仰角、俯角和方位角

1、解直角三角形（仰角仰角 俯角俯角 方位角方位角）在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知兩兩元素元素 求其余未知元素的過程叫解直角三角形求其余未知元素的過程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三邊之間的關(guān)系三邊之間的關(guān)系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；2.解直角三角形的依據(jù)解直角三角形的依據(jù)(2)兩銳角之間的關(guān)系兩銳角之間的關(guān)系: A B 90；(3)邊角之間的關(guān)系邊角之間的關(guān)系:abctanAabsinAaccosAbc(必有一邊必有一邊)(4)面積公式面積公式 S=12ab=12chh鉛鉛垂垂線線水平線水平線視線視線視線視線仰角仰角俯角俯角在進(jìn)行

2、觀察或測量時(shí)，在進(jìn)行觀察或測量時(shí)， 仰角和俯角仰角和俯角從上往下看，視線與水平線的夾角叫做從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角俯角.從下向上看，視線與水平線的夾角叫做從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角仰角；【例例1 1】如圖，直升飛機(jī)在跨江大橋如圖，直升飛機(jī)在跨江大橋AB的上方的上方P點(diǎn)處，此時(shí)飛機(jī)離地面的高度點(diǎn)處，此時(shí)飛機(jī)離地面的高度PO=450米，且米，且A、B、O三點(diǎn)在一條直線上，測得大橋兩端的俯角三點(diǎn)在一條直線上，測得大橋兩端的俯角分別為分別為=30，=45，求大橋的長，求大橋的長AB .450米米 合作與探究合作與探究解：解：由題意得，在由題意得，在RtPAO與與RtPBO中中

3、30 ,45PAOPBO tan30 ,tan 45POPOOAOB450450 3,tan30OA450450tan45OB (450 3450)( )ABOAOBm(450 3450) .m答：大橋的長答：大橋的長AB為為 PABO答案答案: : 米米)2003200( 合作與探究合作與探究變題變題1 1：如圖，直升飛機(jī)在長如圖，直升飛機(jī)在長400米的跨江大橋米的跨江大橋AB的上方的上方P點(diǎn)處，且點(diǎn)處，且A、B、O三點(diǎn)在一條直線三點(diǎn)在一條直線上，在大橋的兩端測得飛機(jī)的仰角分別為上，在大橋的兩端測得飛機(jī)的仰角分別為30和和45 ，求飛機(jī)的高度，求飛機(jī)的高度PO .ABO3045400米米Px

4、x1、如圖，為了測量電線桿的高度、如圖，為了測量電線桿的高度AB，在離，在離電線桿電線桿30米的米的C處，用高處，用高1.20米的測角儀米的測角儀CD測得電線桿頂端測得電線桿頂端B的仰角的仰角a30，求電線，求電線桿桿AB的高的高19.4.4 1.2030=3002、在山腳、在山腳C處測得山頂處測得山頂A的仰角為的仰角為45。問。問題如下：題如下：1）沿著水平地面向前）沿著水平地面向前300米到達(dá)米到達(dá)D點(diǎn)，在點(diǎn)，在D點(diǎn)點(diǎn)測得山頂測得山頂A的仰角為的仰角為600 , 求山高求山高AB。DABCxx345 60300米米AB還可以怎樣表示？那么這是先利用那個(gè)三角形？若設(shè)AB為x,又該怎樣找關(guān)系？

5、xABC2)、在山腳、在山腳C處測得山頂處測得山頂A的仰角為的仰角為450。問題如下：。問題如下：變式：變式： 沿著坡角為沿著坡角為30 的斜坡前進(jìn)的斜坡前進(jìn)300米到達(dá)米到達(dá)D點(diǎn)，在點(diǎn)，在D點(diǎn)測得山頂點(diǎn)測得山頂A的仰角為的仰角為600 ,求山高求山高AB。30DEFxx300603、在山頂上、在山頂上D處處有一鐵塔，在塔頂有一鐵塔，在塔頂B處測得地面上一處測得地面上一點(diǎn)點(diǎn)A的俯角的俯角=60o，在塔底，在塔底D測得點(diǎn)測得點(diǎn)A的俯角的俯角=45o，已，已知塔高知塔高BD=30米，求山高米，求山高CD。ABCD30米米3045xx4530OBA200米米 合作與探究合作與探究例例2 2：如圖，直

