有限單元法原理及應(yīng)用簡明教程(李兆軍)

1、1有限單元法原理及應(yīng)用有限單元法原理及應(yīng)用簡明教程簡明教程 主講：李兆軍主講：李兆軍 內(nèi)容結(jié)構(gòu)內(nèi)容結(jié)構(gòu)第一章第一章 概述概述第八章第八章 板殼單元板殼單元 第九章第九章 結(jié)構(gòu)動力分析的有限單元法結(jié)構(gòu)動力分析的有限單元法第六章第六章 空間問題的有限單元法空間問題的有限單元法第七章第七章 軸對稱旋轉(zhuǎn)單元軸對稱旋轉(zhuǎn)單元第十章第十章 結(jié)構(gòu)非線形分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線形分析的有限單元法簡介第五章第五章 等參元等參元第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析3第一章

2、第一章 概述概述1.1 有限單元法的概念有限單元法的概念返回全書目錄返回全書目錄1.2 有限單元法基本步驟有限單元法基本步驟1.3 工程實(shí)例工程實(shí)例4第一章第一章 概述概述1.1 有限單元法的概念有限單元法的概念基本思想基本思想:借助于數(shù)學(xué)和力學(xué)知識，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)而解決工程技術(shù)問題三大類型三大類型(按其推導(dǎo)方法分):(1) 直接剛度法直接剛度法(簡稱直接法簡稱直接法): 根據(jù)單元的物理意義，建立有關(guān)場變量表示的單元性質(zhì)方程。 (2) 變分法變分法 直接從求解泛函的極值問題入手，把泛函的極植問題規(guī)劃成線性代數(shù)方程組，然后求其近似解的一種計(jì)算方法。 (3) 加權(quán)余量法加權(quán)余量法 直接從控制方程中

3、得到有限單元方程，是一種近似解法。 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄51.2 有限單元法基本步驟有限單元法基本步驟(1) 待求解域離散化待求解域離散化(2) 選擇插值函數(shù)選擇插值函數(shù)(3) 形成單元性質(zhì)的矩陣方程形成單元性質(zhì)的矩陣方程(4) 形成整體系統(tǒng)的矩陣方程形成整體系統(tǒng)的矩陣方程(5) 約束處理，求解系統(tǒng)方程約束處理，求解系統(tǒng)方程(6) 其它參數(shù)計(jì)算其它參數(shù)計(jì)算第一章第一章 概述概述返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄6圖1-2 工程問題有限單元法分析流程 第一章第一章 概述概述71.3 工程實(shí)例工程實(shí)例 (a) 鏟運(yùn)機(jī)舉升工況測試 第一章第一章 概述概述(b) 鏟運(yùn)機(jī)工作裝置插入工況有限元分析圖1-3 W

4、JD-1.5型電動鏟運(yùn)機(jī)返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄8 第一章第一章 概述概述 (a) KOMATSU液壓挖掘機(jī) (b) 某液壓挖掘機(jī)動臂限元分析圖1-4 液壓挖掘機(jī) 9 圖1-5 駕駛室受側(cè)向力應(yīng)力云圖 圖1-6 接觸問題結(jié)構(gòu)件應(yīng)力云圖 第一章第一章 概述概述10 第一章第一章 概述概述 圖1-7 液壓管路速度場分布云圖 圖1-8 磨片熱應(yīng)力云圖 圖1-9 支架自由振動云圖 11第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析2.1 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性 2.2 結(jié)構(gòu)計(jì)算基本知識結(jié)構(gòu)計(jì)算基本知識2.3 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束2.4 自由度計(jì)

5、算公式自由度計(jì)算公式 2.5 結(jié)構(gòu)幾何不變結(jié)構(gòu)組成規(guī)律結(jié)構(gòu)幾何不變結(jié)構(gòu)組成規(guī)律 2.6 平面結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析示例平面結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析示例 2.7 空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 返回全書目錄返回全書目錄122.1 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性 結(jié)構(gòu)是用來承受和傳遞載荷的。結(jié)構(gòu)是用來承受和傳遞載荷的。如果不計(jì)材料的應(yīng)變，在其受到任意載荷作用時(shí)其形狀和位置沒有發(fā)生剛體位移時(shí)，稱之為幾何不變結(jié)構(gòu)或幾何穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，反之則稱為幾何可變結(jié)構(gòu)或幾何不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。幾何可變結(jié)構(gòu)不能承受和傳遞載荷。對結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何構(gòu)造分析也是能夠?qū)こ探Y(jié)構(gòu)作有限單元法分析的必要條件。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分

6、析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄13 (a) 結(jié)構(gòu)本身可變 (b) 缺少必要的約束條件 (c) 約束匯交于一點(diǎn) 圖2-1 幾何可變結(jié)構(gòu) 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析142.2 結(jié)構(gòu)計(jì)算基本知識結(jié)構(gòu)計(jì)算基本知識2.2.1 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖 實(shí)際結(jié)構(gòu)總是很復(fù)雜的，完全按照結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況進(jìn)行力學(xué)分析是不可能的，也是不必要的，因此在對實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)計(jì)算之前，必須將其作合理的簡化，使之成為既反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)與特點(diǎn)，又便于計(jì)算的幾何圖形。這種被抽象化了的簡單的理想圖形稱之為結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡圖，有時(shí)也稱為結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型。結(jié)構(gòu)計(jì)算所常用的結(jié)點(diǎn)和支座的簡化形式結(jié)構(gòu)計(jì)算所常

