高一數(shù)學(xué)數(shù)列解題方法[指南]

1、數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)：數(shù)列的應(yīng)用編稿：林景飛 審稿：張揚(yáng) 責(zé)編：嚴(yán)春梅知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：目標(biāo)認(rèn)知考試大綱要求：1.等差數(shù)列、等比數(shù)列公式、性質(zhì)的綜合及實(shí)際應(yīng)用；2.掌握常見的求數(shù)列通項(xiàng)的一般方法；3.能綜合應(yīng)用等差、等比數(shù)列的公式和性質(zhì)，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.4.用數(shù)列知識(shí)分析解決帶有實(shí)際意義的或生活、工作中遇到的數(shù)學(xué)問題.重點(diǎn)：1.掌握常見的求數(shù)列通項(xiàng)的一般方法；3.用數(shù)列知識(shí)解決帶有實(shí)際意義的或生活、工作中遇到的數(shù)學(xué)問題難點(diǎn)：用數(shù)列知識(shí)解決帶有實(shí)際意義的或生活、工作中遇到的數(shù)學(xué)問題.知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系任意數(shù)列的前n項(xiàng)和；注意：由前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要分三步進(jìn)行：1求，2求出當(dāng)

2、n2時(shí)的，3如果令n2時(shí)得出的中的n=1時(shí)有成立，那么最后的通項(xiàng)公式可以統(tǒng)一寫成一個(gè)形式，否那么就只能寫成分段的形式.知識(shí)點(diǎn)二：常見的由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的方法1.迭加累加法：，那么，2.迭乘累乘法：，那么，知識(shí)點(diǎn)三：數(shù)列應(yīng)用問題1.數(shù)列應(yīng)用問題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容,解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型,有關(guān)平均增長(zhǎng)率、利率復(fù)利以及等值增減等實(shí)際問題，需利用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.2.建立數(shù)學(xué)模型的一般方法步驟.認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，到達(dá)如下要求：明確問題屬于哪類應(yīng)用問題；弄清題目中的主要事項(xiàng)；明確所求的結(jié)論是什么.抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量

3、或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá).將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將與所求聯(lián)系起來(lái)，據(jù)題意列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式如函數(shù)關(guān)系、方程、不等式.規(guī)律方法指導(dǎo)1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解決數(shù)列問題的重要思想；2.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來(lái)解決.如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.3.加強(qiáng)數(shù)列知識(shí)與函數(shù)、不等式、方程、對(duì)數(shù)、立體幾何、三角等內(nèi)容的綜合.解決這些問題要注意：1通過知識(shí)間的相互轉(zhuǎn)化，更好地掌握數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；2通過解數(shù)列與其他知識(shí)的綜合問題，培養(yǎng)分析問題和解決問題的綜合能力.精析類型一：迭加法求數(shù)列通項(xiàng)公式1在數(shù)列中，求.解析：，

4、當(dāng)時(shí)，將上面?zhèn)€式子相加得到：，當(dāng)時(shí)，符合上式故.總結(jié)升華：1. 在數(shù)列中，假設(shè)為常數(shù)，那么數(shù)列是等差數(shù)列；假設(shè)不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于的式子，那么數(shù)列的解析式，而的和是可求的，那么可用多式累迭加法得.舉一反三：【變式1】數(shù)列，求.【答案】【變式2】數(shù)列中，求通項(xiàng)公式.【答案】.類型二：迭乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式2設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求它的通項(xiàng)公式.解析：由題意，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式.總結(jié)升華：1. 在數(shù)列中，假設(shè)為常數(shù)且，那么數(shù)列是等比數(shù)列；假設(shè)不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于的式子，那么數(shù)列不是等比數(shù)列.2假設(shè)數(shù)列有形如的解析關(guān)系，而的積是可求的，那么可用多式累迭乘法求得.舉一反三：【變式1】在數(shù)

