東北大學(xué)大學(xué)物理上第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

1、1第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)24-1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1.剛體剛體(1)剛體剛體 在力的作用下，大小和形狀都保持不變的物體稱在力的作用下，大小和形狀都保持不變的物體稱為剛體。為剛體。(2)剛體的特點(diǎn)剛體的特點(diǎn) 組成物體的所有質(zhì)點(diǎn)之間的距離始終保持不變組成物體的所有質(zhì)點(diǎn)之間的距離始終保持不變; 是一種理想模型是一種理想模型, 是為簡(jiǎn)化問(wèn)題引進(jìn)的。是為簡(jiǎn)化問(wèn)題引進(jìn)的。2.剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng) 剛體最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)形式是剛體最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)形式是平動(dòng)平動(dòng)和和轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)。33.平動(dòng)平動(dòng)(1)平動(dòng)平動(dòng) 剛體內(nèi)所作的任何一剛體內(nèi)所作的任何一條直線，始終保持和自

2、身平條直線，始終保持和自身平行的運(yùn)動(dòng)。行的運(yùn)動(dòng)。(2)平動(dòng)的特點(diǎn)平動(dòng)的特點(diǎn)在任意時(shí)間段內(nèi)在任意時(shí)間段內(nèi), 所有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)所有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡軌跡、位移位移都相同。都相同。各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度速度和和加速度加速度也都是相同的。也都是相同的。剛體上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。剛體上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。剛體平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同。剛體平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同。44.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)(1)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 如果剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線作如果剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線作圓周圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為，這種運(yùn)動(dòng)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)。(2)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 轉(zhuǎn)動(dòng)中剛體所繞的

3、直線稱為轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)動(dòng)中剛體所繞的直線稱為轉(zhuǎn)軸。(3)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 如果剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，轉(zhuǎn)軸在空間的如果剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，轉(zhuǎn)軸在空間的位置保持不位置保持不變變(即轉(zhuǎn)軸相對(duì)于參照系不動(dòng)即轉(zhuǎn)軸相對(duì)于參照系不動(dòng))，這種轉(zhuǎn)動(dòng)稱為，這種轉(zhuǎn)動(dòng)稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。54.剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 剛體的一般運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜。但可以證明，剛體的一剛體的一般運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜。但可以證明，剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以看作是般運(yùn)動(dòng)可以看作是平動(dòng)平動(dòng)和和轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。例如，一個(gè)車輪的疊加。例如，一個(gè)車輪的滾動(dòng)，可以分解為的滾動(dòng)，可以分解為車輪隨著轉(zhuǎn)軸的平動(dòng)和整個(gè)車輪繞車輪隨著轉(zhuǎn)軸的平動(dòng)和整個(gè)車輪繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)

4、的疊加平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加6隨質(zhì)心的平動(dòng)隨質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)合成合成+75.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)(1)任一質(zhì)點(diǎn)都是在某個(gè)垂直任一質(zhì)點(diǎn)都是在某個(gè)垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)。(2)各質(zhì)點(diǎn)的軌跡是半徑大小各質(zhì)點(diǎn)的軌跡是半徑大小不一的圓周。在同一時(shí)間內(nèi)，不一的圓周。在同一時(shí)間內(nèi)，各質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的各質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的圓弧長(zhǎng)度不相圓弧長(zhǎng)度不相同同。1r AA 1O2r BB 2O剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)z (3)各質(zhì)點(diǎn)半徑所掃過(guò)的角度各質(zhì)點(diǎn)半徑所掃過(guò)的角度相同相同。各質(zhì)點(diǎn)的各質(zhì)點(diǎn)的角位移角位移、角速度角速度和和角加速度角加速度都相同都相同。2 ra ,ra ,rn

5、t v8二、角速度矢量二、角速度矢量1.角速度矢量的定義角速度矢量的定義 在轉(zhuǎn)軸上畫一在轉(zhuǎn)軸上畫一有向線段有向線段，使其長(zhǎng)度按一定比例代表，使其長(zhǎng)度按一定比例代表角速度角速度的的大小大小，它的方向與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向之間的關(guān)系按，它的方向與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向之間的關(guān)系按右手螺旋法則右手螺旋法則來(lái)確定來(lái)確定右手螺旋轉(zhuǎn)動(dòng)的方向和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)右手螺旋轉(zhuǎn)動(dòng)的方向和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向一致，螺旋前進(jìn)的方向便是的方向一致，螺旋前進(jìn)的方向便是角速度矢量的方向。角速度矢量的方向。 在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，角速度的方向總是沿著轉(zhuǎn)軸的，因在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，角速度的方向總是沿著轉(zhuǎn)軸的，因此，只要規(guī)定了角速度的正負(fù)，就可用標(biāo)量進(jìn)行計(jì)算。此，只要規(guī)定了角