7、用的結(jié)點(diǎn)和支座的簡化形式: （1）結(jié)點(diǎn)： 鉸結(jié)點(diǎn)； 剛結(jié)點(diǎn)； 混合結(jié)點(diǎn)。 （2）支座： 活動鉸支座； 固定鉸支座 ； 固定支座 ； 定向支座 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄152.2.2 結(jié)構(gòu)的分類與基本特征結(jié)構(gòu)的分類與基本特征 按結(jié)構(gòu)在空間的位置分 結(jié)構(gòu)可分為平面結(jié)構(gòu)和空間結(jié)構(gòu)兩大類(2) 按結(jié)構(gòu)元件的幾何特征分 桿系結(jié)構(gòu)： 梁、拱、桁架、剛架、桁構(gòu)結(jié)構(gòu)等 。 板殼結(jié)構(gòu) 實(shí)體結(jié)構(gòu)實(shí)體結(jié)構(gòu)的長、寬、高三個(gè)尺寸都很 大，具有同一量級。 混合結(jié)構(gòu) 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析16(3) 按結(jié)構(gòu)自由度分 靜定結(jié)構(gòu)自由度為零的幾何不變結(jié)構(gòu)。其特

8、征: a. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯一的。 b. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力與材料的性質(zhì)和截面特征（幾何尺寸，形狀）無關(guān)。 c. 靜定結(jié)構(gòu)上無外載荷作用時(shí)，其內(nèi)力及支座反力全為零。 d. 若靜定結(jié)構(gòu)在載荷作用下， 結(jié)構(gòu)中的某一部分能不依靠于其它部分， 獨(dú)立地與載荷保持平衡時(shí)，則其它部分的內(nèi)力為零。 e. 當(dāng)將一平衡力系作用于靜定結(jié)構(gòu)的一個(gè)幾何不變部分時(shí)，結(jié)構(gòu)的其余部分都無內(nèi)力產(chǎn)生。 f. 當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)中的一個(gè)內(nèi)部幾何不變部分上的載荷作等效變換時(shí)，其余部分的內(nèi)力不變。 g. 當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)中的一個(gè)內(nèi)部兒何不變部分作構(gòu)造改變時(shí)，其余部分的內(nèi)力不變。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾

9、何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析17 超靜定結(jié)構(gòu)自由度大于零的幾何不變結(jié)構(gòu)。其特性： a. 超靜定結(jié)構(gòu)僅僅滿足靜力平衡條件的解有無窮多個(gè)，但同時(shí)滿足結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件的解僅有一個(gè)。 b. 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支反力不僅與載荷有關(guān)，而且與林料的力學(xué)性能和截面尺寸有關(guān)。 c. 超靜定結(jié)構(gòu)在非載荷因素作用下，如溫度變化、支座沉陷、制造誤差等而產(chǎn)生的位移會受到多余約束的限制，結(jié)構(gòu)內(nèi)必將產(chǎn)生內(nèi)力。 d. 超靜定結(jié)構(gòu)中的多余約束破壞后，結(jié)構(gòu)仍然保持幾何不變性，因而仍有一定的承載能力， 不致整個(gè)結(jié)構(gòu)遭受破壞。 e. 超靜定結(jié)構(gòu)由于具有多余的約束，因而比相應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)具有較大的剛度和穩(wěn)定性， 在載荷作用下，內(nèi)力分布也較

10、均勻，且內(nèi)力峰值也較靜定結(jié)構(gòu)為小。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析18 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析(1) 具有奇數(shù)跨的剛架 正對稱載荷作用 2.2.3 結(jié)構(gòu)對稱性的利用結(jié)構(gòu)對稱性的利用 對稱結(jié)構(gòu)在正對稱載荷下，對稱軸截面上只能產(chǎn)生正對稱的位移，反對稱的位移為零；對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷下，對稱軸截面上只有反對稱的位移，正對稱的位移為零。 (a) 對稱剛架 （b) 變形狀態(tài)分析 (c) 對稱性利用 圖2-22對稱性利用示意圖 19 對稱剛架承受反對稱載荷作用 (a) 對稱剛架 (b) 變形狀態(tài)分析 (c) 反對稱性利用 圖2-23 反對稱性利用示意圖 第二章第二章

11、 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析20 (a) 變形狀態(tài)分析 (b) 對稱性利用 圖2-24對稱性利用示意圖(2) 具有偶數(shù)跨的剛架 正對稱載荷作用 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析21 反對稱載荷作用 (b) 反對稱性狀態(tài)分析 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 (a) 變形狀態(tài)分析 (c) 反對稱性受力分析 (d) 反對稱性利用 圖2-25對稱性利用示意圖22 2.3 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束 (1) 自由度自由度指結(jié)構(gòu)在所在空間運(yùn)動時(shí)，可以獨(dú)立改變的幾何參數(shù)的數(shù)目，也就是確定該結(jié)構(gòu)位置時(shí)所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。(2) 約束約束

12、指減少結(jié)構(gòu)自由度的裝置，即限制結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)運(yùn)動的裝置。 a. 支座鏈桿的約束 b. 鉸的約束: 單鉸； 復(fù)鉸； 完全鉸與不完全鉸。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄23 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析(1)桁架自由度計(jì)算公式桁架自由度計(jì)算公式 一個(gè)平面體系的自由度計(jì)算結(jié)果，不外下述三種一個(gè)平面體系的自由度計(jì)算結(jié)果，不外下述三種可能：可能： a. W0 表明結(jié)構(gòu)缺少必要的約束， 可運(yùn)動， 故結(jié)構(gòu)必定是幾何可變體系。 b. W=0 表明結(jié)構(gòu)具有保證幾何不變所需的最少的約束數(shù)。 c. W0 表明結(jié)構(gòu)具有多余約束。 2.4 自由度計(jì)算公式自由度計(jì)算公式