6、升飛機(jī)在高為如圖，直升飛機(jī)在高為200米的大樓米的大樓AB上上方方P點(diǎn)處，從大樓的頂部和底部測得飛機(jī)的仰點(diǎn)處，從大樓的頂部和底部測得飛機(jī)的仰角為角為30和和45，求飛機(jī)的高度，求飛機(jī)的高度PO .LUD答案答案: : 米米)3003100(P 合作與探究合作與探究例例2 2：如圖，直升飛機(jī)在高為如圖，直升飛機(jī)在高為200米的大樓米的大樓AB上上方方P點(diǎn)處，從大樓的頂部和底部測得飛機(jī)的仰點(diǎn)處，從大樓的頂部和底部測得飛機(jī)的仰角為角為30和和45，求飛機(jī)的高度，求飛機(jī)的高度PO .4530POBA200米米C 合作與探究合作與探究4530POBA200米米C例例2 2：如圖，直升飛機(jī)在高為如圖，直升

7、飛機(jī)在高為200米的大樓米的大樓AB上上方方P點(diǎn)處，從大樓的頂部和底部測得飛機(jī)的仰點(diǎn)處，從大樓的頂部和底部測得飛機(jī)的仰角為角為30和和45，求飛機(jī)的高度，求飛機(jī)的高度PO . 合作與探究合作與探究例例2 2：如圖，直升飛機(jī)在高為如圖，直升飛機(jī)在高為200米的大樓米的大樓AB上上方方P點(diǎn)處，從大樓的頂部和底部測得飛機(jī)的仰點(diǎn)處，從大樓的頂部和底部測得飛機(jī)的仰角為角為30和和45，求飛機(jī)的高度，求飛機(jī)的高度PO .4530POBA200米米C仰角、俯角問題中的基本圖形仰角、俯角問題中的基本圖形A D B C A D B C ABCDABCD1.如圖，某飛機(jī)于空中如圖，某飛機(jī)于空中A處探測到目標(biāo)處探測

8、到目標(biāo)C，此時(shí)，此時(shí)飛行高度飛行高度AC=1200米米，從飛機(jī)上看地平面控制從飛機(jī)上看地平面控制點(diǎn)點(diǎn)B的的俯角俯角=30 ，求飛，求飛機(jī)機(jī)A到控制點(diǎn)到控制點(diǎn)B的距離的距離.A AB BC C2. 兩座建筑兩座建筑AB及及CD，其，其地面地面距離距離AC為為50米米，從，從AB的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)B測得測得CD的頂?shù)捻敳坎緿的的仰角仰角300, ,測得測得其底部其底部C的的俯角俯角a600, , 求兩座建筑物求兩座建筑物AB及及CD的的高高.（ 第2題 ） 120050米米3060301 1數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想. .方法：方法：把數(shù)學(xué)問題把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形轉(zhuǎn)化成解直角三角形問題，問題，如果

9、示意圖不是直角三角形，可添加適當(dāng)?shù)妮o如果示意圖不是直角三角形，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，助線，構(gòu)造出直角三角形構(gòu)造出直角三角形. . 思想與方法思想與方法2 2方程思想方程思想. .3 3轉(zhuǎn)化（化歸）思想轉(zhuǎn)化（化歸）思想. .【總結(jié)總結(jié)】（1 1）、有關(guān)實(shí)際應(yīng)用的問題，解法步驟：）、有關(guān)實(shí)際應(yīng)用的問題，解法步驟：弄清已知條件及要求解的問題。弄清已知條件及要求解的問題。畫圖將實(shí)際問題畫圖將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。為數(shù)學(xué)問題。尋找解題途徑。尋找解題途徑。解、答解、答（2 2）、如果圖中無直角三角形，可適當(dāng)?shù)刈鞔梗?、如果圖中無直角三角形，可適當(dāng)?shù)刈鞔咕€等輔助線，線等輔助線，“化斜為直化斜為直”，“善于