6、速度的正負(fù)，就可用標(biāo)量進(jìn)行計(jì)算。 0 0 zz92.角加速度角加速度 tttddlim0 O1 1 O2 2 12 0 O1 1 O2 2 12 0 10r v3.角速度矢量和線速度矢量的關(guān)系角速度矢量和線速度矢量的關(guān)系O vO v11三、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式三、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式質(zhì)點(diǎn)作勻變速直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)作勻變速直線運(yùn)動(dòng)剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)at 0vvt 020021attxx v20021tt 0202-2xxa vv 0202-2 四、角量與線量的關(guān)系四、角量與線量的關(guān)系r v r v rat 2 ran 12例例1在高速旋轉(zhuǎn)的微型電動(dòng)機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可在高速旋轉(zhuǎn)的微型電

7、動(dòng)機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過(guò)中心的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)。開始起動(dòng)時(shí)，繞垂直其橫截面并通過(guò)中心的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)。開始起動(dòng)時(shí)，角速度為零。起動(dòng)后其轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化關(guān)系為：角速度為零。起動(dòng)后其轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化關(guān)系為：)1(/ tme ，式式中中s0 . 2sr540:1 m求求: (1)t=6 s時(shí)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速。時(shí)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速。(2)起動(dòng)后，電動(dòng)機(jī)在起動(dòng)后，電動(dòng)機(jī)在 t=6 s時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。(3)角加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。角加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。解解: (1) 將將 t=6 s 代入代入:)1(/ tme 1sr513950 m.(2) 電動(dòng)機(jī)在電動(dòng)機(jī)在6 s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的

8、圈數(shù)為r1021. 23 tetNtmd)1(d60/60 13(3) 電動(dòng)機(jī)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為22/srad540dd ttmeet 例例2在高速旋轉(zhuǎn)圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過(guò)中在高速旋轉(zhuǎn)圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過(guò)中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，它的角速度開始時(shí)，它的角速度 0=0，經(jīng)，經(jīng)300s后，其后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到轉(zhuǎn)速達(dá)到 18000rmin-1。轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比。問(wèn)在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)多少轉(zhuǎn)？問(wèn)在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)多少轉(zhuǎn)？00 解解: 設(shè)轉(zhuǎn)子的角加速度為：設(shè)轉(zhuǎn)子的角加速度為：ct ，兩兩邊邊積積分分，可可得得：根根據(jù)據(jù)c

9、tt dd tttc00dd 221ct 14當(dāng)當(dāng) t =300 s 時(shí)時(shí)11srad600minr00018 322srad7530060022 tc 2215021tct 由由2150ddtt 得得tttd150d020 15在在 300s 內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)：內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)：43103)300(45022 N rad4503t 164-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、力矩一、力矩1.對(duì)軸的力矩對(duì)軸的力矩rFF FzOd P(1)力力 對(duì)對(duì)O點(diǎn)的力矩點(diǎn)的力矩F FrM0(2)力力 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩F FFF只有只有 能使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。能使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。 FdFrFM s

10、in rOdP F力矩的單位：力矩的單位：Nm。17(3)力矩的方向力矩的方向 力矩的方向可以由力矩的矢量式確定。力矩的方向可以由力矩的矢量式確定。(4)力矩的正負(fù)確定力矩的正負(fù)確定 由右手螺旋法則確定。在力矩使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)向由右手螺旋法則確定。在力矩使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)向與右手螺旋的轉(zhuǎn)向一致時(shí)，如果螺旋前進(jìn)的方向沿轉(zhuǎn)與右手螺旋的轉(zhuǎn)向一致時(shí)，如果螺旋前進(jìn)的方向沿轉(zhuǎn)軸軸Oz，它就被定為力矩的正方向。，它就被定為力矩的正方向。 M為正值時(shí)，總力矩的方向沿轉(zhuǎn)軸為正值時(shí)，總力矩的方向沿轉(zhuǎn)軸Oz方向。方向。M為為負(fù)值時(shí)，則表明總力矩的方向和轉(zhuǎn)軸負(fù)值時(shí)，則表明總力矩的方向和轉(zhuǎn)軸Oz的方向相反。的方向相反。FrM

11、 0 M0 MzOFrM0 zOFrM0 18(5)總力矩總力矩 如果有幾個(gè)外力同時(shí)作用如果有幾個(gè)外力同時(shí)作用在剛體上，它們將相當(dāng)于一個(gè)在剛體上，它們將相當(dāng)于一個(gè)力矩的作用，這個(gè)力矩稱為這力矩的作用，這個(gè)力矩稱為這幾個(gè)力的總力矩。實(shí)驗(yàn)表明，幾個(gè)力的總力矩。實(shí)驗(yàn)表明，他們的總力矩的量值等于這幾他們的總力矩的量值等于這幾個(gè)力的力矩的代數(shù)和。個(gè)力的力矩的代數(shù)和。1r3F1F2FzO1dP2r3r2d3d332211dFdFdFM (6)內(nèi)力矩內(nèi)力矩 由于剛體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間相互作用的內(nèi)力是成對(duì)出現(xiàn)的由于剛體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間相互作用的內(nèi)力是成對(duì)出現(xiàn)的,且遵守牛頓第三定律且遵守牛頓第三定律, 所以對(duì)轉(zhuǎn)軸的合內(nèi)力矩為零。