13、zgjW 2zgjW 3平面桁架 空間桁架 桁架中的結(jié)點(diǎn)數(shù)為j，桿件數(shù)為g，支座鏈桿數(shù)為z，則桁架的自由度W 為(2) 平面混合結(jié)構(gòu)的自由度計(jì)算公式平面混合結(jié)構(gòu)的自由度計(jì)算公式返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄24 2.5 結(jié)構(gòu)幾何不變結(jié)構(gòu)組成規(guī)律結(jié)構(gòu)幾何不變結(jié)構(gòu)組成規(guī)律 結(jié)構(gòu)的自由度W0是組成幾何不變體系的必要條件，但不是充分條件。 (1) 二元體規(guī)則 由兩根不在同一條直線上的鏈桿聯(lián)結(jié)一個(gè)新結(jié)點(diǎn)所組成的結(jié)構(gòu)稱為二元體。二元體規(guī)則是指在一個(gè)幾何不變結(jié)構(gòu)上，由增加二元體而發(fā)展的結(jié)構(gòu)，是一個(gè)幾何不變結(jié)構(gòu)。鉸接三角形是最簡單的幾何不變結(jié)構(gòu)。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析圖2-31 鉸接三角形

14、 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄25 (a) 瞬變結(jié)構(gòu) (b) 分離體分析 (c) 平衡狀態(tài)分析 圖2-32 瞬變結(jié)構(gòu) 結(jié)構(gòu)的特征是：當(dāng)它受載荷作用時(shí)會產(chǎn)生微小的位移， 但位移一旦發(fā)生后， 即轉(zhuǎn)變成一幾何不變結(jié)構(gòu)，但結(jié)構(gòu)的內(nèi)力可能為無限大值或不定值，這樣的結(jié)構(gòu)稱為瞬變結(jié)構(gòu)。顯然，瞬變結(jié)構(gòu)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量避免。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析26 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 (a) 鉸與鏈桿連接兩剛片 (b) 三鏈桿連接兩剛片 圖2-33 兩剛片連接規(guī)則 (2) 兩剛片規(guī)則 兩剛片用三根既不完全平行也不交于同一點(diǎn)的鏈桿相聯(lián)，所得結(jié)構(gòu)是幾何不變結(jié)構(gòu)。 27 第二

15、章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 (a) 瞬變結(jié)構(gòu) (b) 常變結(jié)構(gòu) (c) 瞬變結(jié)構(gòu)圖2-34 兩剛片連接可變結(jié)構(gòu) 28(3) 三剛片規(guī)則 三個(gè)剛片用不在同一直線上的三個(gè)單鉸兩兩相聯(lián)，所得結(jié)構(gòu)是幾何不變結(jié)構(gòu)。 圖2-35 基本三角形結(jié)構(gòu) 圖2-36 三剛片規(guī)則示意圖 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析29 2.6 平面結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析示例平面結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析示例 (a) 結(jié)構(gòu)示例 (b) 錯(cuò)誤分析 (c) 分析圖2-37 兩剛片連接可變結(jié)構(gòu) 解：此結(jié)構(gòu)可采用平面桁架結(jié)構(gòu)自由度計(jì)算公式，其中 j=6， g=8， z= 4 048622zmjW 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分

16、析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄30 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 結(jié)構(gòu)組成分析如下，由于此結(jié)構(gòu)有四根支座鏈桿，故不能簡單的從結(jié)構(gòu)本身內(nèi)部組成分析入手，應(yīng)按三剛片規(guī)則考慮。首先選擇三個(gè)剛片。在此可將基礎(chǔ)視為剛片。但應(yīng)注意，不能如圖2-37(b)所示那樣將基本三角形ABD和BCE作為剛片和。這樣的話無法找到兩剛片兩兩相聯(lián)接的對應(yīng)關(guān)系。 按圖2-37(c)所示，可把基礎(chǔ)及在基礎(chǔ)上增加的由支座鏈桿、組成的二元體一起看成剛片，并選基本三角形BCE 為剛片， 桿件DF為剛片， 則三剛片間的相互聯(lián)接關(guān)系如下: 剛片和間用桿件DB、FE相聯(lián)，虛鉸位置在此二平行桿件延長線的無窮遠(yuǎn)處

17、； 312.7 空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 空間幾何不變結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律簡述如下： 規(guī)律規(guī)律1 空間中一點(diǎn)與一剛體用三根鏈桿相連且三鏈桿不在同一平面內(nèi)，則組成幾何不變的結(jié)構(gòu)、且無多余約束。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 剛片和間用桿件DA及支座鏈桿相聯(lián)，虛鉸位置在F點(diǎn)； 剛片和用桿件BA、支座鏈桿相聯(lián)， 虛鉸位置在C點(diǎn)。 三鉸C、F、 可看成位于同一條直線上，該結(jié)構(gòu)不符合三剛片規(guī)則，故此結(jié)構(gòu)為幾何瞬變結(jié)構(gòu)。返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄32 (a) 空間點(diǎn)與基礎(chǔ)連接 (b) 瞬變結(jié)構(gòu) (c) 鉸接四面體圖2-38 兩剛片連接可變結(jié)構(gòu) 圖2-39 簡單空間桁架 圖2-40

18、 空間網(wǎng)狀結(jié)構(gòu) 規(guī)律規(guī)律2 一個(gè)幾何不變結(jié)構(gòu)（或剛體）與基礎(chǔ)用六根即不平行也不相交于同一條直線的鏈桿相聯(lián)，所組成的結(jié)構(gòu)是幾何不變的結(jié)構(gòu)，且無多余約束。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析33 (a) 空間幾何不變結(jié)構(gòu) (b) 瞬變結(jié)構(gòu) (c) 可變結(jié)構(gòu) (d) 常變結(jié)構(gòu)圖2-41 空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 規(guī)律規(guī)律3 一個(gè)幾何不變結(jié)構(gòu)（ 或剛體 ）與另一個(gè)幾何不變結(jié)構(gòu)（或剛體）用六根即不平行也不相交于同一條直線的鏈桿相聯(lián)，所組成的結(jié)構(gòu)是幾何不變的結(jié)構(gòu)，且無多余約束。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析34 3.1 結(jié)構(gòu)離散與向量表示結(jié)構(gòu)離散與向量表示 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)