10、轉(zhuǎn)化善于轉(zhuǎn)化”為為解直角三角形問題。解直角三角形問題。（3 3）、解直角三角形的有關(guān)問題常通過）、解直角三角形的有關(guān)問題常通過設(shè)未知設(shè)未知數(shù)、列方程（組）數(shù)、列方程（組）來解，也比較容易。常常設(shè)來解，也比較容易。常常設(shè)圖形中具有圖形中具有“雙重身份雙重身份”的線段或者是兩個(gè)三的線段或者是兩個(gè)三角形聯(lián)系密切的特殊線段為未知數(shù)。角形聯(lián)系密切的特殊線段為未知數(shù)。n指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于900的角的角,叫做方位角叫做方位角.n如圖：點(diǎn)如圖：點(diǎn)A在在O的北偏東的北偏東30n點(diǎn)點(diǎn)B在點(diǎn)在點(diǎn)O的南偏西的南偏西45（西南方向或南偏西（西南方向或南偏西45）

11、3045BOA東東西西北北南南例例1. 如圖，一艘海輪位于燈塔如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東的北偏東45方向，距方向，距離燈塔離燈塔80海里的海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔到達(dá)位于燈塔P的南偏東的南偏東30方向上的方向上的B處，這時(shí)，海處，這時(shí)，海輪所在的輪所在的B處距離燈塔處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？有多遠(yuǎn)？4530PBCA80東北你認(rèn)為貨船繼續(xù)你認(rèn)為貨船繼續(xù)向西航行途中會(huì)向西航行途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎有觸礁的危險(xiǎn)嗎? ?B 想一想想一想船有觸礁的危險(xiǎn)嗎？船有觸礁的危險(xiǎn)嗎？1、 審題，畫圖。審題，畫圖。 茫茫大海中有茫茫大海中有一個(gè)小島一個(gè)小島A

12、,A,該島四該島四周周1616海里內(nèi)有暗礁海里內(nèi)有暗礁. .今有貨船由東向西今有貨船由東向西航行航行, ,開始在距開始在距A A島島3030海里南偏東海里南偏東60600 0的的B B處處, ,貨船繼續(xù)向貨船繼續(xù)向西航行。西航行。60觀測點(diǎn)觀測點(diǎn)被觀測點(diǎn)被觀測點(diǎn)A北C30海里？這個(gè)問題歸結(jié)為這個(gè)問題歸結(jié)為:在在RtABC中中,已知已知A= 60,斜邊斜邊AB=30,求求AC的長的長問題本質(zhì)是問題本質(zhì)是 直線與圓的關(guān)系直線與圓的關(guān)系例例2.海中有一個(gè)小島海中有一個(gè)小島A，它的周圍，它的周圍8海里范圍內(nèi)有暗礁，海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點(diǎn)測得小島點(diǎn)

13、測得小島A在北偏在北偏東東60方向上，航行方向上，航行12海里到達(dá)海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測得小島點(diǎn)，這時(shí)測得小島A在北偏東在北偏東30方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？F601230BA AD東北問題本質(zhì)是：問題本質(zhì)是：直線與圓的位直線與圓的位置關(guān)系置關(guān)系相離相離-無危險(xiǎn)無危險(xiǎn)相切相切-無危險(xiǎn)無危險(xiǎn)相交相交-有危險(xiǎn)有危險(xiǎn)針對(duì)性習(xí)題針對(duì)性習(xí)題1 1： 如圖如圖, ,在一筆直的海岸線上有在一筆直的海岸線上有A,BA,B兩個(gè)兩個(gè) 觀測站觀測站,A,A在在B B的正西方向的正西方向,AB=2km,AB=2km,從從A A測得