5、列中，求.【答案】【變式2】數(shù)列中，求通項(xiàng)公式.【答案】由得， ， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，符合上式類型三：倒數(shù)法求通項(xiàng)公式3數(shù)列中，,，求.思路點(diǎn)撥：對(duì)兩邊同除以得即可.解析：，兩邊同除以得，成等差數(shù)列，公差為d=5，首項(xiàng)，.總結(jié)升華：1兩邊同時(shí)除以可使等式左邊出現(xiàn)關(guān)于和的相同代數(shù)式的差，右邊為一常數(shù)，這樣把數(shù)列的每一項(xiàng)都取倒數(shù)，這又構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，而恰是等差數(shù)列.其通項(xiàng)易求，先求的通項(xiàng)，再求的通項(xiàng).2假設(shè)數(shù)列有形如的關(guān)系，那么可在等式兩邊同乘以，先求出，再求得.舉一反三：【變式1】數(shù)列中，求.【答案】【變式2】數(shù)列中，,，求.【答案】.類型四：待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式4數(shù)列中，求.法一：設(shè)，解得即原式

6、化為設(shè)，那么數(shù)列為等比數(shù)列，且法二： 由得：設(shè)，那么數(shù)列為等比數(shù)列法三：，總結(jié)升華：1一般地，對(duì)數(shù)列的項(xiàng)滿足，為常數(shù)，,那么可設(shè)得，利用得即，從而將數(shù)列轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng).第二種方法利用了遞推關(guān)系式作差，構(gòu)造新的等比數(shù)列.這兩種方法均是常用的方法.2假設(shè)數(shù)列有形如k、b為常數(shù)的線性遞推關(guān)系，那么可用待定系數(shù)法求得.舉一反三：【變式1】數(shù)列中，求【答案】令，那么，即，為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比，故.【變式2】數(shù)列滿足,而且，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】，設(shè)，那么，即，數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，. .類型五：和的遞推關(guān)系的應(yīng)用5數(shù)列中，是它的前n項(xiàng)和，并且,.(1)設(shè),求證：數(shù)列是

7、等比數(shù)列；(2)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.解析：1因?yàn)椋?以上兩式等號(hào)兩邊分別相減，得 即，變形得 因?yàn)?，所?由此可知，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列. 由, 所以, 所以, 所以.2，所以 將代入得 由此可知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，它的首項(xiàng)， 故.3，所以 當(dāng)n2時(shí)， 由于也適合此公式， 故所求的前n項(xiàng)和公式是.總結(jié)升華：該題是著眼于數(shù)列間的相互關(guān)系的問題，解題時(shí)，要注意利用題設(shè)的條件，通過合理轉(zhuǎn)換，將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，求得問題的解決利用等差比數(shù)列的概念，將關(guān)系式進(jìn)行變形，變形成能做出判斷的等差或等比數(shù)列，這是數(shù)列問題中的常見策略.舉一

8、反三：【變式1】設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和滿足.1求證：數(shù)列是等比數(shù)列；2設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，求的通項(xiàng)公式.【答案】1， ， 又 ， 是一個(gè)首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列；2 是一個(gè)首項(xiàng)為1公比為的等差比數(shù)列 【變式2】假設(shè),()，求.【答案】當(dāng)n2時(shí)，將代入, , 整理得 兩邊同除以得常數(shù) 是以為首項(xiàng)，公差d=2的等差數(shù)列， ， .【變式3】等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和，假設(shè).求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】為等差數(shù)列，公差設(shè)為, , , , 假設(shè)，那么, . ， , , -得 類型六：數(shù)列的應(yīng)用題6.在一直線上共插13面小旗，相鄰兩面間距離為10m，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，