12、所以對(duì)轉(zhuǎn)軸的合內(nèi)力矩為零。19yOhxL例例1 有一大型水壩高有一大型水壩高110 m、長(zhǎng)、長(zhǎng)1 000 m ,水深水深100m，水，水面與大壩表面垂直，如圖所示面與大壩表面垂直，如圖所示。求作用在大壩上的力，求作用在大壩上的力，以及這個(gè)力對(duì)通過(guò)大壩基點(diǎn)以及這個(gè)力對(duì)通過(guò)大壩基點(diǎn) Q 且與且與 x 軸平行的力矩。軸平行的力矩。QyOx20解解: 設(shè)水深設(shè)水深h，壩長(zhǎng)，壩長(zhǎng)L，在壩面上取面積元，在壩面上取面積元: dA=Ldy作用在此面積元上的力作用在此面積元上的力:ypLApFddd yOhxLydyAdQyOxFd)(0yhgpp 令大氣壓為令大氣壓為 p0，則，則 yLyhgpAPFd)(d

13、d0 21yOhxLydyAdQyOxFdyLyhgpAPFd)(dd0 hyLyhgpF00d)( 2021gLhLhp N1091. 510 22FyMdd :d的的軸軸的的力力矩矩為為對(duì)對(duì)通通過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)QFyLyhgpFd)(d0 hyLyhgpyM00d)( 3206121LhgLhp mN1014212 .QyOyydhFd231.受力分析受力分析 剛體由剛體由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，繞定軸個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，繞定軸Oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)。軸轉(zhuǎn)動(dòng)。2.運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律iriFzOim iF 外外力力iF內(nèi)力內(nèi)力 iFiiiiamFF 3.切向運(yùn)動(dòng)方程切向運(yùn)動(dòng)方程的的切切向向分分力力。、分分別

14、別為為、 FFFFiiitit itiititamFF iirm 的的平平面面內(nèi)內(nèi)。軸軸相相垂垂直直均均在在與與、Oz FFii 244.合力矩合力矩5.剛體中所有質(zhì)點(diǎn)求和剛體中所有質(zhì)點(diǎn)求和 iiititrmFF 方程方程兩邊同乘以兩邊同乘以ri 2irmrFrFiiitiit 外外力力矩矩和和內(nèi)內(nèi)力力矩矩之之和和 iitiitrFrF 2irmrFrFiiitiit0 iitrF 2irmrFMiiit合外力矩合外力矩M為為257.轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 JM 6.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J 2irmJi 剛體在總外力矩剛體在總外力矩M的作用下的作用下, 所獲得的角加速度所獲得的角加速度 與總外力矩的大小

15、成正比，并與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，這與總外力矩的大小成正比，并與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，這個(gè)關(guān)系稱為個(gè)關(guān)系稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律。 2irmrFMiiitJM (2)系系。方方向向相相同同，且且為為瞬瞬時(shí)時(shí)關(guān)關(guān)與與；MtJJM dd(3) 不不變變；M，0(1) 26三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2iirmJ1.剛體對(duì)剛體對(duì)Oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于組成剛體各質(zhì)點(diǎn)的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于組成剛體各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)質(zhì)量量與各自到轉(zhuǎn)軸的與各自到轉(zhuǎn)軸的距離平方距離平方的的乘積乘積之和。剛體的質(zhì)量之和。剛體的質(zhì)量可以認(rèn)為是連續(xù)分布的，因此可以寫成積分的形式。

16、可以認(rèn)為是連續(xù)分布的，因此可以寫成積分的形式。 LSVmlrSrVrmrJdddd2222 體密度體密度； 面密度面密度； 線密度線密度。273.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義221vm221 J角速度角速度相當(dāng)于相當(dāng)于線速度線速度，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相當(dāng)于相當(dāng)于質(zhì)量質(zhì)量。質(zhì)量是平。質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度，動(dòng)中慣性大小的量度，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。度。平動(dòng)：平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)：平動(dòng)動(dòng)能vm線動(dòng)量線動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 J角動(dòng)量角動(dòng)量4.例題例題例題例題1 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 l的均勻細(xì)棒對(duì)過(guò)棒上某點(diǎn)的均勻細(xì)棒對(duì)過(guò)棒上某點(diǎn)(該該點(diǎn)距

