電磁場(chǎng)與電磁波(第1章)

1、廈門工學(xué)院電子信息工程系電磁場(chǎng)與電磁場(chǎng)與電磁波電磁波理論基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)主講：劉康主講：劉康前前 言言 電磁場(chǎng)與電磁波理論是近代自然科學(xué)中，理論相對(duì)最完整電磁場(chǎng)與電磁波理論是近代自然科學(xué)中，理論相對(duì)最完整、應(yīng)用最廣泛的支柱學(xué)科之一。電磁場(chǎng)與電磁波技術(shù)已遍及人、應(yīng)用最廣泛的支柱學(xué)科之一。電磁場(chǎng)與電磁波技術(shù)已遍及人類的科學(xué)技術(shù)、政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、文化以及日常生活的各個(gè)類的科學(xué)技術(shù)、政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、文化以及日常生活的各個(gè)領(lǐng)域。領(lǐng)域。 人類對(duì)電磁現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，但其知識(shí)與應(yīng)用開始形人類對(duì)電磁現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，但其知識(shí)與應(yīng)用開始形成系統(tǒng)化和理論化則始于成系統(tǒng)化和理論化則始于1818世紀(jì)，世紀(jì)，伽伐尼

2、、伏打、高斯、富蘭伽伐尼、伏打、高斯、富蘭克林、卡文迪什、庫侖克林、卡文迪什、庫侖等著名科學(xué)家對(duì)電磁現(xiàn)象所作的卓有成等著名科學(xué)家對(duì)電磁現(xiàn)象所作的卓有成效的研究啟動(dòng)了電磁世界這一巨輪的運(yùn)轉(zhuǎn)。效的研究啟動(dòng)了電磁世界這一巨輪的運(yùn)轉(zhuǎn)。 1919世紀(jì)是電磁研究蓬勃開展的時(shí)代，世紀(jì)是電磁研究蓬勃開展的時(shí)代，法拉第、歐姆、傅立法拉第、歐姆、傅立葉、基爾霍夫、奧斯特、安培、畢奧、薩伐爾、麥克斯韋、斯葉、基爾霍夫、奧斯特、安培、畢奧、薩伐爾、麥克斯韋、斯托克斯、湯姆森、赫茲、楞次、雅可比、西門托克斯、湯姆森、赫茲、楞次、雅可比、西門，單單從這些名，單單從這些名字和科學(xué)家的陣容，你就可以感受到這一時(shí)期的電磁科學(xué)取

3、得字和科學(xué)家的陣容，你就可以感受到這一時(shí)期的電磁科學(xué)取得了多么輝煌的成就。了多么輝煌的成就。 麥克斯韋是繼法拉第之后，集電磁學(xué)大成的偉大科學(xué)家。麥克斯韋是繼法拉第之后，集電磁學(xué)大成的偉大科學(xué)家。他依據(jù)庫侖、高斯、歐姆、安培、畢奧、薩伐爾、法拉第等前他依據(jù)庫侖、高斯、歐姆、安培、畢奧、薩伐爾、法拉第等前人的一系列發(fā)現(xiàn)和實(shí)驗(yàn)成果，建立了第一個(gè)人的一系列發(fā)現(xiàn)和實(shí)驗(yàn)成果，建立了第一個(gè)完整的電磁理論體完整的電磁理論體系系，不僅科學(xué)地，不僅科學(xué)地預(yù)言了電磁波的存在預(yù)言了電磁波的存在，而且，而且揭示了光、電、磁揭示了光、電、磁現(xiàn)象的本質(zhì)的統(tǒng)一性現(xiàn)象的本質(zhì)的統(tǒng)一性，完成了物理學(xué)的又一次大綜合。這一理，完成了物

4、理學(xué)的又一次大綜合。這一理論自然科學(xué)的成果，奠定了現(xiàn)代的電力工業(yè)、電子工業(yè)和無線論自然科學(xué)的成果，奠定了現(xiàn)代的電力工業(yè)、電子工業(yè)和無線電工業(yè)的基礎(chǔ)。電工業(yè)的基礎(chǔ)。科學(xué)家小傳科學(xué)家小傳英國科學(xué)家英國科學(xué)家 詹姆斯詹姆斯.克拉克克拉克.麥克斯韋麥克斯韋 （James Clerk Maxwell 1831-1879） 電學(xué)是物理學(xué)的一個(gè)重要分枝，在它的發(fā)展過程中，很多電學(xué)是物理學(xué)的一個(gè)重要分枝，在它的發(fā)展過程中，很多物理學(xué)巨匠都曾作出過杰出的貢獻(xiàn)。法國物理學(xué)家物理學(xué)巨匠都曾作出過杰出的貢獻(xiàn)。法國物理學(xué)家查利查利奧古斯奧古斯丁丁庫侖庫侖就是其中影響力非常巨大的一員。就是其中影響力非常巨大的一員。 17

