論正態(tài)分布的重要地位和應用2分解

1、 學校代碼13651編 號0320150016本科畢業(yè)論文（設計）題目：論正態(tài)分布的重要地位和應用學 部：工學部學生姓名：王梅影學 號：2011070102021年 級：2011級專業(yè)班級：信息與計算科學指導教師： 趙姣珍 職稱：講師完成時間：2015/5/15中國·貴州·貴陽 貴州民族大學人文科技學院畢業(yè)論文（設計）成果聲明 本人的畢業(yè)論文是在貴州民族大學人文科技學院趙姣珍老師的指導下獨立撰寫并完成的。畢業(yè)論文沒有剽竊、抄襲、造假等違反學術(shù)道德、學術(shù)規(guī)范和侵權(quán)行為，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品或成果。對本文的研究做出重要貢

2、獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。本聲明的法律結(jié)果由本人承擔。 論文作者簽名： 日期 年 月 日 貴州民族大學人文科技學院畢業(yè)論文（設計）目 錄摘要1Abstract21緒論31.1研究背景31.2研究目的31.3研究現(xiàn)狀41.4研究意義42 正態(tài)分布相關知識介紹52.1正態(tài)分布的概念52.2正態(tài)分布曲線特性52.3 標準正態(tài)分布83 正態(tài)分布的應用93.1 正態(tài)分布應用實例93.1.1 正態(tài)分布在生產(chǎn)中的應用93.1.2正態(tài)分布在日常生活中的應用103.1.3正態(tài)分布在銷售分類中的應用113.1.4正態(tài)分布在工作學習中的應用123.1.5 正態(tài)分布在儀器測量中的應用123.2 正態(tài)分

3、布的應用價值13總 結(jié)15參考文獻16致 謝17 貴州民族大學人文科技學院畢業(yè)論文（設計）摘 要：正態(tài)分布是一種最常見的連續(xù)型隨機變量的分布,是概率論中最重要的一中分布.在理論上和實際生活中正態(tài)分布具有重要地位，數(shù)理統(tǒng)計中的正態(tài)分布是很多重要問題的解決的基礎，在理論研究中占有舉足輕重的地位.本文首先針對正態(tài)分布這一理論研究與實際應用都占有重要地位的概率分布展開分析研究，從其基本概念出發(fā)，然后分析其特性以及各種應用價值，最后通過一系列研究給出正態(tài)分布具有重大作用的理論依據(jù).關鍵詞：正態(tài)分布 標準正態(tài)分布 方差 標準差Abstract: The normal distribution i

4、s the most common distribution of a continuous random variable whether in theoretical research or practical application. It occupies pride of place in that it has a wide application in the field . It can solve many important problems in the mathemati

5、cal statistics which based on the normal distribution for the normal distribution,  so in theory to study the normal distribution.This paper analysis the normal probability distribution according to the theoretical research and practical application which occu

6、py an important position in many science fields from the basic concept, analysis and application value of its characteristics. The theoretical basis is given through a series of studies on the normal distribution has a significant role.Key words: The

7、 normal distribution Standard distribution  The curve Standard deviation1緒論 1.1研究背景 隨機現(xiàn)象存在于自然界和人類生活中的每一個角落，因此概率論在現(xiàn)實中的應用非常之廣泛，而在概率論中的最主要的一個分支就是正態(tài)分布（Normal distribution），正態(tài)分布不僅在金融、精算以及保險等新型領域中占有重要地位，而且對于醫(yī)學、物理學、生物學等領域的影響也是不可忽略的.正態(tài)分布又被稱為高斯分布，正態(tài)分布在統(tǒng)計學科、數(shù)學領域、自然生物領域都有著極其關鍵作用的概率分布.我們假設連續(xù)性隨機變量X服從一個

8、數(shù)學期望為、方差為2的正態(tài)分布，記為N(，2).決定了正態(tài)分布的期望值，其標準差決定了分布的幅度.由于正態(tài)分布的曲線也稱為鐘形曲線.在日常的學習研究之中，標準正態(tài)分布，它是 = 0, = 1的正態(tài)分布. 正態(tài)分布是我們生活中不可或缺的一部分，如果能夠充分理解它，它能夠帶來的利益也是無法估量的.作為新時代的大學生，很好地掌握正態(tài)分布的原理并能夠?qū)⑵溥\用于社會生活中，是我們的一個任務，為此對正態(tài)分布進行系統(tǒng)的學習和研究. 1.2研究目的正態(tài)分布是統(tǒng)計方法的理論中最為基礎的部分，是不以人類的意志而轉(zhuǎn)移的統(tǒng)計規(guī)律，具有統(tǒng)一的函數(shù)表達式.正態(tài)分布在實際生活中，存在著很多服從正態(tài)分布的例子,.比如測量產(chǎn)品

