經(jīng)濟應(yīng)用模型

1、經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型2.1 2.1 邊際及彈性分析邊際及彈性分析一、邊際的概念一、邊際的概念 在經(jīng)濟學中，在經(jīng)濟學中，如果一個經(jīng)濟指標如果一個經(jīng)濟指標 y是另一個經(jīng)濟指標是另一個經(jīng)濟指標 x 的函數(shù)的函數(shù)y=f (x), , 當自變量當自變量x在在x0處處有有一個單位一個單位的的改變量時改變量時，所對應(yīng)的函數(shù)，所對應(yīng)的函數(shù)y y的的改變量稱為該函數(shù)所表示的經(jīng)濟指標改變量稱為該函數(shù)所表示的經(jīng)濟指標在在x0處的處的邊際量邊際量。 例如例如：生產(chǎn)要素：生產(chǎn)要素( (自變量自變量) )增加一單位，產(chǎn)量增加一單位，產(chǎn)量( (因變量因變量) )的的增量為增量為2 2個單位，因變

2、量改變的個單位，因變量改變的2 2個單位就是邊際產(chǎn)量個單位就是邊際產(chǎn)量. . 邊際分析法就是分析自變量變動邊際分析法就是分析自變量變動1 1單位時，因變量單位時，因變量會變動多少的方法會變動多少的方法. . 經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型用數(shù)學方法描述邊際概念 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)f(x)可導可導. . 根據(jù)導數(shù)的定義，有根據(jù)導數(shù)的定義，有 0( )lim.xyfxx 當 |x很小時，有 ( ).yfxx于是()( )( ).yf xxf xfxx 特別地，當 1x 時，有 ( ) 1( ).yfxfx 當自變量增加當自變量增加1 1單位時，函數(shù)的增量近似地等于其導數(shù)值單位時，函數(shù)的增量近似地等于其

3、導數(shù)值. . 定義定義 把函數(shù)把函數(shù) )(xfy的導數(shù)的導數(shù) )(x f稱為稱為邊際函數(shù)邊際函數(shù)經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型1邊際成本邊際成本總成本函數(shù) )(xCC （x為產(chǎn)量）的導數(shù) ),(xC稱為產(chǎn)量為 x 單位時的邊際成本邊際成本 邊際成本 )(xC表示當產(chǎn)量為x時，再生產(chǎn)1個單 位產(chǎn)品時總成本將改變 )(xC個單位 2邊際收益邊際收益總收益函數(shù) )(xRR （x為產(chǎn)量）的導數(shù) ),(xR稱為產(chǎn)量為x單位時的邊際收益邊際收益 邊際收益 )(xR表示當產(chǎn)量為x時，再生產(chǎn)1個單 位產(chǎn)品，總收益將改變 )(xR個單位 經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型3邊際利潤邊際利潤總利潤函數(shù) )(xLL （x為產(chǎn)量）的

4、導數(shù) ),(x L稱 為產(chǎn)量為x單位時的邊際利潤邊際利潤 邊際利潤 )(x L表示當產(chǎn)量為x時，再生產(chǎn)1個單位 產(chǎn)品，總利潤將改變 )(x L單位 最大利潤原理最大利潤原理 當邊際收入等于邊際成本且邊際收入的變化率小于邊際成本的變化率時，利潤最大。條件：唯一駐點條件：唯一駐點C(x)R(x)xL)(經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型4邊際需求邊際需求需求函數(shù) )(pQd（p為價格）的導數(shù) ),( p稱 為價格為p單位時的邊際需求邊際需求 邊際需求 )( p表示當價格為p時，價格再上漲1 個單位,需求量將改變 )( p個單位 5邊際供給邊際供給供給函數(shù) )(pQs（p為價格）的導數(shù) ),( p稱 為價格為

5、p單位時的邊際需求邊際需求 邊際需求 表示當價格為p時，價格再上漲1 個單位,需求量將改變 )( p個單位 )( p經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型例例 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本為 , x.xC11300)(總收益為 ,x.xxR200305)(試求： （1）邊際成本、邊際收入和邊際利潤函數(shù). （2）當產(chǎn)量為600及700個單位時的邊際利潤, 并 說明其經(jīng)濟意義. （3）求利潤最大的產(chǎn)量。 經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型解解 （1） ; 11)11300()(.x.xC;00605)00305()(2x.x.xxR.x.xCxRxL006093)()()(（2） .L30600006093)600(.L307

6、00006093)700(（3）令 ()0Lx,650 x.得這時，有這時，有(650)(650)1.1.CR經(jīng)濟意義：當產(chǎn)量為經(jīng)濟意義：當產(chǎn)量為600600時，再增加單位產(chǎn)量會使利時，再增加單位產(chǎn)量會使利潤增加潤增加0.3,0.3,當產(chǎn)量為當產(chǎn)量為700700時，再增加單位產(chǎn)量會使利時，再增加單位產(chǎn)量會使利潤減少潤減少0.30.3經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型二、彈性分析二、彈性分析 1、彈性的概念 設(shè)函數(shù) )(xfy 可導，函數(shù) )(xf在點 x 處的 增量為 ),()(xfxxfy自變量的增量為 , x則比 值 稱為在點 x 處自變量 x 的相對改變量. 稱比值 為函 數(shù) y 的相對改變量。

