高等數(shù)學映射與函數(shù)PPT課件

1、1一、集合(1)定義組成這個集合的事物稱為該集合的元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM ,Ma .Ma (3)符號(4)表示 列舉法 描述法(5)常用集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合. RRRQZNN,*1.集合概念(2)有限集和無限集映射與函數(shù)第1頁/共52頁2;,ABBA 且且不含任何元素的集合稱為空集, ,記記作作規(guī)定空集為任何集合的子集.(6)關(guān)系:BA 子集 ( 包含 ),;BxAx :BA 相等,2.集合的運算 并, 交, (1)基本運算BAI AB BAIAB AB=x|x A 且 x BAB=x|x A 或 x B映射與函數(shù)第2頁/共52頁3 補,);

2、(IAAIAC 直積或笛卡兒乘積:.),(ByandAxyxBA 差, ABIAB=x|xA且xBABIABCB= AA()或或映射與函數(shù)第3頁/共52頁4(2)運算法則交換律:;,ABBAABBA 結(jié)合律:, )()(CBACBA ;)()(CBACBA 分配律:),()()(CBCACBA ;)()()(CBCACBA 對偶律:,)(CCCBABA .)(CCCBABA 映射與函數(shù)第4頁/共52頁53.區(qū)間和鄰域),(bxaxba 開區(qū)間 (a, b):oxab(1)有限區(qū)間,bxaxba 閉區(qū)間 a, b:),bxaxba 半開區(qū)間 a, b):,(bxaxba 半開區(qū)間 (a, b:

3、oxaboxaboxab映射與函數(shù)第5頁/共52頁6),xaxa ),(bxxb oxaoxb(2)無限區(qū)間映射與函數(shù)第6頁/共52頁7(3)鄰域xa a a:),( aUao鄰域鄰域的去心的去心點點. 0),( axxaUo.),( axxaU點a的鄰域U(a): 以點a為中心的任何開區(qū)間.點a的鄰域U(a, ):U(a, )的實質(zhì):U(a, )=(a , a + ).點a的左 鄰域:(a , a ).點a的右 鄰域:(a , a+ ).問題：如何用鄰域表示(1,2)呢？ 映射與函數(shù)第7頁/共52頁8二、映射 引例(1)一個班里有6名男同學,記為X=1, 2, 6，入學時分配宿舍，共有4個房

4、間可供分配，記為Y=301, 302,303,304我們確定分配方案如下： 1301，2, 3302，4, 5303，6304 引例(2)設(shè)X=Y=1, 2, 3, 4，規(guī)定對應(yīng)法則：12，23，34，41 共同之處: 在兩個集合X和Y之間建立了一種對應(yīng)關(guān)系,使對X中的每一個元素,有Y中一個唯一確定的元素與它對應(yīng)。 映射與函數(shù)第8頁/共52頁91.映射概念(1)定義(2)要素設(shè)X、Y是兩個非空集合，若存在一個法則f，使得對X中每個元素x，按照法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作 f : X Y1;(2);3.fffDXfRRY=( )定義域?qū)?yīng)法則( )值域的

5、范圍：如，X=三角形，Y=圓，f：X Y,對每個xX,有唯一確定的y(x的外接圓)Y與之對應(yīng). 映射與函數(shù)第9頁/共52頁10注記.YRYRyRyxXfff ，不不一一定定；的的原原像像不不一一定定是是唯唯一一的的中中每每個個元元素素是是唯唯一一的的；的的像像中中每每個個元元素素映射與函數(shù)第10頁/共52頁11(3) 滿射、單射和雙射(一一映射) 滿射：單射：).()(2121xfxfxx 雙射（一一映射）：既是單射，又是滿射.Rf=Y ,即Y中任一元素都是X中某元素的像； 映射與函數(shù)第11頁/共52頁12補例1 設(shè)X是一切非負實數(shù)所成的集合，Y= yyR, 0y1，f是從X到Y(jié)的一個映射，證

