第七章有限單位沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

1、第七章 FIR濾波器的設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)但相位非線性但相位非線性FIR數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器： 可以嚴(yán)格線性相位，又可任意幅度特性可以嚴(yán)格線性相位，又可任意幅度特性因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)可用可用FFT計(jì)算計(jì)算但階次比但階次比IIR濾波器要高得多濾波器要高得多主要內(nèi)容主要內(nèi)容n線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)n窗函數(shù)設(shè)計(jì)法窗函數(shù)設(shè)計(jì)法n頻率抽樣設(shè)計(jì)法頻率抽樣設(shè)計(jì)法nIIR與與FIR比較比較7.1 引言引言一、一、 FIR濾波器的主要特點(diǎn)：濾波器的主要特點(diǎn)：q 單位沖激響應(yīng)只有有限多項(xiàng)單位沖激響應(yīng)只有有限多項(xiàng)q 可以設(shè)計(jì)成

2、線性相位系統(tǒng)可以設(shè)計(jì)成線性相位系統(tǒng)q 只在零點(diǎn)處有極點(diǎn)，因此系統(tǒng)總是穩(wěn)定的只在零點(diǎn)處有極點(diǎn)，因此系統(tǒng)總是穩(wěn)定的q 便于便于DSPDSP實(shí)現(xiàn)（并可用立即數(shù)乘加指令編程，節(jié)實(shí)現(xiàn)（并可用立即數(shù)乘加指令編程，節(jié)約存儲器）約存儲器）二、二、FIR與與IIR相比較：相比較：q 首先在相頻特性控制上可以做到線性相位，首先在相頻特性控制上可以做到線性相位，IIR而不能做到這一點(diǎn)，這一點(diǎn)在通信等領(lǐng)域而不能做到這一點(diǎn)，這一點(diǎn)在通信等領(lǐng)域中要求卻很重要；中要求卻很重要；q 其次，其次，F(xiàn)IR不存在穩(wěn)定性問題，其非遞歸結(jié)構(gòu)不存在穩(wěn)定性問題，其非遞歸結(jié)構(gòu)不會產(chǎn)生極限環(huán)現(xiàn)象等有限精度問題；不會產(chǎn)生極限環(huán)現(xiàn)象等有限精度問題

3、；q 最后，最后，F(xiàn)IR還可以還可以FFT用來濾波。故用來濾波。故FIR應(yīng)用應(yīng)用越來越多。越來越多。三、線性相位設(shè)計(jì)的重要性三、線性相位設(shè)計(jì)的重要性1 1、系統(tǒng)的相移會造成信號波形的改變、系統(tǒng)的相移會造成信號波形的改變時(shí)間時(shí)間 t幅幅度度原始信號原始信號時(shí)間時(shí)間 t幅幅度度相移相移90o時(shí)間時(shí)間 t幅幅度度相移相移 180o2 2、系統(tǒng)非線性相移造成輸出信號失真系統(tǒng)非線性相移造成輸出信號失真dd)()(f1 f2f時(shí)時(shí)延延f1 f2f時(shí)時(shí)延延f1 f2f ( )f1 f2f ( ) 系統(tǒng)相位特性決定了信號不同頻率的時(shí)延系統(tǒng)相位特性決定了信號不同頻率的時(shí)延3 3、忽略相位信息的后果、忽略相位信息

4、的后果輸入波形輸入波形DFT變換變換忽略相忽略相位信息位信息IDFT變換變換輸出波形輸出波形4 4、要求線性相位的例子、要求線性相位的例子n通信系統(tǒng)：通信系統(tǒng)：調(diào)制解調(diào)器、綜合業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)網(wǎng)調(diào)制解調(diào)器、綜合業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)網(wǎng)（ISDN）等。等。n希爾伯特變換器：希爾伯特變換器：要求輸入輸出信號正交。要求輸入輸出信號正交。n高保真音響系統(tǒng)：高保真音響系統(tǒng)：音樂的相位失真必須減到音樂的相位失真必須減到最小，盡可能逼真地重現(xiàn)原來的聲音。最小，盡可能逼真地重現(xiàn)原來的聲音。n理想微分器：理想微分器：n線性相位要求：線性相位要求：5 5、線性相位的、線性相位的FIRFIR濾波器設(shè)計(jì)基礎(chǔ)濾波器設(shè)計(jì)基礎(chǔ)constant)