7、xx0,x 當時兩個相對改變量之 比的極限0lim( ).( )xyxyfxxf xx 稱為函數(shù) )(xfy 在點 x 處的彈性彈性，記作記作 ,ExEy即 )()(xfxfxExEyyy經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型彈性經(jīng)濟意義為：彈性經(jīng)濟意義為：當自變量變化1%時，函數(shù)變化的百 分數(shù)為 %.EyEx注意注意 彈性研究的是相對變化率因此，彈性沒有 量綱 000000/)(/)()(/)(/xxxfxfxxfxxxfy為函數(shù)在區(qū)間 上的弧彈性。 00(,)x xx稱經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型2 2需求價格彈性需求價格彈性設(shè)需求函數(shù)為 )(pQQ（p為價格），則需求價格彈性 為 =( ).( )EQpQ

8、 pEpQ p它表示在價格為p的水平上，當價格改變1%時，需求量 變化的百分數(shù)根據(jù)需求彈性值的大小，需求價格彈性可以劃分為經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型（1 1）缺乏彈性：）缺乏彈性：01 （2 2）富有彈性：）富有彈性：1 （3 3）單位彈性：）單位彈性：1價格變動的比率 = 需求量變動的比率。 例如運輸業(yè)、煤氣等。 需求量變動的比率小于價格變動的比率。需求量對于價格變動反應(yīng)不敏感。例如生活必需品（糧食、蔬菜）,需求曲線陡峭。 需求量變動的比率大于價格變動的比率。需求量對于價格變動反應(yīng)敏感。例如奢侈品，需求曲線較平坦。QPQPPQ經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型（5）完全無彈性：）完全無彈性：0價格無論如

9、何變動，需求量都不價格無論如何變動，需求量都不會變動。會變動。（急救藥、火葬場、糖尿病人對胰島素的需求）PQ（4）完全有彈性）完全有彈性： PQ在既定價格之下，需求量可以任意變動（如銀行以固定價格收購黃金）經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型實例 彈性在航空公司中的應(yīng)用 美國航空公司認為，弄清乘客的需求彈性相當于每年可帶來美國航空公司認為，弄清乘客的需求彈性相當于每年可帶來數(shù)十億美元的收益。理想的情況下，航空公司希望向商務(wù)人員數(shù)十億美元的收益。理想的情況下，航空公司希望向商務(wù)人員要求盡可能高的票價，而向閑適的游客提供足夠低的票價以填要求盡可能高的票價，而向閑適的游客提供足夠低的票價以填補飛機上的空座。這是

10、航空公司為增加總收益，追求利潤最大補飛機上的空座。這是航空公司為增加總收益，追求利潤最大化所希望采取的措施。為此他們要解決如何識別兩種不同類型化所希望采取的措施。為此他們要解決如何識別兩種不同類型的乘客問題。航空公司通過對不同乘客實行的乘客問題。航空公司通過對不同乘客實行“價格歧視價格歧視”的措的措施解決了這個難題。航空公司通常會對事先計劃并希望選擇低施解決了這個難題。航空公司通常會對事先計劃并希望選擇低價時機的游客提供折扣。同時，航空公司也許會要求乘客等到價時機的游客提供折扣。同時，航空公司也許會要求乘客等到周六晚上以后才能拿到打折的機票，這一條規(guī)定使得急于回家周六晚上以后才能拿到打折的機票

11、，這一條規(guī)定使得急于回家度周末的商務(wù)人員望而卻步。另外最后的時刻通常不提供折扣，度周末的商務(wù)人員望而卻步。另外最后的時刻通常不提供折扣，因為商務(wù)往來事先并無計劃，而是為了處理意外的危機因為商務(wù)往來事先并無計劃，而是為了處理意外的危機這這是另外一種缺乏彈性的情況。航空公司已經(jīng)設(shè)計出極其復雜的是另外一種缺乏彈性的情況。航空公司已經(jīng)設(shè)計出極其復雜的計算機程序來管理機票的銷售，從而確保缺乏彈性的乘客無法計算機程序來管理機票的銷售，從而確保缺乏彈性的乘客無法從折扣中獲益。因此，盡管用有預(yù)算約束的旅客填補空位，他從折扣中獲益。因此，盡管用有預(yù)算約束的旅客填補空位，他們?nèi)匀挥欣蓤D。們?nèi)匀挥欣蓤D。經(jīng)濟數(shù)學