14、測得船船C C在北偏東在北偏東6060的方向的方向, ,從從B B測得船測得船C C在北在北偏西偏西4545的方向的方向. .求船求船C C離海岸線的距離離海岸線的距離. .A B C 2km 60 45 D 例例3.3.如圖，小島如圖，小島P P的周圍的周圍202202海里內(nèi)有暗礁，海里內(nèi)有暗礁，某漁船沿北偏東某漁船沿北偏東6060的的AMAM方向航行，在方向航行，在A A處測得處測得小島小島P P的方向?yàn)楸逼珫|的方向?yàn)楸逼珫|3030，距，距A A處處4040海里，該海里，該漁船若不改變航向，有無觸礁的可能？若有，漁船若不改變航向，有無觸礁的可能？若有，漁船在漁船在A A處應(yīng)處應(yīng)再再向北偏東

15、偏離多大角度才能脫險(xiǎn)？向北偏東偏離多大角度才能脫險(xiǎn)？PAM30B先判斷直線先判斷直線AM與圓與圓P的位置關(guān)系的位置關(guān)系2.設(shè)直線設(shè)直線AN與圓與圓P相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)CNC3.連接連接PC,求求PAC的度數(shù)的度數(shù)4.則則MAN就是偏離的度數(shù)就是偏離的度數(shù)北北東東3020240ACB6030北北60km針對(duì)性習(xí)題針對(duì)性習(xí)題2 2：A A、B B兩鎮(zhèn)相距兩鎮(zhèn)相距60km60km，小山，小山C C在在A A鎮(zhèn)的鎮(zhèn)的北偏東北偏東6060方向，在方向，在B B鎮(zhèn)的北偏西鎮(zhèn)的北偏西3030方向經(jīng)方向經(jīng)探測，發(fā)現(xiàn)小山探測，發(fā)現(xiàn)小山C C周圍周圍20km20km的圓形區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)有的圓形區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)有大量煤炭，有關(guān)部門

16、規(guī)定，該區(qū)域內(nèi)禁止建房大量煤炭，有關(guān)部門規(guī)定，該區(qū)域內(nèi)禁止建房修路現(xiàn)計(jì)劃修筑連接修路現(xiàn)計(jì)劃修筑連接A A、B B兩鎮(zhèn)的一條筆直的兩鎮(zhèn)的一條筆直的公路，試分析這條公路是否會(huì)經(jīng)過該區(qū)域？公路，試分析這條公路是否會(huì)經(jīng)過該區(qū)域？ D 針對(duì)性習(xí)題針對(duì)性習(xí)題3 3：大海中某小島大海中某小島A A的周圍的周圍22km22km范圍范圍內(nèi)有暗礁內(nèi)有暗礁. . 一海輪在該島的南偏西一海輪在該島的南偏西5555方向的方向的B B處處, ,由西向東行駛了由西向東行駛了20km20km后到達(dá)該島的南偏西后到達(dá)該島的南偏西2525方向的方向的C C處處. .如果該海輪繼續(xù)向東行駛?cè)绻摵］喞^續(xù)向東行駛, ,會(huì)有會(huì)有觸礁的