5、(ddgg)(NpgpTTph00)(sin- 系統(tǒng)的群延遲系統(tǒng)的群延遲7.2 線性相位線性相位FIR濾波器特點(diǎn)濾波器特點(diǎn) FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)：濾波器的單位沖激響應(yīng)：( )01h nnN10( )( )NnnH zh n z系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)：在在 z 平面有平面有N 1 個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)在在 z = 0 處是處是N 1 階極點(diǎn)階極點(diǎn) 一線性相位特點(diǎn)一線性相位特點(diǎn)命題：設(shè)命題：設(shè)FIRFIR單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)h(n)h(n)為實(shí)序列，為實(shí)序列，且滿足偶對稱（或奇對數(shù)）條件：且滿足偶對稱（或奇對數(shù)）條件：)1()(nNhnhor)1()(nNhnh)()()()(jjweHeHnh)2

6、1()(N22) 1()(Nor則：則：線性相位分析線性相位分析)1()(nNhnh10) 1(10)1(11010)()()1()()(NmmNNmmNnNmNnnNnnzmhzzmhznNhznhzH)()(1) 1(zHzzHN證明：證明：1 1、偶對稱時(shí)：、偶對稱時(shí)：即：即：)()(21)(1)1(zHzzHzHN10) 1()(21NnnNnzzznh 所以有所以有： 10)2) 1()2) 1(2) 1(2121)(NnNnNnNZZnhz)()(1) 1(zHzzHN線性相位分析線性相位分析) 1 ()2) 1(cos)()()(102)1()( HNneNjjNnnheeHj則

7、則 為線性相位。為線性相位。2) 1()(N其物理意義：其物理意義： 該該FIR有有(N-1)/2個(gè)個(gè) 采樣周期的群時(shí)延。采樣周期的群時(shí)延。10)2)1()2)1(2)1(2121)()(NnNnNnNZZnhzzH線性相位分析線性相位分析2 2奇對稱時(shí)奇對稱時(shí))1()(nNhnh10)1(10)1(11010)()()1()()(NmmNNmmNnNmNnnNnnzmhzzmhznNhznhzH)()(1) 1(zHzzHN即即所以有：所以有：)()(21)(1) 1(zHzzHzhN10)1()(21NnnNnzzznh)()(1) 1(zHzzHN10)2)1()2)1(2)1(2121

8、)(NnNnNnNZZnhz線性相位分析線性相位分析10)2)1()2)1(2)1(2121)()(NnNnNnNZZnhzzH)2()2) 1(sin)()()(102)1()( HNneNjjNnnhjeeHj1022) 1()2) 1(sin)()(NnjNjjNnnheeH或或22) 1()(N則則 為線性相位為線性相位線性相位分析線性相位分析q物理意義：物理意義：FIRFIR有有( (N-1)/2N-1)/2個(gè)采樣周期的群時(shí)延，且個(gè)采樣周期的群時(shí)延，且信號通過此類信號通過此類FIR時(shí)，所有頻率成份都有時(shí)，所有頻率成份都有90900 0相移，相移，稱為正交變換。稱為正交變換。二幅度特點(diǎn)

9、二幅度特點(diǎn)1、h(n)偶對稱，偶對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)對（對（1）式）式10)21(cos)()(NnNnnhH由于由于:)()1(nhnNh)()()(jjeHeH2/ )1(12112/ )1(cos)21(2)21()21(cos)(2)21()(NmNnmNNnmNmhNhNnnhNhH得得: :線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn))21(cos)21(cos)211(cosNnNnNnN2/ )1(12112/ )1(cos)21(2)21()21(cos)(2)21()(NmNnmNNnmNmhNhNnnhNhH2/ ) 1(0)cos()(Nnnna) 1(),21(2