5、851785年，庫侖用自己發(fā)明的年，庫侖用自己發(fā)明的扭秤扭秤建立了靜電學(xué)中著名的庫建立了靜電學(xué)中著名的庫侖定律。同年，他在給法國科學(xué)院的侖定律。同年，他在給法國科學(xué)院的電力定律電力定律的論文中詳?shù)恼撐闹性敿?xì)地介紹了他的實(shí)驗(yàn)裝置，測(cè)試經(jīng)過和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。細(xì)地介紹了他的實(shí)驗(yàn)裝置，測(cè)試經(jīng)過和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 法國物理學(xué)家法國物理學(xué)家 查利查利奧古斯丁奧古斯丁庫庫侖侖 （Charles Augustin de Coulomb 17361806） 法拉第法拉第17911791年年9 9月月2222日生在一個(gè)手工工人家庭，父親是日生在一個(gè)手工工人家庭，父親是一個(gè)鐵匠，家里人沒有特別的文化，而且頗為貧窮。但由于他的一

6、個(gè)鐵匠，家里人沒有特別的文化，而且頗為貧窮。但由于他的勤學(xué)好問，勤學(xué)好問，18121812年成為了倫敦皇家學(xué)院院長(zhǎng)戴維的助手，他的科年成為了倫敦皇家學(xué)院院長(zhǎng)戴維的助手，他的科學(xué)研究道路由此而展開學(xué)研究道路由此而展開 。法拉第所研究的課題廣泛多樣，按編年順序排列法拉第所研究的課題廣泛多樣，按編年順序排列, ,有如下各有如下各方面：鐵合金研究（方面：鐵合金研究（1818181818241824）；氯和碳的化合物（）；氯和碳的化合物（18201820）；）；電磁轉(zhuǎn)動(dòng)（電磁轉(zhuǎn)動(dòng)（18211821）；氣體液化（）；氣體液化（18231823，18451845）；光學(xué)玻璃（）；光學(xué)玻璃（182518251

7、8311831）；苯的發(fā)明（）；苯的發(fā)明（18251825）；電磁感應(yīng)現(xiàn)象（）；電磁感應(yīng)現(xiàn)象（18311831）；不同來）；不同來源的電的同一性（源的電的同一性（18321832）；電化學(xué)分解（）；電化學(xué)分解（18321832年起）；靜電學(xué)，年起）；靜電學(xué)，電介質(zhì)（電介質(zhì)（18351835年起）；氣體放電（年起）；氣體放電（18351835年）；光、電和磁（年）；光、電和磁（18451845年起）；抗磁性（年起）；抗磁性（18451845年起）；年起）； 射線振動(dòng)思想射線振動(dòng)思想 （18461846年起）；年起）；重力和電（重力和電（18491849年起）；時(shí)間和磁性（年起）；時(shí)間和磁性（18

8、571857年起）。年起）。 英國科學(xué)家英國科學(xué)家 邁克爾邁克爾法拉第法拉第 (Michael Faraday 17911867) 安培安培17751775年年1 1月月2222日生于里昂一個(gè)富商家庭。年少時(shí)就顯日生于里昂一個(gè)富商家庭。年少時(shí)就顯出數(shù)學(xué)才能。出數(shù)學(xué)才能。安培最主要的成就是安培最主要的成就是1820182018271827年對(duì)電磁作用的研究：年對(duì)電磁作用的研究：發(fā)現(xiàn)了安培定則發(fā)現(xiàn)了安培定則 發(fā)現(xiàn)電流的相互作用規(guī)律發(fā)現(xiàn)電流的相互作用規(guī)律 發(fā)明了電流計(jì)發(fā)明了電流計(jì) 提出分子電流假說提出分子電流假說 總結(jié)了電流元之間的作用規(guī)律總結(jié)了電流元之間的作用規(guī)律安培定律安培定律 法國物理學(xué)家法國

9、物理學(xué)家 安培安培 (Andr Marie Amp 17751836年年) 赫茲生于漢堡，早在少年時(shí)代就被光學(xué)和力學(xué)實(shí)驗(yàn)所赫茲生于漢堡，早在少年時(shí)代就被光學(xué)和力學(xué)實(shí)驗(yàn)所吸引。十九歲入德累斯頓工學(xué)院學(xué)工程，由于對(duì)自然科學(xué)吸引。十九歲入德累斯頓工學(xué)院學(xué)工程，由于對(duì)自然科學(xué)的愛好，次年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)，在物理學(xué)教授亥姆霍茲指導(dǎo)的愛好，次年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)，在物理學(xué)教授亥姆霍茲指導(dǎo)下學(xué)習(xí)。下學(xué)習(xí)。18851885年任卡爾魯厄大學(xué)物理學(xué)教授。年任卡爾魯厄大學(xué)物理學(xué)教授。18891889年，接年，接替克勞修斯擔(dān)任波恩大學(xué)物理學(xué)教授，直到逝世。替克勞修斯擔(dān)任波恩大學(xué)物理學(xué)教授，直到逝世。赫茲對(duì)人類最偉大的貢獻(xiàn)是用赫