12、模型經(jīng)濟數(shù)學模型3、需求彈性、總收入與價格之間的關(guān)系Rp QpQ(1)QppQp Q(1)RQp總收入的變動量近似為RPQ總收入函數(shù)為p若價格有微小的變化 ，則收入函數(shù)的改變量為R()pp QQpQ（）pQp QpQ 經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型4、需求的收入彈性設(shè)需求關(guān)于收入函數(shù)為設(shè)需求關(guān)于收入函數(shù)為 ，其中，其中 M M 表示消費者的表示消費者的收入收入 ()ddQQM需求收入彈性的計算公式為dMddQMEdMQ0ME1ME1ME0ME若需求收入彈性 ，則稱這樣的商品為正常商品，其中若 ，認為是缺乏彈性的，例如生活必需品；若 ，則為是富有彈性的，例如奢侈品或高檔商品。若需求收入彈性 ，則認為該

13、商品是低檔或劣質(zhì)產(chǎn)品，即吉芬（Giffen）商品。經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型均衡價格均衡價格 是市場上供需量相等時的價格，這時的是市場上供需量相等時的價格，這時的供需量叫做均衡商品量。供需量叫做均衡商品量。eP)(sdQQkdtdP解這個模型就得到價格和時間的關(guān)系。解這個模型就得到價格和時間的關(guān)系。 一般來說價格一般來說價格P P 隨時間隨時間t t 波動波動 ， 的漲速的漲速與過剩需求與過剩需求 成正比，故有數(shù)學模型成正比，故有數(shù)學模型 sdQQ )(tPP )(tP2.3 2.3 均衡價格均衡價格若若 的表達式是線性的：的表達式是線性的：,dsQ Q( ) , ( )dsQ ppQ pa b

14、p 00b，經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型其通解為其通解為( )teP tceP從而lim( )etP tP這說明價格雖是波動的，但隨著時間的推移，最后這說明價格雖是波動的，但隨著時間的推移，最后趨于均衡價格。趨于均衡價格。edPPPdt則問題簡化為則問題簡化為()0kb可得供求平衡時的價格為可得供求平衡時的價格為eapb 經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型若需求是一個常數(shù)若需求是一個常數(shù) ，供給也是一個常數(shù)，供給也是一個常數(shù) ，且供不應(yīng)，且供不應(yīng)求：求： ，則，則dsQQ()dsdPk QQkdt( )+ P tk t c其通解為其通解為從而lim( )tP t dQsQdsQQ此時即為通貨膨脹?？刂仆ㄘ浥?/p>

15、脹的關(guān)鍵是降低消費資此時即為通貨膨脹?？刂仆ㄘ浥蛎浀年P(guān)鍵是降低消費資金的投放和增加商品的供應(yīng)量。金的投放和增加商品的供應(yīng)量。經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型總利潤為總利潤為 2 ( ) ( )( )( )( ) ()()()() ()()dssdL pRCQp pQp qr QpQpp pabp qr abppbqr bpraaq R( )dQpp( )( )( )ssdCQpqr QpQp ()()sdQpQp如果企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品不脫銷，并認為商品需求量如果企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品不脫銷，并認為商品需求量即為銷售量即為銷售量，供給量即為生產(chǎn)量。此時發(fā)生的商品庫存量為供給量即為生產(chǎn)量。此時發(fā)生的商品庫存量為 設(shè)企

16、業(yè)生產(chǎn)和設(shè)企業(yè)生產(chǎn)和庫庫存單位商品的成本分別為存單位商品的成本分別為q q和和r.r.若若需求和供給需求和供給函函數(shù)數(shù)都為線性函數(shù)：都為線性函數(shù)： ，收入函數(shù)和收入函數(shù)和成本函數(shù)分別為成本函數(shù)分別為( ) , ( )dsQ ppQ pa bp 經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型eappbsdQQ由于商品不脫銷，所以由于商品不脫銷，所以 ，由，由此,)ep 最優(yōu)價格問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最優(yōu)價格問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)L(pL(p）在區(qū)間）在區(qū)間 上的上的最大值問題。最大值問題。0()2bqr bpL(p)L(p)的唯一駐點為的唯一駐點為不難證明不難證明p p0 0是是L(p)L(p)的最大值，所以當?shù)淖畲笾担援?

17、，最優(yōu)價格，最優(yōu)價格為為 ， 當當 ，最優(yōu)價格為，最優(yōu)價格為 ，綜上，最優(yōu)價格為，綜上，最優(yōu)價格為0epp0pep0epp*0max,eppp經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型1 1、以二元函數(shù)為例說明拉格朗日乘子的經(jīng)濟意義、以二元函數(shù)為例說明拉格朗日乘子的經(jīng)濟意義 設(shè)設(shè) 是目標函數(shù)，是目標函數(shù)， 是影響目標函數(shù)中兩是影響目標函數(shù)中兩個因素的約束條件，在此約束條件下，求目標函數(shù)個因素的約束條件，在此約束條件下，求目標函數(shù) 的最值問題。的最值問題。 ),(yxfz Cyx),(),(yxfz ( , , )( , )( , )L x yf x yCx y拉格朗日函數(shù)為拉格朗日函數(shù)為經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型

