a

12、 b最值點最值點只能在只能在區(qū)間的端點區(qū)間的端點 a、 b 處取得；處取得；且該點又是函數(shù)且該點又是函數(shù)而而實際意義實際意義的確有最值點，的確有最值點，解過程中又只求得唯一的一個可疑極值點，解過程中又只求得唯一的一個可疑極值點，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （1）若函數(shù)）若函數(shù)在開區(qū)間在開區(qū)間, a b內(nèi)只有內(nèi)只有唯一唯一的一個可疑的的一個可疑的極值點，極值點，(小小)的極大的極大 值點值點 ，(小小) f x（2）若函數(shù)）若函數(shù)是閉區(qū)間是閉區(qū)間上的上的單調(diào)單調(diào)函數(shù)，函數(shù)，（3）在實際應用中，）在實際應用中，則該可疑的極值點必則該可疑的極值點必為實際問題所尋求的最值點，為實際問題所尋求的

13、最值點，不必進行最值的理論判斷。不必進行最值的理論判斷。則該點必是則該點必是函數(shù)函數(shù) 的最大的最大 值點。值點。 f x則函數(shù)的則函數(shù)的若在理論求若在理論求22912xx294 2 12 09681012922xx fxx140 x520 x140 x520 x例例 3. 322912f xxxx在閉區(qū)間在閉區(qū)間5142,上的最大值和最小值上的最大值和最小值 。解解:且且3221,92xxx322912 ,xxx261812xx261812xx,02,1x故函數(shù)在故函數(shù)在0 x 處取最小值處取最小值 0 ；612 ,xx612 ,xx251241機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求函數(shù)求函數(shù)

14、 5142,xCf顯然函數(shù)顯然函數(shù)函數(shù)函數(shù)在開區(qū)間在開區(qū)間內(nèi)的可疑的極值點為：內(nèi)的可疑的極值點為： f x5142,在在521,xx處取最大值處取最大值 5 。而各點處的函數(shù)值分別為：而各點處的函數(shù)值分別為： f x fx1419323,f 00,f 51,f 42,f 525.f( k 為某一常數(shù) )例例 4. (),ADx km22,20CDx225203100ykxkxAC AB ,要在要在 AB 線上選定一點線上選定一點 D 向工廠修一條公路，向工廠修一條公路， 鐵路與公路每公里貨運價之比為鐵路與公路每公里貨運價之比為 3:5 ,為使貨物從為使貨物從 B 運到工廠運到工廠 C 的運費最

15、省，的運費最省，20AB100C解解: :x則則0100 x25340,0 xykx3224005400ykx令令得得 又又極小值點極小值點 ,故故 AD =15 km 時運費最省時運費最省 。總運費：總運費：從而為最小值點從而為最小值點 ,問問 D 點應如何選取點應如何選取 ？D鐵路上鐵路上 AB 段的距離為段的距離為100 Km ，工廠，工廠 C 距距 A 處處20 km,已知已知 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 15x 所以所以為唯一的為唯一的設(shè)設(shè)0y 5 ,1x 150 ,xy例例 5. 216wbh22136wdb0,bd問矩形截面的高問矩形截面的高 h和寬和寬 b 應如何選擇才

16、能使梁的抗彎截面模量最大應如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大? 解解:hbd令令0得得db31從而有從而有1:2:3:bhd22bdhd32即即由實際意義可知，所求最值存在由實際意義可知，所求最值存在 ，而駐點只一個，而駐點只一個， 故所求結(jié)果故所求結(jié)果就是最好的選擇就是最好的選擇 。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 把一根直徑為把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁的圓木鋸成矩形梁 ,由力學分析知矩形梁的抗彎截面模量為：由力學分析知矩形梁的抗彎截面模量為：2216dbb231,6bdb下開始移動，下開始移動，F(xiàn) 例例6. F F F P 解解: : 而正壓力而正壓力P 即即, 02令令 cos

17、sin 則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 上的最大值問題上的最大值問題 。 為多少時用力最??？為多少時用力最?。?25. 0設(shè)摩擦系數(shù)設(shè)摩擦系數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ;cosxFF 設(shè)有質(zhì)量為設(shè)有質(zhì)量為 5 kg 的物體置于水平面上的物體置于水平面上 , 的水平與垂直分力分別為：的水平與垂直分力分別為：受力受力的作用的作用問力問力與水平面的夾角與水平面的夾角力力;sinyFF s;in5yPFF gcosF 5sin;F g的大小為：的大小為：5,cossinF g在閉區(qū)間在閉區(qū)間20,令令解得：解得：arctan25. 0arctan214 20,0,而而14 2取得最小值

18、，取得最小值，解解:20, sincos cossin即即令令則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)上的最大值問題上的最大值問題 。5,cossinF g20, cossin 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0, F P 在閉區(qū)間在閉區(qū)間時取得最大值，時取得最大值，所以，當所以，當因而因而F 即用力最省。即用力最省。解解:睛睛1.8 m ,例例7. 1arctan.4 1.8x223.23.2x0, x4 . 18 . 1設(shè)觀察者與墻的距離為設(shè)觀察者與墻的距離為 x m ,則則0,x222221.45.763.21.8xxx令令得駐點得駐點0,根據(jù)問題的實際意義，觀察者最佳站位存在根據(jù)問題的

19、實際意義，觀察者最佳站位存在 ，駐點又唯一，駐點又唯一，因此，觀察者站在距離墻因此，觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚。處看圖最清楚。問觀察者在距墻多遠處看圖才最清楚（視角問觀察者在距墻多遠處看圖才最清楚（視角 最大）？最大）？機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一張一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上高的圖片掛在墻上 , 它的底邊高于觀察者的眼它的底邊高于觀察者的眼如右圖所示，如右圖所示， 2.4x arctan1.8,x221.81.8x內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 連續(xù)函數(shù)的極值連續(xù)函數(shù)的極值(1) 可疑極值點可疑極值點 :駐點駐點、奇點奇點；(2) 第一充分條件第一充分條件（Th.1）：

20、 fx過過0 x由由正正變變負負0f x為極為極大大值；值； fx過過0 x由由負負變變正正0f x為極為極小小值；值；(3) 第二充分條件（第二充分條件（Th.1）：）：000,0fxfx0f x為極為極大大值；值；0f x為極為極小小值；值；000,0fxfx(4) 判別法的推廣判別法的推廣（ Th.2）定理3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 最值點應在極值點和邊界點上尋找最值點應在極值點和邊界點上尋找 ； 應用題可根據(jù)實際意義判別。應用題可根據(jù)實際意義判別。2. 連續(xù)函數(shù)的最值連續(xù)函數(shù)的最值 思考與練習思考與練習1. 設(shè), 1)()()(lim2axafxfax則在點 a 處( ).)()(xfA的導數(shù)存在 ,；且0)( af)()(xfB取得極大值 ;)()(xfC取得極小值;)()(xfD的導數(shù)不存在.B提示提示: 利用極限的保號性 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束