10、)(),21()0(nNnhnaNha由于由于得得其中其中: :ncos2 , 0)(H2 , 0由于由于 對對 是偶對稱的。是偶對稱的。因此，因此， 對對 為偶對稱。為偶對稱。線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)其中，其中， 2/11212/)21(cos)22(2)21(cos)(2)(NmNnmNNnmNmhNnnhH2/1)21(cos)(Nnnnb) 1(),12(2)(, 0)0(nNnhnbb2、h(n)偶對稱，偶對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù))21(Nh對（對（1）式與如上合并項(xiàng)，注意到由于）式與如上合并項(xiàng)，注意到由于N為偶數(shù)，為偶數(shù)， 項(xiàng)即為項(xiàng)即為0，則，則 0)21(co

11、sn )0| )(1zzH)(H 由于由于 時(shí)，時(shí)，且對且對 呈奇對稱。因此，呈奇對稱。因此， 對對 呈奇對稱。呈奇對稱。并有并有: :線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn))1()(nNhnh)21(| )1()21(21NhnNhNhNn12110)21(sin)(2)21(sin)()(NNnNnNnnhNnnhH0)21(Nh2/ )1(1sin)(Nnnnc 代入代入(2)(2)式式3、h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)所以有：所以有：其中其中, ,線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)) 1()21(2)(, 0)0(nNnhnccnsin2 , 0由于由于

12、 在在 均為均為0 0并對這些點(diǎn)呈奇對稱。并對這些點(diǎn)呈奇對稱。線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn))1()(nNhnh10)21(sin)()(NnNnnhH12)21(sin)(2NNnNnnh)21(sin)12(22/1mmNhNm2/ )1(1)21(sin)(Nnmnd) 1()12(2)(, 0)0(nnNhndd其中：其中： 對（對（2 2）式）式4、h(n)奇對稱，奇對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)2 , 02 , 0 )21(sinn)(H由于由于 在在 處為處為0 0。因此，因此， 對對 呈奇對稱。呈奇對稱。線性相位濾波器的幅

13、度特點(diǎn)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)總結(jié)：總結(jié)：（1 1）第）第1 1，2 2種一般為低通特性；種一般為低通特性； 第第3 3，4 4種一般為高通、帶通特性。種一般為高通、帶通特性。（2 2）當(dāng)）當(dāng)N N，h(n)h(n)均為偶（或奇）時(shí)，均為偶（或奇）時(shí)，H(w)H(w)為奇對稱。為奇對稱。當(dāng)當(dāng)N N，h(n)h(n)為一奇一偶時(shí)，為一奇一偶時(shí)，H(w)H(w)為偶對稱。為偶對稱。)2 , 0( :()2 , 0( :(三、零點(diǎn)特性三、零點(diǎn)特性 線性相位線性相位FIRFIR傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 滿足滿足 則則 的零點(diǎn)必為互為倒數(shù)的共軛對（以單位圓對稱）的零點(diǎn)必為互為倒數(shù)的共軛對（以單位圓對稱）)(zH)(zH)()()(1)1(AzHzzHN)(zH)(zH)(zH)(nh)(nhiziz0)(izH1iz0)(1izHiz0)(1izH1)(iz0)(izH證：證： 為實(shí)序列，為實(shí)序列， 若存在若存在 使得使得 。 則必存在則必存在 使得使得 （由（由( (A)A)式可知）。式可知）。 由于由于 是實(shí)序列，對是實(shí)序列，對 也必定是也必定是 的零的零 點(diǎn)，即點(diǎn)，即 類似地類似地 ，因此線性相位，因此線性相位FIRFIR 中，若有復(fù)零點(diǎn)