18、000LxLyL若將若將C C 看作變量看作變量 ，解出最優(yōu)解，解出最優(yōu)解, , xy)(),(),(CyyCxxC的最值 也可視為 的函數(shù) ( , )zf x yzC( ),( )zf x Cy C(1)( , )0fxxfyyx yC令經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型對 求導 zC(2)dzf dxf dydCx dCy dC將方程組將方程組(1)(1)中前兩式代入中前兩式代入(2)(2)式中式中 *3dzdxdydCx dCy dC（ ）( , )x yCC對兩邊對 求導1dCdyydCdxx經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型 隨目標函數(shù)、約束條件的經(jīng)濟意義和度量隨目標函數(shù)、約束條件的經(jīng)濟意義和度量單位不

19、同而有不同的經(jīng)濟解釋。單位不同而有不同的經(jīng)濟解釋。 拉格朗日乘子 是目標函數(shù)最值 對約束條件之常數(shù) 的變化率或邊際值。 zC dzdC若總成本限定為若總成本限定為 ，兩種原料投入為，兩種原料投入為x、y，為為 目標是使總產(chǎn)量目標是使總產(chǎn)量 最大，則最大，則 是在最優(yōu)投是在最優(yōu)投入水平時的邊際產(chǎn)量。入水平時的邊際產(chǎn)量。 C( , )x yC( , )zf x y經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型多變量多約束下拉格朗日乘子的經(jīng)濟意義多變量多約束下拉格朗日乘子的經(jīng)濟意義研究有研究有m m個等式約束：個等式約束：12( ,)1,2,inix xxCim函數(shù)函數(shù)12(,)nf x xx的極值問題的極值問題 121

20、21(,)(,)mniiiniLf x xxCx xx構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 同樣稱同樣稱 為拉格朗日乘數(shù)為拉格朗日乘數(shù) 1,2,iim（）經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型* , 1,2,iifimC12(,)nf x xx 拉格朗日乘數(shù)拉格朗日乘數(shù) 是函數(shù)是函數(shù) 的條件極值的條件極值*12(,)nfxxxiC對約束常數(shù)對約束常數(shù)的一階偏導數(shù)，即的一階偏導數(shù)，即 其經(jīng)濟意義隨目標函數(shù)、約束條件的經(jīng)濟意義和度其經(jīng)濟意義隨目標函數(shù)、約束條件的經(jīng)濟意義和度量單位不同而有不同的解釋。量單位不同而有不同的解釋。類似于二元函數(shù)，有如下結(jié)論經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型1 1）、兩個寡頭

21、廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品是同質(zhì)或無差別的；）、兩個寡頭廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品是同質(zhì)或無差別的；2 2）、每個廠商都根據(jù)對手的策略采取行動，并假定）、每個廠商都根據(jù)對手的策略采取行動，并假定 對手也這樣做，據(jù)此來做出自己的決策；對手也這樣做，據(jù)此來做出自己的決策；3 3）、為方便，假定每個廠商的邊際成本為常數(shù)，）、為方便，假定每個廠商的邊際成本為常數(shù)， 市場的需求函數(shù)是線性的；市場的需求函數(shù)是線性的；4 4）、兩個廠商都通過調(diào)整產(chǎn)量來實現(xiàn)各自利潤的最大；）、兩個廠商都通過調(diào)整產(chǎn)量來實現(xiàn)各自利潤的最大；5 5）、兩個廠商不存在任何正式的或非正式的串謀行為。）、兩個廠商不存在任何正式的或非正式的串謀行為。 2 2、古

22、諾模型中兩個寡頭行為的假定、古諾模型中兩個寡頭行為的假定經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型 參與者集合：參與者集合： i=1,2i=1,2， 1 1為廠商為廠商A A，2 2為廠商為廠商B B市場需求函數(shù)：市場需求函數(shù)： 2 , 1 0, ) ()(21iacbaqqbabQaQppi）（ ,Qq , qqq , Q,qq0,212121決策變量：決策變量：() 1,2iiiic qc qi成本函數(shù)：成本函數(shù)：12( ,)( )( )() 1,2iijiiiiiq qq p Qc qq ab qqci利潤函數(shù)：利潤函數(shù)：3 3、建立模型、建立模型古諾均衡古諾均衡: :古諾均衡是指這樣一對產(chǎn)量的組合古諾均

23、衡是指這樣一對產(chǎn)量的組合 ，在這，在這個產(chǎn)量水平上沒有企業(yè)認為可通過增加或減少產(chǎn)量而提高自個產(chǎn)量水平上沒有企業(yè)認為可通過增加或減少產(chǎn)量而提高自己的利潤，產(chǎn)出的組合除了古諾均衡外，不可能再達到均衡。己的利潤，產(chǎn)出的組合除了古諾均衡外，不可能再達到均衡。*12qq、經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型*11211211 max( ,)() q qq ab qqcq廠商廠商A A的均衡產(chǎn)量的均衡產(chǎn)量*21221212 max(,)() q qq ab qqcq廠商廠商B B的均衡產(chǎn)量的均衡產(chǎn)量*112=()qR q廠商廠商A A的反應(yīng)函數(shù)的反應(yīng)函數(shù)*221=()qR q廠商廠商B B的反應(yīng)函數(shù)的反應(yīng)函數(shù)廠商選擇