10、茲對(duì)人類最偉大的貢獻(xiàn)是用實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電磁波的存證實(shí)了電磁波的存在。在。 德國物理學(xué)家德國物理學(xué)家 赫茲赫茲 （(HeinrichRudolfHertz, 18571894) 伽利略、尤其是伽利略、尤其是牛頓牛頓在引力方面所獲得的成果曾經(jīng)幾乎覆在引力方面所獲得的成果曾經(jīng)幾乎覆蓋了整個(gè)科學(xué)領(lǐng)域，它對(duì)人類科學(xué)技術(shù)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影蓋了整個(gè)科學(xué)領(lǐng)域，它對(duì)人類科學(xué)技術(shù)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響和推動(dòng)。然而，這種并不直接接觸、也不需要媒質(zhì)而瞬時(shí)就響和推動(dòng)。然而，這種并不直接接觸、也不需要媒質(zhì)而瞬時(shí)就能產(chǎn)生作用的牛頓引力的背后還隱藏著什么呢？能產(chǎn)生作用的牛頓引力的背后還隱藏著什么呢？1919世紀(jì)的許多世紀(jì)的

11、許多科學(xué)家在被迫接受和承認(rèn)牛頓引力的超距作用的同時(shí)，卻拒不科學(xué)家在被迫接受和承認(rèn)牛頓引力的超距作用的同時(shí)，卻拒不接受電力和磁力也是如此。于是，接受電力和磁力也是如此。于是，法拉第法拉第和和麥克斯韋麥克斯韋提出了場(chǎng)提出了場(chǎng)的概念，即場(chǎng)是以有限速度傳播的能夠作為物體間相互作用的的概念，即場(chǎng)是以有限速度傳播的能夠作為物體間相互作用的媒介。由此而出現(xiàn)的場(chǎng)論，看似毀壞了牛頓物理的根基，實(shí)則媒介。由此而出現(xiàn)的場(chǎng)論，看似毀壞了牛頓物理的根基，實(shí)則是開辟了通向電磁學(xué)、而后是相對(duì)論的道路。是開辟了通向電磁學(xué)、而后是相對(duì)論的道路。 麥克斯韋的電磁理論麥克斯韋的電磁理論這時(shí)就成為了電磁世界的理論核心，這時(shí)就成為了電

12、磁世界的理論核心，他的偉大理論簡(jiǎn)明扼要并嚴(yán)格地統(tǒng)一了電與磁的關(guān)系，這看起他的偉大理論簡(jiǎn)明扼要并嚴(yán)格地統(tǒng)一了電與磁的關(guān)系，這看起來好像是簡(jiǎn)化了物理學(xué)的理論，但實(shí)際上卻使問題變得更加復(fù)來好像是簡(jiǎn)化了物理學(xué)的理論，但實(shí)際上卻使問題變得更加復(fù)雜了，因?yàn)樗官だ院团ｎD所構(gòu)筑的宇宙圖像雜了，因?yàn)樗官だ院团ｎD所構(gòu)筑的宇宙圖像“頓起禍端頓起禍端”。 1919世紀(jì)，科學(xué)界將物質(zhì)間的作用力歸結(jié)為三大類：世紀(jì)，科學(xué)界將物質(zhì)間的作用力歸結(jié)為三大類：引力、電力引力、電力 和和 磁力磁力 20 20世紀(jì)以來，在對(duì)電磁場(chǎng)的理論和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行深入研世紀(jì)以來，在對(duì)電磁場(chǎng)的理論和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行深入研究的過程中，人們所提出的兩個(gè)看似簡(jiǎn)

13、單的問題使得電究的過程中，人們所提出的兩個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題使得電磁學(xué)理論沿著兩個(gè)方向開始發(fā)展。磁學(xué)理論沿著兩個(gè)方向開始發(fā)展。 麥克斯韋的理論將電磁輻射作為純粹的波來處理，但許麥克斯韋的理論將電磁輻射作為純粹的波來處理，但許多實(shí)驗(yàn)卻表明輻射并不連續(xù)。于是，普朗克假設(shè)，電磁波只多實(shí)驗(yàn)卻表明輻射并不連續(xù)。于是，普朗克假設(shè)，電磁波只能是以一種能量包的形式被發(fā)射或吸收，他由此創(chuàng)立了能是以一種能量包的形式被發(fā)射或吸收，他由此創(chuàng)立了量子量子力學(xué)力學(xué)，這種能量包就被稱為能量子。，這種能量包就被稱為能量子。19051905年，愛因斯坦用光年，愛因斯坦用光量子理論成功地解釋了光電效應(yīng)，并指出所有物質(zhì)和輻射都量子理論

14、成功地解釋了光電效應(yīng)，并指出所有物質(zhì)和輻射都具有波粒二象性。這一結(jié)論隨后即從物理學(xué)家們的理論分析具有波粒二象性。這一結(jié)論隨后即從物理學(xué)家們的理論分析和精密實(shí)驗(yàn)中得到了證實(shí)，這個(gè)結(jié)論復(fù)活了牛頓的光微粒論和精密實(shí)驗(yàn)中得到了證實(shí)，這個(gè)結(jié)論復(fù)活了牛頓的光微粒論，同時(shí)也使力學(xué)與電磁學(xué)近二十年的明顯對(duì)立消除了。，同時(shí)也使力學(xué)與電磁學(xué)近二十年的明顯對(duì)立消除了。對(duì)于這個(gè)問題的研究產(chǎn)生了愛因斯坦的相對(duì)論。對(duì)于這個(gè)問題的研究產(chǎn)生了愛因斯坦的相對(duì)論。第一個(gè)問題第一個(gè)問題電磁輻射的本質(zhì)是什么？電磁輻射的本質(zhì)是什么？第二個(gè)問題第二個(gè)問題電磁波在什么媒質(zhì)中傳播？電磁波在什么媒質(zhì)中傳播？ 由此看來，在任何意義上，我們都不能