19、靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法返回全書目錄返回全書目錄3.2 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣位移函數(shù)及單元的剛度矩陣 3.3 坐標(biāo)變換及單元剛度矩陣坐標(biāo)變換及單元剛度矩陣 3.4 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 3.5 約束處理及求解約束處理及求解 3.6 計(jì)算示例計(jì)算示例 3.7 ANSYS桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例3.8ANSYS剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例 35 在機(jī)械動力學(xué)發(fā)展過程中先后產(chǎn)生了并存在著四種不同水平的分析方法，即：1、靜力分析（主要針對低速機(jī)械，忽略慣性力） ；2、動態(tài)靜力分析（主要針對中高速機(jī)械，考慮慣性 力） ；3、動力分析（主要針對機(jī)械系統(tǒng)，拋棄等速

20、假定） ；4、彈性動力分析方法（計(jì)入構(gòu)件彈性影響） 。 前三種分析方法中，構(gòu)件均被假定為剛性，第四種分析方法計(jì)入了構(gòu)件的彈性，以提高設(shè)計(jì)分析的精度。第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法返回全書目錄返回全書目錄363.1 結(jié)構(gòu)離散與向量表示結(jié)構(gòu)離散與向量表示 工程上許多由金屬構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，如塔式桁構(gòu)支承架、起重機(jī)起重臂架、鋼結(jié)構(gòu)橋梁、鋼結(jié)構(gòu)建筑等可以歸結(jié)為桿系結(jié)構(gòu)。桿系結(jié)構(gòu)按各桿軸線及外力作用線在空間的位置分為平面桿系和空間桿系結(jié)構(gòu)。 桿系結(jié)構(gòu)可以由桿單元、梁單元組成。 (a) Liebherr塔式起重機(jī) (b) Liebherr履帶式起重機(jī)(c) 鋼結(jié)構(gòu)橋

21、梁 (d) 埃菲爾鐵塔 圖3-1 桿系結(jié)構(gòu)第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄373.1.1 結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化 由于桿系結(jié)構(gòu)本身是由真實(shí)桿件聯(lián)接而成，故離散化比較簡單，一般將桿件或者桿件的一段( 一根桿又分為幾個(gè)單元 )作為一個(gè)單元，桿件與桿件相連接的交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。桿系結(jié)構(gòu)的離散化的要點(diǎn)可參考如下： a. 桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、自由端、集中載荷作用點(diǎn)、支承點(diǎn)以及沿桿長截面突變處等均可設(shè)置成結(jié)點(diǎn)。這些結(jié)點(diǎn)都是根據(jù)結(jié)構(gòu)本身特點(diǎn)來確定的。 b. 結(jié)構(gòu)中兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間的每一個(gè)等截面直桿可以設(shè)置為一個(gè)單元。變換為作用在結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)載荷。 第三

22、章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法38 c. 變截面桿件可分段處理成多個(gè)單元，取各段中點(diǎn)處的截面近似作為該單元的截面，各單元仍按等截面桿進(jìn)行計(jì)算。 d. 對曲桿組成的結(jié)構(gòu)，可用多段折線代替，每端折線為一個(gè)單元。如若提高計(jì)算精度，也可以在桿件中間增加結(jié)點(diǎn)。 e. 在有限元法計(jì)算中，載荷作用到結(jié)點(diǎn)上。當(dāng)結(jié)構(gòu)有非結(jié)點(diǎn)載荷作用時(shí)，應(yīng)該按照靜力等效的原則將其第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法(a) 結(jié)點(diǎn)載荷處理方式 (b) 等效結(jié)點(diǎn)載荷處理方式圖3-2桿系結(jié)構(gòu)離散化示意圖 393.1.2 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 圖3-3 坐標(biāo)系示意圖 為了建立結(jié)

23、構(gòu)的平衡條件，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析，尚需要建立一個(gè)對每個(gè)單元都適用的統(tǒng)一坐標(biāo)系，即結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系或稱之為整體坐標(biāo)系、總體坐標(biāo)系。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法403.1.3 向量表示向量表示 在有限單元法中力學(xué)向量的規(guī)定為：當(dāng)線位移及相應(yīng)力與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)；轉(zhuǎn)角位移和力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標(biāo)軸正向相一致時(shí)為正。對于任意方向的力學(xué)向量，應(yīng)分解為沿坐標(biāo)軸方向的分量。 剛架結(jié)構(gòu)示意圖 (b) 結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力分向量 圖3-4 平面剛架分析示意圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法41 Tiiiivu

24、 Tjjjjvu結(jié)點(diǎn)位移列向量為 單元e結(jié)點(diǎn)位移列向量為 Tjjjiiijieuu 結(jié)點(diǎn)力向量為 TeiiieiMVUF TejjjejMVUF 單元e結(jié)點(diǎn)力列向量為 TejjjiiiejeieMVUMVUFFF第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法423.2 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣位移函數(shù)及單元的剛度矩陣 3.2.1 軸向拉壓桿單元的位移的函數(shù)軸向拉壓桿單元的位移的函數(shù) 有限單元法分析中，雖然對不同結(jié)構(gòu)可能會采取不同的單元類型，采用的單元的位移模式不同，但是構(gòu)建的位移函數(shù)的數(shù)學(xué)模型的性能、能否真實(shí)反映真實(shí)結(jié)構(gòu)的位移分布規(guī)律等，直接影響計(jì)算結(jié)果的真實(shí)性、計(jì)算精