17、棒中心為點(diǎn)距棒中心為h)且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。28解：以棒與軸的交點(diǎn)解：以棒與軸的交點(diǎn)O為為坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，沿棒為，沿棒為 x 軸，軸，于于 x 處取線元處取線元dx，則其質(zhì)，則其質(zhì)量為：量為：稱為質(zhì)量線密度。稱為質(zhì)量線密度。，其中，其中l(wèi)mxm ddlhxdxO zO 該質(zhì)量元對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的貢獻(xiàn)為：該質(zhì)量元對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的貢獻(xiàn)為：xxmxJddd22 整個(gè)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：整個(gè)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：hlhlhlhlxxxJJ 22322231dd 22331212231mhml hlhl 29結(jié)果討論：結(jié)果討論：(1)如果轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心，即如果轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心，即h=0,

18、 則有則有2121mlJ (2)如果轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的如果轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的端點(diǎn)，即端點(diǎn)，即h=l/2, 則有則有222312121mllmmlJ (3)同一剛體對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不相同。同一剛體對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不相同。(4)平行軸定理平行軸定理O點(diǎn)是細(xì)棒的質(zhì)心，對(duì)點(diǎn)是細(xì)棒的質(zhì)心，對(duì)通過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用通過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用JC表示：表示：2121mlJC 細(xì)棒對(duì)細(xì)棒對(duì)與其他轉(zhuǎn)軸與其他轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可表示為：的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可表示為：2mhJJC (4)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量疊加定理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量疊加定理有幾部分物體構(gòu)成的整體部件有幾部分物體構(gòu)成的整體部件對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于其各部分物體對(duì)同一

19、轉(zhuǎn)軸對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于其各部分物體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。J=J1+J2+30用用x表示棒上質(zhì)點(diǎn)對(duì)表示棒上質(zhì)點(diǎn)對(duì)O軸的距軸的距離，用離，用r表示質(zhì)點(diǎn)對(duì)表示質(zhì)點(diǎn)對(duì)O的距離。的距離。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義可得：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義可得：lhxdxO zO r 2l2l2l2l2l2l-Omxhmhmx mhxmrJd2dddd2222上式表明上式表明: 剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸(通過(guò)通過(guò)O點(diǎn)點(diǎn))的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心并于該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量體對(duì)通過(guò)質(zhì)心并于該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC加上剛體加上剛體質(zhì)量與兩軸間距離質(zhì)量與兩軸間距離h的二次方的乘積。這一

20、結(jié)論通常稱為的二次方的乘積。這一結(jié)論通常稱為平行軸定理。平行軸定理。2220121mhJmhmlC 315.物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于如下三個(gè)因素：物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于如下三個(gè)因素：(1)物體的總質(zhì)量物體的總質(zhì)量 幾何尺寸相同，質(zhì)量越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。幾何尺寸相同，質(zhì)量越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。(2)物體質(zhì)量的分布物體質(zhì)量的分布 質(zhì)量、半徑均相同的圓盤與圓環(huán)質(zhì)量、半徑均相同的圓盤與圓環(huán), 質(zhì)量分布不同質(zhì)量分布不同, 圓盤圓盤: 均勻地分布于整個(gè)盤內(nèi)；均勻地分布于整個(gè)盤內(nèi)；圓環(huán)：集中分布在邊緣圓環(huán)：集中分布在邊緣, 所以圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大。所以圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大。(3)給定轉(zhuǎn)軸的位置。給定轉(zhuǎn)軸的位置。32例

21、例2 質(zhì)量為質(zhì)量為mA的物體的物體A 靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為mC的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為，并系在另一質(zhì)量為mB 的物體的物體B上，上，B 豎直懸掛?；喤c繩索間無(wú)滑動(dòng)，豎直懸掛。滑輪與繩索間無(wú)滑動(dòng)， 且滑輪與軸承間的且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì)。摩擦力可略去不計(jì)。ABCAmBmCm(1)兩物體的線加速度為兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？繩索的張力各為多少？ (2) 物體物體 B 靜止落下距離靜止落下距離 y

22、 時(shí)，其速率是多少？時(shí)，其速率是多少？33解：解： (1)用隔離法分別對(duì)各物用隔離法分別對(duì)各物體作受力分析，取如圖所示坐體作受力分析，取如圖所示坐標(biāo)系。標(biāo)系。ABCAmBmCmAPOx1TFNFAmyO2TF BPBm2TF1TF CPCF34APOx1TFNFAmyO2TF BPBm2TF1TF CPCFamFAT 1amFgmBTB 2 JRFRFTT 12 Ra 11TTFF 22TTFF 221RmJC 35amFAT 1amFgmBTB 2 JRFRFTT 12 Ra 11TTFF 22TTFF 221RmJC 2CBABmmmgma 21CBABATmmmgmmF 2)2(2CBA