17、危險(xiǎn)嗎觸礁的危險(xiǎn)嗎? (? (精確到精確到0.1km).0.1km).A北北西西BCD南南E你能計(jì)算出該船正東方向暗礁帶的寬度嗎你能計(jì)算出該船正東方向暗礁帶的寬度嗎? ?Ftan250.47tan551.43 如何將如何將動(dòng)圓動(dòng)圓與與點(diǎn)點(diǎn)的位的位置關(guān)系變?yōu)橹藐P(guān)系變?yōu)閯?dòng)圓圓心動(dòng)圓圓心所在直線所在直線與與定圓定圓的位的位置關(guān)系？置關(guān)系？某日上午某日上午8 8點(diǎn)，點(diǎn)，A A市氣象局測得城市正東方向市氣象局測得城市正東方向80Km80Km處處B B點(diǎn)有一點(diǎn)有一臺(tái)風(fēng)中心正在以臺(tái)風(fēng)中心正在以25Km25Km每小時(shí)的速度沿西偏北每小時(shí)的速度沿西偏北3737的的BCBC方向迅方向迅速移動(dòng)，在距離臺(tái)風(fēng)中心速移動(dòng)

18、，在距離臺(tái)風(fēng)中心50Km50Km范圍內(nèi)為嚴(yán)重影響區(qū)域范圍內(nèi)為嚴(yán)重影響區(qū)域 （1）A A市是否會(huì)受到嚴(yán)重影響，為什么？市是否會(huì)受到嚴(yán)重影響，為什么？（2）若會(huì)受到影響，則持續(xù)時(shí)間有多長若會(huì)受到影響，則持續(xù)時(shí)間有多長？（3）A A市規(guī)定在臺(tái)風(fēng)嚴(yán)重影響一小時(shí)前向市民發(fā)出預(yù)市規(guī)定在臺(tái)風(fēng)嚴(yán)重影響一小時(shí)前向市民發(fā)出預(yù)警警報(bào)，若警警報(bào)，若A A市會(huì)受到影響，則市會(huì)受到影響，則A A市應(yīng)幾點(diǎn)發(fā)出警報(bào)。市應(yīng)幾點(diǎn)發(fā)出警報(bào)。ABC37(sin370.6,cos370.8,)D1.臺(tái)風(fēng)可視為動(dòng)圓；點(diǎn)臺(tái)風(fēng)可視為動(dòng)圓；點(diǎn)A與與動(dòng)圓的位置關(guān)系，點(diǎn)動(dòng)圓的位置關(guān)系，點(diǎn)A與動(dòng)與動(dòng)圓圓心的最短距離是多少？圓圓心的最短距離是多少？2

19、.以以A為圓心，為圓心，50為半徑畫圓，為半徑畫圓，交交BC于于E,F,連接連接AE,AFEF你知道你知道E和和F的意義嗎的意義嗎練習(xí)練習(xí)2 2：氣象局發(fā)出預(yù)報(bào)氣象局發(fā)出預(yù)報(bào): :如圖如圖, , 沙塵暴在沙塵暴在A A市市的正東方向的正東方向400km400km的的B B處以處以40km/h40km/h的速度向北偏的速度向北偏西西60600 0的方向轉(zhuǎn)移的方向轉(zhuǎn)移, ,距沙塵暴中心距沙塵暴中心300km300km的范圍內(nèi)的范圍內(nèi)將受到影響將受到影響,A,A市是否受到這次沙塵暴的影響市是否受到這次沙塵暴的影響? ?如果受到影響如果受到影響, ,將持續(xù)多長時(shí)間將持續(xù)多長時(shí)間? ?B60北北A西西北

20、北CDE 臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心的周圍數(shù)千米范圍臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心的周圍數(shù)千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的波壞力。據(jù)氣象觀測，距沿海城市內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的波壞力。據(jù)氣象觀測，距沿海城市A A的的正南方向正南方向220220千米的千米的B B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為1212級(jí)，級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心2020千米，風(fēng)力會(huì)減弱千米，風(fēng)力會(huì)減弱1 1級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)以級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)以1515千米千米每小時(shí)的速度沿北偏東每小時(shí)的速度沿北偏東3030方向往方向往C C移動(dòng)，若城市達(dá)到或超過移動(dòng)，若城市達(dá)到或超過4 4級(jí)級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響，如圖，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響，如圖（1 1）該城市是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？說明理由）該城市是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？說