15、輕視一個(gè)多世紀(jì)由此看來，在任何意義上，我們都不能輕視一個(gè)多世紀(jì)來電磁場(chǎng)理論對(duì)科學(xué)技術(shù)以及人類社會(huì)所做出的巨大貢獻(xiàn)。來電磁場(chǎng)理論對(duì)科學(xué)技術(shù)以及人類社會(huì)所做出的巨大貢獻(xiàn)?？梢院敛豢鋸埖卣f，沒有電磁場(chǎng)理論的發(fā)展，就不可能有現(xiàn)可以毫不夸張地說，沒有電磁場(chǎng)理論的發(fā)展，就不可能有現(xiàn)代信息化社會(huì)的出現(xiàn)。由于電磁場(chǎng)理論對(duì)整個(gè)電子和信息技代信息化社會(huì)的出現(xiàn)。由于電磁場(chǎng)理論對(duì)整個(gè)電子和信息技術(shù)的發(fā)展所起到的如此強(qiáng)大的推動(dòng)力，迫使人們必須去了解術(shù)的發(fā)展所起到的如此強(qiáng)大的推動(dòng)力，迫使人們必須去了解并解決各種復(fù)雜條件下的電磁工程中的技術(shù)和設(shè)計(jì)問題，從并解決各種復(fù)雜條件下的電磁工程中的技術(shù)和設(shè)計(jì)問題，從這個(gè)意義上來說，學(xué)

16、習(xí)電磁場(chǎng)理論就成為了整個(gè)行動(dòng)的第一這個(gè)意義上來說，學(xué)習(xí)電磁場(chǎng)理論就成為了整個(gè)行動(dòng)的第一步。步。 電磁波的應(yīng)用l課程的意義課程的意義工程意義；工程意義；理論意義理論意義電電電磁場(chǎng)電磁場(chǎng)電磁波電磁波 靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng) 時(shí)變場(chǎng)時(shí)變場(chǎng)空間空間 傳播傳播 介質(zhì)介質(zhì) l課程的性質(zhì)和地位課程的性質(zhì)和地位電子信息類專業(yè)的電子信息類專業(yè)的 技術(shù)基礎(chǔ)課技術(shù)基礎(chǔ)課l學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)內(nèi)容l學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法教材：教材：電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)劉嵐劉嵐 胡釙胡釙 黃秋元黃秋元 胡耀祖胡耀祖 編編 武漢理工大學(xué)出版社武漢理工大學(xué)出版社 20062006參考書：參考書：1.1.電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波楊儒貴等

17、編楊儒貴等編. . 高等教育出版社，高等教育出版社，200220022.2.電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波謝處方，饒克謹(jǐn)編謝處方，饒克謹(jǐn)編. 高等教育出版社，高等教育出版社，200220023.3.電磁場(chǎng)與電磁波典型題解析及自測(cè)試題電磁場(chǎng)與電磁波典型題解析及自測(cè)試題 趙家升主編趙家升主編, ,西北工業(yè)大學(xué)出版社西北工業(yè)大學(xué)出版社,2002,20024.4.電磁波理論電磁波理論( (影印版影印版, ,英文英文),J.A.Kong),J.A.Kong編編 高等教育出版社，高等教育出版社，20022002第第1 1章章 矢量分析矢量分析(Vector Analysis) 重點(diǎn)重點(diǎn)：1. 1. 標(biāo)量、矢

18、量，標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)標(biāo)量、矢量，標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)3. 3. 通量與散度通量與散度 2. 2. 矢量的運(yùn)算，坐標(biāo)系矢量的運(yùn)算，坐標(biāo)系4. 4. 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度5. 5. 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度 7. 7. 斯托克斯定理斯托克斯定理 6. 6. 高斯散度定理高斯散度定理 8. 8. 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 1.矢量與標(biāo)量矢量與標(biāo)量 矢量的大小矢量的大小稱為矢量的模稱為矢量的模矢量的方向矢量的方向稱為單位矢量稱為單位矢量 只有大小，不包含方向的物理量叫做只有大小，不包含方向的物理量叫做標(biāo)量標(biāo)量(Scalar) (Scalar) 。既有大小，同時(shí)又包含方向的物理量既有大小，同時(shí)又包含方向的物

19、理量稱為矢量稱為矢量(Vector) (Vector) 。矢量的表示矢量的表示xxyyzzAe Ae Ae Arrrr222xyzAAAArxyzeee、 、rrr1.1 1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù) (Vector algebra）2.矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 l矢量的加法和減法矢量的加法和減法 （平行四邊形法則）（平行四邊形法則）()()()xxxyyyzzzABABeABeABerrrrr()()()xxxyyyzzzABABeABeABerrrrrArBrABrrABrr設(shè)設(shè)兩矢量進(jìn)行標(biāo)積后的結(jié)果變成了無方向性的兩矢量進(jìn)行標(biāo)積后的結(jié)果變成了無方向性的l矢量的標(biāo)積矢量的標(biāo)積 （Scala