25、度及解的收斂性。 為了保證解的收斂性，選用的位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足下列要求: a. 單元位移函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度數(shù)。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。至于高次項(xiàng)要選取多少項(xiàng)，則應(yīng)視單元的類型而定。第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄43iuju 由單元結(jié)點(diǎn)位移，確定待定系數(shù)項(xiàng) 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 所以 用結(jié)點(diǎn)位移表示 其中 、 分別表示當(dāng) ， 時(shí)； ， 時(shí)的單元內(nèi)的軸向位移狀態(tài)，故稱為軸向位移形函數(shù)。0 xlx iuu juu iu1luuij2jjuiiuuNNxu)(lxNiu1lxNjuiuNjuN1iu0ju0iu1ju第

26、三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 b. 單元的剛體位移狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)當(dāng)全部包含在位移函數(shù)中。 c. 單元的位移函數(shù)應(yīng)保證在單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰單元之間的位移協(xié)調(diào)性。 44 3.2.2 梁單元平面彎曲的位移函數(shù)梁單元平面彎曲的位移函數(shù) 梁單元平面彎曲僅考慮結(jié)點(diǎn)的四個(gè)位移分量 ， ， ， ，由材料力學(xué)知,各截面的轉(zhuǎn)角: 故梁單元平面彎曲的位移表達(dá)式可分為僅包含四個(gè)待定系數(shù) ， ， ， 的多項(xiàng)式 單元結(jié)點(diǎn)位移條件 當(dāng) 時(shí) ， 當(dāng) 時(shí) ，iijjxv1234342321)(xxxxv0 xivv ixvlx jvv jxvjijijijiiilvvllvvlv23

27、4232112213第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法4532233223223322112312231xlxlNxlxlNxlxlxNxlxlNjjviivjjjjviiiivNvNNvNxv)( ejjiijuiuNNNNNNvu000000 eNf稱為形函數(shù)矩陣。 N第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法463.2.3 單元的應(yīng)力應(yīng)變單元的應(yīng)力應(yīng)變 在彈性范圍內(nèi)，并且不考慮剪力的影響時(shí)，平面剛架單元內(nèi)任一點(diǎn)的軸向線應(yīng)變由兩部分組成，即軸向應(yīng)變與彎曲應(yīng)變之和，其軸向應(yīng)變與平面桁架軸向應(yīng)變相同。 軸向應(yīng)變?yōu)?彎曲應(yīng)變?yōu)?y為

28、梁單元任意截面上任意點(diǎn)至中性軸(x軸)的距離。 得出平面剛架單元應(yīng)變 xulx22xvybx圖3-5 彎曲應(yīng)變計(jì)算示意圖 22xvyxubxlxx exB則 xllyxllylxllyxllylB232232621261641261平面剛架梁單元的應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣。 B exxBEE第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法473.2.4 平面剛架梁單元的剛度矩陣平面剛架梁單元的剛度矩陣 梁單元的i，j結(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移為 T*jjjiiieuu 單元內(nèi)相應(yīng)的虛應(yīng)變應(yīng)為 exB*由虛功原理有 dxdydzFxvxeeT*T* evedxdydzBEBTT* 由于結(jié)點(diǎn)虛位移

29、的任意性，故上式可寫成 e TeeeevFBE B dxdydzk 上式稱為局部坐標(biāo)下的平面剛架單元的剛度方程，簡稱為單剛。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法48 dxdydzBEBkveT 橫截面積A 橫截面對形心軸z的靜矩S 橫截面對主慣性軸z的慣性矩I 得到四個(gè)3 3子塊所組成的局部坐標(biāo)系下的平面剛架梁單元的單元剛度矩陣。 AdydzA0AydydzSAdydzyI2 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkkkkkejjejieijeiie46026061206120

30、0000260460612061200000222323222323第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法49 平面桁架的單元剛度矩陣為 lEAlEAlEAlEAkkkkkejjejieijeiie 空間桁架單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有3個(gè)位移分量，其單元結(jié)點(diǎn)位移列向量 Tjjjiiijiewuwu 空間桁架局部坐標(biāo)下的單元剛度矩陣是66階 00000000000000000000000000000000lEAlEAlEAlEAkkkkkejjejieijeiie第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法50 空間剛架單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有6個(gè)位移分量，其

31、單元結(jié)點(diǎn)位移列向量 Tjzjyjxjjjiziyixiiijiewvuwvu 空間剛架局部坐標(biāo)下的單元剛度矩陣是1212階。 (a) 桿單元i端產(chǎn)生單位位移 (b) 桿單元j端產(chǎn)生單位位移圖3-6 平面桁架單元剛度系數(shù)的物理意義 (a) 梁單元i端產(chǎn)生單位位移 (b) 梁單元j端產(chǎn)生單位位移 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法51(c) 梁單元i端產(chǎn)生單位角位移 (d) 梁單元j端產(chǎn)生單位角位移圖3-7 平面剛架單元剛度系數(shù)的物理意義 3.2.5 單元的剛度矩陣的性質(zhì)單元的剛度矩陣的性質(zhì) a. 單元剛度矩陣僅與單元的幾何特征和材料性質(zhì)有關(guān)。僅與單元的橫截面積

32、A、慣性矩I、單元長度l、單元的彈性模量E有關(guān)。 b. 單元剛度矩陣是一個(gè)對稱陣。在單元剛度矩陣對角線兩側(cè)對稱位置上的兩個(gè)元素?cái)?shù)值相等，即，根據(jù)是反力互等定理。 c. 單元剛度矩陣是一個(gè)奇異陣。 d. 單元剛度矩陣可以分塊矩陣的形式表示。具有確定的物理意義。第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法523.3 坐標(biāo)變換及單元剛度矩陣坐標(biāo)變換及單元剛度矩陣 3.3.1 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 在整體坐標(biāo)系中單元結(jié)點(diǎn)力向量和結(jié)點(diǎn)位移列向量 可分別表示成 Tjjjiiiejeievuvu TjjjiiijieMYXMYXFFF (a) 向量轉(zhuǎn)換分析 (b) 向量轉(zhuǎn)換圖3-8 向