9、每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，應(yīng)集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？思路點(diǎn)撥：此題求走的總路程最短，是一個(gè)數(shù)列求和問題，而如何求和是關(guān)鍵，應(yīng)先畫一草圖，研究他從第一面旗到另一面旗處走的路程，然后求和.解析：設(shè)將旗集中到第x面小旗處，那么 從第一面旗到第面旗處，共走路程為了， 回到第二面處再到第面處是， 回到第三面處再到第面處是， ， 從第面處到第面處取旗再回到第面處的路程為， 從第面處到第面處取旗再回到第面處，路程為202， 總的路程為： ，時(shí),有最小值 答：將旗集中到第7面小旗處，所走路程最短.總結(jié)升華：此題屬等差數(shù)列應(yīng)用問題，應(yīng)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，在求和后，利用二次函數(shù)求最

10、短路程.舉一反三：【變式1】某企業(yè)2007年12月份的產(chǎn)值是這年1月份產(chǎn)值的倍，那么該企業(yè)2007年年度產(chǎn)值的月平均增長(zhǎng)率為 A B C D【答案】D；解析：從2月份到12月份共有11個(gè)月份比基數(shù)1月份有產(chǎn)值增長(zhǎng)，設(shè)為， 那么【變式2】某人2006年1月31日存入假設(shè)干萬(wàn)元人民幣，年利率為，到2007年1月31日取款時(shí)被銀行扣除利息稅稅率為共計(jì)元，那么該人存款的本金為A1.5萬(wàn)元 B2萬(wàn)元 C3萬(wàn)元 D2.5萬(wàn)元【答案】B；解析：本金利息利率，利息利息稅稅率利息元，本金元【變式3】根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開始的個(gè)月內(nèi)累積的需求量萬(wàn)件近似地滿足.按比例預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過

11、萬(wàn)件的月份是()A5月、6月 B6月、7月 C7月、8月 D9月、10月【答案】C；解析：第個(gè)月份的需求量超過萬(wàn)件，那么解不等式，得，即.【變式4】某種汽車購(gòu)置時(shí)的費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年應(yīng)交保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)合計(jì)9千元，汽車的維修費(fèi)平均為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差數(shù)列遞增，問這種汽車使用多少年后報(bào)廢最合算？即年平均費(fèi)用最少【答案】設(shè)汽車使用年限為年，為使用該汽車平均費(fèi)用. 當(dāng)且僅當(dāng)，即年時(shí)等到號(hào)成立. 因此該汽車使用10年報(bào)廢最合算.【變式5】某市2006年底有住房面積1200萬(wàn)平方米，方案從2007年起，每年撤除20萬(wàn)平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年

12、年底住房面積的5%.1分別求2007年底和2021年底的住房面積；2求2026年底的住房面積.計(jì)算結(jié)果以萬(wàn)平方米為單位，且精確到0.01【答案】12007年底的住房面積為1200(1+5%)20=1240萬(wàn)平方米， 2021年底的住房面積為1200(1+5%)220(1+5%)20=1282萬(wàn)平方米， 2007年底的住房面積為1240萬(wàn)平方米； 2021年底的住房面積為1282萬(wàn)平方米.22007年底的住房面積為1200(1+5%)20萬(wàn)平方米， 2021年底的住房面積為1200(1+5%)220(1+5%)20萬(wàn)平方米， 2021年底的住房面積為1200(1+5%)320(1+5%)220(

13、1+5%)20萬(wàn)平方米， 2026年底的住房面積為1200(1+5%)2020(1+5%)1920(1+5%)20 萬(wàn)平方米 即1200(1+5%)2020(1+5%)1920(1+5%)1820(1+5%)20 2522.64萬(wàn)平方米， 2026年底的住房面積約為2522.64萬(wàn)平方米.高考題萃12021四川設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.求；證明：是等比數(shù)列；求的通項(xiàng)公式.解析：因?yàn)椋芍?，?所以，由題設(shè)和式知所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.22021全國(guó)II設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；假設(shè)，求的取值范圍解析：依題意，即，由此得因此，所求通項(xiàng)公式為，由知，于是，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又綜上，所求