6、明：f是從X到Y(jié)的一一映射。1+xxf(x)=證明: 設(shè)yY，取x= 1-yy，因為0y0)確定y是x的二值函數(shù)。 對于多值函數(shù)，往往只要附加一些條件，就可以將它化為單值函數(shù)，這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支。 映射與函數(shù)第19頁/共52頁20例函數(shù) y=2yxo1y=2映射與函數(shù)第20頁/共52頁21例6 絕對值函數(shù)yxo1-11 0,0,xxxxxyy=|x|映射與函數(shù)第21頁/共52頁22 010001sgnxxxxy當當當當當當xxx sgn例符號函數(shù)yxo11xysgn 映射與函數(shù)第22頁/共52頁23例8 1,1,10,2)(xxxxxfy函數(shù)xyo21y=f(x)分段函數(shù)

7、映射與函數(shù)第23頁/共52頁24補例2 設(shè)A、B兩地之間的長途電話費在最初的3分鐘是6.60(元), 以后的每分鐘(不足一分鐘按一分鐘計)另加1.20(元). 顯然長途電話費C(單位:元)是通話時間t(單位:分鐘)的函數(shù).試寫出函數(shù)的公式表示,并描繪它的圖形。 解：記長途電話費為C(t)由于t0，于是函數(shù)的定義域為(0, +)從給出的信息，我們有 6.60,0 3,6.60+1 1.20, 3 4,C( ) =6.60+2 1.20, 4 5,tttt 映射與函數(shù)第24頁/共52頁25取整函數(shù) y=x其中x 表示不超過 x 的最大整數(shù). 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4

8、3 2 1 -1-3xyo階梯曲線例9映射與函數(shù)第25頁/共52頁26例10 .,0,1)(CQxQxxDy 狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)映射與函數(shù)第26頁/共52頁272.函數(shù)的幾種特性(1)有界性定義,)(,11成立成立有有若若KxfXxRKDXf 稱稱為為上上界界；上上有有上上界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)1,)(KXxf,)(,22成立成立有有若若KxfXxRKDXf 稱稱為為下下界界；上上有有下下界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)2,)(KXxf,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDXf .,)(否否則則就就稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf映射與函數(shù)第27頁/共52頁2

9、8說明 有界性是與自變量取值范圍有關(guān)的相對性概念命題1： 比如，y=1/x 在(1, +)有界，在(0,1)內(nèi)無界(無上界,但有下界). 函數(shù)(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界。 映射與函數(shù)第28頁/共52頁29(2)函數(shù)的單調(diào)性如如果果區(qū)區(qū)間間的的定定義義域域為為設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)(DIDxf 恒有恒有時時當當及及上任意兩點上任意兩點對于區(qū)間對于區(qū)間,2121xxxxI 上上是是在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf)()(xfy )(1xf)(2xfxyoI定義單調(diào)增加(或單調(diào)減少).)(xfy )(1xf)(2xfxyoI1x2x1x2x注意函數(shù)的單調(diào)性是一個與自變量取值

10、范圍有關(guān)的相對性概念(x1) (x2) )映射與函數(shù)第29頁/共52頁30(3)函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)有有對于對于關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱設(shè)設(shè),DxD yx)( xf )(xfy ox-x)(xf定義則稱 f (x) 為偶函數(shù)(或奇函數(shù)).奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy f (-x) = f (x) (或f (-x) = - f (x) )注意: 有非奇非偶的函數(shù)映射與函數(shù)第30頁/共52頁31補例3 判別的奇偶性。 +3= ln-3xfxx分析 - +3-3-=ln=ln=-,- -3+3xxfxf xxx補例4 試證：兩偶函數(shù)之和、之積均為偶函數(shù)。分析 設(shè)(x), g(x)為