9、的誤差、產(chǎn)品質(zhì)量的測量，農(nóng)業(yè)作物的產(chǎn)量等.服從正態(tài)分布的隨機變量應用非常之廣.沒有任何一種隨機變量可以相比較.所以，我們需要對正態(tài)分布進行深入廣泛的研究.為了能夠更好地掌握正態(tài)分布，讓其能夠更好地被應用生活之中，為人類謀取更多的福利，對其在理論和應用方面進行了系統(tǒng)的研究以求進一步的了解正態(tài)分布的奧秘. 1.3研究現(xiàn)狀正態(tài)分布概念首先由數(shù)學家De Moivre發(fā)現(xiàn)引入并提出，然后直到1809年，德國數(shù)學家Gauss將其應用于自然科學的廣泛研究，因此又被稱作高斯分布.正態(tài)分布最早是通過進行誤差分析而發(fā)現(xiàn)的.進入近代統(tǒng)計時代，拉普拉斯首次提出了概率論的古典定義，把概率論的理論作為基本理論，再次進行了

10、中心極限定理的證明，進一步完善了觀測誤差論，在前人的基礎上進行了一次偉大的改革.19世紀50年代凱特萊運用大量的概率論原理對自然和社會現(xiàn)象進行測量，然后統(tǒng)計出大數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)反映出來的規(guī)律可以體現(xiàn)事物的變化，甚至可以預測未來事件發(fā)生的可能性.隨后凱特萊有對正態(tài)曲線進行了拓展，高爾頓對正態(tài)分布進行了創(chuàng)新.19世紀起，以馬爾可夫和切比雪夫為代表的數(shù)學家通過引入隨機變量的蓋簾，建立了隨機變量的獨立性和非獨立性的標準，提出了收斂到正態(tài)分布的充要條件.到達20世紀，通過哥賽特，費歇爾等人的努力，小樣本理論誕生了，正態(tài)分布的地位得到了進一步的鞏固.20世紀后，統(tǒng)計學家在實驗中獲得的數(shù)據(jù)越來越精確，由統(tǒng)計分

11、析得到的結(jié)論得到了普遍認可. 1.4研究意義正態(tài)分布具有極其廣泛的實際應用背景，在人們的各種生產(chǎn)生活以及科學實驗當中，有大量的隨機變量的概率分布特性都可以近似的用正態(tài)分布來描述.當我們描述某一件事或者某一個要達到的目標時，大部分的個體所發(fā)揮出來的特性都能夠很好地服從正態(tài)分布.這也就是說，對于大量的個體的特性統(tǒng)計分析，可以嘗試利用正態(tài)分布來估量.除此之外，正態(tài)分布也可應用到解決現(xiàn)實生活問題，產(chǎn)品質(zhì)量管理、人體生理的特征及學生的綜合素質(zhì)等多領域都可以用正態(tài)分布進行研究.因此，正態(tài)分布作為一種最常見的連續(xù)型隨機變量的分布，不僅在概率論和數(shù)理統(tǒng)計的理論研究中有重要地位，而且在實際應用上也有著重要研究價

12、值.充分研究正態(tài)分布在理論和應用中的重要定位，可以讓我們充分學習到正態(tài)分布的理論知識，站在前人的肩膀上獲得最好的研究成果.有利于在今后的研究中少走彎路，為今后研究打好基石.2 正態(tài)分布相關知識介紹 2.1正態(tài)分布的概念正態(tài)分布又被稱作高斯（Gauss）分布或常態(tài)分布.正態(tài)分布曲線的兩邊低，中央是高峰，逐漸下降至兩側(cè)，左右呈現(xiàn)對稱的，曲線不與橫軸相交.設連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為: (2.1)(其中是常數(shù),且 ,為所研究的正太總體平均值,為標準差,為隨機抽取得正態(tài)分布中的樣本值).則稱隨機變量服從參數(shù)為的正態(tài)分布,記作，正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形如下圖所示，這條曲線應稱作“正態(tài)分布曲線”. 圖2-1

13、 正態(tài)密度曲線分布圖 2.2正態(tài)分布曲線特性對上式（2.1）進行一定的數(shù)學計算處理：對式（2.1）求導，可得： （2.2）令,則有,即當時, 有極大值對式（2.2）求導有: (2.3)令,則有 ,即曲線在:可以看到拐點，而且有兩個.表2-1 正態(tài)曲線的特性表0-0-0 ­¯­¯曲線凹拐點凸極大值凸拐點凹對正態(tài)分布整體特性做了一定的介紹之后，下面對參數(shù)當和的意義進行闡釋，當它們確定后，正態(tài)曲線就幾乎能夠得到了完全的確定.和 不同，的大小決定曲線的“高”、“矮”、“胖”、“瘦”，如果不變，改變，則曲線在軸上的位置不變，形狀會變化，愈小，曲線愈“高瘦”；越大，