20、r Product）cosxxyyzzA BABA BA BA Br rxxyyzzAe Ae Ae ArrrrxxyyzzBe Be Be Brrrr則則數(shù)量值數(shù)量值 !為矢量為矢量 與矢量與矢量 之間的夾角之間的夾角 ArBr設(shè)設(shè)兩矢量進(jìn)行矢積后的結(jié)果仍為矢量?jī)墒噶窟M(jìn)行矢積后的結(jié)果仍為矢量l矢量的矢積矢量的矢積 （Vector Product）sinnA Be ABrrrxxyyzzAe Ae Ae ArrrrxxyyzzBe Be Be Brrrr則則為矢量為矢量 與矢量與矢量 之間的夾角之間的夾角 ArBrnerrr為矢量A與矢量B所形成平面的法向單位矢量()()()yzzyxzxxz

21、yxyyxzABA BA BeA BA BeA BA Be上式可上式可記為記為xyzxyzxyzeeeABAAABBB注注3. 3. 標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng) 在電磁場(chǎng)中，若描述場(chǎng)的物理量隨時(shí)間變化，在電磁場(chǎng)中，若描述場(chǎng)的物理量隨時(shí)間變化，則將場(chǎng)稱為時(shí)變場(chǎng)。而當(dāng)描述場(chǎng)的物理量與時(shí)間無則將場(chǎng)稱為時(shí)變場(chǎng)。而當(dāng)描述場(chǎng)的物理量與時(shí)間無關(guān)時(shí)，就將場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng)。關(guān)時(shí)，就將場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng)。 “場(chǎng)場(chǎng)”是指某種物理量在空間的分是指某種物理量在空間的分布布場(chǎng)場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)具有標(biāo)量特征的物理量在空間的分布具有標(biāo)量特征的物理量在空間的分布具有矢量特征的物理量在空間的分布具有矢量特征的物理量在空間的分布用

22、矢量線來描述用矢量線來描述“場(chǎng)場(chǎng)” 在直角坐標(biāo)系中，空間任意一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中，空間任意一點(diǎn)M M的位置可以用三個(gè)相互獨(dú)立的變量的位置可以用三個(gè)相互獨(dú)立的變量, , ,表示表示, ,記為記為(x,y,z(x,y,z).).它們的變化范圍分別是：它們的變化范圍分別是： 。 1.2 1.2 正交坐標(biāo)系正交坐標(biāo)系 (Quadrature Coordinate system） 考慮到被研究的物理量的空間分布及其變化規(guī)律不同，考慮到被研究的物理量的空間分布及其變化規(guī)律不同，或物體的幾何形狀不同等等，可采用直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)或物體的幾何形狀不同等等，可采用直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系，這是最常用的

23、三種正交坐標(biāo)系。系和球面坐標(biāo)系，這是最常用的三種正交坐標(biāo)系。1.1.直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系XZYM(x,y,z)0 任意一點(diǎn)的單位矢量亦即三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量，因任意一點(diǎn)的單位矢量亦即三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量，因?yàn)樗鼈兲幱谡蛔鴺?biāo)系中，因此，它們相互垂直并遵循右為它們處于正交坐標(biāo)系中，因此，它們相互垂直并遵循右手螺旋法則，即手螺旋法則，即 xyzyzxzxyeeeeeeeee 在直角坐標(biāo)系中，空間任一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中，空間任一點(diǎn)M M的位置可用一矢量來表的位置可用一矢量來表示，即示，即 zzyyxxzyxAeAeAezeyexeAOMXZYM(x,y,z)0A 在圓柱坐標(biāo)系中，空在圓柱坐標(biāo)系中，空間

24、任一點(diǎn)可用間任一點(diǎn)可用r, r, ,z,z三個(gè)坐標(biāo)變量來表示，三個(gè)坐標(biāo)變量來表示，點(diǎn)的位置在圓柱坐標(biāo)系下點(diǎn)的位置在圓柱坐標(biāo)系下可寫為（可寫為（r, r, ,z,z）。）。三個(gè)變量三個(gè)變量r, r, ,z ,z的變的變化范圍分別是：化范圍分別是：0 0 r r 0 0 2 2 2.2.圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系的三個(gè)變量的單位矢量分別是圓柱坐標(biāo)系的三個(gè)變量的單位矢量分別是 rzeee，它們始終保持相互正交，且符合右手螺旋法則，即它們始終保持相互正交，且符合右手螺旋法則，即 rzzrzreeeeeeeee空間任一點(diǎn)的位置可用單位矢量表示為空間任一點(diǎn)的位置可用單位矢量表示為rzeeeOMArz圓

