廣義相對(duì)論02相對(duì)論課件

1、百度文庫(kù)§1.3矢量的平移和仿射聯(lián)絡(luò)1.矢量的平移/設(shè)P點(diǎn)有協(xié)變矢量T(P),它平移至Q點(diǎn)后相應(yīng)的矢量為T(mén)(PQ)o作為線性理論，平移引起的改變T(P)應(yīng)正比于T(P),且正比于位移量dx，則/T(P)T(PQ)T(P)(P)Tdx.這里的比例系數(shù)(P)叫做P點(diǎn)的仿射聯(lián)絡(luò)。由于T(PQ)在Q點(diǎn)仍具有矢量性質(zhì)，應(yīng)有T(PQ)x()qT(PQ)x在P點(diǎn)作泰勒展開(kāi)(二.要統(tǒng)一用QP點(diǎn)的量來(lái)表述)：2.仿射聯(lián)絡(luò)(PQ)T(Pdxp2xxQ)T(P)(affineconnection)2xxdxxxxpdxT(PQ)p(P)T(P)dx定義比例系數(shù)為仿射聯(lián)絡(luò)，其坐標(biāo)變換公式為:2xxxxxxx

2、xxxxT(pQ)T(P)(p)T(p)dxT(pQ)T(p)(p)T(p)dx百度文庫(kù)2xxx又T(pQ)dxT(pQ)xxxxxxdx(P)TdxdxTxTdxTdxdxdxTdxTdxTdxTdxdxdxTdxxxxxxxx2xxxxx故xxxxxx顯然，只要仿射聯(lián)絡(luò)滿足此變換公式，則矢M的平移便可保持其矢M性不變。不同點(diǎn)的張量便建立了一種聯(lián)系一一/仿射聯(lián)絡(luò)同樣可得逆變矢量的平移公式百度文庫(kù)T(P)T(PQ)T(P)(P)T(P)dxT(PQ)T(P)(P)T(P)dx3.仿射聯(lián)絡(luò)的性質(zhì)/III(i)T(1,2)階張量,i(ii)/()1()對(duì)稱聯(lián)絡(luò)(iii)2()反(對(duì))稱聯(lián)絡(luò)一一撓率

3、張量(iv)()§1.4張量的協(xié)變微商(普通)微商(導(dǎo)數(shù))定義：不rp不同點(diǎn)的函數(shù)差ffxXimo")"與不同點(diǎn)的坐標(biāo)施x差之比的極限對(duì)張量場(chǎng)，不同點(diǎn)的張量差必須在引入聯(lián)絡(luò)后才能保持其張量性質(zhì)不變。(i)標(biāo)量場(chǎng)T/x坐標(biāo)變換后，有xTx(TTxT；,xxx這表明T是協(xié)變矢量。即百度文庫(kù)T.T，,(ii)矢量場(chǎng)/'、設(shè)在空間P、Q兩點(diǎn)有矢量T(P),T(Q)則對(duì)其協(xié)變微商為:limT(Q)T(PQ)T；QPx又注意到T(PQ)T(P)(P)T(P)dxT.JlimT(Q)T(P)(P)T(P)xQPxT(P)T(Q)T(P)limQPxTT,即T.TT，對(duì)逆

4、變矢量T有T；TT'tTt標(biāo)量(TT)TTTTTTTT,TT又左TT、TT，右TTTTTT.，/百度文庫(kù)TTTTTTTTTT;,T,TTTTTTT,注意到T的任意性，故有T.TT;,X"""'解：已知，一階張量的協(xié)變微分公式，取一縮并(TT).TTTT;左(TT),TT右T；TT(T,T)TTTTTT);,TTTTTTTTTTTTT,TTTTTT,TTTTTT,注意到T的任意性，故有TTTT同理有TTTT還可以證明:A；A,a3）當(dāng)采用對(duì)稱聯(lián)絡(luò)時(shí)，有百度文庫(kù)§1.5測(cè)地線方程定義:平直空間的直線，兩點(diǎn)間的最短連線測(cè)地線(例如球面上的大彎曲