14、曲線越“矮胖”，如圖2-3所示； 如果不變，改變，那么曲線形狀不變，只在軸上平行移動如圖2-2所示：圖2-2 正態(tài)曲線的特性圖圖2-3 正態(tài)曲線的密度函數(shù)圖我們從幾何的角度對上圖進行分析，在上圖中，是高斯曲線取得極大值的橫坐標、是曲線中拐點橫坐標與極大值坐標間的距離，也能夠說是凸、凹曲線的連接點在橫坐標軸的位置；從物理的角度對上圖進行分析，在上圖中，是正態(tài)曲線與軸之間所構(gòu)成的平面圖形重心的橫坐標.在計量學科中，是被測量的隨機變量的真值，是表征隨機變量對象測量值分散特性的一個評價尺度因素.在數(shù)理統(tǒng)計學科中，被稱為數(shù)學期望也就是平均值，是隨機變量的標準偏差.當?shù)闹翟叫?，說明觀測值落在所在橫坐標左右

15、范圍的概率越大，觀測值較集中，測量精度相對較高；的值越大，說明觀測值落在所在橫坐標左右范圍內(nèi)的概率越小，觀測值較分散，測量精度偏低.綜上所述，正態(tài)分布的參數(shù)代表著隨機變量樣本觀測值的集中的趨勢,參數(shù)反映了隨機變量樣本觀測值的分散程度. 2.3 標準正態(tài)分布稱的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布，將代入(2.1)式可以得到： (2.4)式(2.4)為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)，服從標準正態(tài)分布的隨機變量通過對概率論的學習告訴我們，標準正態(tài)分布的分布函數(shù)(也叫概率分布函數(shù))為： (2.5)通常用表示標準正態(tài)分布的分布函數(shù)，即： (2.6)取不同的的值，式(2.6)的幾何意義是在區(qū)間內(nèi)正態(tài)曲線與軸之間所圍曲邊梯形的

16、面積,如圖所示,圖2-4 標準正態(tài)分布的分布函數(shù)圖這也是將“正態(tài)分布表”稱作“正態(tài)概率曲線下的面積”的道理.由于密度函數(shù)可以在整個軸上取值，密度函數(shù)性質(zhì)得: 即迎合了正態(tài)曲線的一個性質(zhì)：線與軸所圍面積為l.3 正態(tài)分布的應用 3.1 正態(tài)分布應用實例 3.1.1 正態(tài)分布在生產(chǎn)中的應用正態(tài)分布實際應用很廣，在很多產(chǎn)品生產(chǎn)及科學實驗中，隨機變量的概率分布特性都可以近似的用正態(tài)分布來描述.對于大量的個體的特性統(tǒng)計分析，可以嘗試利用正態(tài)分布來估量.例3.1 有一種螺紋量規(guī)平均可使用5年,其標準差為0.8年.假設螺紋量規(guī)的使用壽命服從正態(tài)分布,試求以下概率:1)使用期不到4年;2)使用期超過6年.解

17、設量規(guī)使用期為隨機變量,由題意知,本題求1) 根據(jù)公式有:,或由公式可得,2) 根據(jù)公式有.例3.2 某車間加工一批軸,其直徑服從正態(tài)分布,平均直徑=l0,標準差=0.015.規(guī)定直徑在(10±0.03) 范圍內(nèi)為合格品.求:1)不合格品的概率;2)合格品的概率.解 設這批軸的直徑為隨機變量,由題意知.和為不合格品.1) 2) , 或 .即 . 3.1.2正態(tài)分布在日常生活中的應用在自然界以及人類自然生活中,很多的實踐經(jīng)驗證實，正態(tài)分布這種隨機變量的概率分布的應用是十分廣泛的，十分常見.例如：人的身高、體重、生物的生理尺寸等外觀評估指標.隨機測量誤差指標等，都能夠看作是近似服從的正態(tài)