24、的應(yīng)是均衡產(chǎn)量廠商選擇的應(yīng)是均衡產(chǎn)量*112112(,)(,)q qq q*212212(,)(,)qqqq經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型11212122(,)0(,)= 0qqqqqq(,)qq1211211221222020acbqbqqacbqbqq即即古諾均衡產(chǎn)量使兩個企業(yè)都達到利潤最大化，故古諾均衡古諾均衡產(chǎn)量使兩個企業(yè)都達到利潤最大化，故古諾均衡點既在企業(yè)點既在企業(yè)A A的反應(yīng)函數(shù)曲線上又在企業(yè)的反應(yīng)函數(shù)曲線上又在企業(yè)B B的反應(yīng)函數(shù)曲線的反應(yīng)函數(shù)曲線上，兩條企業(yè)反應(yīng)函數(shù)曲線的交點就是古諾均衡點。上，兩條企業(yè)反應(yīng)函數(shù)曲線的交點就是古諾均衡點。 經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型21112=()2a

25、bqcqR qb12221=()2abqcqR qb兩企業(yè)的反應(yīng)函數(shù)為兩企業(yè)的反應(yīng)函數(shù)為 兩企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量為兩企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量為q2q1均衡點均衡點0q2*q1*R1(q2)R2(q1)*12123accqb*21223accqb經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型市場總產(chǎn)量為：市場總產(chǎn)量為：均衡價格為：均衡價格為： *121223accQqqb*1212()3a ccPa b qq企業(yè)企業(yè)2 2的市場分額：的市場分額：企業(yè)企業(yè)1 1的市場分額：的市場分額：*11211222qaccQQacc*22121222qaccQQacc經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型例例1 1 歐佩克（歐佩克（OPEC,OPEC,石油輸出

26、國組織）試圖通過限制生產(chǎn)石油輸出國組織）試圖通過限制生產(chǎn)水平保持世界石油的高價格。假設(shè)歐佩克的生產(chǎn)成本為每水平保持世界石油的高價格。假設(shè)歐佩克的生產(chǎn)成本為每桶桶5 5美元，非歐佩克生產(chǎn)國的生產(chǎn)成本為每桶美元，非歐佩克生產(chǎn)國的生產(chǎn)成本為每桶1010美元，又美元，又知道石油市場需求函數(shù)為知道石油市場需求函數(shù)為 用古諾寡頭壟斷方法做均衡分析。用古諾寡頭壟斷方法做均衡分析。65/3PQ11211211(,)60()3qqqqqq21211221(,)55()3q qqqq q12qq、分析分析：設(shè)歐佩克和非歐佩克國的產(chǎn)量分別為：設(shè)歐佩克和非歐佩克國的產(chǎn)量分別為 ， 雙方的利雙方的利潤潤函數(shù)分別為函數(shù)分

27、別為 經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型解得反應(yīng)函數(shù)分別為解得反應(yīng)函數(shù)分別為2112180()2qqR q1221165()2qqR q所以石油市場的古諾均衡點為所以石油市場的古諾均衡點為*165q*250q， 11212160033qqq21221255033qqq令令經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型 假定市場上的兩個寡頭壟斷企業(yè)通過串謀如同一個壟斷者假定市場上的兩個寡頭壟斷企業(yè)通過串謀如同一個壟斷者一樣行事。串謀屬于合作博弈，其特點是參加博弈的各方在一樣行事。串謀屬于合作博弈，其特點是參加博弈的各方在決策過程中聯(lián)合起來，先追求共同利益的極大化，然后再分決策過程中聯(lián)合起來，先追求共同利益的極大化，然后再分配這

28、個已經(jīng)極大化了的共同利益。配這個已經(jīng)極大化了的共同利益。12= ( )()p p Qp qq市場需求函數(shù)為：市場需求函數(shù)為：兩個企業(yè)的兩個企業(yè)的成本成本函數(shù)分別為函數(shù)分別為：1122()()c qc q、在串謀條件下，總利潤函數(shù)在串謀條件下，總利潤函數(shù)為：為：1212121122,()()()()q qp qqqqc qc q（）=1212121122,max()()()()q qp qqqqc qc q則則4 4、兩個企業(yè)有串謀的均衡模型、兩個企業(yè)有串謀的均衡模型經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型令0 , 021qq由此求得各自的最優(yōu)產(chǎn)量由此求得各自的最優(yōu)產(chǎn)量例例2 2 兩企業(yè)兩企業(yè)市場需求市場需求函