5、空間的直線：兩點(diǎn)間的最短連線圓線(經(jīng)緯線)測(cè)地線方程平直空間的直線方程為d2x對(duì)n維空間的曲線由n個(gè)參量式描述:xx()1,2,n則曲線上任一點(diǎn)的切矢定義為dx令P,Q為曲線x上的兩相鄰點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為x,xdx則P點(diǎn)的切矢為A(P),Q點(diǎn)的切矢為A(Q)/若P點(diǎn)的切矢移至Q點(diǎn)后與原Q點(diǎn)的切矢平行，則該曲線就叫做測(cè)地線，即百度文庫(kù)A(PQ)|A(Q)(Q)(1f()d)A(P(PQ)AAdxdxd(Q)A(P)dA(P)A(Q)dxdd2x丁dxdd2x(1f()ddx)(dd2xd2f()dxd故有測(cè)地線方程:d2x丁dxdxf(Q)dxdx,ddxdxdxdxTd)測(cè)地線方程P19)為了簡(jiǎn)

6、化此方程，可作一變換(見(jiàn):(),使得滿足關(guān)系1f()rdd則測(cè)地線方程可簡(jiǎn)化為百度文庫(kù)d2xdxdx八0dd仿射參量/§1,6曲率張量、刻劃空間彎曲程度的幾何量之一：曲率張量設(shè)一逆變矢量(一階逆變張量)T,對(duì)其作兩次協(xié)變微分：T,T.;普通微分0考察其差T;T;?協(xié)變微分？T；(T)；(T),TT；(TT,即T；T;,而TT;，.TT(;T),(TTTT，TTT，TTT，)T(T)T;TT;TTT;TT;)T()T將上式右方第二括號(hào)內(nèi)的指標(biāo)，則有/T;(，,)T()T()T;曲率張量百度文庫(kù)則有T；T.RT（）T.對(duì)對(duì)稱聯(lián)絡(luò)（無(wú)撓聯(lián)絡(luò)）：/故有（在無(wú)撓空間）TTRT0/.可見(jiàn)，在彎曲

7、空間，張M的協(xié)變微分的順序是不能任意交換的（即沿不同方向的微分順序?qū)?dǎo)致不同的結(jié)果）。仿此可得TTRT（）T.對(duì)無(wú)撓TTRT.性質(zhì)：、空間平直的充要條件是曲率張量及撓率張量的所有分量為零。/百度文庫(kù)第二章黎曼幾何在仿射空間中引入度規(guī)場(chǎng)和不變距離，就構(gòu)成了黎曼空間§2.1黎曼空間和度規(guī)張量/1.黎曼空間/設(shè)空間中兩點(diǎn)的距離為dsds2gdxdxg度規(guī)張量一一反映空間的性質(zhì)廣義相對(duì)論中的任務(wù)之一就是要找由不同空間的g歐氏空間：(取直角坐標(biāo))一一黎曼空間特例ds2(dx1)2(dx2)2(dx3)2(x1x,x2y,x3z)dx2dy2dz2(gdxdx)100g0100011 23若取球

8、坐標(biāo)，xr,x,x/2 2222-22dsdrrdrsind10百度文庫(kù)閔氏空間：貝Uds202r02rsin（黎曼空間特例）112ct,XX,Xy,x2.度規(guī)張Mdt2dx2dy2dz21000010000100001g反映空間的性質(zhì)。1,0,則空間是平坦的，否則是非平坦的,（以上的歐氏空間、閔氏空間均為平坦的）一般黎曼空間是非平坦的。§2.2張量指標(biāo)的升降度規(guī)張量不僅可以反映空間的性質(zhì)，而且可以用來(lái)升降張量的指標(biāo)（即將逆變量協(xié)變量）：11百度文庫(kù)TgTtgtTgT一個(gè)矢量的長(zhǎng)度可寫(xiě)為T(mén)2gTTTTTT§ 2.3 里斯朵夫(Christoffel)聯(lián)絡(luò)定義：能保持平移矢量