18、分布.（1）已知某條件下的概率,求參數(shù)m 和s例3.3 有一群男子,4的身高在以下,有52在到之間.若身高成正態(tài)分布,求這一分布的平均值和標準差.解 由題意得:,由概率值0.04和0.56反查正態(tài)分布表得: ,化為: ,解得: ,即這群男子平均身高為,標準差為.(2)已知 m,s 和區(qū)問(a,b)內(nèi)的變量數(shù),求總變量數(shù)例3.4 某天中午一餐廳所有顧客吃飯用的錢服從正態(tài)分布,平均數(shù)為8.74元,標準差為1.2元.這天中午有420人吃午飯用了8.5元或更多,問一共來了多少顧客？解 故總顧客數(shù)為: (人). 3.1.3正態(tài)分布在銷售分類中的應用例3.5 某水果重量成正態(tài)分布,現(xiàn)進行分級,20為小的,

19、55為中等,15為大，10為特大.所有水果平均重量為241.5,標準差為60,求中等水果的下限與上限的重量.解 由題意知,中等水果下限以下的概率為0.20,上限為以下的概率為(0.20+0.55)=0.75,于是有: 反查正態(tài)分布表得: 即中等水果下限重量為191,上限為282. 3.1.4正態(tài)分布在工作學習中的應用正態(tài)分布不僅是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的一種基本研究工具，也可以將它應用到解決考試成績與學生綜合素質(zhì)研究的現(xiàn)實生活問題當中.例3.6 某公司對職工進行基本理論考試,決定給14 的人以優(yōu).由以往經(jīng)驗知考試成績成正態(tài)分布,平均分數(shù)為80分,標準差為14分,問職工至少考多少分方能得優(yōu)?解 設至少

20、考分方能得優(yōu),由題意:，.反查正態(tài)分布表得: ，故 (分)即考生至少得95分方能得優(yōu). 3.1.5 正態(tài)分布在儀器測量中的應用正常情況下測量（或?qū)嶒灒┱`差服從正態(tài)分布（或近似正態(tài)）分布指標以及可以通過轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標. 可以制定參考值范圍. （1）已知m ,s及各范圍內(nèi)的概率,求某范圍的上、下限例3.7 用某量具測量(5.26±d)這一尺寸.已知測量值平均數(shù)為5.26,標準差為0.02,測量值服從正態(tài)分布.要使測量值的95都在公差范圍內(nèi),問值應定為多少?解 本題是求概率為0.95的尺寸范圍.設測得的值為隨機變量,則.由題意得，反查正態(tài)分布表得: ，故有 .（2）用標堆差確定所

21、需測量次教例3.8 用某儀器測一尺寸L,已知該儀器標準差 ,尺寸允許的測量極限誤差,問測量一次能否達到要求？解 因=1.4<3=3,故測量一次達不到精度要求,應進行多次測量,由式得 ，可見,至少要測量5次. 3.2 正態(tài)分布的應用價值正態(tài)分布理論有很多重要的理論和應用價值：（1）估計頻數(shù)分布，一個服從正態(tài)分布的變量只要知道其均數(shù)與標準差就可根據(jù)公式即可估計任意取值范圍內(nèi)頻數(shù)比例. （2）制定參考值范圍.（3）質(zhì)量控制.（4）制定醫(yī)學參考值范圍:醫(yī)學現(xiàn)象中，如同質(zhì)群體的身高、紅細胞數(shù)，及實驗中的隨機誤差，呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布；有些指標雖服從偏態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后的新變量可服從正態(tài)或近

22、似正態(tài)分布，可按正態(tài)分布規(guī)律處理. 總 結(jié)正態(tài)分布不僅是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的一種基本研究工具，也可以將它應用到解決一些現(xiàn)實生活問題當中.醫(yī)學遺傳分析、考試成績與學生綜合素質(zhì)研究以及質(zhì)量管理和控制等諸多領域都可以利用正態(tài)分布進行研究.正態(tài)分布是統(tǒng)計方法的理論中最為基礎的部分，具有統(tǒng)一的函數(shù)表達式.正態(tài)分布在實際應用中也扮演著不可或缺的角色.在自然界和社會中，存在著很多服從或近似服從正態(tài)分布的例子，如測量產(chǎn)品的誤差、各類質(zhì)量指標的測量，經(jīng)濟學中的股票價格走向的估計，生物學中農(nóng)業(yè)作物收獲量的猜測等等.服從正態(tài)分布的隨機變量應用之廣是任何一種隨機變量不可比擬的.為此，對正態(tài)分布進行更深入更廣泛的研究也是必不可少的.為了能夠更好地掌握正態(tài)分布，讓其能夠更好地被應用生活之中，為人類謀取更多的福利，對其在理論和應用方面進行了系統(tǒng)的研究以求進一步的了解正態(tài)分布的奧秘.參考文獻1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第三版）高等教育出版社. 2 龔光魯.概率論與數(shù)理統(tǒng)計.清華大學出版社.3 胡細寶.概率論與數(shù)理統(tǒng)計