23、BCATmmmgmmmF 解得：解得：362CBABmmmgma 21CBABATmmmgmmF 2)2(2CBABCATmmmgmmmF ，則有：，則有：如果如果0 CmBABmmgma BABATTmmgmmFF 21(2) B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率2/22CBABmmmgymay v 0202-2xxa vv37例例3一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 l 、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)。由于此豎直放置相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)。由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小

24、擾動(dòng)時(shí)，細(xì)的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)動(dòng)。試計(jì)算細(xì)轉(zhuǎn)動(dòng)。試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成 角時(shí)的角加速度和角速度。角時(shí)的角加速度和角速度。解：解：細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力約束力FN作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得：作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得：m,lOmg NF Jmgl sin21231mlJ sin23lg 38m,lOmg NFttdddddd 由角加速度的定義由角加速度的定義dd lgdsin23d 00dsin23dlg)cos1 (3lg 394-3 角動(dòng)量角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒

25、定律角動(dòng)量守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律vmrprL 1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量方向方向: :右手螺旋定則確定。右手螺旋定則確定。單位單位: : kgm2/s。 sinsinrmprLv vr 任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)O, 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)質(zhì)點(diǎn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)A的質(zhì)量為的質(zhì)量為m，速度為速度為 ，矢徑為，矢徑為 ，則質(zhì)點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)A對(duì)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為：點(diǎn)的角動(dòng)量為：大小為：大小為：xyzOrLvmp m403.質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量等于各質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和各質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和。 niiiiniiiniir

26、mprLL111v2.質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的特點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的特點(diǎn)(1)角動(dòng)量與參考點(diǎn)角動(dòng)量與參考點(diǎn)O的選擇有關(guān)，同一質(zhì)點(diǎn)對(duì)于不同的的選擇有關(guān)，同一質(zhì)點(diǎn)對(duì)于不同的參考點(diǎn)其角動(dòng)量是不同的。參考點(diǎn)其角動(dòng)量是不同的。(2)角動(dòng)量和速度、位矢有角動(dòng)量和速度、位矢有關(guān)關(guān), 即和參考系有關(guān)即和參考系有關(guān)。xyzOrLvmp m41MrFOFrM 4.力矩定義力矩定義 sin rFMM大小為：大小為： 力的作用效果，不僅與力的大小有關(guān)、還與力的方力的作用效果，不僅與力的大小有關(guān)、還與力的方向和力的作用點(diǎn)有關(guān)。力矩則全面的考慮了這三要素向和力的作用點(diǎn)有關(guān)。力矩則全面的考慮了這三要素。方向：由右手定則確定。方向：由右手定則

27、確定。425.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理tmrFrddv vmrL 將將對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù):)(ddddvmrttL tmFdd v :可可得得兩兩邊邊叉叉乘乘 r根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律vvmtrtmr ddd)d(vvvmtmr ddtmrddv Fr M 43tLMdd 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理表述一：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理表述一：質(zhì)點(diǎn)對(duì)某質(zhì)點(diǎn)對(duì)某點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受到的合力對(duì)同一點(diǎn)的力矩。所受到的合力對(duì)同一點(diǎn)的力矩。tLMdd LtMdd沖沖量量矩矩tM d12-d21LLtMtt 的的角角動(dòng)動(dòng)量量時(shí)時(shí)刻刻對(duì)對(duì)參參考考點(diǎn)點(diǎn)和和分分別

28、別為為質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)在在和和OttLL2121所所受受的的沖沖量量矩矩為為質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)在在時(shí)時(shí)間間間間隔隔12-d21tttMtt 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理表述二：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理表述二：對(duì)同一對(duì)同一參考點(diǎn)參考點(diǎn)O,質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量。點(diǎn)角動(dòng)量的增量。446.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律0 M若：若：(條件條件)0d L0dd tL則：則： 或或(結(jié)論結(jié)論) 恒恒矢矢量量 vmrL即：即：角動(dòng)量守恒定律：角動(dòng)量守恒定律：若質(zhì)點(diǎn)所受外力矩對(duì)某給定點(diǎn)若質(zhì)點(diǎn)所受外力矩對(duì)某給定點(diǎn) O的的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變。點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變。由角

29、動(dòng)量定理由角動(dòng)量定理)dd(tLM 可得可得:45例例1 一半徑為一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)。一質(zhì)量一質(zhì)量為為 m 的小球穿在圓環(huán)上的小球穿在圓環(huán)上, 并可在圓環(huán)上滑動(dòng)并可在圓環(huán)上滑動(dòng)。小球開始小球開始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn)時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn) A(該點(diǎn)在通過(guò)環(huán)心該點(diǎn)在通過(guò)環(huán)心 O的水平面上的水平面上),然后從然后從 A點(diǎn)開始下滑點(diǎn)開始下滑。設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略去不設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略去不計(jì)計(jì)。求小球滑到點(diǎn)求小球滑到點(diǎn) B 時(shí)對(duì)環(huán)心時(shí)對(duì)環(huán)心 O 的角動(dòng)量和角速度的角動(dòng)量和角速度。解解: 重力矩垂直紙面向里重力矩垂直紙面向里, cosmgRM 的的力力矩矩為