29、數(shù)和成本函數(shù)分別函數(shù)和成本函數(shù)分別為為：若兩企業(yè)串謀，求均衡解，并求若兩企業(yè)串謀，求均衡解，并求兩企業(yè)的最優(yōu)利潤。兩企業(yè)的最優(yōu)利潤。21211221000.5(),5 ,0.5pqqcq cq總利潤函數(shù)為總利潤函數(shù)為22121215 . 05)(5 . 0100qqqqqq1290,5qq124275,250解得解得095211qqq02100212qqq令經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型設(shè)市場中有設(shè)市場中有n n家廠商家廠商,q,qi i為廠商為廠商i i的產(chǎn)量，的產(chǎn)量， 為市場總為市場總產(chǎn)量。已知市場的需求函數(shù)為產(chǎn)量。已知市場的需求函數(shù)為p=a - bQ , ,為簡單為簡單，假設(shè)假設(shè)各各廠商生產(chǎn)沒

30、有固定成本，且各廠商的廠商生產(chǎn)沒有固定成本，且各廠商的邊際成本邊際成本c c都都相同。相同。若若各廠商同時選擇產(chǎn)量，則各廠商的利潤函數(shù)為各廠商同時選擇產(chǎn)量，則各廠商的利潤函數(shù)為Qqiin15 5、多家企業(yè)的古諾、多家企業(yè)的古諾產(chǎn)量產(chǎn)量競爭模型競爭模型 () 1,2,.,niiiijiijipqcqabqbqqcqin20 1,2,.,nijj iiabqbqcinq 令各廠商的反應(yīng)函數(shù)為各廠商的反應(yīng)函數(shù)為 1,2,.2njj iiabqcqinb經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型n n個廠商均衡點滿足個廠商均衡點滿足12=.nqqq12=.=1nacqqqnb（）行業(yè)總產(chǎn)量為行業(yè)總產(chǎn)量為1()1njjn

31、 acqnb（）市場價格為市場價格為 ()()11n acn acpabanbn（）每個企業(yè)的利潤為每個企業(yè)的利潤為22()()()11(1)jjn acacacpc qacnnbnb（）（）經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型 從上述數(shù)學結(jié)果來看，當從上述數(shù)學結(jié)果來看，當n=1n=1時，得到的是壟斷結(jié)果；時，得到的是壟斷結(jié)果；在在n=2n=2時，得到的是雙頭模型的結(jié)果。企業(yè)的均衡產(chǎn)量、時，得到的是雙頭模型的結(jié)果。企業(yè)的均衡產(chǎn)量、市場均衡價格和每個企業(yè)的均衡利潤都與行業(yè)內(nèi)企業(yè)數(shù)市場均衡價格和每個企業(yè)的均衡利潤都與行業(yè)內(nèi)企業(yè)數(shù)量量n n有關(guān)系。有關(guān)系。 0limlim(1)innacqnb () limli

32、m(1)nnn acacQnbb 在古諾均衡中，隨著企業(yè)數(shù)量的無限增加，每個企業(yè)的在古諾均衡中，隨著企業(yè)數(shù)量的無限增加，每個企業(yè)的產(chǎn)出水平接近零，而行業(yè)總產(chǎn)量接近競爭產(chǎn)出水平。產(chǎn)出水平接近零，而行業(yè)總產(chǎn)量接近競爭產(chǎn)出水平。 n 時企業(yè)均衡產(chǎn)量和市場總產(chǎn)量的變化：時企業(yè)均衡產(chǎn)量和市場總產(chǎn)量的變化：經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型 古諾均衡價格隨著企業(yè)數(shù)量增加的結(jié)果為：古諾均衡價格隨著企業(yè)數(shù)量增加的結(jié)果為：limlim1nnancPcn 古諾均衡價格在古諾均衡價格在n=1n=1時為壟斷價格水平，隨著行業(yè)中時為壟斷價格水平，隨著行業(yè)中企業(yè)數(shù)量的無限增加，呈不斷下降的趨勢，直到逼近企企業(yè)數(shù)量的無限增加，呈不斷

33、下降的趨勢，直到逼近企業(yè)單位生產(chǎn)成本即完全競爭價格水平。業(yè)單位生產(chǎn)成本即完全競爭價格水平。 這說明，當企業(yè)個數(shù)很多時，市場價格將趨于企業(yè)的這說明，當企業(yè)個數(shù)很多時，市場價格將趨于企業(yè)的邊際成本，市場產(chǎn)量將會不斷增加，而價格將會下降，從邊際成本，市場產(chǎn)量將會不斷增加，而價格將會下降，從而有助于增加消費者的福利。而有助于增加消費者的福利。經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型問問題題價格指數(shù)是消費品價格變化的度量價格指數(shù)是消費品價格變化的度量. .幾百年來，經(jīng)濟學家們提出了許多種價格指數(shù)幾百年來，經(jīng)濟學家們提出了許多種價格指數(shù). .如何評價這些價格指數(shù)的合理性？如何評價這些價格指數(shù)的合理性？以種和種商品的價格指