33、量轉(zhuǎn)換示意圖 sincosiiivuucossiniiivuvii第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄53iiiiiivuvu1000cossin0sincos對于梁單元如圖3-8(b)所示，則有 jjjiiijjjiiivuvuvuvu1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos可簡寫為 eeT第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法54 同理 eeFTF式中 平面剛架梁單元的從局部坐標(biāo)系向整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。 T 1000000cossin0

34、000sincos0000001000000cossin0000sincosT3.3.2 整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣 eeeeeeekTkTTkTFT1 式中 整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣。 ek TTkTkee 和 一樣， 為對稱陣、奇異陣。 ek ek第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法553.4 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 3.4.1 整體剛度矩陣的建立整體剛度矩陣的建立 整體剛度矩陣也稱之為結(jié)構(gòu)剛度矩陣或總體剛度 矩陣，簡稱總剛。 整體剛度矩陣的求解是建立在結(jié)構(gòu) 平衡條件的基礎(chǔ)之上， 因此研究對象以整體坐標(biāo)系為 依據(jù)。 圖3-9 載

35、荷向量示意圖 如右圖所示剛架結(jié)構(gòu)，其結(jié)點(diǎn)載荷列向量分別為 T111. 1MPPPyx T2212. 2MPPPyx T3331. 3MPPPyx T444. 4MPPPyx第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄56結(jié)構(gòu)載荷列向量 T4321PPPPP T444333222111MPPMPPMpPMPPPyxyxyxyx結(jié)點(diǎn)位移列向量 T4321 T444333222111vuvuvuvu對于結(jié)點(diǎn)對于結(jié)點(diǎn)1對于結(jié)點(diǎn)對于結(jié)點(diǎn)2對于結(jié)點(diǎn)對于結(jié)點(diǎn)3對于結(jié)點(diǎn)對于結(jié)點(diǎn)4111111111MPPMYXyx 111PF222222222121212MPP

36、MYXMYXyx 22212PFF333333333232323MPPMYXMYXyx 33323PFF444343434MPPMYXyx 434PF建立結(jié)點(diǎn)平衡條件方程式如右表。第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法57用分塊矩陣的形式，建立桿端內(nèi)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。用分塊矩陣的形式，建立桿端內(nèi)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。對于單元對于單元1有有 簡寫為簡寫為 其中單元其中單元1的剛度的剛度矩陣矩陣 關(guān)系式展關(guān)系式展開為開為 211221211121111211kkkkFF 111kF 1221211121111kkkkk21221121122112111111kk

37、FkkF第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法58對于單元對于單元2有有 簡寫為簡寫為 其中單元其中單元2的剛度的剛度矩陣矩陣 關(guān)系式展關(guān)系式展開為開為 322332322232222322kkkkFF 222kF 2332322232222kkkkk32332232232223222222kkFkkF第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法59對于單元對于單元3有有 簡寫為簡寫為 其中單元其中單元3的剛度的剛度矩陣矩陣 關(guān)系式展關(guān)系式展開為開為 433443433343333433kkkkFF 333kF 344343334333

38、3kkkkk43443343344334333333kkFkkF第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法60 單元剛度矩陣由22的子矩陣組成， 每個(gè)子矩陣是33的方陣。 的上角標(biāo)表示單元編號，下角標(biāo)表示單元j端單位位移所引起的i端相應(yīng)力。 將桿端內(nèi)力與結(jié)點(diǎn)位移關(guān)系式代入結(jié)點(diǎn)的平衡條件方程式中，經(jīng)整理得： eijk43214321344343334333233232223222122121112111000000PPPPkkkkkkkkkkkk簡寫為 PK稱之為結(jié)構(gòu)原始平衡方程。其中 34434333433323323222322212212111211100000

39、0kkkkkkkkkkkkK 為整體剛度矩陣。 K第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法613.4.2 整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣的集成 整體剛度矩陣是由在整體坐標(biāo)系下，矩陣按照結(jié)點(diǎn)編號的順序組成的行和列的原則，將全部單元剛度矩陣擴(kuò)展成nn方陣后對號入座疊加得到。 對于單元1 0000000000001221211121111kkkkK對于單元2 0000000000002332322232222kkkkK對于單元3 34434333433330000000000000kkkkK 單元剛度矩陣集成得出整體剛度矩陣 3443433343332332322232

40、2212212111211132100000043214321kkkkkkkkkkkkKKKK結(jié)點(diǎn)編號第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法623.4.3 整體剛度矩陣的性質(zhì)整體剛度矩陣的性質(zhì) 整體剛度矩陣 中位于主對角線上的子塊 ，稱為主子塊，其余 為副子塊。 a. 中主子塊 由結(jié)點(diǎn)i的各相關(guān)單元的主子塊擴(kuò)展之后疊加求得，即 b. 當(dāng)結(jié)點(diǎn)i、 j為單元e的相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)， 中副子塊 為該單元e相應(yīng)的副子塊，即 。 c. 當(dāng)結(jié)點(diǎn)i、 j為非相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)， 中副子塊 為零子塊，即 。 d. 僅與各單元的幾何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有關(guān)。 e. 為對稱方陣，