9、長(zhǎng)度不變的對(duì)稱聯(lián)絡(luò)一一克氏聯(lián)絡(luò)表達(dá)式：1 ,、2g(g,g,g,)且有g(shù)；o一即黎曼空間度規(guī)張M的協(xié)變微分為零。局域慣性系廣義相對(duì)論中所討論的空間通常都是無(wú)撓的黎曼空間(即聯(lián)絡(luò)為對(duì)稱的)定義：在空間任一點(diǎn)P的鄰域內(nèi)，若其聯(lián)絡(luò)0則該領(lǐng)域叫做一個(gè)局域慣性系。g；g,ggo若0則有/g,o一一g一常數(shù)一一平坦空間可以定義慣性系！12百度文庫(kù)定理：對(duì)無(wú)撓的黎曼空間,若在坐標(biāo)X下P點(diǎn)的聯(lián)絡(luò)為(p),則總可找到一坐標(biāo)變換X(p)0§2.4黎曼空間中的測(cè)地線曲線的固有長(zhǎng)度s：dsds一為不變距離測(cè)地線由測(cè)地線方程d2xd2dxdxf()dd()dxd將參量入用固有長(zhǎng)度參量代替，則s的切矢為uddT

10、gu于是測(cè)地線方程寫(xiě)為d2xds2ddf(s)ddsdsdsdu左二二ds右=f(s)u13百度文庫(kù)有f(s)(u)1(整dsdudsdudxdxdsf(s)u(uu,uu)uu.u、注意到,guu1(guu).0;gu;uguu;0uu；uu；0;2uu;uu;，f(s)=0s為仿射參量故測(cè)地線方程為duds黎曼空間的測(cè)地線方程%§2.5黎曼空間的曲率張量/性質(zhì)由于在黎曼空間聯(lián)絡(luò)是對(duì)稱的(克氏聯(lián)絡(luò))故有性質(zhì):(i)RR/RRR014百度文庫(kù)（iii） RR（/反稱）（iv） RR/（,反稱）（v） R/R（與對(duì)稱）/（vi） RRR0（反稱）愛(ài)因斯坦張量/（i）里契（Ricci）張

11、MRRgRgRgRRR（對(duì)稱）、（ii）愛(ài)因斯坦張MGR1gR2RgRR"-里契標(biāo)量（坐標(biāo)曲率）、§2.6畢安基恒等式/1（R2R）；0/§2.7李微商/李微商一一張量場(chǎng)在映射意義下的微商”/映射一種對(duì)應(yīng)操作（將空間中一點(diǎn)對(duì)應(yīng)到另一點(diǎn)）15百度文庫(kù)設(shè)xx無(wú)窮的映射£無(wú)窮小量,(x)無(wú)窮小映射生成元定義：張量T(x)的李微商可表示為limT(Q)T(PQ)0式中，T(PQ)表示在映射下的張量平移;PQ為空間中映射的對(duì)應(yīng)點(diǎn)標(biāo)量場(chǎng)(x),定義(pQ)(P)|im(Q)(P)0lim0，dx矢量場(chǎng)k(x)(x)(*)pdp式中，過(guò)P點(diǎn)的曲線為x()則映射把P(x

12、)對(duì)應(yīng)到Q(x)P(xdx)Q(xdx)(xdx)則dxPP''xQQxdx(xdx)xdx(xdx)(x)2、dxdxo(dx),J定義k(PQ)d16百度文庫(kù)dxdx則有k(PQ),，,k(P),k(P)dd故有k(x)limok3k(PQ'Tk(P),kk(x)k,k易得：k(x)k,k李微商取決于被微商的張M和映射的無(wú)窮小生成元，李微商不需要聯(lián)絡(luò)。例：計(jì)算度規(guī)張量的李微商，并將普通微商改為協(xié)變微商gg；g；g；gg；g；§2.8等度規(guī)映射和凱林(Killing)矢量場(chǎng)若(無(wú)窮小)映射使得空間兩點(diǎn)(P,Q)的距離平方不變，即22dSpQdSpQg(p)d