25、柱坐標(biāo)系變量與直角坐標(biāo)系的關(guān)系是圓柱坐標(biāo)系變量與直角坐標(biāo)系的關(guān)系是rcos rsin 22yxrzyarctg在圓柱坐標(biāo)系下，任意矢量的線元可表示為在圓柱坐標(biāo)系下，任意矢量的線元可表示為 在圓柱坐標(biāo)系下，任意曲面上的面元可表示為在圓柱坐標(biāo)系下，任意曲面上的面元可表示為 在圓柱坐標(biāo)系下，任意體積元可表示為在圓柱坐標(biāo)系下，任意體積元可表示為 dzerdedreldzrrzdSdSdSdSdzdrdrdldldldvzr3.3.球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系 l球坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)球坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)變量分別為：變量分別為：R,R,， 這三個(gè)變量的變化范圍這三個(gè)變量的變化范圍是：是： 0R0R 0 0 0 0 2

26、 2 球坐標(biāo)系的三個(gè)變量的單位矢量分別是球坐標(biāo)系的三個(gè)變量的單位矢量分別是 Reee，它們始終保持相互正交，且符合右手螺旋法則，即它們始終保持相互正交，且符合右手螺旋法則，即 RRReeeeeeeee空間任一點(diǎn)的位置可用單位矢量表示為空間任一點(diǎn)的位置可用單位矢量表示為ReeeAR球坐標(biāo)系變量與直角坐標(biāo)系變量的關(guān)系為球坐標(biāo)系變量與直角坐標(biāo)系變量的關(guān)系為 Rsincos Rsinsin Rcos222zyxRzyxtg22xytg球坐標(biāo)系變量與圓柱坐標(biāo)系變量的關(guān)系為球坐標(biāo)系變量與圓柱坐標(biāo)系變量的關(guān)系為 rRsin zRcos22zrRzrtg在球坐標(biāo)系下，任意矢量的線元可表示為在球坐標(biāo)系下，任意矢

27、量的線元可表示為 在球坐標(biāo)系下，六個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)組成的六面體的面積元在球坐標(biāo)系下，六個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)組成的六面體的面積元可表示為可表示為 在球坐標(biāo)系下，任意體積元可表示為在球坐標(biāo)系下，任意體積元可表示為 dReRdedReldRsin2sinRdvdl dl dlRdRd d 2sinsinRRRRRdSdl dl eRd d edSdl dl eRdRd edSdl dl eRdRd e 1.3 1.3 矢量函數(shù)的通量與散度矢量函數(shù)的通量與散度(Flux and Divergence of Vector function）1.1.矢量的通量矢量的通量 為了研究矢量場(chǎng)的空間變化情況，我們需要引入矢量場(chǎng)為了研

28、究矢量場(chǎng)的空間變化情況，我們需要引入矢量場(chǎng)的散度的概念。矢量函數(shù)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它表示矢的散度的概念。矢量函數(shù)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它表示矢量場(chǎng)中任意一點(diǎn)處，通量對(duì)體積的變化率，即描述了通量源量場(chǎng)中任意一點(diǎn)處，通量對(duì)體積的變化率，即描述了通量源的強(qiáng)度。的強(qiáng)度。 在研究電場(chǎng)、磁場(chǎng)時(shí)，可用一組曲線來形象地表示矢量在研究電場(chǎng)、磁場(chǎng)時(shí)，可用一組曲線來形象地表示矢量場(chǎng)的空間分布，如電場(chǎng)的電力線、磁場(chǎng)中的磁力線等，它們場(chǎng)的空間分布，如電場(chǎng)的電力線、磁場(chǎng)中的磁力線等，它們都是帶有方向的線，線上每一點(diǎn)的切線方向代表了這一點(diǎn)處都是帶有方向的線，線上每一點(diǎn)的切線方向代表了這一點(diǎn)處矢量場(chǎng)的方向，這樣的一些有方

29、向的曲線叫矢量線。矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)的方向，這樣的一些有方向的曲線叫矢量線。矢量場(chǎng)中每一點(diǎn)都有唯一的一條矢量線通過，線的疏密表示該點(diǎn)矢中每一點(diǎn)都有唯一的一條矢量線通過，線的疏密表示該點(diǎn)矢量場(chǎng)的大小。量場(chǎng)的大小。 矢量線矢量線 借用矢量線的概念，通量可借用矢量線的概念，通量可以認(rèn)為是矢量穿過曲面的矢量以認(rèn)為是矢量穿過曲面的矢量線總數(shù)，矢量線也叫通量線，穿線總數(shù)，矢量線也叫通量線，穿出的為正，穿入的為負(fù)。矢量場(chǎng)出的為正，穿入的為負(fù)。矢量場(chǎng)也可稱為通量面密度矢量。也可稱為通量面密度矢量。 通量的物理意義通量的物理意義矢量矢量 E E 沿有向曲面沿有向曲面S S 的面積分的面積分SEdS 0 0 ( (有正

30、源有正源) ) 0 0 ( (有負(fù)源有負(fù)源) ) = = 0 0 ( (無源無源) )若若S 為閉合曲面為閉合曲面 ，可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合，可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)面中源的性質(zhì): :sdsE 如果包圍點(diǎn)如果包圍點(diǎn)P P的閉合面的閉合面 S S所圍區(qū)域所圍區(qū)域 V V以任意方式縮小為點(diǎn)以任意方式縮小為點(diǎn)P P時(shí)時(shí), , 通量與體積之比的極限存在，即通量與體積之比的極限存在，即SvvdSAA10limdivzAyAxAzyxAAdiv2 2、散度、散度計(jì)算公式計(jì)算公式 如果此極限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng)在空間點(diǎn)處的如果此極限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng)在空間點(diǎn)處的散度（散度（d