41、 f. 為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因?yàn)榻⒄w剛度矩陣時(shí)沒有考慮結(jié)構(gòu)的邊界約束條件。 KiiKijK KeiiiikK KijKeijijkK KijK 0ijK K KjiijKK K第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法63 g. 為稀疏矩陣，整體剛度矩陣中的非零元素分布區(qū)域的寬度與結(jié)點(diǎn)編號有關(guān)，非零元素分布在以對角線為中心的帶狀區(qū)域內(nèi)，稱為帶狀分布規(guī)律，見圖3-10(a)。在包括對角線元素在內(nèi)的區(qū)域中，每行所具有的元素個(gè)數(shù)叫做把半帶寬，以d表示。最大半帶寬等于相鄰結(jié)點(diǎn)號的最大差值加 1 與結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)的乘積，結(jié)點(diǎn)號差越大半帶寬也就越大。計(jì)算機(jī)以半帶寬方式

42、存儲，見圖3-10(b)。半帶寬越窄，計(jì)算機(jī)的存儲量就越少，而且可以大幅度減少求解方程所需的運(yùn)算次數(shù)。其效果對大型結(jié)構(gòu)顯得尤為突出。 圖3-10 整體剛度矩陣存儲方法 h. 整體剛度矩陣稀疏陣。 故整體剛度矩陣不能求逆，必須作約束處理方能正確地將結(jié)點(diǎn)位移求出，進(jìn)而求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場。 (a) 帶狀分布規(guī)律 (b) 帶狀存儲 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法643.5 約束處理及求解約束處理及求解 3.5.1 約束處理的必要性約束處理的必要性 建立結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 時(shí)，并未考慮支承條件（約束），也就是說，將原始結(jié)構(gòu)處理成一個(gè)自由懸空的、存在剛體位移的幾何可變

43、結(jié)構(gòu)。整體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無法求解?？梢詤⒄盏?2 章的原則，結(jié)合實(shí)際工程結(jié)構(gòu)引入支承條件，即對結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 做約束處理。 約束處理后的方程稱為基本平衡方程。 統(tǒng)一記為 PK PK PK3.5.2 約束處理方法約束處理方法 約束處理常用方法有填0置1法和乘大數(shù)法。采用這兩種方法不會破壞整體剛度矩陣的對稱性、稀疏性及帶狀分布等特性。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄65 下面以圖3-11所示剛架結(jié)構(gòu)為例，解釋如何進(jìn)行約束處理。對于下圖所示剛架結(jié)構(gòu) 設(shè)結(jié)點(diǎn)位移列向量為設(shè)結(jié)點(diǎn)載荷列向量為 T9321T321uuuu T93

44、21T321ppppPPPP固定支座 (b) 支座強(qiáng)迫位移已知 圖3-11 結(jié)構(gòu)約束第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法66其原始平衡方程式為 32132123323222322212212111211100PPPkkkkkkkk 按照每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移分量將上式展開為987654321987654321999897969594939291898887868584838281797877767574737271696867666564636261595857565554535251494847464544434241393837363534333231282726

45、262524232221191817161514131211pppppppppuuuuuuuuukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法67 對于如圖3-11(a)所示，結(jié)構(gòu)約束（支座）位移全部為零，此時(shí)做約束處理時(shí)，采用填0置1法比較適宜。 對于如圖3-11(b)所示，某約束（支座）位移為給定的強(qiáng)迫值，此時(shí)做約束處理時(shí)，采用乘大數(shù)法比較適宜。 (1) 填0置1法 如右圖所示結(jié)點(diǎn)1、3處為固定支座，可知

46、將整體剛度矩陣中與之相對應(yīng)的主對角元素全部置換成1， 相應(yīng)行和列上的其它元素均改為0。 同時(shí)，所在同一行上的載荷分量替換成0，則有0987321uuuuuu第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法6800000001000000001000000000100000000000000000000000000000010000000001000000000165498765432192666564565554464544pppuuuuuuuuukkkkkkkkkk654654666564565554464544pppuuukkkkkkkkk則第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力

47、分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 也可簡便地采用劃行劃列的辦法。在整體剛度矩陣中將與約束位移為 0 的行和列劃掉，包括相關(guān)的所在行的位移和載荷向量。69 處理后得基本平衡方程 (2) 乘大數(shù)法 右圖所示剛架，結(jié)點(diǎn)1為固定支座，結(jié)點(diǎn)3處在方向的約束為已知強(qiáng)迫位移。即 將整體剛度矩陣中與之相對應(yīng)的主對角元素全部乘以一個(gè)大數(shù)N，一般取 。同時(shí)，將相應(yīng)同一行上的載荷分量替換成 N 乘以其主對角剛度系數(shù)和給定的強(qiáng)迫位移（包括零位移）。 22222122Pkk097321uuuuu088uu 15101010N第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法7000000

48、888654987654321999897969594939291898887868584838281797877767574737271696867666564636261595857565554535251494847464544434241393837363534333231282726262524232221191817161514131211kNpppuuuuuuuuukNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkN0921111jjukukN得到由于N 足夠

49、大，可以近似認(rèn)為 0921jjuk,則得出 01u同時(shí)得到09732uuuu088uu 求出位移 之后，即可以求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場 。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法71第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 用有限單元法計(jì)算空間剛架結(jié)構(gòu)，在原理上及推導(dǎo)過程與計(jì)算平面剛架結(jié)構(gòu)相同。在此不再重復(fù)。但應(yīng)注意到，由于空間的每一結(jié)點(diǎn)一般具有六個(gè)自由度，故計(jì)算較之復(fù)雜些。3.6 計(jì)算示例計(jì)算示例 設(shè)兩桿的桿長和截面尺寸相同， 27kN/m101 . 2 E桿件長 m。 10l返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄圖3-12 剛架受力簡圖72結(jié)構(gòu)離散化