14、的的取值范圍是32021天津數(shù)列中，且設(shè)，證明是等比數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式；假設(shè)是與的等差中項(xiàng)，求的值，并證明：對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)解析：由題設(shè)，得，即又，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列由，將以上各式相加，得所以當(dāng)時(shí)，上式對(duì)顯然成立由，當(dāng)時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故由可得，由得 整理得，解得或舍去，于是另一方面，由可得所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)42021陜西數(shù)列的首項(xiàng)，求的通項(xiàng)公式；證明：對(duì)任意的，；證明：解析：，又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由知，原不等式成立另解：設(shè)，那么，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值原不等式成立由知，對(duì)任意的，有令，那么，原不等式成立學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)根底達(dá)標(biāo)：1

15、假設(shè)數(shù)列中，且(n是正整數(shù))，那么數(shù)列的通項(xiàng)=_.2對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線在x2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，那么數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是_.3. 設(shè)是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，數(shù)列的前三項(xiàng)依次是， 且，那么數(shù)列的前10項(xiàng)和為_.4. 如果函數(shù)滿足：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有，且，那么 _5數(shù)列中，,()，求通項(xiàng)公式.6數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式.7各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，求的通項(xiàng)公式.8設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)；設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和能力提升：9數(shù)列的前項(xiàng)和為，求數(shù)列的通項(xiàng)；求數(shù)列的前項(xiàng)和10數(shù)列的前n項(xiàng)和為, 是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，試比擬與的大小關(guān)系.11某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)藏金制度公民在就業(yè)的第一年就

16、交納養(yǎng)老儲(chǔ)藏金，數(shù)目為，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加，因此，歷年所交納的儲(chǔ)藏金數(shù)目是一個(gè)公差為的等差數(shù)列與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利這就是說(shuō)，如果固定年利率為，那么，在第年末，第一年所交納的儲(chǔ)藏金就變?yōu)?，第二年所交納的儲(chǔ)藏金就變?yōu)?，以表示到第年末所累?jì)的儲(chǔ)藏金總額寫出與的遞推關(guān)系式；求證：，其中是一個(gè)等比數(shù)列，是一個(gè)等差數(shù)列122007年底某縣的綠化面積占全縣總面積的40%，從2021年開始，方案每年將非綠化面積的8%綠化，由于修路和蓋房等用地，原有綠化面積的2%被非綠化.1設(shè)該縣的總面積為1，2007年底綠化面積為，經(jīng)過n年后綠化的面積為，試用表示；2

17、求數(shù)列的第n+1項(xiàng)；3至少需要多少年的努力，才能使綠化率超過60%.參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010，lg3=0.4771綜合探究：13函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)為，其中為正實(shí)數(shù).用表示；假設(shè)，記，證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；假設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明.參考答案：根底達(dá)標(biāo)：1.答案：解析：由題設(shè)的遞推公式可得 即,2答案：2n+1-2解析：， 曲線在x=2處的切線的斜率為，切點(diǎn)為2，-2n, 所以切線方程為y+2n=k(x-2),令x=0得,令. 數(shù)列的前n項(xiàng)和為2+22+23+2n=2n+1-23.答案：9784.答案：5解析：將遞推關(guān)系整理為 兩邊同除以得 當(dāng)時(shí)， ，

18、 將上面?zhèn)€式子相加得到： ，即， . 當(dāng)時(shí)，符合上式 故.6.解析：由題設(shè) 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， ， 即的通項(xiàng)公式為，7.解析：由，解得或， 由假設(shè)，因此， 又由， 得，即或， 因，故不成立，舍去 因此，從而是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列， 故的通項(xiàng)為8.解析：， 當(dāng)時(shí)， -得， 在中，令，得符合上式 ， ， -得 即，能力提升：9解析：， 又， 數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， ， ， 得： 又也滿足上式， 10.解析：為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公比為, 那么有,，(), ，即 1當(dāng)時(shí)，, 而, 時(shí)，. 2當(dāng)時(shí)，, 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 綜上，1在時(shí)恒有 2在時(shí)，假設(shè)那么； 假設(shè)那么； 假設(shè)那么.11.解析：， 對(duì)反復(fù)使用上述關(guān)系式，得 ， 在式