30、為零零。NF由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理:tLmgRddcos tmgRLdcosd 46tmgRLdcosd tdd 2mRmRL vgRmLLdcosd32 LmRtddd2 0320dcosdgRmLLL00000 Lt，時(shí)時(shí)， 2123)sin2( gmRL 21sin2 Rg 2mRL 47例例2一質(zhì)量一質(zhì)量 m=1.2104kg的登月飛船，在離月球表面的登月飛船，在離月球表面高度高度 h=100km處繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)。飛船采用如下登處繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)。飛船采用如下登月方式：當(dāng)飛船位于點(diǎn)月方式：當(dāng)飛船位于點(diǎn)A 時(shí)，它向外側(cè)短時(shí)間噴射出粒時(shí)，它向外側(cè)短時(shí)間噴射出粒子流，使飛船與

31、月球相切地到達(dá)點(diǎn)子流，使飛船與月球相切地到達(dá)點(diǎn) B，且，且OA 與與 OB 垂垂直。飛船所噴氣體相對(duì)飛船的速度為直。飛船所噴氣體相對(duì)飛船的速度為 u=1.00104ms-1。試問(wèn)：登月飛船在登月過(guò)程中所需消耗燃料的質(zhì)量試問(wèn)：登月飛船在登月過(guò)程中所需消耗燃料的質(zhì)量 m 是多少是多少?R月月=1700km, 月球的重力加速月球的重力加速度：度：g=1.62ms-1。解：設(shè)月球質(zhì)量為解：設(shè)月球質(zhì)量為mM, 飛船在飛船在A點(diǎn)處的速度為點(diǎn)處的速度為v0。由萬(wàn)有引。由萬(wàn)有引力定律和牛頓定律可得：力定律和牛頓定律可得：0vAvBBvuv hORA48hRmhRmmGM 202)(v2RmmGgmM 1212

32、0sm6121 hRgRv飛船在飛船在A點(diǎn)以相對(duì)速度點(diǎn)以相對(duì)速度 u 向外噴氣的短時(shí)間里向外噴氣的短時(shí)間里, 飛船的飛船的質(zhì)量減少了質(zhì)量減少了 m而變?yōu)槎優(yōu)?m, 并獲得速度的增量并獲得速度的增量 , 使飛使飛船的速度變?yōu)榇乃俣茸優(yōu)?, 其值為其值為:v Av0vAvBBvuv hORA21)(220vvv AAvuv A0v490vAvBBvuv hORA質(zhì)量質(zhì)量 m 在在 A 點(diǎn)和點(diǎn)和 B 點(diǎn)只受點(diǎn)只受有心力作用有心力作用 , 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒:RmhRmBvv )(01sm7091)( RhR0Bvv飛船在飛船在 A點(diǎn)噴出氣體后，在到達(dá)月球的過(guò)程中，飛船和點(diǎn)噴出氣體后，在到達(dá)月球

33、的過(guò)程中，飛船和月球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒月球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒:RmmGhRmmGMM 2B2Avmvm2121RmGhRmGMM22 2B2Avv501sm6151 Av121sm100)( 202Avvvv mum)(kg120 ummvRmGhRmGMM22 2B2Avv21)(220vvv A如果在飛船噴出粒子流的短暫時(shí)間內(nèi)不計(jì)月球的引力作如果在飛船噴出粒子流的短暫時(shí)間內(nèi)不計(jì)月球的引力作用，則飛船在噴出粒子流過(guò)程中動(dòng)量守恒：用，則飛船在噴出粒子流過(guò)程中動(dòng)量守恒：tmuFtvmdddd 0 F米舍爾斯米舍爾斯基方程基方程:51二、剛體定轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律二、剛體定轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定理

34、和角動(dòng)量守恒定律1.剛體對(duì)剛體對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量細(xì)棒以細(xì)棒以 繞定軸繞定軸Oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸轉(zhuǎn)動(dòng)，第第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 mi, 繞定繞定軸作半徑為軸作半徑為ri的圓周運(yùn)動(dòng)，它的圓周運(yùn)動(dòng)，它相對(duì)于相對(duì)于O點(diǎn)的位矢為點(diǎn)的位矢為iR(1) mi對(duì)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量 iiiimRLv iRirL iL izLim O ziviiiiiiiRmL:LRvv 的的大大小小為為，所所以以因因?yàn)闉榉较蛉鐖D所示。方向如圖所示。52 iLLiRirL iL izLim O ziv(2)剛體對(duì)剛體對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量 剛體對(duì)剛體對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量等于點(diǎn)的角動(dòng)量等于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和。各個(gè)質(zhì)