50、后 將結(jié)構(gòu)劃分為4個(gè)結(jié)點(diǎn)、3個(gè)單元2m5 . 0A43m2411215 . 0I截面積 ，慣性矩 (2) 求結(jié)點(diǎn)載荷 首先須求局部坐標(biāo)系中固定端內(nèi)力 eF0 (a) 單元1作為兩端固定梁反力示意圖 (b) 單元2作為兩端固定梁反力示意圖圖3-13內(nèi)力示意圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法73單元1 11010222110129.6 1048kN229.6 1080KN m1212oqlVVqlMM單元2 11020311030116080KN22160 10200KN m88PVVPlMM在局部坐標(biāo)系下單元載荷列向量在局部坐標(biāo)系下單元載荷列向量 單元1

51、804808048010F單元2 20080020080020F單元3 00000030F第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法74 為了求出在整體坐標(biāo)下的載荷列向量，先求單元得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣 T單元1、2 00 I1000000100000010000001000000100000011000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos1T單元3 090 1000000010000100000001000000010000101000000cossin0000sincos0000001000000cossin0

52、000sincos3T第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法75 求各單元在整體坐標(biāo)下的求各單元在整體坐標(biāo)下的等效結(jié)點(diǎn)載荷等效結(jié)點(diǎn)載荷 eP0 1020110101108048080480PPFFTPT 203022020220200800200800PPFFTPT第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法76 30204303T30000000000000100000001000010000000100000001000010PPFTPT 求剛架的等效結(jié)點(diǎn)載荷 0P 3020100PPPP 000200800120128080480

53、00000000000000020080020080000000000080480804800P第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法77因?yàn)闊o結(jié)點(diǎn)載荷作用，總結(jié)點(diǎn)載荷即為等效結(jié)點(diǎn)載荷。 T0000200800120128080480 PP(3) 求單元剛度矩陣由于單元1、2、3的尺寸相同，材料彈性模量相同，故 ek 321kkk梁單元的局部坐標(biāo)下的剛度矩陣表達(dá)式梁單元的局部坐標(biāo)下的剛度矩陣表達(dá)式 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAke460260612061200000260

54、460612061200000222323222323第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法78 2321103500525017505250525105052510500010500001050017505250350052505251050525105000105000010500kkk則（4）求整體坐標(biāo)系中的 ek單元1 111111T122211211kkkkkIkIk單元2 222222233322322kkkkkkk單元3 33T33TkTk第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法79 33343323222444103

55、500052517500525010500001050005250105525010517500525350005250105000010500052501055250105kkkkk（5）求結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣 K利用剛度集成法利用剛度集成法 344342223242321111000000233223222222211211kkkkkkkkkkkkK（6）建立原始平衡方程式43214321344342223242321111000000233223222222211211PPPPkkkkkkkkkkkk第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法80（7）引入約束條件

56、解方程組 由于1、3、4為固定端， 修改整體剛度矩陣中的13，612行與列， 以及載荷列向量中的相應(yīng)的行，既約束處理。 0444333111vuvuvu建立基本平衡方程建立基本平衡方程 22222222Pkkk即622210428.1145145.1198465. 2vu得到 （8）求各桿的桿端力 eF 單元3結(jié)點(diǎn)位移列向量 3336666010000001000000000100000100000102.8465 10119.5145000100119.5145 102.8465000001114.428 10114.428T第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單

57、元法81單元1桿端內(nèi)力計(jì)算 10111FkF7753.1137526.529888. 22496.662474.439888. 2單元2桿端內(nèi)力計(jì)算 20222FkF2994.2262624.879888. 26757.1537376.729888. 2單元3桿端力計(jì)算 30333FkF9004.399776. 54902.1258755.199776. 54902.125第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法82（9）作內(nèi)力圖 （a） 剛架軸力圖（b） 剛架剪力圖（c） 剛架軸彎矩圖 圖3-14 剛架內(nèi)力圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜

58、力分析的有限單元法833.7 ANSYS桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例101L=1m; 910L=1m; 材料為Q235;（1）選擇單元類型選擇單元類型 運(yùn)行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete 在結(jié)點(diǎn)8上施加豎直向下的集中載荷F60000N， 約束為結(jié)點(diǎn)1處約束X,Y方向自由度，結(jié)點(diǎn)5處約束Y方向自由度。 圖3-15 桁架結(jié)構(gòu)示意圖 圖3-16 桁架各單元橫截面圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄圖3-17 單元類型對話框 84圖3-18 單元類型庫對話框 （2）設(shè)置材料屬性設(shè)置材料屬性

59、 運(yùn)行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models 圖3-19選擇材料屬性對話框 圖3-20設(shè)置材料1屬性對話（3）設(shè)置單元截面形式設(shè)置單元截面形式 選擇菜單PreprocessorSectionsBeamCommon Sections 圖3-21梁截面設(shè)置對話框第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法85 （4）定義實(shí)常數(shù)定義實(shí)常數(shù)運(yùn)行Real ConstantsAdd/Edit/Delete 圖3-22 設(shè)置LINK1單元的實(shí)常數(shù) （5）建立模型建立模型 首先生成結(jié)點(diǎn)，運(yùn)行主菜單PreprocessorModeling C

60、reate Nodes In Active CS; 再生成單元，運(yùn)行主菜單 PreprocessorModelingCreateElementsAuto NumberedThru Nodes穿越結(jié)點(diǎn)命令。 圖3-23 創(chuàng)建結(jié)點(diǎn)對話框 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法86圖3-24通過結(jié)點(diǎn)建立單元 圖3-25 桁架的有限元模型 （6）施加約束施加約束 運(yùn)行主菜單SolutionDefine Loads ApplyStructuralDisplacementOn Nodes 圖3-26 結(jié)點(diǎn)施加約束對話框 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力