34、數(shù)為例以種和種商品的價格指數(shù)為例對一種給定商品，原價對一種給定商品，原價p p0 0, , 現(xiàn)價現(xiàn)價p p, , 價格變化價格變化 I I= =p p/ /p p0 0對兩種給定商品，原價對兩種給定商品，原價p p0 01 1, , p p0 02 2, , 現(xiàn)價現(xiàn)價p p1 1, , p p2 2, , 價格變化指標價格變化指標022011ppppI020121ppppI020121ppppI 沒有體現(xiàn)沒有體現(xiàn)“權(quán)權(quán)”的概念，應(yīng)有的概念，應(yīng)有價格綜合指數(shù)價格綜合指數(shù) 經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型商品名稱計量單位報 告 期基 期銷售量 單價 (元)銷售量 單價 (元) q1p1q0p0甲米6000

35、.204000.25乙kg6000.365000.40丙件1800.602000.50某企業(yè)三種產(chǎn)品平均日產(chǎn)與價格某企業(yè)三種產(chǎn)品平均日產(chǎn)與價格3130144492.5%480iiipiiip qIp q價格綜合指數(shù)價格綜合指數(shù) 定義為定義為pI3301144448036iiiiiip qp q 說明三種產(chǎn)品價格綜合下降說明三種產(chǎn)品價格綜合下降7.5%7.5%，企業(yè)日產(chǎn)值減少，企業(yè)日產(chǎn)值減少3636元。元。經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型問題的一般提法問題的一般提法 設(shè)有設(shè)有n n 種代表性消費品，建立衡量基年和現(xiàn)年價格變化指標。種代表性消費品，建立衡量基年和現(xiàn)年價格變化指標?；昊? (基準年基準年

36、) ) 價格指數(shù)記為價格指數(shù)記為I I( (p,q|pp,q|p0 0,q,q0 0) )權(quán)重權(quán)重Tnqqqq),.,(002010現(xiàn)年現(xiàn)年( (報告年報告年) )Tnpppp),.,(002010價格價格Tnpppp),.,(21價格價格權(quán)重權(quán)重Tnqqqq),.,(21歷年來諸多學者都對指數(shù)計算做了研究，下面列舉經(jīng)濟學歷年來諸多學者都對指數(shù)計算做了研究，下面列舉經(jīng)濟學家們提出的常用價格指數(shù)。家們提出的常用價格指數(shù)。經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型 00001100001(,)niiiniiip qIp qp qp,q p qpq基年權(quán)重法基年權(quán)重法 現(xiàn)年權(quán)重法現(xiàn)年權(quán)重法 0012001(,)ini

37、iiniipqIp qp qp,q p qpq 基年現(xiàn)年權(quán)重并用法基年現(xiàn)年權(quán)重并用法 001300001(,)iniiiniip qIp qp qp,q p qpq固定權(quán)重法固定權(quán)重法 0014001(,),0iniiiiniip aIap ap ap,q pqpa經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型幾何平均法幾何平均法 0001/21 2512000(,)()()II Ip qp qp,q pqpqpq 冪平均法冪平均法 006011(,),0,1inniiiiiipIpp,q pq規(guī)范基年權(quán)向量規(guī)范基年權(quán)向量冪平均法冪平均法 00070011(,),iniiiniiiipqIpqp,qpq 規(guī)范現(xiàn)年權(quán)

38、向量規(guī)范現(xiàn)年權(quán)向量冪平均法冪平均法 008011(,),iniiiniiiipqIpqp,q pq問題：哪種定義更合理？理想的價格指數(shù)是什么？問題：哪種定義更合理？理想的價格指數(shù)是什么？經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型1. 1. 價格單調(diào)性價格單調(diào)性：一種商品漲價，其他不降，則：一種商品漲價，其他不降，則I I應(yīng)上升應(yīng)上升價格指數(shù)的公理化價格指數(shù)的公理化p, q, p0,q00, I(p,q| p0,q0)0),|,(),|,(0000qpqpIqpqpIpp2. 2. 權(quán)重不變性權(quán)重不變性：所有商品價格不變，則：所有商品價格不變，則I I應(yīng)不變應(yīng)不變1),|,(000qpqpI3. 3. 價格齊次性

39、價格齊次性：所有商品漲價：所有商品漲價k k倍，則倍，則I I應(yīng)上升應(yīng)上升k k倍倍0),|,(),|,(0000kqpqpkIqpqkpI4. 4. I I應(yīng)位于單種商品價格比值的最小、最大值之間應(yīng)位于單種商品價格比值的最小、最大值之間0000max),|,(miniiiiiippqpqpIpp經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型5. 5. 貨幣單位獨立性貨幣單位獨立性：I I應(yīng)與貨幣單位的選取無關(guān)應(yīng)與貨幣單位的選取無關(guān)0),|,(),|,(0000qpqpIqpqpI6. 6. 計量單位獨立性計量單位獨立性： I I應(yīng)與商品計量單位的選取無關(guān)應(yīng)與商品計量單位的選取無關(guān)為非負對角陣),|,(),|,(0