35、點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和。iL L 總的角動(dòng)量總的角動(dòng)量 的方向和的方向和每個(gè)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量每個(gè)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量 的方向的方向一致，但是并不和一致，但是并不和Oz軸或軸或 的方向一致。的方向一致。 iiiiRmLLviiiiRmLv 532.剛體繞定軸的角動(dòng)量剛體繞定軸的角動(dòng)量 對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體對(duì)對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量 沿沿Oz軸的分量軸的分量 稱為剛體繞定軸的角動(dòng)量。稱為剛體繞定軸的角動(dòng)量。LzL cosLLz iiiirRr v，其其中中cosiRirL iL izLim O ziv cosiiizRmLv iiiRmLv iiirm v 2iiiiirmrrm JLz JLz 54

36、剛體繞某定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體繞某定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 作用于剛體的合外力矩等于剛體作用于剛體的合外力矩等于剛體繞此定軸的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率繞此定軸的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率轉(zhuǎn)動(dòng)定律又一表述轉(zhuǎn)動(dòng)定律又一表述122121)d(d JJJtMtt 3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理)d(dd JLtM tJtJMd)d(dd 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律tLMdd 轉(zhuǎn)動(dòng)物體所受合外力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)物體所受合外力矩的沖量矩沖量矩(角沖量角沖量)等于在這段時(shí)等于在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)物體角動(dòng)量的增量間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)物體角動(dòng)量的增量角動(dòng)量定理。角動(dòng)量定理。554.角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 當(dāng)外力對(duì)給定軸的總力矩為零時(shí)，或者不受

37、外力當(dāng)外力對(duì)給定軸的總力矩為零時(shí)，或者不受外力矩的作用矩的作用, 物體對(duì)該軸的角動(dòng)量將保持不變。即物體在物體對(duì)該軸的角動(dòng)量將保持不變。即物體在繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中：繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中：常常量量時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 0)(0 JJL M 角動(dòng)量守恒定律是力學(xué)中三大守恒定律之一，是角動(dòng)量守恒定律是力學(xué)中三大守恒定律之一，是自然界的普遍規(guī)律。其適用范圍非常廣泛。自然界的普遍規(guī)律。其適用范圍非常廣泛。此結(jié)論稱為對(duì)固定轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守衡定律。此結(jié)論稱為對(duì)固定轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守衡定律。565.角動(dòng)量守恒定律淺析角動(dòng)量守恒定律淺析(1)如果轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變，則物體以恒定的如果轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變，則物體以恒定的角速度

38、轉(zhuǎn)動(dòng)；角速度轉(zhuǎn)動(dòng)；(2)如果轉(zhuǎn)動(dòng)慣量發(fā)生變化如果轉(zhuǎn)動(dòng)慣量發(fā)生變化(非剛體非剛體)，當(dāng)，當(dāng)M0時(shí)，時(shí)，J1 1J2 2。則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J 改變時(shí)，角速度改變時(shí)，角速度 也隨之改也隨之改變，但變，但J 之積保持恒定。之積保持恒定。(3)角動(dòng)量守衡定律適用于剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在非定軸轉(zhuǎn)角動(dòng)量守衡定律適用于剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下只要作用于物體的外力對(duì)過(guò)質(zhì)心軸的合外力動(dòng)的情況下只要作用于物體的外力對(duì)過(guò)質(zhì)心軸的合外力矩為零，它對(duì)過(guò)質(zhì)心的同一軸的角動(dòng)量也保持不變。矩為零，它對(duì)過(guò)質(zhì)心的同一軸的角動(dòng)量也保持不變。(4)角動(dòng)量守衡定律不僅適用于宏觀物理，它對(duì)于天體運(yùn)角動(dòng)量守衡定律不僅適用于宏

39、觀物理，它對(duì)于天體運(yùn)動(dòng)和微觀粒子的運(yùn)動(dòng)同樣適用。動(dòng)和微觀粒子的運(yùn)動(dòng)同樣適用。57例例3 質(zhì)量很小長(zhǎng)度為質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l 的均勻細(xì)桿，可繞過(guò)其中心的均勻細(xì)桿，可繞過(guò)其中心 O并并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)細(xì)桿靜止于水平當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)，有一只小蟲以速率位置時(shí)，有一只小蟲以速率 v 垂直落在距點(diǎn)垂直落在距點(diǎn)O為為l/4 處，處，并背離點(diǎn)并背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行。設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量爬行。設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為均為m。問(wèn)：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，小蟲應(yīng)以。問(wèn)：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)