31、ivergencedivergence），記作：），記作：div div 稱為稱為哈密頓算子，它是一個(gè)矢性微分算子，即哈密頓算子，它是一個(gè)矢性微分算子，即式中式中zeyexezyx 在矢量場(chǎng)中，若在矢量場(chǎng)中，若 A= A= 0 0，稱之為有源場(chǎng)，稱之為有源場(chǎng)， 稱為稱為( (通量通量) )源密度；若矢量場(chǎng)中處處源密度；若矢量場(chǎng)中處處 A=0 A=0，稱之為無源場(chǎng)。，稱之為無源場(chǎng)。 散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性 矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)散度的物理意義散度的物理意義（無源）0A（正源）0 A（負(fù)源）0 AV

32、nnVnSdVVdnAASA10lim 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域V V 中場(chǎng)中場(chǎng)A A與邊界與邊界S S上的場(chǎng)上的場(chǎng)A A之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。VSdVdASA 矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。SvvdSAA10limdiv 由于由于 是通量源密度，是通量源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，對(duì)的通量，對(duì) 體積分后，體積分后，穿出閉合面穿出閉合面S S的通量的通量AA3 3、高斯公式、高斯公式( (散度定理散度定理) )高斯公式高斯公式1.4 1.4 矢量函數(shù)的環(huán)量與旋度矢量函數(shù)的環(huán)量與旋度 ( (Circulation

33、and and rotation of Vector function of Vector function）1.1.矢量的環(huán)量矢量的環(huán)量 通量和散度是針對(duì)具有通量源的矢量場(chǎng)，并用來描述場(chǎng)通量和散度是針對(duì)具有通量源的矢量場(chǎng)，并用來描述場(chǎng)中的通量源與場(chǎng)點(diǎn)的關(guān)系的。而能夠產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源除了通中的通量源與場(chǎng)點(diǎn)的關(guān)系的。而能夠產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源除了通量源外，還有一類源，叫旋渦源。要討論旋渦源所形成的場(chǎng)量源外，還有一類源，叫旋渦源。要討論旋渦源所形成的場(chǎng)，就需要討論矢量場(chǎng)的旋度，就需要討論矢量場(chǎng)的旋度(rotation)(rotation)，而要討論矢量函數(shù)，而要討論矢量函數(shù)的旋度，必須先引入環(huán)量的概念。的

34、旋度，必須先引入環(huán)量的概念。 矢量矢量A A沿空間有向閉合曲線沿空間有向閉合曲線C C的線積分的線積分cldAC稱為矢量稱為矢量A A的環(huán)量的環(huán)量該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。環(huán)量的計(jì)算環(huán)量的計(jì)算水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)C=0C=0，無渦旋運(yùn)動(dòng)，無渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)C C 0 0，有產(chǎn)生渦旋的源，有產(chǎn)生渦旋的源例：流速場(chǎng)例：流速場(chǎng)流速場(chǎng)流速場(chǎng) 環(huán)量是一個(gè)代數(shù)量（標(biāo)量），其大小和正負(fù)與矢量場(chǎng)的分環(huán)量是一個(gè)代數(shù)量（標(biāo)量），其大小和正負(fù)與矢量場(chǎng)的分布有關(guān)，而且與所取積分環(huán)繞方向有關(guān)。布有關(guān)，而且與所取積分環(huán)繞方向有關(guān)。

35、過點(diǎn)過點(diǎn)P P作一微小曲面作一微小曲面 S S, ,它的邊界曲線記為它的邊界曲線記為 L L, ,面的法線面的法線方與曲線繞向成右手螺旋法則。當(dāng)方與曲線繞向成右手螺旋法則。當(dāng) S S點(diǎn)點(diǎn)P P時(shí)時(shí), ,存在極限環(huán)存在極限環(huán)量密度量密度LldSdSdCPS1lim取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。AArot ndSdCeA rot 2.2.矢量的旋度矢量的旋度 (1) 環(huán)量密度環(huán)量密度 (2) 旋度旋度 它與環(huán)量密度的關(guān)系為它與環(huán)量密度

36、的關(guān)系為在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下zyxzyxzyxAAAeeeA 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。 點(diǎn)點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。 在矢量場(chǎng)中，若在矢量場(chǎng)中，若A=J 0,稱之為旋度場(chǎng)稱之為旋度場(chǎng)( (或渦旋場(chǎng)或渦旋場(chǎng)) )， J 稱為旋度源稱為旋度源( (或渦旋源或渦旋源) )； 點(diǎn)點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。 若矢量場(chǎng)處處若矢量場(chǎng)處處A=0，稱之為無旋場(chǎng)。稱之為無旋場(chǎng)。 (3)旋度的物理意義旋度的物理意義旋度的重要性質(zhì)：旋度的重要性質(zhì)：任何