40、00101qpqpIqpqpI7. 7. 兩年的價格指數(shù)之比與基年選取無關(guān)兩年的價格指數(shù)之比與基年選取無關(guān)),|,(),|,(),|,(),|,(00000000qpqpIqpqpIqpqpIqpqpI8. 8. 價格指數(shù)不因某種商品被淘汰失去意義價格指數(shù)不因某種商品被淘汰失去意義iqpqpIip, 0),|,(lim000經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型則價指數(shù)則價指數(shù)I I2 2為為1 120110 91.258 9p qIp q若豬肉計量單位換算為公斤若豬肉計量單位換算為公斤 基期基期 p p0 0=2=28=168=16元元, , 銷量銷量q q0 0 =10 =102=52=5公斤公斤 現(xiàn)價

41、現(xiàn)價 p p1 1 =2 =210=2010=20元元, ,銷量銷量q q1 1 =9 =92=4.52=4.5公斤公斤價格指數(shù)應(yīng)不變25. 14.5164.50210112qpqpI對性質(zhì)對性質(zhì)6 6解釋舉例解釋舉例豬肉豬肉 基期基期p p0 0=8=8元元, , 銷量銷量q q0 0 =10 =10斤斤 現(xiàn)價現(xiàn)價p p1 1 =10 =10元元, ,銷量銷量q q1 1 =9 =9斤斤為非負對角陣),|,(),|,(000101qpqpIqpqpI),(21,2 21,20011200112qpqpIqpqpI）（即經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型I I1 1, , I I2 2, , I I5

42、5不滿足公理不滿足公理7 7艾?；舳鳎ò；舳鳎‥ichhornEichhorn）給出了如下定理（）給出了如下定理（19731973）定理定理: : 不存在同時滿足公理不存在同時滿足公理2,3,6,7,82,3,6,7,8的價格指數(shù)的價格指數(shù). .I I6 6, , I I7 7, , I I8 8不滿足公理不滿足公理8 8I I3 3不滿足公理不滿足公理2 2I I4 4不滿足公理不滿足公理6 6常見的價格指數(shù)常見的價格指數(shù)I I1 1 I I8 8中：中：經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型 不存在滿足所有公理的價格指數(shù)，但經(jīng)濟學不能沒有價格指不存在滿足所有公理的價格指數(shù)，但經(jīng)濟學不能沒有價格指數(shù)，要

43、選擇綜合性能好的指數(shù)。分析現(xiàn)有數(shù)，要選擇綜合性能好的指數(shù)。分析現(xiàn)有I I1 1 -I -I8 8，應(yīng)剔除哪一個？，應(yīng)剔除哪一個？ I I4 4與與I I6 6需構(gòu)造另外參數(shù)，不方便使用，需構(gòu)造另外參數(shù)，不方便使用，I I5 5 可由可由I I1 1和和I I2 2 直接得到，直接得到，I I3 3不滿足公理不滿足公理2 2，I I7 7、I I8 8 計算量大且不滿足公理計算量大且不滿足公理6 6、7 7、8. 8.I I1 1, , I I2 2滿足除公理滿足除公理7 7外的所有公理，且計算簡單，所以是外的所有公理，且計算簡單，所以是目前最常用的價格指數(shù)。目前最常用的價格指數(shù)。目前常用的價格

44、指數(shù)目前常用的價格指數(shù): : I I1 1, , I I2 2 00001100001(,)niiiniiip qIp qp qp,q p qpq0012001(,)iniiiniip qIp qp qp,q pqpq經(jīng)濟數(shù)學模型經(jīng)濟數(shù)學模型中國中國幾種主要價格指數(shù)簡介幾種主要價格指數(shù)簡介1 1、商品零售價格指數(shù)、商品零售價格指數(shù) RPI RPI 零售價格指數(shù)零售價格指數(shù)(Retail Price index)(Retail Price index)是反映城鄉(xiāng)商品零是反映城鄉(xiāng)商品零售價格變動趨勢的一種經(jīng)濟指數(shù)。它的變動直接影響到城鄉(xiāng)售價格變動趨勢的一種經(jīng)濟指數(shù)。它的變動直接影響到城鄉(xiāng)居民的生活支出和國家財政收入，影響居民的購買力和市場居民的生活支出和國家財政收入，影響居民的購買力和市場供需平衡以及消費和積累的比例。商品主要包括供需平衡以及消費和積累的比例。商品主要包括食品、飲料食品、飲料煙酒、服裝鞋帽、紡織品、中西藥品、化妝品、書報雜志、煙酒、服裝鞋帽、紡織品、中西藥品、化妝品、書報雜志、文化體育用品、日用品、家用電器、首飾、燃料、建筑裝潢文化體育用品、日用品、家用電器、首飾、燃料、建筑裝潢材料、機電產(chǎn)品等十四個大類材料、機電產(chǎn)品等十四個大類304304種種必報產(chǎn)品必報