13、xdxg(p)xx則這種映射叫做等度規(guī)映射，其對(duì)應(yīng)的(無(wú)窮小)生成元叫killing矢量。g(p)g(p)g,(p)又xdxdx,g(p)xx(gg,)(dx,dx)(dx,dx)(gg)(dxdxdxdxdxdx0)17百度文庫(kù)18gdxdx又g(P)xdxdxdxg(p)dxdxdxdxgdxdxdxdxdxdxdx0由dxdx的任意性,故有dx可見(jiàn)，度規(guī)張量的李導(dǎo)數(shù)（李微商）為零百度文庫(kù)第三章相對(duì)論性的引力理論廣義相對(duì)論理論是一個(gè)協(xié)變的引力理論。它包含兩個(gè)部分。一司分是等效原理，它說(shuō)明有引力場(chǎng)存在的時(shí)空構(gòu)成彎曲的黎曼空間，空問(wèn)度規(guī)起著引力勢(shì)的作用。另一部分是愛(ài)因斯坦引力場(chǎng)方程，它指明空間

14、度規(guī)即引力勢(shì)對(duì)物質(zhì)分布的依賴關(guān)系。/§3-1引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量的等同性慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量牛二：FmIami-慣性質(zhì)量，反映物體保持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)本領(lǐng)的量度。牛萬(wàn):GmaMgmg一引力質(zhì)量，反映物體具有引力大小的量度。g考慮自由落體：mIamggg地球重力加速度mgagmi一伽俐略比薩斜塔實(shí)驗(yàn)mimg牛頓擺(金，銀等)：/T2)m,周期相同為“10(to3)mggmi19百度文庫(kù)厄阜（Eotvos匈牙利中學(xué)教師）扭擺:mgmi10(108)因此，實(shí)驗(yàn)結(jié)果支持mimg/§3-2等效原理/1908年，愛(ài)因斯坦以mimg為基礎(chǔ)提由等效原理。等效原理.（弱）.：在局域范圍內(nèi)，引力和慣性

15、力的力學(xué)效果相同;等效原理（強(qiáng)）：在局域范圍內(nèi)，引力與慣性力等效。愛(ài)因斯坦電梯廣義相對(duì)性原理真實(shí)的物理規(guī)律在一切參考系都應(yīng)有相同的數(shù)學(xué)形式一一一切參考系平權(quán)。取消了慣性系的優(yōu)越地位20百度文庫(kù)一個(gè)正確的物理規(guī)律必須考慮引力場(chǎng)的影響。§3-3引力幾何化在平直空間（如閔氏空間），一質(zhì)點(diǎn)在慣性系中作自由運(yùn)動(dòng)的方程（慣性運(yùn)動(dòng)一一勻速直線運(yùn)動(dòng)）為d2XdT0X（T,X,Y,Z）ds引入廣義坐標(biāo)（非慣性關(guān)系）xx（X）則運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)閐xds2式中d2xords2dL0dsds2XxxxXdxdxdsds加速度慣性力引力的幾何化0,空間彎曲存在引力即引力將導(dǎo)致空間的彎曲21百度文庫(kù)§3-

16、5愛(ài)因斯坦(Einstein)場(chǎng)方程思路：,等效原理一引力幾何化一引力場(chǎng)用度規(guī)場(chǎng)表示;廣義相對(duì)性原理一適用于一切參考系一用張量表示物質(zhì)的能量一動(dòng)量分布-動(dòng)力學(xué)狀態(tài)FT幾何量物質(zhì)分布FRgRg利用能量一動(dòng)量張量守恒律F.0;最后得愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程or-1GRgRkT21Rk(T2gT)1Rk(T2gT)若對(duì)真空(無(wú)物質(zhì)分布)情形,§3-6場(chǎng)方程的牛頓近似先看方程左邊的幾何量:22百度文庫(kù)(g,g,g,)對(duì)弱場(chǎng)情形,有小量,23|h閔氏度規(guī)張量120(h2)h)(h,h,h(h,h,h,)(h,h,h,)(h,h,h1,)I12,)12(hhR00百度文庫(kù)R0iR0i,RijR00R0iR