11、兩偶函數(shù),即(-x)= (x),g(-x)= g(x). 記h(x)= (x)+g(x),則 h(-x)= (-x)+g(-x)= (x)+g(x) =h(x),故兩偶函數(shù)之和為偶函數(shù)。映射與函數(shù)第31頁/共52頁32(4)函數(shù)的周期性通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期;設(shè)函數(shù) f (x) 的定義域為D，若存在一個正數(shù) l ，定義)()(,),xflxfDlxDx 且且有（有（使得使得恒成立，則稱 f (x) 為周期函數(shù)，l 稱為f (x) 的周期xyoxf (x)x+lf (x+l)說明 并非每個周期函數(shù)都有最小正周期如狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)。 映射與函數(shù)第32頁/共52頁33

12、0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函數(shù)函數(shù)oxyDW)(1yfx 反函數(shù)反函數(shù)o.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)反函數(shù)定義 設(shè)函數(shù) f :Df(D)是單射，則稱其逆映射DDff )(:1為函數(shù) f 的反函數(shù)映射與函數(shù)第33頁/共52頁34說明反函數(shù)的習慣表示法 若直接函數(shù) y=f (x)，xD， ).(),(1Dfxxfy 則則反反函函數(shù)數(shù)記記為為直接函數(shù)與反函數(shù)的單調(diào)性 具有一致性直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形特點 y=x )(xfy xyo),(abQ),(baP)(1xfy 關(guān)于直線y=x對稱映射與函數(shù)第34頁/共52頁35()復(fù)合函數(shù)定義 設(shè)函數(shù) y = f (u)，,1Du 函數(shù) u = g(

13、x)，,Dx ,)(1DDg 且且則稱函數(shù)Dxxgfy ),(為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù) y = f (u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)說明(1)不是任意兩個函數(shù)都可復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的，即兩個函數(shù)的復(fù)合是有條件的；(2)函數(shù)復(fù)合可以推廣到多個函數(shù)問題：y=arcsinu 和u=2+x2和能否復(fù)合？ 映射與函數(shù)第35頁/共52頁36補例5 設(shè)f(x)的定義域是(0,1)，試求復(fù)合函數(shù)f(lnx)的定義域。 分析 y=(lnx)由y=(u)和u=lnx復(fù)合而成，0lnx1，解出1xe故f(lnx)的定義域為(1, e)f(u)與f(x)的定義域一樣的，即0u1，所以，補例6 .0,1)(CQxQxxD.)(,

14、 )21(),57(的性質(zhì)的性質(zhì)并討論并討論求求xDDDD 設(shè)映射與函數(shù)第36頁/共52頁37.函數(shù)的運算設(shè)函數(shù) f (x)，g(x)的定義域依次為D1,D2 ,且,21 DDD則可定義 f (x)和 g(x)的下列運算：:()( )( )( ),;:()( )( )( ),( ):( ),( )0.( )fgfg xf xg x xDf gf g xf x g x xDfff xxxDx g xggg x北=蔽鬃=孜驏 = 桫和積；商例11 設(shè)函數(shù) f (x)的定義域為 (-l , l)，證明必存在 (-l , l) 上的偶函數(shù) g(x) 及奇函數(shù) h(x)，使得 f (x)= g(x) +

15、 h(x).映射與函數(shù)第37頁/共52頁38.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù) 冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(11 冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).映射與函數(shù)第38頁/共52頁39 指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayx)1( a)1 , 0(映射與函數(shù)第39頁/共52頁40 對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxya)1( a)0 , 1(映射與函數(shù)第40頁/共52頁41 三角函數(shù)正弦函數(shù)xysin 映射與函數(shù)第41頁/共52頁42xycos 余弦函數(shù)映射與函數(shù)第42頁/共52頁43正切函數(shù)xytan 映射與函數(shù)第43頁/共52頁44xycot 余切函數(shù)映射與函數(shù)第44頁/共52頁45 反三角函數(shù)xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)映射與函數(shù)第45頁/共52頁46xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)映射與函數(shù)第46頁/共52頁47xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù)映射與函數(shù)第47頁/共52頁48xycot 反余切函數(shù)反余切函數(shù)arc映射與函數(shù)第48頁/共52頁49(2)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).補例7說明本課程內(nèi)所討論的函數(shù)大都是初等函數(shù),0, 1