37、一個(gè)矢量的旋度的散度恒等于任何一個(gè)矢量的旋度的散度恒等于0 0 A A 是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為iiddlilSAA)(SAAdldSl)( 在電磁場(chǎng)理論中，在電磁場(chǎng)理論中，GaussGauss定理和定理和 StockesStockes定理是兩個(gè)非常定理是兩個(gè)非常重要的定理。重要的定理。 矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域S S中場(chǎng)中場(chǎng)A與邊界與邊界L L上的場(chǎng)上的場(chǎng)A之間的關(guān)系之間的關(guān)系 (3)斯托克斯斯托克斯(Stockes)定

38、理定理 StockesStockes定定理理1.5 1.5 標(biāo)量函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度( (Directivity derivative and and gradient of Scalar functionof Scalar function） 在一定條件下，矢量場(chǎng)是可以用標(biāo)量（標(biāo)量函數(shù)）來在一定條件下，矢量場(chǎng)是可以用標(biāo)量（標(biāo)量函數(shù)）來描述的，這樣就可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。由矢量和標(biāo)量的定義可知描述的，這樣就可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。由矢量和標(biāo)量的定義可知，二者之間的差別就是，矢量有大小有方向，而標(biāo)量有大，二者之間的差別就是，矢量有大小有方向，而標(biāo)量有大小卻無方向。那么，如果要用標(biāo)量來描述矢

39、量場(chǎng)，勢(shì)必就小卻無方向。那么，如果要用標(biāo)量來描述矢量場(chǎng)，勢(shì)必就需要給標(biāo)量添加上方向因素后，這種描述才成立。但如何需要給標(biāo)量添加上方向因素后，這種描述才成立。但如何給標(biāo)量添加上方向因素呢？在標(biāo)量場(chǎng)中，空間每一點(diǎn)都只給標(biāo)量添加上方向因素呢？在標(biāo)量場(chǎng)中，空間每一點(diǎn)都只能對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值是用標(biāo)量函數(shù)來描述的。在能對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值是用標(biāo)量函數(shù)來描述的。在研究標(biāo)量場(chǎng)時(shí)，我們常常關(guān)心的是標(biāo)量函數(shù)值隨空間位置研究標(biāo)量場(chǎng)時(shí)，我們常常關(guān)心的是標(biāo)量函數(shù)值隨空間位置的變化規(guī)律，即標(biāo)量函數(shù)最大變化率及其方向。這個(gè)標(biāo)量的變化規(guī)律，即標(biāo)量函數(shù)最大變化率及其方向。這個(gè)標(biāo)量函數(shù)在空間中的最大變化率和最大變化率的

40、方向正是我們函數(shù)在空間中的最大變化率和最大變化率的方向正是我們所需要的方向因素。所需要的方向因素。 1.1.標(biāo)量函數(shù)的方向?qū)?shù)標(biāo)量函數(shù)的方向?qū)?shù)（1 1）標(biāo)量場(chǎng)）標(biāo)量場(chǎng)-等值線等值線( (面面) )constzyxu),(其方程為其方程為等值線等值線標(biāo)量場(chǎng)中每一點(diǎn)都有一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)中每一點(diǎn)都有一個(gè)等值面通過，且只有一個(gè)。等值面通過，且只有一個(gè)。也就是說，等值面充滿整也就是說，等值面充滿整個(gè)標(biāo)量場(chǎng)所在的空間，且個(gè)標(biāo)量場(chǎng)所在的空間，且互不相交?；ゲ幌嘟?。 等值面的性質(zhì)等值面的性質(zhì)u=2u=2u=3u=3u=4u=4等值面等值面（2 2）方向?qū)?shù)）方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)表示函數(shù)方向?qū)?shù)表示函數(shù)(x,y,z(

41、x,y,z) )在一給定點(diǎn)處沿某一方向在一給定點(diǎn)處沿某一方向的標(biāo)量函數(shù)的變化率。的標(biāo)量函數(shù)的變化率。 式中式中coscoscoslcoscoscosyxllllll，222lxyzllllxyz e e e稱為稱為方向余弦方向余弦M（x,y,z）M（x+ x,y + y,z + z） 設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù) (x,y,z), ,若函數(shù)若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)P可微可微, ,則則 在在點(diǎn)點(diǎn)P沿任意方向沿任意方向 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為: : l),cos(|lleGGeGl則有則有: :式中式中 分別是與分別是與x,y,z軸的夾角軸的夾角， 設(shè)設(shè)zueyuexueGzyxcoscoscoslxy

42、zeeeecoscoscoslxyz當(dāng)當(dāng) , ,即即 與與 方向一致時(shí)方向一致時(shí), , 為最為最大大. .0),(leGleGlgradezeyexGzyx哈密頓算子哈密頓算子zeyexexxx式中式中 則可定義梯度則可定義梯度 (gradient)標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量, ,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù); ; 梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向, ,即與等值線（面）即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向. . 梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即該點(diǎn)最的最大變化率，即該點(diǎn)最 大方向?qū)?shù)大方向?qū)?shù); ; 梯度的物理意義梯度的物理意義例例1 1 三維高度場(chǎng)的梯度三維高度場(chǎng)的梯度例例2 2