17、ijRij1h2h00,ij2(hk0,ik2(hkk,ijh0i,kk)hki,jkhkj,jkhij,kk)式中物質(zhì)密度2o對(duì)理想流體，有能量一動(dòng)量張量dxud固有時(shí)d2ds2gdxdx取共動(dòng)坐標(biāo)系(co-movingframe)1(1,0,0,0)g00u0u024T0i0TijTTT00百度文庫(kù)現(xiàn)在既然已知時(shí)空度規(guī)的表示，已知能量動(dòng)量分布，于是利用場(chǎng)方程2gRkTorR002gRk(Tk(Tk(T001左-R002h00,iikT2gT)2gT)1-g00T)右=k(g002g00()k(g002g00)2g00勺故有h00,ii254注意到g。12,2h00，上述方程變?yōu)閷⒅c牛頓引

18、力方程比較百度文庫(kù)k8G可見(jiàn)，在弱場(chǎng)，靜態(tài)情形，愛(ài)因斯坦引力場(chǎng)方程還原到牛頓的引力方程一一廣義相對(duì)論包含了牛頓引力論為其極限情形。于是愛(ài)因斯坦引力場(chǎng)方程在弱場(chǎng)情形下可寫(xiě)為牛頓引力場(chǎng)方程（泊松方程）：/、G8GT28G/z/而愛(ài)因斯坦引力場(chǎng)方程最后可寫(xiě)為G8GT§3-8弓I力輻射（弓I力波）已知在弱場(chǎng)近似下，場(chǎng)方程可寫(xiě)為1(h,2,h,)取變換,（為方便計(jì)）26orGT百度文庫(kù)h,h,h,h,16GT，,引入諧和坐標(biāo)條件：/gox0則引力場(chǎng)方程化為h,116GT_波動(dòng)方程對(duì)無(wú)源區(qū)域（引力波傳播空間）有h,0,諧和條件（or洛侖茲規(guī)范條件）為-1h,0h,一h,02可見(jiàn)i（krt）hAe

19、引力輻射波與電磁波在形式上一樣。27百度文庫(kù)第四章球?qū)ΨQ解愛(ài)因斯坦方程是非線性的偏微分方程：1 -RgR8GT2其精確求解非常困難，到目前為止，有物理意義的精確解只有幾個(gè)。§4-1史瓦西爾時(shí)空（1916年）、1.時(shí)空度規(guī)的球?qū)ΨQ結(jié)構(gòu)/取球坐標(biāo)，（對(duì)球?qū)ΨQ空間）（r,t）使x0t,x1r,x2,x3則度規(guī)可寫(xiě)為ds2goo（dx0）22goidx0dxigijdxidxjg00g01g02g03g10gng12g13對(duì)稱張量g20g21g22g2310個(gè)獨(dú)立分量g30g31g32g33又因球?qū)ΨQ性，作適當(dāng)變換，有ds2e（r,t）dt2e（r,t）dr2r2（d2sin2d2）球?qū)ΨQ度

20、規(guī)的一般表達(dá)式。/2 .史瓦西爾解（1916年，德國(guó)數(shù)學(xué)家，對(duì)球?qū)ΨQ真空情形第一個(gè)求由愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程之解）對(duì)R0由于是靜態(tài)（靜止球?qū)ΨQ引力源外部）則有28百度文庫(kù)ds2e(r)dt2e(r)dr2r2(d2.2sing00112233er22.2rsingggg00ii2233er2r2sin2其余分量為零，將之代入場(chǎng)方程中便可求解1,2g(g,g,290030000010110020301a2g(g00,0g00,0g00,0)00101.2g00(g00,1gi0,0gi0,0)2g00(g01,1g10,0202g00(g02,012g°°(g03,0g00,3gl1,0)0g00,2g02,0)0g03,0)0百度文庫(kù)0120131000002129(g02,10100(3129(903,111129(g10,0g01,0g10,2g12,0)g10,3g13,0)90011)-e110110111，2911(911,0g01,1g01,1)01111_11_2911(911,1911,1911.1)12u1121211一2911(912,1911,2912,1)因此，不為零的聯(lián)絡(luò)分量?jī)H有9個(gè)0110)21111111U,012e122re133resin2212221122re133re