40、爬行?l/4O58 220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解: 小蟲落在細(xì)桿上，可小蟲落在細(xì)桿上，可看作完全非彈性碰撞，看作完全非彈性碰撞，由于碰撞時(shí)間極短，重由于碰撞時(shí)間極短，重力的沖量矩忽略不計(jì)。力的沖量矩忽略不計(jì)。小蟲與桿的碰撞前后，小蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒系統(tǒng)角動(dòng)量守恒:小蟲與桿系統(tǒng)所受的外力小蟲與桿系統(tǒng)所受的外力矩僅為小蟲受的重力矩矩僅為小蟲受的重力矩: cosmgrM由角動(dòng)量定理：由角動(dòng)量定理：tJtJtLMddd)d(dd 角速度角速度恒定。恒定。59trmrmgrdd2cos t )712cos(247cos2dd00tlgtgtrvvl 小蟲在小蟲在P

41、點(diǎn)時(shí)，系桿和小蟲點(diǎn)時(shí)，系桿和小蟲的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：22121mrmlJ trrmtJdd2dd l0712 v 60例例4一雜技演員一雜技演員M由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為h 處自由下落到處自由下落到蹺板的一端蹺板的一端A，并把蹺板另一端的演員，并把蹺板另一端的演員N彈了起來(lái)。設(shè)彈了起來(lái)。設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長(zhǎng)度為蹺板是勻質(zhì)的，長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m，蹺板可繞中部支，蹺板可繞中部支撐點(diǎn)撐點(diǎn)C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，演員的質(zhì)量均為在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，演員的質(zhì)量均為m。假定演。假定演員員M落在蹺板上，與蹺板的碰撞是落在蹺板上，與蹺板的碰撞是完全非彈性完全非彈性碰撞。問(wèn)碰撞。問(wèn)演員演員N可

42、彈起多高可彈起多高?ll/2CABMNh解：解：碰撞前碰撞前M落在落在 A點(diǎn)的速度：點(diǎn)的速度：21)2( ghM v碰撞后的瞬間碰撞后的瞬間, M 和和N具有相具有相同的線速度：同的線速度： 2lu 61ll/2CABMNhM、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒和蹺板組成的系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒: 2221121222mllmlmuJlmM vlmmghmmllmlmM)6()2(621222122 v hmmm glguh2222)63(82 621.力矩做功的本質(zhì)力矩做功的本質(zhì)(1)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下發(fā)生位移時(shí)，力就對(duì)質(zhì)點(diǎn)作了當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下發(fā)生位移時(shí)，力就對(duì)質(zhì)點(diǎn)作了功。與之相似，剛體在力矩的

43、作用下轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩也對(duì)功。與之相似，剛體在力矩的作用下轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩也對(duì)剛體作了功。剛體作了功。(2)對(duì)于剛體，因?yàn)楦髻|(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置不變，對(duì)于剛體，因?yàn)楦髻|(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置不變，所以內(nèi)力所以內(nèi)力不做功，不做功，只需考慮外力做功。只需考慮外力做功。(3)作用于剛體上的力可以分解為沿軸及在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的作用于剛體上的力可以分解為沿軸及在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量。沿軸分量與受力作用質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以分量。沿軸分量與受力作用質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以此分力不做功。此分力不做功。4-4 力矩作功力矩作功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理一、力矩的功一、力矩的功632.力矩做功的計(jì)算力矩做功的計(jì)算

44、(1)元功的計(jì)算元功的計(jì)算 設(shè)某外力設(shè)某外力F 沿轉(zhuǎn)動(dòng)平面沿轉(zhuǎn)動(dòng)平面作作用于剛體上某點(diǎn)用于剛體上某點(diǎn)P，在定軸轉(zhuǎn)，在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)過(guò)程中P點(diǎn)沿半徑為點(diǎn)沿半徑為r的圓弧的圓弧發(fā)生了元位移發(fā)生了元位移rFzO P drdrFWdd sindFr dM cosdrF ddMW 64(2)總功的計(jì)算總功的計(jì)算 設(shè)剛體從設(shè)剛體從 1轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 2，外力作的功為：外力作的功為： 21d MW力對(duì)剛體作的功力對(duì)剛體作的功可以用可以用力矩力矩與剛體與剛體角位移角位移的乘積的積分的乘積的積分來(lái)表示，稱為來(lái)表示，稱為力矩的功力矩的功。二、力矩的功率二、力矩的功率 MtMtWP dddd當(dāng)當(dāng)M與與 同方向，同方向，W和和P為正；為正；當(dāng)當(dāng)M與與 反方向，反方向，W和和P為負(fù)。為負(fù)。65三、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能三、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能，應(yīng)該是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能，應(yīng)該是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和。設(shè)剛體中第的動(dòng)能之和。設(shè)剛體中第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，速度為，速度為vi，離軸的垂直距離為，離軸的垂直距離為ri。 niiinikikmEE12121viiniiir rmJ v;12 212122121 niiiniiirmrm221 J 221 JE k 66四、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理四、剛體繞